Bất đẳng thức kẹp giá trị Nguyễn Anh Tuyến Lớp : Toán (08 - 11) THPT Chuyên Thái Bình Ph-ơng pháp kẹp giá trị ph-ơng pháp hay việc giải số toán liên quan đến số ph-ơng viết xin giới thiệu hai ứng dụng ph-ơng pháp này: chứng minh số không số ph-ơng; giải ph-ơng trình số toán khác I điều kiện số không Số phương Chứng minh tích bốn số nguyên dương liên tiếp số phương Lời giải Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là: a,a + 1,a + 2,a + XÐt A = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) ⇔ A = [ a(a + 3)][ (a + 1)(a + 2)] ⇔ A = (a + 3a)(a + 3a + 2) Ta dỊ dµng nhËn thÊy (a + 3a) < (a + 3a)(a + 3a + 2) < (a + 3a + 1) nªn: A = (a + 3a)(a + 3a + 2) số phương Suy điều phải chứng minh Chứng minh không tồn hai số nguyên dương x y cho x + y vµ y2 + x số phương Lời giải Vì x y có vai trò nên không tính tổng quát ta giả sử x y Khi ®ã ta cã: x < x + y ≤ x + x < ( x + 1) Suy x + y không số phương Vậy ta có điều phải chứng minh Tìm số tự nhiên a để phương trình x − a x + a + = có nghiệm nguyên Lời giải Để phương trình có nghiệm nguyên, điều kiện = a 4a số phương ỉ Nếu a = a = < ỉ Nếu a = = 22, phương tr×nh cã nghiƯm x = 1; x = Ø NÕu a ≥ ta cã: ( ) ∆ > a − ⇔ a − 4a − > a − 2a + ⇔ 2a − 4a − > ⇔ ( a − ) > , lu«n ®óng v× 2a ≥ 6; a - ≥ DÔ thÊy ∆ < ( a ) VËy A không số phương với a v× ( a − 1) < ∆ < ( a ) VËy víi a = 2, phương trình có nghiệm x = 1; x = Nguyễn Anh Tuyến_Toán (08-11)_THPT Chuyên Thái Bình 2 Bất đẳng thức kẹp giá trị k,1953 ) && (Cuộc thi Toán học liên quốc gia Kurscha Cho n, d số nguyên dương cho 2n2 chia hÕt cho d Chøng minh r»ng n2 + d kh«ng thể số phương Lời giải Giả sử 2n2 = kd (k số nguyên dương) 2n2 chia hết cho d Giả sử n2 + d số phương, tức bình phương số nguyên x th× ta cã: 2n x2 = n2 + d = n2 + k 2 2 ⇒ k x = m k + 2n k = n ( k + 2k ) Từ suy ( k + 2k ) bình phương số nguyên (*) Vì k < k + 2k < ( k + 1) nªn ( k + 2k ) bình phương số nguyên, mâu thuẫn với (*) Do giả sử sai Từ ta có điều phải chứng minh (IMO 1987) Cho n số nguyên không nhỏ Chứng minh có tập hợp n điểm mặt phẳng cho khoảng cách hai điểm số vô tỉ tập điểm xác định tam giác không suy biến mà diện tích số hữu tỉ Lời giải Trước hết ta chứng minh bổ đề: Nếu M không số phương M số vô tỉ Thật vậy, ta giả sử M số hữu tỉ Vì M không số phương nên ta tìm số nguyên p cho M chia hÕt cho p 2a +1 , nhng M kh«ng chia hÕt cho p 2a + , víi a ≥ M M N = a số hữu tỉ 2a p p Do tồn số nguyên tố q cho N chia hÕt cho q, nhng N kh«ng chia hÕt cho q2 r Cho N = , víi (r, s) = 1, ta cã: r = s N (*) s Vì N chia hết cho q, nên r chia hết cho q; mà q số nguyên tố nªn r chia hÕt cho q, suy r chia hÕt cho q KÕt hỵp víi (*) cã s chia hÕt cho q; mµ q lµ sè nguyªn tè nªn s chia hÕt cho q VËy r s có thừa số chung, mâu thuẫn với (r, s) = Suy điều giả sử sai Như bổ đề chứng minh Bây ta giải toán Trong mặt phẳng ta gọi xn điểm có toạ độ (n, n2) với n = 1, 2, 3, Ta sÏ chøng minh r»ng khoảng cách hai điểm số vô tỉ, tam giác xác định điểm chúng số hữu tỉ khác Lấy n > m Ta có x n x m độ dài cạnh huyền tam giác có hai cạnh vuông góc Ta đặt: N = n m n − m = ( n − m )( n + m ) Do ®ã, x n − x m = ( n − m ) + ( n + m ) Ta l¹i cã: ( n + m ) < ( n + m ) + < ( n + m + 1) = ( n + m ) + + ( n + m ) Nªn ( n + m ) + số phương Do ®ã ( n + m) 2 + số vô tỉ Nguyễn Anh Tuyến_Toán (08-11)_THPT Chuyên Thái Bình CHVF- wWw.chuyenhungvuong.net-Din n HSSV Chuyờn Hựng Vng Bất đẳng thức kẹp giá trị Để tiếp tục giải toán, ta lấy số a, b, c cho a < b < c Gäi B lµ ®iĨm (b, a2), C lµ ®iĨm (c, a2) vµ D điểm (c, b2) Ta có: Sx a x b x c = Sx a x cC − Sx a x b B − Sx b x c D − Sx b DCB = (c − a ) (c − a2 ) − (b − a) (b − a2 ) − (c − b) (c 2 số hữu tỉ Ta có điều phải chứng minh − b2 ) − ( c − b ) ( b2 a ) (T3/372THTT) Tìm số nguyên x, y thoả mãn điều kiện n x + n x + + n x = y (1) (gồm m dấu căn) với m, n số tự nhiên lớn Lời giải ỉ Nhận xÐt nÕu (1) cã nghiƯm ©m (x; y) (x < 0; y < 0) (n lẻ) (-x; -y) nghiƯm d¬ng cđa (1) Ø Ta cã (x; y) = (0; 0) mét nghiƯm cđa (1) Ø NÕu 1) cã nghiƯm d¬ng x > 0; y > (2) Râ rµng x < y n Ta cã: (1) ⇔ n x + n x + + n x = y n − x (m – dÊu căn) Vì x, y nguyên dương nên hai vế (2) số nguyên dương Lập luận tương tự dẫn đến Đặt a = n n x + n x vµ x,b= n n x lµ hai sè nguyên dương x + x a, b N* n Do n > nªn ( a + 1) > a n + a > a n ⇒ a + > n a n + a > a , tøc lµ a + > b > a (3) Rõ ràng (3) không xảy với a, b nguyên dương Vậy (1) nghiệm nguyên dương Do theo nhận xét (1) nghiƯm ©m Nh vËy: (x; y) = (0; 0) nghiệm cần tìm Nhận xét: Bi toán giải với n = n Bài tập vận dụng Chøng minh r»ng sè n + 2n + 2n + 2n + không số phương Chứng minh tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp không số phương Chứng minh phần nguyên bËc cđa tÝch sè tù nhiªn liªn tiÕp b»ng n + 7n + , ®ã n số bé số cho (Từ toán này, ta suy mệnh đề: Tích số tự nhiên liên tiếp luỹ thừa bậc số nguyên) 10 (Đề đề nghị Olympic 30 4, 2003) 1 Tìm tất số hữu tỉ dương x, y cho x + y + số nguyên x y 11 ( Balkan , Sennior , 1995) Cho hai sè nguyên dương m, n thoả mãn m > n m + n số chẵn Chứng minh nghiệm phương trình x ( m − m + 1)( x − n − 1) − ( n + 1) = ®Ịu số nguyên, không số phương Nguyễn Anh Tuyến_Toán (08-11)_THPT Chuyên Thái Bình CHVF- wWw.chuyenhungvuong.net-Din n HSSV Chuyờn Hựng Vng Bất đẳng thức kẹp giá trị II Giải phương trình Giải phương trình nghiệm nguyªn: x + x + = y Lời giải Vì x với x nªn: ( x + x + 1) − ( x + 1) < x + x + ≤ ( x + x + 1) + x ⇔ ( x ) < x + x + ≤ ( x + 1) ⇔ ( x ) < y ≤ ( x + 1) 2 Do ®ã: y = ( x + 1) ⇔ x + x + = ( x + 1) ⇔ x = ⇔ x = 2 Suy y = hc y = - NghiƯm nguyên x, y cần tìm (0; 1); (0; - 1) (Bài 1(61) TTT2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 9x + 6x = y3 Lời giải Ta cã (1) ⇔ ( 3x + 1) = y3 + (1) (2) V× ( 3x + 1) ≥ nªn y ≥ −1 Ø NÕu y = -1 3x + = 0, loại Ø NÕu y = th× x = Ø NÕu y = th× ( 3x + 1) = , lo¹i Ø XÐt y ≥ Ta cã: ( ) ⇔ ( 3x + 1) = ( y + 1) ( y − y + 1) Đặt d = ( y + 1, y − y + 1) Ta cã: (( y + 1) − ( y 2 ) − y + 1) M d , hay 3yM d Suy ( ( y + 1) − 3y )M d , hay 3M d VËy d = hc d = y + = a Theo (1) th× y3 M nªn yM , suy d = 1.VËy cã số tự nhiên a, b để: y − y + = b Víi y ≥ th× y − 2y + < y − y + < y nªn ( y − 1) < b < y , vô lí Tóm lại, phương trình cho có nghiƯm nhÊt lµ (x; y) = (0; 0) Tìm p P để tổng ước tự nhiên p4 số phương Lời giải Số p4 có ước tự nhiên 1, p, p 2, p3, p4 Gi¶ sư + p + p3 + p = n víi n lµ sè tù nhiªn ( 2n )2 = 4n = + 4p + 4p3 + 4p > 4p + 4p3 + p = ( 2p + p )2 Khi ®ã: 2 ( 2n ) = 4n = + 4p + 4p3 + 4p < 4p + p + + 4p3 + 8p + 4p = ( 2p + p + ) Suy ra: ( 2p + p ) < ( 2n ) < ( 2p + p + ) 2 ⇒ ( 2n ) = ( 2p + p + 1) ⇒ 4n = 4p + 4p3 + 5p + 2p + 2 Mặt khác: 4n = + 4p + 4p3 + 4p nªn p − 2p − = ⇒ p = Vậy p = thoả mãn đề Nguyễn Anh Tuyến_Toán (08-11)_THPT Chuyên Thái Bình CHVF- wWw.chuyenhungvuong.net-Din n HSSV Chuyờn Hựng Vng Bất đẳng thức kẹp giá trị Chứng minh với số tự nhiªn n ta cã: n + n + = 4n + Lêi gi¶i Tríc hÕt ta chøng minh n + n + < 4n + ThËt vËy, (1) ⇔ (1) n + n < 2n + ⇔ 4n + 4n < 4n + 4n + (luôn đúng) Từ (1) suy n + n + ≤ 4n + Gi¶ sư n + n + < 4n + Khi tồn số nguyên dương m để: n + n + < m ≤ 4n + ⇔ n ( n + 1) < m − ( 2n + 1) ≤ 2n + ⇒ ( 2n ) < 4n ( n + 1) < m − ( 2n + 1) ≤ 4n ( n + 1) + = ( 2n + 1) 2 ⇒ m − ( 2n + 1) = 2n + ⇒ m = ( 2n + 1) Suy m số chẵn, m có dạng m = 2m1 ⇒ 2m12 = 2n + (m©u thuÉn) VËy n + n + = 4n + víi mäi sè tù nhiªn n Nhận xét : Vì phần nguyên giá trị bị kẹp nên có nhiều toán làm hiểu nhầm sử dụng phương pháp kẹp giá trị Bài tập áp dụng Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) x + 2x + 2x + x + = y b) x + x = y + y3 + y + y c) x − y + z + 2x x + 3x + 4z + = d) x + y + z + 2xy + 2x ( z − 1) + 2y ( z + 1) = t (x, y, z, t lµ số nguyên dương) Chú ý: viết trình bày toán liên quan đến số phương, bất đẳng thức kẹp giá trị để giải nhiều dạng phương trình khác liên quan đến lập phương số, tích hai sè nguyªn… CHVF- wWw.chuyenhungvuong.net-Diễn đàn HSSV Chuyên Hùng Vương Nguyễn Anh Tuyến_Toán (08-11)_THPT Chuyên Thái Bình Bất đẳng thức kẹp giá trị III Một số toán khác (Bài 1(63) TTT2) Tìm số nguyên dương x y cho số x2 + 3y y2 + 3x số phương Lời giải Gi¶ sư x ≥ y Ta cã: x < x + 3y ≤ x + 3x < ( x + ) Suy ra: x + 3y = ( x + 1) ⇒ 3y = 2x + Do 3y lẻ dẫn đến y lẻ Đặt y = 2z + ( z ∈ N ) th× x = 3z + Ø NÕu z = th× x = y =1 Khi ®ã: x2 + 3y = y2 + 3x =22, tho¶ m·n 2 Ø NÕu z > V× ( 2z + ) < 4z + 13z + < ( 2z + ) nªn y + 3x = 4z + 13z + = ( 2z + 3) ⇔ z = Khi x = 16 y = 11 Vậy phương trình có nghiệm (x, y) (1, 1); (16, 11) Tìm tất hàm số tăng f : N* N* thoả mãn hai điều kiện sau: 1) f ( 2n ) = n + f ( n ) ∀n ∈ N* 2) NÕu f(n) lµ số phương n số phương Lời giải Giả sử f hàm số thoả mãn yêu cầu toán Do f tăng thực nªn víi mäi n ∈ N* , ta cã: f ( n ) < f ( n + 1) < < f ( 2n ) = f ( n ) + n Do f ( n ) , f ( n + 1) , , f ( 2n ) số nguyên dương mà f ( 2n ) − f ( n ) = n nªn suy ra: f ( n + 1) = f ( n ) + 1∀n = 1, 2, (1) Đặt f(1) = a Dựa vào (1) suy ra: f ( n ) = a + n − (2) Trong (2) thay n bëi a + a + , ta cã: f ( a + a + ) = a + a + a + − = ( a + 1) Do ( a + 1) số phương, nên từ giả thiết 2) suy a + a + số phương Mặt khác: a < a + a + ≤ ( a + 1) , nªn a + a + = ( a + 1) ⇒ a = 2 Thay lại vào (2) ta có: f ( n ) = n Đảo lại , hàm số f ( n ) = n thoả mãn yêu cầu đề Vậy f(n) = n hàm số thoả mãn yêu cầu đề (Cuộc thi Toán sinh viên Mĩ Canađa) Với số nguyên dương n, ta định nghĩa d(n ) = n m ,trong m số nguyên dương lớn cho m n Cho số nguyên dương b0 , ta thiết lËp d·y b , b1 , , b k , víi b k +1 = b k + d (b k ) Những giá trị b0 dãy có bi số với i đủ lớn? Lời giải Trả lời: b0 số phương Thật vậy, bk số phương d(b k ) = , b k +1 = b k + d(b k ) = b k dãy có số hạng số kể từ vị trí thứ k Còn bk không số phương có số m để b k nằm giá trị m2 (m + 1)2, ®ã ta cã thĨ viÕt b k = m + r ( ≤ r ≤ 2m ) Suy ra, b k +1 = m + 2r Nhng ta cã m < b k +1 < (m + 2) vµ b k +1 ≠ (m + 1) , ®ã sè bk+1 không số phương( lớn bk) Từ suy câu trả lời 2 Nguyễn Anh Tuyến_Toán (08-11)_THPT Chuyên Thái Bình CHVF- wWw.chuyenhungvuong.net-Din n HSSV Chuyờn Hựng Vng Bất đẳng thức kẹp giá trị Bên cạnh toán trên, ta có toán cụ thể khác: Tìm tất số tự nhiên có bốn chữ số A = abcd , thoả mãn hai điều kiện sau: 1) abd = ( b + d − 2a ) 2) A + 72 số phương Hướng dẫn Vì a 1; b ≤ 9; d ≤ nªn b + d – 2a, ®ã ( b + d − 2a ) ≤ 162 KÕt hỵp víi 1) suy ra: 102 ≤ abd ≤ 162 (1) Do A + 72 số phương nên chữ số tận sè sau (2) {0,1, 4,5, 6, 9} V× lÏ ®ã d ∉ {0,1,5, 6} Tõ (1) vµ (2) suy ra: abd ∈ {122 ,132 } + NÕu abd = 122 = 144 (loại, 144 ( + − ) ) + Nếu abd = 132 = 169 (thoả mãn, 169 = ( + ) ) Đặt A + 72 = n2 (3) Do d = ⇒ A lỴ ⇒ n lỴ Tõ (3) suy ra: 1609 + 72 ≤ A + 72 = 16c9 + 72 ≤ 1699 + 72 ⇒ 1681 ≤ A + 72 ≤ 1771 ⇒ 412 ≤ n ≤ 432 (4) Do n lẻ, kết hợp với (4) suy n = 41 VËy A = 1609 lµ sè cần tìm Tìm tất số nguyên dương N có ba chữ số cho cộng chữ số N với N với số viết chữ số N theo thứ tự ngược lại, ta số phương Tìm số phương dạng aabc (a > c; b lẻ) (IMO 1997) Cho số nguyên dương a, b tho¶ m·n a + b chia cho a + b có thương q số dư r Hãy xác định tất cặp (a, b) tho¶ m·n q + r = 1977 Bài tập vận dụng (T1/369 TH&TT) Với số tự nhiên n lớn 6, gọi An tập hợp số tự nhiên nhỏ n không nhỏ n Hãy tìm cho An số phương Với n số nguyên dương bất kì, ta viết n = m + r , với m số nguyên r < Dĩ nhiên m r phô thuéc n VÝ dô, nÕu n = 20, n = + 0, 4721 , tøc m = 4; r = 0,4721 Chøng minh r»ng n bội m n số phương, n nhỏ số phương đơn vị, n tích hai số nguyên liên tiếp 10 Tìm bốn số tự nhiên có tính chất : Bình phương số chúng cộng với ba số lại số phương 11 (Đề đề nghị Olympic 30 4, 2007) Cho số nguyên x1 , x , , x n số nguyên thoả mãn: x12 + x 2 + + x n + n ≤ ( 2n − 1)( x1 + x + + x n ) + n (1) Chøng minh r»ng: S = x1 + x + + x n + n + kh«ng số phương 12 (Vô địch Toán Canađa, 1998) Cho số nguyên dương m Xét dãy {a n }(n 0) xác định bởi: a = 0; a = m; a n +1 = m a n − a n − 1, n ≥ Chøng minh cặp thứ tự (a, b) số nguyên không âm, với a b ,là nghiệm phương a + b2 trình = m vµ chØ (a , b ) = (a n , a n +1 ) , víi n ≥ ab + 13 (APMO 1999) Xác định tất cặp số nguyên (a, b) cho hai số a2 + 4b b2 + 4a số phương Nguyễn Anh Tuyến_Toán (08-11)_THPT Chuyên Thái Bình ... wWw.chuyenhungvuong.net-Din n HSSV Chuyờn Hựng Vng Bất đẳng thức kẹp giá trị II Giải phương trình Giải phương trình nghiệm nguyªn: x + x + = y Lời giải Vì x với x nªn: ( x + x + 1) − ( x + 1) < x + x +... sè tù nhiªn n Nhận xét : Vì phần nguyên giá trị bị kẹp nên có nhiều toán làm hiểu nhầm sử dụng phương pháp kẹp giá trị Bài tập áp dụng Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) x + 2x + 2x + x... dương) Chú ý: viết trình bày toán liên quan đến số phương, bất đẳng thức kẹp giá trị để giải nhiều dạng phương trình khác liên quan đến lập phương số, tích hai sè nguyªn… CHVF- wWw.chuyenhungvuong.net-Diễn