PTMP

§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I- VÉCTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG 1- Định nghĩa: α α α r r r ( ). 0 ( ) ( ). Cho mặt phẳng Nếu vectơ n khác và có giá vuông góc với mặt phẳng thì n được gọi là vectơ pháp tuyến của mp  Chú ý: ≠ r r . , ( 0) .Nếu n làvtpt của một mặt phẳng thì k n k cũng làvtpt của mặt phẳng đó 2- Tích có hướng của hai vectơ a) Bài tốn: α α α = = r r 1 2 3 1 2 3 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) và hai vectơ không cùng phương ( ; ; ); ( ; ; ), có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng ( ). Chứng minh rằng mp( ), nhận vecctơ a a a a b b b b = − − − − r 2 3 3 2 3 1 3 1 1 3 1 2 2 1 n ( ; ; ) làm vectơ pháp tuyến.a b a b a b a b a b a b a b §2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG b) Định nghĩa: r b r a r n α a' b' •   = ∧   = ∧ = 1 2 3 1 2 3 Cho véctơ a =(a ; a ; a ); b =(b ; b ; b ).Tích có hướng của hai vectơ a vàb, kí hiệu là n a b hoặc n = a,b được xác đònh bởi biểu thức sau: a a a a a a n a b ; ; b b b b b 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 ur ur r r r r r ur r r r r r ( )   = − − − −  ÷  ÷   a b a b ;a b a b a b ;a b a b b 2 3 3 2 3 1 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2 ( ) α •Vectơ n la ø vectơ pháp tuyến của mặt phẳng r = − + − + − − + − + − = = r r r r 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1 1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3 3 1 2 3 2 1 : . ( ) ( ) ( ) = 0 , : . 0 Tacó a n a a b a b a a b a b a a b a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b Tươngtự b ûi n Gia §2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1 Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm tọa độ của một vtpt của mp(ABC) ( ) ( )  = −   = −   Giải : AB ; ; , Ta có: AC ; ; 2 1 2 12 6 0 uur uuur II- PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG   − − ⇒ = ∧ =  ÷ − −   n AB AC ; ; 1 2 2 2 2 1 6 0 0 12 12 6 r uur uuur ( ) ( ) = =; ; ; ;12 24 24 12 1 2 2 ( ) =Vậy vectơ pháp tuyếncủa mp(ABC)là n ; ;1 2 2 r :Giải 0 0 0 0 α α ∈ ⇔ ⊂ ⇔ ⊥ ⇔ = r uuuuur r uuuuur ( ) ( ) .M M M n M M n M M 0 0 0 0⇔ − + − + − =( ) ( ) ( )A x x B y y c z z 0 0 0 0 = − − − uuuuur ( ; ; )Ta có M M x x y y z z α n r M 0 M α α = 0 Trong không gian Oxyz cho mp ( ) đi qua điểm M (x ; y ;z ) và nhận vectơ n (A;B ;C) làm vtpt. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) thuộc mp ( Bài toán1 ) là : A( x : x - 0 0 0 r + − + − = 0 ) B(y y ) C(z z ) 0 0 0 §2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 2 ≠ = r 2 2 2 Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x; y; z) thỏa mãn phương trình Ax + By + Cz + D = 0 ( với A +B +C 0) là một mặt phẳng nhận vectơ n ( ; ; ) làm : vecA B Bà oa C i t ùn tơ pháp tuyến. Giải 0 0 0 0 0 0 0 0+ + + =( ; ; )Lấy điểm M x y z saocho Ax By Cz D 0 α = r ( ) ( ; ; ) .Gọi là mpđi quiểm M vànhận n A B C làmVTPT 0 0 0 0 α ∈ ⇔ − + − + − = : ( ) ( ) ( ) ( ) Tacó M A x x B y y C z z 0 0 0 0 0 0 0 0 ⇔ + + − + + = ⇔ + + + = = − + + ( ) , ( ) Ax By Cz Ax By Cz Ax By Cz D với D Ax By Cz Từ đó, ta có định nghĩa sau §2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Nhận xét α ≠ r r r 0 0 0 0 n = (A; B; a)Nếu mặt phẳng ( ) có PTTQ là Ax + By +Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là b) PT mặt phẳng đi qua điểm M (x ; y ; z ) nhận vectơ n = (A; B ; C) 0 làm C) VTP − + − + − = 0 0 0 T có pt là: A(x x ) B( ) C(z z . ) 0y y 2 Hãy tìm một VTPT của mp (α): 4x – 2y – 6z + 7 = 0 ? 3 Lập PTTQ của mp (MNP) với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1) ? 1- Định nghĩa Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C khơng đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng qt của mặt phẳng. (2; 1; 3)n = − − r §2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG  =  ⇒  =     = ∧ = = −  ÷   ⇔ uuuur uuur r uuuur uuur : (3; 2; 1) ( ) : (4; 1; 0) 2 1 1 3 3 2 ; ; (2;4; 5) 1 0 0 4 4 1 ( ) : 2(x - 1) + 4(y - 1) - 5(z -1)= 0 2x + 4y - 5z - 1 = 0 Tacó MN VTPTcủa mặt phẳng MNP là MP n MN MP Do đó pt của mặt phẳng MNP là Giải §2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 2- Các trường hợp riêng (SGK) Trong khơng gian Oxyz, cho mp (α): Ax + By + Cz + D = 0 a) D = 0, (α): Ax + By + Cz = 0 b) Nếu một trong 3 hệ số bằng 0, ta có các trường hợp sau c) Nếu hai trong 3 hệ số A, B, C bằng 0. Ta có các trường hợp sau d)Nếu cả bốn hệ số A, B, C, D đều khác 0, ta có C B A ( α ) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0), B( 0; b; 0), C( 0; 0; c). Ta gọi pt của ( α ) là pt theo đoạn chắn. z yO x c b a α + + = x y z a b c ( ) : 1 §2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; 3; 0), P(0; 0; 4). Hãy viết phương trình mp (MNP) ? Giải + + = ⇔ + + − = y z x y z Theo pt của mặt phẳng theo đoạn chắn ta có pt của mp (MNP) là: x 1 6 4 3 12 0 2 3 4 CỦNG CỐ α = ∧ = = ∧ r uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur AB AC AB AC AB BC 1. Mặt phẳng ( ) đi qua các điểm A, B, C không thẳng hàng, có một VTPT là: a. n b. n . c. n d. cả a, c đều đúng r 2. Vectơ n = (-2; 4; 1) là một VTPT của mp nào sau đây? a. -2x + 4y -z +1 = 0 b. 2x - 4y + z - 1 = 0 c. -4x + 8y + 2z - 4 = 0 c. cả c, d α = − r 3. Mặt phẳng ( ) đi qua điểm A(1; 2; -3) và nhận n (2; 1;1)làm VTPT có pt là: a. 2x - y + z + 3 = 0 b. x +2y - 3z + 5 = 0 c. -2x + y - z + 5 = 0 d. x + 2y - 3z + 3 = 0 §2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( α ) song song hoặc chứa trục Oy ( α ) song song hoặc chứa trục Oz ( α ) song song hoặc chứa trục Ox ( α ) đi qua gốc tọa độ Ax + By + D = 0 Ax + Cz + D = 0 By + Cz + D = 0 Ax + By + Cz = 0 x α O y z z y O k x α α x J O y z z y O i α x C = 0 B = 0 A = 0 D = 0 E