Bai 2. PTMP (tiet 1-2)

§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I- VÉCTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG 1- Định nghĩa:   Cho mặt phẳng ( ) Nếu vectơ n khác có giá vuông góc với  mặt phẳng ( ) n gọi vectơ pháp tuyến mp ( )  Chú  ý:  Nếu n vtpt mặt phẳng k n, (k 0) vtpt mặt phẳng 2- Tích có hướng hai vectơ a) Bài tốn: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) hai vectơ không phương   a (a1; a2 ; a3 ); b (b1; b2 ; b3 ), có giá song song nằm mặt phẳng ( ) Chứng minh mp( ), nhận vecctơ  n (a2 b3  a3 b2 ; a3 b1  a3b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1 ) làm vectơ pháp tuyến  §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Giải :  Tacó : a.n a1 (a2b3  a3b2 )  a2 (a3b1  a1b3 )  a3 (a1b2  a2b1 ) = a1a2 b3  a1a3b2  a2 a3b1  a2 a1b3  a3a1b2  a3a2 b1 0  Tươngtự, b.n 0 b) Định nghĩa: a' α n  a b'  b      Cho véctơ a =(a1 ; a2 ; a3 ); b =(b ; b2 ; b3 ).Tích có hướng hai vectơ a vàb,       kí hiệu n a  b n =  a,b  xác định biểu thức sau:       a2 a3 a3 a1 a1 a2  n a  b  ; ;  a b  a b ;a b  a b  a b ;a b  a b  b b b b b b   3 3 1 2   3 1  Vectơ n vectơ pháp tuyến mặt phẳng     §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1 Trong khơngTRÌNH gian Oxyz, cho ba điểm -1;PHẲNG 3), B(4; 0; 1), II- PHƯƠNG TỔNG QUÁT CỦAA(2; MẶT C(-10; 5; 3) Hãy tìm tọa độ vtpt mp(ABC) Bà i toán1: Giải :  Trong khô Oxyz    ( ) ñi AB ng 2gian ; 1;   1qua  điể m M (x10 ; y0 ; z0 )  ,  cho mp ; ; Ta coù:      n AB  AC  0  12  12   12 ;(A; 0  B ;C) làm vtpt. Chứng minh rằng nhậnAC vectơ n ;  12; 24 ; 24  12  1; 2;  điều kiện cần đủ để điểm M(x; y; z) thuộc mp ( ) : Vậy vectơ pháp tuyến mp(ABC)laø n  1; 2;  A(x - x0 )  B(y  y0 )  C(z  z0 ) 0  n Giải :  Ta có M0 M ( x  x0 ; y  y0 ; z   z ) M  ( )  M0 M  ( )  n  M0 M  n.M0 M 0 M  A( x  x0 )  B( y  y0 )  c(z  z0 ) 0  M0  §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Bài toán : Trong không gian Oxyz, chứng minh rằn g tập hợp điểm M(x; y; z) thỏa mãn phương trình Ax + By + Cz + D = ( với A +B2 +C2 0)  mặt phẳng nhận vectơ n ( A; B; C) làm vectơ pháp tuyến Giải Lấy điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) cho Ax0  By0  Cz0  D 0  Goïi ( ) mp qua điểm M0 vànhận n ( A; B; C ) làm VTPT Ta có : M  ( )  A( x  x0 )  B( y  y0 )  C (z  z0 ) 0  Ax  By  Cz  ( Ax0  By0  Cz0 ) 0  Ax  By  Cz  D 0, với D  ( Ax0  By0  Cz0 ) Từ đó, ta có định nghĩa sau  §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1- Định nghĩa Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, A, B, C không đồng thời 0, gọi phương trình tổng qt mặt phẳng Nhận xét a)Nếu mặt phẳng ( ) có PTTQ Ax + By +Cz + D =  có VTPT laø n = (A; B; C)   b) PT mặt phẳng qua điểm M (x ; y ; z ) nhận vectơ n = (A; B; C)  làm VTPT có pt laø: A(x  x )  B( y  y0 )  C(z  z ) 0 2 2 3 3 Hãy tìm VTPT mp (α): 4x – 2y – 6z + = ?  n (2;  1;  3) Lập PTTQ mp (MNP) với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1) ?  §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG  Giải Ta có : MN (3; 2; 1)     VTPTcủa mặt phẳng ( MNP ) là: MP (4; 1; 0)      2 1 32 n MN  MP  ; ;  (2; 4;  5) 1 0 41  Do pt mặt phẳng ( MNP ) laø : 2(x - 1) + 4(y - 1) - 5(z -1) =  2x + 4y - 5z - =  §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 2- Các trường hợp riêng (SGK) Trong không gian Oxyz, cho mp (α): Ax + By + Cz + D = a) D = 0, (α): Ax + By + Cz = b) Nếu hệ số 0, ta có trường hợp sau c) Nếu hai hệ số A, B, C Ta có trường hợp sau d)Nếu bốn hệ số A, B, C, D khác 0, ta có () cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz điểm A(a; 0; 0), B( 0; b; 0), C( 0; 0; c) Ta gọi pt () pt theo đoạn chắn z C c O y b A a x B x y z ( ) :   1 a b c  §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CỦNG Ví dụ:CỐ Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; 3; 0), P(0; 0; 4) trìnhcámp (MNP) ? C không thẳng hàng, có VTPT là: Hãy Mặt viết phẳnphương g ( ) qua c điể m A, B,             a n AB  AC b n AB AC Giải c n AB  BC d caû a, c Theo pt mặt phẳng theo đoạn chắn ta có pt mp (MNP) là: Vectơ n = (-2; 4; 1) VTPT củ a mp sau đây? x y z  -z1+1  =6 x0 y  3z  12 b 2x - 4y + z - = a -2x + 4y c -4x + 8y + 2z - = c caû c, d  Mặt phẳng ( ) qua điểm A(1; 2; -3) nhận n (2;  1;1) làm VTPT có pt laø: a 2x - y + z + = c -2x + y - z + = b x +2y - 3z + = d x + 2y - 3z + =  §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG z D=0 z A=0  O O y  Ax + By + Cz = () qua gốc tọa độ x i By + Cz + D = () song song chứa trục Ox x z y z B=0  E C=0  O J x y O Ax + Cz + D = () song song hoaëc chứa trục Oy  k x y Ax + By + D = () song song chứa trục Oz §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A= B=0 C 0 z z A=C=0 D C B 0   O O y x Cz + D = () song song trùng với mp (Oxy) z x By + D = A 0  -  D A y () song song trùng với mp (Oxz) B=C=0 O D B y Ax + D = x () song song trùng với mp (Oyz)