TỈ SỐ THỂ TÍCH
CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TỈ SỐ THỂ TÍCH NGƯỜI VIẾT: VŨ THỊ DIỆP A- Cơ sở lý thuyết Cơng thức tính thể tích khối đa diện a) Khối chóp Trong B: diện tích đáy, h: chiều cao b) Khối lăng trụ Trong B: diện tích đáy, h: chiều cao Nhận xét: Để tính thể tích khối đa diện bất kỳ, chia khối đa diện thành khối đa diện đơn giản biết cơng thức tính cộng kết lại Tuy nhiên nhiều trường hợp, việc tính thể tích khối lăng trụ khối chóp theo cơng thức lại gặp khó khăn khơng xác định đường cao hay diện tích đáy, chuyển việc tính thể chuyển việc tính thể tích khối việc tính thể tích khối biết thơng qua tỉ số thể tích hai khối Cơng thức tỉ số thể tích a) Bài tốn 1: (Bài sách giáo khoa hình học 12 ban trang 25) Cho hình chóp S.ABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Chứng minh (1) A A' C C' S B' B Nhận xét: ♦ Sau hướng dẫn học sinh chứng minh xong toán 1, giáo viên yêu cầu học sinh ghi nhớ công thức (1) lưu ý công thức (1) áp dụng khối chóp tam giác Khi gặp khối chóp tứ giác, ngũ giác, ta phải sử dụng phương pháp phân chia thành khối chóp tam giác, sau áp dụng cơng thức (1) ♦ Giáo viên xét trường hợp đặc biệt toán chọn B' ≡ B, C' ≡ C Ta có: b) Hệ 1: (2) A A' C S B Nhận xét: Ta lại có (*) Do (2) nên (*) ⇔ Vậy Từ suy ra: c) Hệ 2: (3) Nhận xét: Tổng qt hóa cơng thức (3) ta có tốn sau: d) Bài tốn 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy đa giác lồi A 1A2 An (n ≥ 3) Trên đoạn thẳng SA1 lấy A1' khơng trùng với A1 Khi ta có: (4) Dựa vào công thức từ (1) → (4), ta xét số tập tính tỉ số thể tích khối đa diện số ứng dụng Sau hệ thống tập phân theo dạng B- Hệ thống tập DẠNG I: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B', D' trung điểm SB SD Mặt phẳng (AB'D') cắt SC C' Tính tỉ số thể tích hai khối chóp chia mặt phẳng (AB'D') Lời giải: S D' C' I B' O' A D O C B Gọi O giao điểm AC BD; I giao điểm SO B'D' Khi AI cắt SC C' Ta có Suy Kẻ OO' // AC' (O'∈SC) Ta có SC'=C'O'=O'C Do Hay Ví dụ 2: Cho khối chóp tứ giác SABCD Gọi (α) mặt phẳng qua AB trung điểm M SC Gọi (β) mặt phẳng qua C vuông góc với SA a) Mặt phẳng (α) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần b) Mặt phẳng (β) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Lời giải: a) Gọi N trung điểm SD Thiết diện cắt hình chóp (α) hình thang ABMN Gọi V, V1, V2 theo thứ tự thể tích khối đa diện SABCD, SABMN, ABMNDC Ta có V Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có Do Vậy S N S M A' D' D I C B' A D O A B B C b) Gọi O tâm đáy Theo giả thiết ta có tam giác SAC đều, gọi A' trung điểm SA, CA' ⊥ SA Trong mặt phẳng (SAC), gọi I giao điểm CA' SO, ta có I trọng tâm tam giác SAC Trong mặt phẳng (SBD), đường thẳng qua I song song với BD cắt SB, SD theo thứ tự B', D' Khi thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (β) A'B'CD' Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có: Nên Vậy Nhận xét: Sau hướng dẫn xong học sinh trình bày ví dụ 2b, tơi khai thác phát vấn thêm học sinh sau: ♦ Hướng 1:(Bổ sung câu c) Biết đáy hình vng cạnh a Tính thể tích khối chóp SA'B'CD' Từ suy thể tích khối đa diện A'B'D'ABCD (Đây nội dung ứng dụng thứ mà trình bày phần tập dạng 2) ♦ Hướng 2: (Bổ sung câu d) Thay kiện góc cạnh bên mặt phẳng đáy 600 góc ϕ Tìm ϕ cho mặt phẳng (β) chia khối chóp thành hai phần: i) Thỏa mãn khối đa diện chứa đỉnh S lần khối đa diện lại ii) Bằng Rõ ràng mức độ tốn khó nhiều Ví dụ 3: Cho điểm M cạnh SA, điểm N cạnh SB khối chóp tam giác SABC cho ; Mặt phẳng (α) qua MN song song với SC chia khối chóp thành hai phần Tìm tỉ số thể tích hai phần Lời giải: S M N B A I E D C Kéo dài MN cắt AB I, kẻ MD // SC (D ∈ AC) DI cắt BC E Vậy tứ giác MNED thiết diện khối chóp cắt (α) Ta có Ta có Gọi , V2 phần lại thì: Khi Ví dụ 4: Trên cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD tứ diện ABCD lấy điểm Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6 theo thứ tự (các điểm không trùng với đỉnh tứ diện) Tìm giá trị lớn tỉ số Trong thể tích khối tứ diện , , , , ABCD Lời giải: A Q1 Q4 Q5 Q6 B D Q3 Q2 C Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có: ; ; ; Dẫn đến Dấu " = '' xảy Q 1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6 theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, AC, BD Vậy GTLN tỉ số Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hình chóp tam giác SABC, có đáy ABC tam giác có trực tâm H cạnh a Gọi I, J, K trung điểm AB, BC, CA M, N, P trung điểm đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích hai khối chóp HMNP SABC Từ tính thể tích khối chóp HMNP Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC có AB = a SA tạo với đáy góc 60 0, gọi D giao điểm SA với mặt phẳng qua BC vng góc với SA a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp SDBC SABC b) Tính thể tích khối chóp SDBC Bài 3: Cho hình chóp SABCD, gọi M, N, E trung điểm AB, AD, SC Chứng minh mặt phẳng (MNE) chia khối chóp thành hai phần tích Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30 Mặt phẳng qua A, vng góc với SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi E F trung điểm B'C' C'D' Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp thành hai hình đa diện (H) (H'), (H) hình đa diện chứa đỉnh A' Tính tỉ số thể tích hai hình đa diện (H) (H') Bài 6: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi O, O' tâm tam giác ABC, A'B'C' P điểm OO' cho Gọi M, N trung điểm A'B' BC a) Dựng thiết diện lăng trụ cắt (MNP) b) Tính tỉ số thể tích hai phần khối lăng trụ chia (MNP) Bài 7: Chứng minh mặt phẳng qua đường thẳng nối hai trung điểm hai cạnh đối tứ diện chia tứ diện thành hai phần tích Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (α) qua AB cắt SC, SD M N Tính để mặt phẳng (α) chia hình chóp thành hai phần tích Bài 9: Cho hình chóp SABCD hình chóp tứ giác đều, đáy hình vng cạnh a, đường cao SH = h Cho mặt phẳng (P) qua BD vng góc với mặt phẳng (SCD) Tính tỉ lệ thể tích hai khối đa diện chia (P) với ϕ góc mặt bên mặt đáy Bài 10: Cho tứ diện DABC G trọng tâm tứ diện Một mặt phẳng thay đổi chứa AG cắt cạnh DB, DC điểm B1, C1 khác D Tìm giá trị nhỏ tỉ số (Ở V1, V thể tích tứ diện DAB1C1, DABC) DẠNG II: TÍNH THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, , AB = BC = a, AD = 2a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA SD Tính thể tích khối chóp SBCNM Lời giải: S M N D A B C Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có ; Suy Nhận xét: ♦ Giáo viên phân tích trước đưa lời giải: Việc tính thể tích khối chóp SBCNM trực cơng thức gặp nhiều khó khăn, dùng cơng thức tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối SBCNM tính thể tích khối chóp SBCA SCAD dễ dàng nhiều ♦Ngoài ra, giáo viên u cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN Ví dụ 2: Cho khối chóp DABC có đáy ABC tam giác cạnh a, DA = 2a DA vng góc với đáy Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên đường thẳng DB DC Tính thể tích khối chóp ABCNM theo a Lời giải: D N A M C B Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có AM, AN đường cao tam giác vuông DAB DAC nên ta có Tương tự Do Suy Mà Vậy Nhận xét: Sau hướng dẫn học sinh trình bày xong ví dụ 2, tơi đưa câu hỏi mở rộng sau: Tính diện tích tam giác AMN Từ suy khoảng cách từ D đến mặt phẳng (AMN) Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP Lời giải: S M A B H D Ta có (1) N C P (2) Nhân vế với vế (1) (2) ta được: Gọi H trung điểm AD ta có SH ⊥ AD mà (SAD) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) Do Vậy Nhận xét: Giáo viên nêu câu hỏi: ♦ Tính diện tích tam giác MNP Từ suy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (MNP) Hoặc hỏi mức độ khó hơn: ♦ Tính khoảng cách từ S A đến mặt phẳng (MNP) ( Đây nội dung ứng dụng mà tơi trình bày phần tập dạng 3) Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng đáy, G trọng tâm tam giác SAC Mặt phẳng (ABG) cắt SC M, cắt SD N Tính thể tích khối đa diện MNABCD biết SA = AB = a, góc tạo AN mặt phẳng đáy 300 Lời giải: S M N G C B A O D Trong (SAC), AG cắt SC M Trong (SBD), BG cắt SD N Do G trọng tâm tam giác SAC nên suy G trọng tâm tam giác SBD M, N trung điểm SC, SD Ta có Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích Ta có, góc AN (ABCD) , N trung điểm SC nên tam giác NAD cân N Suy ra, Từ tính Bài tập áp dụng Bài 1: Cho khối chóp SABC có tam giác ABC vng A, , AB = 2a Hai mặt phẳng (SAB) (SBC) vng góc với đáy, SB = Mặt phẳng (α) qua B vng góc với SC cắt SA, SC D E Tính thể tích khối chóp BACED Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA vng góc với đáy, SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 M điểm nằm 10 cạnh SA cho Mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp SBCNM Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn thẳng AC cho Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = SA = a, AD =, SA vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD SC, gọi I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM Bài 5: Cho khối chóp tứ giác SABCD có trung đoạn (là đường cao mặt bên hạ từ đỉnh hình chóp) 6, góc hai mặt bên đối diện 600 Qua CD dựng mặt phẳng (α) vng góc với mặt phẳng (SAB) cắt SA, SB E F Tính thể tích khối chóp SCDEF DẠNG III: TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ DIỆN TÍCH THIẾT DIỆN Nhận xét: Đơi việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng phương pháp trực tiếp khó khăn Khi ta khắc phục phương pháp gián tiếp thơng qua cơng thức thể tích Khoảng cách độ dài đường cao khối đa diện mà ta biết thể tích diện tích đáy khối đa diện Cũng tương tự vậy, việc tính diện tích đa giác phẳng (diện tích thiết diện) phương pháp trực tiếp gặp nhiều khó khăn Khi giáo viên hướng dẫn học sinh tính gián tiếp thơng qua thể tích khối đa diện mà ta biết chiều cao Sau số ví dụ minh họa Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, , AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Lời giải: 11 S H D A B C Ta có Tam giác SAB vng A AH đường cao nên Vậy Ta có tam giác SCD vng C (do AC2 +CD2 = AD2) nên Vậy Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, AA' = Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM B'C Lời giải: 12 A' C' B' H E A C M B Gọi E trung điểm BB', ta có EM // CB' Khi B'C // (AME) nên d(B'C;AM) = d(B'C; (AME)) = d(C; (AME)) Ta có Gọi H hình chiếu B AE, ta có BH ⊥ AE Hơn BM ⊥ (ABE)⇒ BM ⊥ AE, nên ta AE ⊥ HM Mà , tam giác ABE vuông B nên Tam giác BHM vuông B nên Do Vậy d(C; (AME))= Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác SABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính diện tích tam giác AMN biết (AMN) ⊥ (SBC) Lời giải: 13 S N I M C A O K H B Gọi K trung điểm BC I trung điểm MN Ta có (1) Từ (AMN) ⊥ (SBC) AI ⊥ MN (do tam giác AMN cân A) nên AI ⊥ SI Mặt khác MN ⊥ SI, SI ⊥ (AMN) Từ (1) suy (với O trọng tâm tam giác ABC) Ta có tam giác ASK cân A (Vì AI vừa đường cao, vừa trung tuyến) nên Vậy Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đường cao SH mặt phẳng (α) qua A, vng góc với SC Biết (α) cắt SH H1 mà SH1:SH=1:3 cắt SB, SC, SD B', C', D' a) Tìm tỉ số diện tích thiết diện AB'C'D' diện tích đáy hình chóp b) Cho biết cạnh đáy a Tính thể tích hình chóp SAB'C'D' Lời giải: 14 S C' D' H1 B' C1 C D H A B a) Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có Ta có Trong tam giác SAC kẻ HC1 // AC' (C1∈SC) ⇒ Ta lại có b) Ta có Bài tập áp dụng Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = hình chiếu vng góc A' (ABC) trùng với trung điểm BC Tính khoảng cách từ A đến (BCC'B') Bài 2: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm AB AD, gọi H giao điểm CN DM Biết SH ⊥ (ABCD), SH = a) Tính thể tích khối chóp SCDNM b) Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = , SA = 2a, SA ⊥ (ABCD) Mặt phẳng (α) qua A vng góc với SC Tính diện tích thiết diện cắt hình chóp (α) 15 Bài 4: Cho nửa lục giác ABCD, AB = BC = CD = a, AD = 2a Trên tia Ax⊥(ABCD) lấy điểm S cho SA = h Mặt phẳng (Q) qua A, vng góc với SD cắt SB, SC, SD B', C', D' a) Tính thể tích khối chóp theo a, h b) Chứng minh tứ giác AB'C'D' nội tiếp Tính diện tích tứ giác Bài 5: Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, cạnh bên SA = Một mặt phẳng (P) qua AB vng góc với mặt phẳng (SCD), (P) cắt SC SD C' D' a) Tính diện tích tứ giác ABC'D' b) Tính thể tích khối đa diện ABCDD'C' c) Tính tỉ số thể tích hai phần mà (P) chia khối chóp DẠNG IV: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự A', B', C', D' Chứng minh Lời giải: S D' A' B' A D C' C B Gọi V thể tích khối chóp SABCD Ta có VSABD=VSCBD= VSABC =VSDBC= 16 Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có: (1) Và (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta có (3) Tương tự ta có (4) Từ (3) (4) suy ⇔ Nhận xét: trên: ♦ Giáo viên hướng dẫn học sinh xét kết đặc biệt toán Hệ quả: Nếu (P) qua A trung điểm M SC, cắt SB, SD B', D' ♦ Giáo viên chọn mặt phẳng (P) qua A', B', C' cạnh SA, SB, SC cho A', B', C' chia đoạn SA, SB, SC theo tỉ số α, β, γ Bằng cách chọn hệ số α, β, γ khác giáo viên cho nhiều đề toán khác Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có cạnh đường chéo AC', Một mặt phẳng cắt cạnh AB, AD, AA' theo thứ tự M, N, P cắt AC' Q Chứng minh Lời giải: 17 B C M N A Q D K C' B' P A' D' Đặt AB = AC' = a Gọi K giao điểm AC' với (BDA') ⇒ AK = Xét hình chóp AA'BD Gọi V, V1 thể tích khối chóp AA'BD AMNP Gọi Q giao điểm AC' với (MNP) Ta có Ta có (1), (2), (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: ⇔ Ví dụ 3: Xét tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với đôi Gọi H trực tâm tam giác ABC Mặt phân giác góc hai mặt phẳng (BOA) (HOA) cắt BC D, mặt phân giác góc hai mặt phẳng (COA) (HOA) cắt BC E Chứng minh rằng: Lời giải: 18 O C A H K E D B Đặt OB = b, OC = c Dựng AK ⊥ BC (K ∈ BC)⇒ OK ⊥ BC Ta có OA ⊥ (OBC), (OBC) ∩ (BOA) = OB, (OBC) ∩ (HOA) = OK Dẫn đến góc hai mặt phẳng (BOA) (HOA) Tương tự, góc hai mặt phẳng (COA) (HOA) (Vì góc nhọn) Từ giả thiết suy OD, OE tương ứng đường phân giác Nhận thấy tam giác BOE, COD theo thứ tự cân B C ⇒ BE = OB = b, CD = OC = c Do DE = b + c - BC Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có nên DE Mà nên Dấu " = " xảy b = c, hay tam giác OBC vuông cân O Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hình chóp SABC, G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SG A', B', C', G' Chứng minh Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi E trung điểm SC Mặt phẳng (P) thay đổi chứa AE cắt SB, SD M N Gọi V, V0 thể tích khối chóp SABCD SAMEN Chứng minh 19 Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB.AC.AD = 54297 Lấy O điểm thuộc miền tam giác BCD Từ O kẻ đường thẳng song song với AB, AC, AD, cắt mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) B1, C1, D1 a) Chứng minh b) OB1.OC1.OD1 ≤ 2011 Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Mặt phẳng (P) cắt cạnh SA, SB, SC, SD A', B', C', D' thỏa mãn đẳng thức Đặt thể tích hình chóp SA'B'C' V1 thể tích hình chóp SA'C'D' V2 Chứng minh Yên khánh, tháng năm 2013 Người viết Vũ Thị Diệp 20 ... Do Vậy S N S M A' D' D I C B' A D O A B B C b) Gọi O tâm đáy Theo giả thiết ta có tam giác SAC đều, gọi A' trung điểm SA, CA' ⊥ SA Trong mặt phẳng (SAC), gọi I giao điểm CA' SO, ta có I trọng... để mặt phẳng (α) chia hình chóp thành hai phần tích Bài 9: Cho hình chóp SABCD hình chóp tứ giác đều, đáy hình vng cạnh a, đường cao SH = h Cho mặt phẳng (P) qua BD vng góc với mặt phẳng (SCD)... C' chia đoạn SA, SB, SC theo tỉ số α, β, γ Bằng cách chọn hệ số α, β, γ khác giáo viên cho nhiều đề tốn khác Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có cạnh đường chéo AC', Một mặt phẳng cắt cạnh