chuyen de hinh hoc 12_On thi DH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC TỔ TOÁN - TIN CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trần Anh Tuấn Vĩnh Phúc, năm 2009-2010 Mục lục 1 Vectơ trong không gian 4 1.1 Tâm tỉ cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các vectơ đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Toạ độ của vectơ và điểm 5 2.1 Toạ độ của vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Toạ độ của điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ 6 3.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.1 Biểu thức toạ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Tích có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2.3 ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Phương trình tổng quát 9 5 Phương trình tham số 9 6 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 11 7 Chùm mặt phẳng 11 8 Khoảng cách 12 9 Phương trình tổng quát 14 10 Phương trình tham số và phương trình chính tắc 14 11 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 16 11.1 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 11.2 Hai đường thẳng đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 11.3 Hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 12 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 18 13 Khoảng cách 22 13.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường t hẳng . . . . . . . . . . . . . . . 22 13.1.1 Cách xác định khoảng cách từ A đến d . . . . . . . . . . . . . . . . 23 13.1.2 Công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 13.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 13.2.1 Cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . 23 13.2.2 Công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 14 Một số vấn đề về điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 25 14.1 Hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . 25 14.2 Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 25 14.3 Hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 1 Vectơ trong không gian Khái niệm vectơ và các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoà n toàn giống như trong mặt phẳng. Vì vậy, các phép toán vectơ t rong không gian cũng có các tính chất như trong mặt phẳng. 1.1 Tâm tỉ cự Cho n điểm A 1 , A 2 , . . . , A n và n số a 1 , a 2 , . . . , a n sao cho a = a 1 + a 2 + ···+ a n = 0. Khi đó tồn tại duy nhất điểm G sao cho a 1 −−→ GA 1 + a 2 −−→ GA 2 + ··· + a n −−→ GA n = −→ 0 . (*) Thật vậy, lấy một điểm O cố định ta có (∗) ⇔ a 1 ( −−→ OA 1 − −→ OG) + a 2 ( −−→ OA 2 − −→ OG) + ···+ a n ( −−→ OA n − −→ OG) = −→ 0 ⇔ (a 1 + a 2 + ···+ a n ) −→ OG = a 1 −−→ OA 1 + a 2 −−→ OA 2 + ···+ a n −−→ OA n ⇔ −→ OG = 1 a (a 1 −−→ OA 1 + a 2 −−→ OA 2 + ···+ a n −−→ OA n ). Điểm G được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A 1 , A 2 , . . . , A n gắn với hệ số a 1 , a 2 , . . . , a n . Đặc biệt, khi a 1 = a 2 = ··· = a n = 1, tồn tại duy nhất điểm G sao cho −−→ GA 1 + −−→ GA 2 +···+ −−→ GA n = −→ 0 và G được gọi là t rọng tâm của hệ điểm A 1 , A 2 , . . . , A n . Ví dụ 1. Trong một tứ diện, ba đoạn thẳng nối các trung điểm của ba cặp cạnh đối diện đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạ n. Điểm đồng quy đó được gọi là trọng tâm của tứ diện. a) Chứng minh rằng G là tr ọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi −→ GA + −−→ GB + −→ GC + −−→ GD = −→ 0 . b) Cho tứ diện ABCD và một số dương k. Tìm quỹ tích các điểm M thoả mãn | −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC + −−→ MD| = k. 1.2 Các vectơ đồng phẳng Định nghĩa. Ba vectơ được gọi l à đồng ph ẳng nếu ba đ ườn g thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng. Định lí 1. Cho ba vectơ −→ a , −→ b và −→ c , trong đó −→ a và −→ b không cùng phương. Ta có ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại k và l sao cho −→ c = k −→ a + l −→ b . Định lí 2. Nếu ba vectơ −→ a , −→ b và −→ c không đồng phẳng thì với mọi v ectơ −→ v , tồn tại duy nhất bộ ba số k, l, m sao cho −→ v = k −→ a + l −→ b + m −→ c . Hệ quả. Nếu ba vectơ −→ a , −→ b và −→ c không đồng phẳng thì k −→ a + l −→ b + m −→ c = −→ 0 ⇔ k = l = m = 0. Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 4 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn Chú ý. i) A, B, C thẳng hàng ⇔ −→ AB và −→ AC cùng phương ⇔ ∃k : −→ AB = k −→ AC. B nằm giữa A và C ⇔ ∃k ∈ [0; 1] : −→ AB = k −→ AC. ii) A, B, C, D đồng phẳng ⇔ −→ AB, −→ AC, −−→ AD đồng phẳng. Ví dụ 2. Cho góc tam diện Oxyz. Xét các đường phân giác trong và phân giác ngoài của ba góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng a) Ba đường phân g iá c ngoài nằm trên một mặt phẳng; b) Hai đường phân giác trong và một đường phân giác ngoài nằm trên một mặt phẳng. Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A  B  C  D  . Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh B  C  và CD sao cho B  M = CN. Chứng minh rằng a) AC  ⊥ A  B; b) AM ⊥ BN. Bài tập Bài 1. Tìm quỹ tích các điểm M trong không gian sao cho k 1 MA 2 1 + k 2 MA 2 2 + ···+ k n MA 2 n = k với k 1 , k 2 , . . . , k n và k là những số cho trước. Bài 2. Cho hai vectơ −→ AB = −→ u và −−→ CD = −→ v . Gọi C  và D  là hình chiếu của C và D trên AB. Vectơ −→ v  = −−→ C  D  được g ọ i là hình hciếu của vectơ −→ v trên đường thẳng AB. Chứng minh rằng −→ u . −→ v = −→ u . −→ v  . Bài 3. Cho M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ diện ABCD. Lấy P trên BC sao cho BP = kP C (k cho trước). Tìm Q trên cạnh AD sao cho M, N, P, Q đồng phẳng. Bài 4. Cho hình chóp SABC có SA = a, SB = b, SC = c,  ASB = α,  BSC = β,  CSA = γ và G là trọng tâm của ∆ABC. Tính SG. Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A  B  C  D  . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, B  C  , DD  . a) Chứng minh rằng A  C ⊥ (MNP ); b) Tìm cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng M P và AC  . Bài 6. Cho I là trung điểm của đường cao AH của tứ diện đều ABCD, K là hình chiếu của I trên AD và G là trọng tâm của ∆ABC. Chứng minh rằng G, I và K thẳng hàng. 2 Toạ độ của vectơ và điểm Trong không gian, cho ba trục x  Ox, y  Oy, z  Oz đôi một vuông góc với nhau và −→ i , −→ j , −→ k là các vectơ đơn vị tương ứng trên mỗi trục. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ toạ độ Descartes (Đề - các) vuông góc Oxyz hay hệ toạ độ Oxyz. Điểm O được gọi là gốc toạ độ; các trục Ox, Oy, Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung và trục cao; các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx đôi một vuông góc được gọi là các mặt phẳng toạ độ. Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 5 Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 2.1 Toạ độ của vectơ Với mọi vectơ −→ v , tồn tại duy nhất bộ ba số (x; y; z) sao cho −→ v = x −→ i + y −→ j + z −→ k . Bộ ba số (x; y; z) được gọi là toạ độ của −→ v , kí hiệu là −→ v (x; y; z) hay −→ v = (x; y; z). Cho hai vectơ −→ a (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và −→ b (x 2 ; y 2 ; z 2 ). Ta có: ♥ −→ a ± −→ b = (x 1 ± x 2 ; y 1 ± y 2 ; z 1 ± z 2 ); ♥ k −→ a = (kx 1 ; ky 1 ; kz 1 ), k ∈ R. Chú ý. ♥ −→ a = −→ b ⇔ x 1 = x 2 , y 1 = y 2 , z 1 = z 2 . ♥ −→ 0 = (0; 0; 0). ♥ −→ a và −→ b cùng phương ⇔ ∃k : x 1 = kx 2 , y 1 = ky 2 , z 1 = kz 2 ⇔     y 1 z 1 y 2 z 2     =     z 1 x 1 z 2 x 2     =     x 1 y 1 x 2 y 2     = 0. 2.2 Toạ độ của điểm Với một điểm M trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của vectơ −−→ OM cũng được gọ i là toạ độ của điểm M. Như vậy, nếu −−→ OM = x −→ i + y −→ j + z −→ k hay −−→ OM = (x; y; z) thì bộ ba số (x; y; z ) được gọi là toạ độ của điểm M, kí hiệu là M(x; y; z) hay M = (x; y; z). Cho A = (x A ; y A ; z A ) và B = (x B ; y B ; z B ). Ta có: ♥ −→ AB = (x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ); ♥ −−→ MA = k −−→ MB ⇔              x M = x A − kx B 1 − k , y M = y A − ky B 1 − k , z M = z A − kz B 1 − k (k = 1). Đặc biệt, khi k = −1 ta có: M là trung điểm của AB ⇔          x M = x A + x B 2 , y M = y A + y B 2 , z M = z A + z B 2 . 3 Tích vô hướng và tích c ó hướng của hai vectơ Cho hai vectơ −→ a = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và −→ b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ). Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 6 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 3.1 Tích vô hướng 3.1.1 Biểu thức toạ độ −→ a −→ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 . 3.1.2 Ứng dụng ♥ | −→ a | = √ −→ a 2 =  x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 . ♥ cos( −→ a , −→ b ) = −→ a . −→ b | −→ a |.    −→ b    = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2  x 2 1 + y 2 1 + z 2 1  x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 . Hệ quả. −→ a ⊥ −→ b ⇔ −→ a . −→ b = 0 ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0. ♥ Nếu A = (x A ; y A ; z A ) và B = (x B ; y B ; z B ) thì AB =    −→ AB    =  (x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − z A ) 2 . Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A  B  C  D  cạnh a. Các điểm P và Q được xác định bởi −→ AP = − −−→ AD  và −−→ C  Q = − −−→ C  D. a) Chứng minh đường thẳng P Q đi qua trung điểm của BB  . b) Tính độ dài đoạ n PQ. 3.2 Tích có hướng 3.2.1 Định nghĩa Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ −→ a = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và −→ b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) là vectơ [ −→ a , −→ b ] = −→ a ∧ −→ b =      y 1 z 1 y 2 z 2     ;     z 1 x 1 z 2 x 2     ;     x 1 y 1 x 2 y 2      = (y 1 z 2 − y 2 z 1 ; z 1 x 2 − z 2 x 1 ; x 1 y 2 − x 2 y 1 ). 3.2.2 Tính chất ♥ −→ a và −→ b cùng phương ⇔ [ −→ a , −→ b ] = −→ 0 . ♥ [ −→ a , −→ b ] ⊥ −→ a , [ −→ a , −→ b ] ⊥ −→ b . ♥    [ −→ a , −→ b ]    = | −→ a |.    −→ b    . sin( −→ a , −→ b ). ♥ [ −→ a , −→ b ] = −[ −→ b , −→ a ]. ♥ [ −→ a + −→ b , −→ c ] = [ −→ a , −→ c ] + [ −→ b , −→ c ]; [ −→ a , −→ b + −→ c ] = [ −→ a , −→ b ] + [ −→ a , −→ c ]. ♥ [k −→ a , −→ b ] = [ −→ a , k −→ b ] = k[ −→ a , −→ b ] (k ∈ R). Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 7 Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 3.2.3 ứng dụng ♥ Hình bình hành ABCD có diện tích S ABCD =    [ −→ AB, −−→ AD]    . ♥ Tam giác ABC có diện tích S ABC = 1 2    [ −→ AB, −→ AC]    . ♥ Ba vectơ −→ a , −→ b và −→ c đồng phẳng ⇔ [ −→ a , −→ b ]. −→ c = 0. ♥ Hình hộp ABCD.A  B  C  D  có thể tích V ABCD.A  B  C  D  =    [ −→ AB, −−→ AD]. −−→ AA     . ♥ Tứ diện ABCD có thể tích V ABCD = 1 6    [ −→ AB, −→ AC]. −−→ AD    . Ví dụ 5. Cho ba điểm A(1; 3; −2), B(5; −3; 7) và C(−1; 0; 1). a) Chứng minh A, B và C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính diện tích và độ dài đường cao kẻ từ A của ∆ABC. Bài tập Bài 7. Cho hình chóp SABC với đáy ABC là một tam giác vuông ở C, BC = a, AC = b, SA = h và SA ⊥ (ABC). Gọi M và N là trung điểm của các cạnh AC và SB. a) Tính độ dài đoạn MN. b) Tìm hệ thức giữa a, b và h để MN vuông g óc với AC và SB. Bài 8. Cho ba điểm A(0; 4; 1), B(5; −10; 3) và C(−1; 2; 3 ). a) Chứng minh A, B và C là ba đỉnh của một tam giác. b) Xác định điểm D để tứ giác ABCD là một hình bình hành. c) Tính chu vi và diện tích ∆ABC. d) Tính độ dài đường cao, đường trung tuyến và đường phân g iác tro ng kẻ từ A của ∆ABC. Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A  B  C  D  với A(−1; 1; 2), B(1; 0; 1), D(−1; 1; 0) và A  (2; −1; −2). a) Tính thể tích hình hộp đã cho. b) Tính độ dài đường cao AH của hình hộp đó. Bài 10. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(−2; 1; −1). a) Chứng minh A, B, C và D là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của t ứ diện ABCD. c) Tính thể tích và độ dài đường cao kẻ từ A của tứ diện ABCD. apter Mặt phẳng trong không gian Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 8 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 4 Phương trình tổng quát Mặt phẳng đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) nhận −→ n (A; B; C) = −→ 0 làm vectơ pháp tuyến có phương trình là A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C(z −z 0 ) = 0. Mặt phẳng trong không gian Oxyz có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 = 0). Mặt phẳng này nhận −→ n (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến. Một mặt phẳng cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc = 0 khi và chỉ khi nó có phương trình theo đoạn chắn là x a + y b + z c = 1. Ví dụ 1. Cho điểm M trong góc tam diện vuông Oxyz. Xác định mặt phẳng qua M cắt góc tam diện theo một tứ diện có thể tích nhỏ nhất. Hướng dẫn. Ta coi góc tam diện vuông Oxyz là một hệ toạ độ Descartes vuông góc. Giả sử M có toạ độ M(x 0 ; y 0 ; z 0 ). Xét mặt phẳng α qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C với OA = a, OB = b, OC = c 5 Phương trình tham số Cặp ( −→ u , −→ v ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng α nếu chúng không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trên α. Mặt phẳng α đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) nhận −→ u (a 1 ; b 1 ; c 1 ) và −→ v (a 2 ; b 2 ; c 2 ) làm cặp vectơ chỉ phương có phương t rình tham số là      x = x 0 + a 1 t 1 + a 2 t 2 , y = y 0 + b 1 t 1 + b 2 t 2 , z = z 0 + c 1 t 1 + c 2 t 2 (t 1 , t 2 ∈ R). Khi đó α nhận −→ n = [ −→ u , −→ v ] =      b 1 c 1 b 2 c 2     ;     c 1 a 1 c 2 a 2     ;     a 1 b 1 a 2 b 2      làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là     b 1 c 1 b 2 c 2     (x − x 0 ) +     c 1 a 1 c 2 a 2     (y − y 0 ) +     a 1 b 1 a 2 b 2     (z − z 0 ) = 0. Chú ý. Phương trình mặt phẳng α hoàn toàn được xác định nếu biết: (i) M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ α và vectơ pháp tuyến −→ n (A; B; C). α : A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C(z − z 0 ) = 0. Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 9 Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn (ii) M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ α và cặp vectơ chỉ phương −→ u (a 1 ; b 1 ; c 1 ), −→ v (a 2 ; b 2 ; c 2 ). α :     b 1 c 1 b 2 c 2     (x − x 0 ) +     c 1 a 1 c 2 a 2     (y − y 0 ) +     a 1 b 1 a 2 b 2     (z − z 0 ) = 0. (iii) A(x 1 ; y 1 ; z 1 ), B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) ∈ α và −→ u (a; b; c)  α. Khi đó α đi qua A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) và nhận −→ u (a; b; c), −→ AB(x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1 ) làm cặp vectơ chỉ phương. (iv) A(x 1 ; y 1 ; z 1 ), B(x 2 ; y 2 ; z 2 ), C(x 3 ; y 3 ; z 3 ) ∈ α. Khi đó α đi qua A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) và nhận −→ AB, −→ AC làm cặp vectơ chỉ phương. Chuyển phương trình tổng quát của mặt phẳng sang phương trình tham số Giả sử mặt phẳng α có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 = 0). ♥ Cách 1: Xác định ba điểm A, B, C ∈ α rồi sử dụng chú ý (iv). ♥ Cách 2: Đặt x = f(t 1 ), y = g(t 2 ) rồi từ phương trình tổng quát của α rút ra z = h(t 1 , t 2 ) (Chọn 2 toạ độ và chọn cách đặt một cách thích hợp). Chuyển phương t rình tham số của mặt phẳng sang phương trình tổng quát Giả sử mặt phẳng α có phương trình tham số là      x = x 0 + a 1 t 1 + a 2 t 2 , y = y 0 + b 1 t 1 + b 2 t 2 , z = z 0 + c 1 t 1 + c 2 t 2 (t 1 , t 2 ∈ R) . ♥ Cách 1: Khử các tham số t 1 và t 2 từ các phương trình tr ên. ♥ Cách 2: Mặt phẳng α đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có cặp vectơ chỉ phương −→ u (a 1 ; b 1 ; c 1 ), −→ v (a 2 ; b 2 ; c 2 ) nên có vectơ pháp tuyến −→ n = [ −→ u , −→ v ] =      b 1 c 1 b 2 c 2     ;     c 1 a 1 c 2 a 2     ;     a 1 b 1 a 2 b 2      , và do đó có phương t rình tổng quát là     b 1 c 1 b 2 c 2     (x − x 0 ) +     c 1 a 1 c 2 a 2     (y − y 0 ) +     a 1 b 1 a 2 b 2     (z − z 0 ) = 0. Ví dụ 2. Cho A(1; 3; 2) và B(3; −1; 4). a) Viết phương trình mặt phẳng trung trực α của AB. b) Viết phương trình mặt phẳng qua A, vuông góc với α và vuông góc với mặt phẳng (Oyz). c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với α. Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 10 [...]... và đường cao kẻ từ S bằng h Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI) với I là trung điểm của cạnh SC Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 12 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn Hướng dẫn Từ giả thi t ta có đáy ABCD là một hình vuông; chân đường cao kẻ từ √ a 2 , OS = h Vì vậy, ta có thể S là tâm O của đáy và OA = OB = OC = OD = 2 √ √ a 2 a 2 ; 0; 0), B(0; ; 0) và S(0; 0; h) Khi đó chọn hệ toạ... đường thẳng d c) Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 31 Trần Anh Tuấn Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn Tài liệu [1] Nguyễn Hải Châu, Hướng dẫn ôn tập thi tốt nghiệp trung học phổ thông, Nhà XBGD, Hà Nội, 2009 [2] Trần Văn Hạo, Hình học 12, Nhà XBGD, Hà Nội, 2009 Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 32 . 27 3 Phương p háp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 1 Vectơ trong không gian Khái niệm vectơ và các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoà n toàn giống như trong mặt phẳng. Vì vậy,. gọi l à đồng ph ẳng nếu ba đ ườn g thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng. Định lí 1. Cho ba vectơ −→ a , −→ b và −→ c , trong đó −→ a và −→ b không cùng phương. Ta có ba vectơ −→ a. với mặt phẳng (Oyz). c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với α. Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc 10 Phương pháp toạ độ trong không gian Trần Anh Tuấn 6 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho