Đang tải... (xem toàn văn)
260 he phuong trinh trong cac de thi tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 260 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CÁC ĐỀ THI 1/ Giải phương trình: x x 3x 2 x2 5x 16 Giải: Đặt t x x > (2) x 2/ Giải bất phương trình: 21 x x 2x Giải: x 1 log 3/ Giải phương trình: 0 ( x 3) log4 ( x 1)8 3log8 (4 x) Giải: (1) ( x 3) x x x = 3; x = 3 4/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 0; : m x2 x x(2 x) (2) t2 (1 t 2),do x [0;1 3] t 1 t 2t t2 Vậy g tăng [1,2] Khảo sát g(t) với t g'(t) t 1 (t 1)2 Giải : Đặt t x2 2x (2) m Do đó, ycbt bpt m 5/ Giải hệ phương trình : t2 2 có nghiệm t [1,2] m max g(t ) g(2) t 1 t1;2 x4 x2 y2 y 2 x y x y 22 (2) ( x 2)2 ( y 3)2 x2 u Đặt 2 y v ( x 4)( y 3) x 20 Giải: (2) u v u u v v u.v 4(u v) x x 2 x x ; ; ; y y y y Khi (2) 6/ 1) Giải phương trình: 5.32 x 1 7.3x 1 6.3x 9x 1 (1) 2) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm phân biệt: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ( a) log ( x 1) log ( x 1) log3 log ( x2 x 5) m log( x2 2 x5) (b) Giải: 1) Đặt t 3x (1) 5t 7t 3t 1 x log3 ; x log3 5 2) log ( x 1) log ( x 1) log (a) log ( x x 5) m log ( x2 x 5) (b) Giải (a) < x < Xét (b): Đặt t log2 ( x2 x 5) Từ x (1; 3) t (2; 3) (b) t 5t m Xét hàm f (t ) t 5t , từ BBT m 25 ; 6 8 x y 27 18 y 2 4 x y x y 7/ Giải hệ phương trình: 3 (2 x)3 18 y Giải: (2) Đặt a = 2x; b = (2) y 2 x x y y a b ab 3 3 ; ; , 1 8/ Giải bất phương trình sau tập số thực: x 3 x 2x Giải: Với 2 x : x 3 x 0, x , nên (1) 5 Với x : (1) x x x x 2 1 5 Tập nghiệm (1) S 2; 2; 2 2 x y ( y x) y 9/ Giải hệ phương trình: (x, y ) ( x 1)( y x 2) y Hệ cho có nghiệm: (1) x2 y x2 x2 1 x 1 x 2 y Giải: (2) y y y5 x ( y x 2) y x 1 y 10/ Giải bất phương trình: Giải: BPT Đặt log 22 x log x (log x 3) log 22 x log x2 5(log x 3) (1) t = log2 x (1) t 2t 5(t 3) (t 3)(t 1) 5(t 3) t 1 0 x log x 1 t 1 t 3 t 3 log x (t 1)(t 3) 5(t 3) 8 x 16 2 2 11/Giải phương trình: log ( x 1) ( x 5)log( x 1) 5x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải: Đặt log( x 1) y PT y ( x 5) y 5x y y x2 ; 2 8x 12/ Giải phương trình: Nghiệm: x 99999 ; x = 2x 1 Giải: Đặt 2x u 0; 2x 1 v x u v x log 1 u u ( )( 2) u v u uv v u 2v u 2v PT v 2u 2 x y x y 13/ Tìm m để hệ phương trình: có ba nghiệm phân biệt 2 m x y x y (m 1) x 2(m 3) x 2m (1) Giải: Hệ PT x y x 1 2 x Khi m = 1: Hệ PT x y x 1 (VN ) Khi m ≠ Đặt t = x2 , t Xét f (t ) (m 1)t 2(m 3)t 2m (2) Hệ PT có nghiệm phân biệt (1) có ba nghiệm x phân biệt f (0) m m 3 0 S 1 m (2) có nghiệm t = nghiệm t > x y 1 14/ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: x x y y 3m u v u v Giải: Đặt u x , v y (u 0, v 0) Hệ PT 3 uv m u v 3m x m 15/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x( x 1) 4( x 1) x 1 Giải: Đặt t ( x 1) x PT có nghiệm t 4t m có nghiệm, suy m 4 x 1 16/ Giải phương trình: 3x 2x = 3x + 2x + Giải: Nhận xét; x = nghiệm PT PT 3x 2x 2x 1 Dựa vào tính đơn điệu PT có nghiệm x = 17/ Giải hệ phương trình: 2 x y xy 2 x 1 y 1 (a ) (b) Giải (b) x2 y ( x2 1).( y 1) 14 xy ( xy)2 xy 11 (c) Đặt xy = p ĐS: m p 3 p 11 (c) p p 11 p p 35 p p 26 105 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (a) x y 3xy p = xy = xy x y x y 1/ Với Vậy hệ có hai nghiệm là: 35 (loại) p = xy = x y 2 xy x y x y 2 2/ Với 3; , 3; 18/ Giải bất phương trình: log (4 x x 1) x ( x 2)log x 2 1 Giải: BPT xlog (1 2x) 1 x x x < 2 2 x y( x y) y ( x 1)( x y 2) y 19/ Giải hệ phương trình: (x, y R ) x2 x y22 y Giải: y = nghiệm Hệ PT x ( x y 2) y x2 1 u v x2 Đặt u , v x y Ta có hệ u v 1 y y uv x y Nghiệm hpt cho (1; 2), (–2; 5) 20/ Tìm m cho phương trình sau có nghiệm nhất: ln(mx) 2ln( x 1) Giải: 1) ĐKXĐ: x 1, mx Như trước hết phải có m (1) Khi đó, PT mx ( x 1)2 x2 (2 m) x Phương trình có: m 4m Với m (0;4) < (1) vô nghiệm Với m , (1) có nghiệm x 1 < loại Với m , (1) có nghiệm x = thoả ĐKXĐ nên PT cho có nghiệm Với m , ĐKXĐ trở thành 1 x Khi nên (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 x2 Mặt khác, f (1) m 0, f (0) nên x1 1 x2 , tức có x2 nghiệm phương trình cho Như vậy, giá trị m thoả điều kiện tốn Với m Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 x2 Áp dụng định lý Viet, ta thấy hai nghiệm dương nên giá trị m bị loại Tóm lại, phương trình cho có nghiệm khi: m (;0) 4 2 x 91 y y (1) 2 y 91 x x (2) 21/ Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: x ≥ y ≥ : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: x2 91 y 91 y x y x x2 y x 91 y 91 2 yx ( y x)( y x) y2 x2 x y ( x y) x y x 91 y 91 x2 y2 x = y (trong ngoặc dương x y lớn 2) Vậy từ hệ ta có: x2 x 91 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x2 91 x x x2 91 10 x x2 1 x 3 1 ( x 3)( x 3) ( x 3) ( x 3) x 1 x 1 x 91 10 x= Vậy nghiệm hệ x = y = 22/ Giải bất phương trình: log2 ( 3x 6) log (7 10 x ) x 10 Giải: Điều kiện: BPT log 3x 3x log (7 10 x ) 10 x 2 3x 2(7 10 x ) 369 ≤ x ≤ 49 (thoả) 23/ Giải phương trình: Giải: Đặt: 3x 10 x 49x2 – 418x + 369 ≤ x x x ( x 1) x x v2 u 2x u x 2, u u x v2 u v x x 3, v v x x x v u v u 1 (v u ) (v u ) 0 (v u ) v u PT (b) (c ) Vì u > 0, v > 0, nên (c) vơ nghiệm Do đó: PT v u v u 24/ Giải bất phương trình: x2 2x x2 x x 3x x 3x x 1 ; 1 2; 2 Giải: Tập xác định: D = x = nghiệm x 2: BPT x x x vô nghiệm 1 x x x x : BPT có nghiệm x 1 ; 1 2 BPT có tập nghiệm S= 25/ Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x x2 2( x 1) 3x 2 x 5x 8x 2 2 PT ( x 1) 2( x 1) 3x 3x x 2 x x x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 26/ Giải x3 x2 y xy2 y3 x y x y hệ phương trình: Giải: x3 x2 y xy2 y3 (1) x y (2) Ta có: (1) ( x y) ( x y) x y x y x y Với x = y: (2) x = y = (2) x 32 15; y 15 Với x = 4y: x2 x tan 27/ Giải phương trình: Giải: PT x2 x x2 x2 x x2 (1) 2 2 2 Chú ý: x x 1 (x x 1)( x x 1) , x 3x 2( x x 1) ( x x 1) Do đó: (1) 2( x2 x 1) ( x2 x 1) ( x2 x 1)( x2 x 1) x2 x t ,t0 x2 x đặt 3 0 t x2 x 1 t 2t t 1 3 x Ta được: (1) x x 1 28/ Giải hệ phương trình: x 3 x2 y 3 x x y xy x 18 y x2 x x x x 18 x+18 Giải: Hệ PT y x2 x x 1; y x x 3; y 15 x 3 x 1 x 1 7; y x 1 7; y Chia vế cho x x x2 x x x 12 x 29/ Giải bất phương trình: Giải: BPT x 30/ Giải hệ phương trình: x y xy x y x y x 2 y x 1 4y 1 Giải : Hệ PT x 2 y x 4y x 1 4y 1 4y 1 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x y 31/ Giải hệ phương trình: 3 8 x y 27 y 2 4 x y x y (1) (2) Giải: t xy 3 Từ (1) y Khi Hệ PT 8 x y 27 y 2 8t 27 4t 6t 4 x y xy y t xy t ; t ; t Với t : Từ (1) y = (loại) Với t : Từ (1) x ;y 2 Với t ; y 33 : Từ (1) x 23 32/ Giải phương trình: Giải 3x.2 x 3x x 1 nghiệm (1) 2x 1 2x 1 Với x , ta có: (1) x 3x 0 2x 1 2x 1 2x 1 0, x 3x Đặt f ( x) x Ta có: f ( x) x ln 2x 1 2x 1 (2 x 1)2 PT 3x (2 x 1) x (1) Ta thấy x 1 1 Do f(x) đồng biến khoảng ; ; Phương trình f(x) = có nhiều 2 2 1 1 nghiệm khoảng ; , ; 2 2 Ta thấy x 1, x 1 nghiệm f(x) = Vậy PT có nghiệm x 1, x 1 33/ Giải phương trình: x x2 x x2 Giải: x2 Điều kiện: x x x Khi đó: VT > x x2 x x2 x x2 4 CoâSi x x2 x x2 34/ Giải hệ phương trình: 2 xy 1 x y x y x y x2 y x (do x 1) x2 x x2 = PT vô nghiệm Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 xy 1 x y Giải: x y x y x2 y (1) Điều kiện: x y (2) (1) ( x y)2 xy 1 2 ( x y 1)( x y x y) x y x y (vì x y nên x2 y2 x y ) Thay x y vào (2) ta được: x2 (1 x) x2 x x ( y 0) x 2 ( y 3) Vậy hệ có nghiệm: (1; 0), (–2; 3) 3x 5x 35/ Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: x Đặt u x u2 x v x v x 2u 3v Giải hệ ta u 2 3 x 2 x 2 6 x 16 v 5u 3v Ta có hệ PT: Thử lại, ta thấy x 2 nghiệm PT Vậy PT có nghiệm x 2 2 2 y x 36/ Giải hệ phương trình: 3 2 x y y x Giải: Ta có: x3 y3 y x2 y x x3 x y xy y3 Khi y hệ VN x x x Khi y , chia vế cho y ta được: y y y x y x Đặt t , ta có : t 2t 2t t x y 1, x y 1 y y 1 2 y x m 37/ Tìm giá trị tham số m cho hệ phương trình có nghiệm y xy 2 y x m Giải: y xy (1) (2) y Từ (1) x y m , nên (2) y my y (vì y 0) m y y 1 0 Xét f y y f ' y y y2 Dựa vào BTT ta kết luận hệ có nghiệm m 3 x3 y3 xy 38/ Giải hệ phương trình: 2 x y Giải: Ta có : x2 y xy 3 Khi: xy , ta có: x3 y3 x3 y3 27 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Suy ra: x3 ; y3 nghiệm phương trình: X X 27 X 31 Vậy nghiệm Hệ PT là: x 31, y 31 x 31, y 31 Khi: xy 3 , ta có: x3 y3 4 x3 y3 27 Suy ra: x3 ; y3 nghiệm phương trình: X X 27 39/ Giải hệ phương trình: ( PTVN ) y 2 1 x x y2 x2 y2 x 22 y Giải: Điều kiện: x 0, y 0, x2 y2 3 3 1 1 (1) u v u v (2) u 4v 22 u 21 4v v 3 Thay (2) vào (1) ta được: 2v2 13v 21 v 21 4v v x2 y2 x x 3 Nếu v = u = 9, ta có Hệ PT: x x y 10 y y 1 x 3y y Nếu v u = 7, ta có Hệ PT: 2 x2 y2 x2 y2 y y 4 53 53 x y x y x 14 x 14 53 53 So sánh điều kiện ta nghiệm Hệ PT x y xy 40/ Giải hệ phương trình: 2 x y (1) x y xy Giải: Điều kiện : x y ; x y (2) 2 x y y Ta có: (1) 3( x y)2 xy (3x y)( x y) x y hay x Với x y , vào (2) ta : y 6y y ; y x x 12 ; Hệ có nghiệm y y y Với x , vào (2) ta : y y 24 Vô nghiệm x x 12 ; Kết luận: hệ phương trình có nghiệm là: y y Đặt u x2 y2 1; v x Hệ PT trở thành: y Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x y xy y 2 y( x y) x y 2 41/ Giải hệ phương trình: x2 x y x y xy y y Giải: Từ hệ PT y Khi ta có: 2 ( ) y x y x y x ( x y ) 7 y uv u 4v v 3, u x2 Đặt u , v x y ta có hệ: y v 2u v 2v 15 v 5, u x2 y x2 y x2 x x 1, y Với v 3, u ta có hệ: x 2, y x y 3 y 3 x y 3 x x2 y x2 y x x 46 Với v 5, u ta có hệ: , hệ vơ nghiệm x y 5 y 5 x y 5 x Kết luận: Hệ cho có hai nghiệm: (1; 2), (2; 5) 42/ Giải phương trình: Giải: Điều kiện x x 1 1 x2 3x PT x2 3x x (2 x 1)(2 x 1) 2x 1 0 3x x 1 (2 x 1) x 2x 1 x 3x x 43 / Giải hệ phương trình: 2log1 x ( xy x y 2) log 2 y ( x x 1) =1 log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4) xy x y 0, x x 0, y 0, x (*) Giải: Điều kiện: x 1, y Hệ PT 2log1 x [(1 x)( y 2)] 2log 2 y (1 x) log1 x ( y 2) log 2 y (1 x) (1) =1 = (2) log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4) log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4) Đặt log 2 y (1 x) t (1) trở thành: t (t 1)2 t t Với t ta có: x y y x (3) Thế vào (2) ta có: x x log1 x ( x 4) log1 x ( x 4) = log1 x 1 x x2 x x4 x4 x0 x 2 Với x y 1 (không thoả (*)) Với x 2 y (thoả (*)) Vậy hệ có nghiệm x 2, y 44/ Giải bất phương trình: x – 2.2 x – 3 log2 x – x1 4x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Kết hợp với điều kiện ta nghiệm phương trình x log ,y = log 2 3log ( x 1) log3 ( x 1) log 4 Đk: x > - ; bất phương trình 0 ( x 1)( x 6) log3 ( x 1) 0 0 x6 x6 225 Giải phương trình: x2 – 4x - = Giải x2 - 4x + = TXĐ : D = 5; ) Đặt y - = x 5 x (1) ; 1 x x x , y y 2 x x 2 Ta có hệ y y x 2 y y5 x 2 y x y 29 x x x y x y 3 x y y x 1 x y y Đề số 226 x y ( x, y ) 2 x y 5(2 x y ) xy Giải hệ phương trình 4.Giải phương trình: log ( x 2) 4 x 7 log ( x 2) 2( x 2) log ( x y ) log (7 x y ) log y Giải hệ phương trình: log (3x y 2) x y Giải: ĐK xy x y 5(2 x y) xy 2 x y xy (2 x y) xy 5(2 x y) xy (2 x y xy )(2 x y xy ) Với 2 x y xy x y x y xy ta có x y (thoả mãn) x x x 22 x x y 25 Với x y xy ta có (thoả mãn) x x x 22 y 25 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 4/Điều kiện: x , phương trình cho tương đương với: Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com log2 (x 2) log2 (x 2) 2x 2log2 (x 2) 1 log2 (x 2) 2x 4 Với log ( x 2) ta có x , thoả mãn Với log ( x 2) x , ta có y log ( x 2) x hàm số đồng biến 2; nên x nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm x x x y Điều kiện 7 x y ; Biến đổi phương trình đầu ta log 2( x y) log (7 x y) y y y x x 3xy y y 2x Với y x vào phương trình thứ hai ta log (2 x 2) x suy x y , thoả mãn điều kiện Với y x vào phương trình thứ hai ta log ( x 2) x log ( x 2) x y log ( x 2) x hàm số đồng biến 2; nên x nghiệm 5 x x x Suy , thoả mãn điều kiện Vậy hệ cho có hai nghiệm y y y Đề số 234 3 x y 2 x y 2xy y Giải hệ phương trình: Giải: x y 4 x y 1 1 3 3 2x x y x y y x y x x y xy xy 2 3 2y 2x 2x 2x x y y x y x y x x y x y 2x x y 1 x x x 2, y y x x 2, y x 2x x Đề số 235 Giải: Giải phương trình: log (3x 1) log (2 x 1) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện x (*) Với đk trên, pt ®· cho log (3x 1) log (2 x 1) log5 5(3x 1)2 log5 (2 x 1)3 5(3x 1)2 (2 x 1)3 x x 33x 36 x x 2) (8 x 1) x Đối chiếu điều kiện (*), ta có nghiệm cđa pt lµ x x y x y y (x, y R) 236 Giải hệ phương trình: x y 2 log2 x Giải bất phương trình x 2log2 x 20 Giải: ĐK: x + y , x - y 0, y 2 y x (3) PT(1) x x y y x y y x 5 y xy (4) Từ PT(4) y = v 5y = 4x Với y = vào PT(2) ta có x = (Không thỏa mãn đk (3)) Với 5y = 4x vào PT(2) ta có x x x KL: HPT có nghiệm ( x; y ) 1; 5 Điều kiện: x> ; BPT 24log2 x x 2log2 x 20 Đặt t log2 x Khi x 2t BPT trở thành 42t 22t 20 Đặt y = 22 t ; y BPT trở thành y2 + y - 20 - y Đối chiếu điều kiện ta có : 22t t t - t 1 Do - log2 x x 2 Đề số 237 x 3x( y 1) y y ( x 3) Giải hệ phương trình: ( x, y R) x xy y 2 Giải phương trình: Giải: x 1 (3 2) log 3 x x 1 x y 2/ x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) = (x-y)2 + 3(x- y) - + x y 4 x y x = 1; y = x= -1; y = -2 * Với x- y = 1, ta có x xy y x y 4 * Với x - y = -4 ta có (Hệ PT vơ nghiệm) x xy y Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) (x; y) = (-1; -2) 4.Điều kiện: x > Thì Pt Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x 1 2 x 1 (3 x 2)log ( x 1) log 3 x 1 3 x x x x (3 2)log ( x 1) 1 2.3 (3 2) log ( x 1) (3x 2) log3 x log 3 x ; Vậy PT có nghiệm x = (3 2)log ( x 1) 1 x log ( x 1) 1 Đề số 238 x Giải phương trình x x x x x 4 x y Giải hệ phương trình: log (2 x y ) log (2 x y) Giải: 1/ Đặt u x ta có u x2 Kết hợp với pt cho ta có hệ (u x) (u x) (u x) x(2 x 1) u (2 x 1) (2 x 1)(u x) ( u x )( u x ) (u x)(u x) (u x)(u x) a 4 u x a (a b 1)a a Đặt , ta có hệ 3 u x b ab b b 2 a x 3 x 3 x 3 3 x x 1 Nếu 2 b x x 1 x 1 x x x 4 (*) a 4 Nếu (I) 3 3 b x 3 x 4 x x x x x x (*) vô nghiệm hệ (I) vơ nghiệm Vậy, pt cho có nghiệm x (Các cách khác: Ta có + Đặt t x x + Biến đổi pt thành (2 x 1) x2 x x , đặt đk bình phương hai vế + Biến đổi pt thành (2 x 1) x x , nhân vế với x x 0, x ) 2 (1) 2 x y 4 x y 4/ (I) Đk: 2 x y log (2 x y ) log (2 x y ) (2) (1) log2 (4 x2 y ) log 2 log2 (2 x y) log (2 x y) (3) (2) (3) log (2 x y) log3 (2 x y) log (2 x y) log 3.log3 (2 x y) log (2 x y) 1 log 3 log (2 x y) x y Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 x y x 2 x y Vậy, Hệ (I) (tm) 2 x y y x y Vậy nghiệm hệ pt ( x; y) ; 2 x x 3x x.5 x 2 3x.5 x Đề số 239 Giải bất phương trình Giải phương trình 1 log x 3 log x 1 log x 2 Giải: 1 log x 3 log x 1 log x x 3 x x Giải phương trình Điều kiện: x ; Trường hợp 1: x 2 2 x2 x x Trường hợp 1: x x2 x x 3 Vậy tập nghiệm (2) T 2; Đề số 240 1/ Giải phương trình : 3x x 4 x 2 x x xy y y x 4 4x y 2/ Giải hệ phương trình: Giải: 1/ Phương trình 3x x 2 x 1 x x f (t ) t 2 3x (3x) 2 x 1 (2 x 1) Xét hàm số (t ) có f ' (t ) (t ) t t2 3 Vậy hàm số đồng biến nên: f (3 x) f ( x 1) 3x x x Vậy phương trình có nghiệm x ( xy y ) y x (1) 2 Hệ phương trình x y 6( 2) Từ (1) y ( x y ) ( y x)( y xy x ) 2 4 ( y x)( y xy x y ) x y thay vào (2) ta có : x x x y 1 Vậy hệ có nghiệm ( 1;1) (1;-1) Đề số 241 với t Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x 3x( y 1) y y ( x 3) Giải hệ phương trình: ( x, y R) x xy y x 1 x 1 4/ Giải phương trình: (3 x 2) log 3 2 Giải: 2/ x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) = (x-y)2 + 3(x- y) - + x y x y 4 x y * Với x- y = 1, ta có x xy y x = 1; y = x= -1; y = -2 x y 4 * Với x - y = -4 ta có (Hệ PT vô nghiệm) x xy y Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) (x; y) = (-1; -2) 4/ Điều kiện: x > x 1 x 1 2 (3 x 2) log (3 x 2)log ( x 1) log 3 x 1 3 x x x x (3 2)log ( x 1) 1 2.3 (3 2) log ( x 1) x log ( loai ) 3 x (3 x 2)log ( x 1) 1 x log ( x 1) 1 Vậy PT có nghiệm x = Đề số 242 Giải: Giải bất phương trình: Điều kiện: x x2 x 92 x2 x x Bất phương trình x x 92 10 ( x x 8) ( x 1) x2 2x x2 ( x 2)( x 4) x 1 1 x x 92 10 x4 ( x 2) ( x 4) 0 x 1 x x 92 10 1 ( x 2) ( x 4)( 1) 0 x x x 92 10 0, x x 1 x x 92 10 Do bất phương trình x x Ta có: ( x 4)( 1) Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: x 2 x x 3x x.5 x 2 Đề số 243 Giải bất phương trình sau: 3x.5 x log x log x2 Giải phương trình x 2.3 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com log y log x 1 log x log y 10 2 Giải hệ phương trình log 2.log log ( xy ) x y Giải: 2/ Điều kiện: x Bất phương trình tương đương với x 5x x x 1 3x.5x 2 x x (3x 2)5 x x 2 (1) 3x x 3x 5x ln Xét hàm số g ( x) 3x 5x , g '( x) 5x.ln 5, g ( x) x log ln Lâp bảng biến thiên, ta thấy g ( x) g log 157 (1) x x 1 3x ( 5x ) x 22 157 Vậy nghiệm bất phương trình là: T 22 ;3 4/ Điều kiện x 61log2 x log2 x log2 x2 log x2 log x log x 2log 2 x 4x 2.3 2 6 2.3 2 2.32log2 x 2log 2 x log 2 x log 2 x 2 2 2 6.22log2 x 61log2 x 12.32log2 x 12 x 3 3 3 5/ Điều kiện: x, y Đặt a log x; b log y Khi đó, hệ phương trình trở thành: b a 2 1 a b 10 (*) 10 a b 1 ab 1 a 1 b (1) (2) 1 a b (**) 2 a b 1 ab 9ab ab 5a b2 Lấy phương trình (1) chia vế theo vế (2) ta được: 5ab a b2 (3) a2 b a b Từ (*), ta suy 1 a 10 b2 b b2 b2 b 9 5 (4) Thay vào (3), ta có: b b 1 b 10 b b2 Phương trình (4) trở thành: t 2t 9t 10 t 2; t b t 2 x Với t b2 2b 1 b y x Đặt t Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com b y 4, x Với t 2b 5b b y 2, x 2 Vậy hệ có nghiệm ( x; y) (2; 4);(2; 2) 2; , 4; 8 x3 y3 27 18y3 (1) Đề số244 Giải hệ phương trình: 2 4 x y x y (2) 8 x3 y3 27 18y3 (1) Giải: Giải hệ phương trình: 2 4 x y x y (2) (1) y 3 8 x3 27 18 (2 x ) 18 y3 y Hệ x x2 2 x x y y y y a3 b3 18 a b Đặt a = 2x; b = Ta có hệ: y ab(a b) ab Hệ cho có nghiệm ; , ; 3 3 Đề số 245 Giải phương trình: log (3x 1) log (2 x 1) Giải Giải phương trình: log (3x 1) log (2 x 1) §iỊu kiƯn x (*) Với đk trên, pt cho log (3x 1) log (2 x 1) log 5(3x 1) log (2 x 1) 5(3x 1) (2 x 1) x 33x 36 x ( x 2) (8 x 1) §èi chiÕu ®iỊu kiƯn (*), ta cã nghiƯm cđa pt lµ x x x Đề số 246 ( x 1)( y 1)( x y 2) Giải hệ phương trình: 2 x y 2x y ( x 1)( y 1)( x y 2) Giải hệ phương trình: 2 x y 2x y ( x 1)( y 1)( x y 1) uv(u v) uv(u v) u x Hệ với 2 2 v y ( x 1) ( y 1) u v (u v) 2uv Giải P.S S S u v Đặt: P P u.v S P Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X x x u, v nghiệm phương trình: X2 – 3X + = X y 1 y 1 Vậy nghiệm hệ: (3 ; 2), (2 ; 3) Đề số247 Giải phương trình: log3 x x 1 log3 x x x Giải bất phương trình: (log x log4 x )log2 2x Giải Giải phương trình: log3 x x 1 log3 x x x x2 x 1 x 2 x x 2 x x 1 x x x 2 x Đặt:f(x)= g(x)= x (x 0) x Dùng pp kshs =>max f(x)=3; g(x)=3=>PT f(x)= g(x) max f(x)= g(x)=3 x=1 =>PT có nghiệm x= log3 4/ Giải bất phương trình: (log x log4 x )log2 2x Điều kiện x > , x 1 log4 x log2 2x log2 x log2 x 1 (1) log8 x 2 log2 x 3 log2 x log2 x (log22 x 3) 0 0 log x log x 2 log2 x 1hayl og2 x x hay x Đề số248 1/ Giải phương trình log3 (x 5x 6) log3 (x 9x 20) log Giải: x 5 + Điều kiện : x 5x x 3 x 2 4 x 3 , có : log3 log3 24 x 9x 20 x 5 x 4 x 2 2 + PT (*) log3 (x 5x 6)(x 9x 20) log 24 (x 5x 6)(x 9x 20) 24 2 (x 5) (4 x 3) (x 2) (x 5) (4 x 3) (x 2) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 (*) (x 5) (4 x 3) (x 2) (**) + Đặt t (x 3)(x 4) x 7x 12 (x 2)(x 5) t , PT (*) trở thành : t(t-2) = 24 (t 1)2 25 t t 4 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com t = : x 7x 12 x 7x x 1 ( thỏa đkiện (**)) x 6 t = - : x 7x 12 4 x 7x 16 : vơ nghiệm + Kết luận : PT có hai nghiệm x = -1 x = - Đề số 249 1.Giải phương trình xlog2 x2 3log2 x xlog2 3 2 xy ( x y ) 7 ( x y)2 Giải hệ phương trình sau: 2 x x y 2 Giải: ĐK: x>0 Giải phương trình xlog2 x2 3log2 x xlog2 Ta có phương trình xlog2 x2 3log2 x xlog2 3log2 x x2 t Đặt log2 x x 2t t 3 1 Phương trình trở thành t x 4 4 2 4 xy 4( x y ) ( x y ) Giải hệ phương trình sau: 2 x x y ĐK: x + y 2 3( x y ) ( x y ) ( x y ) Ta có hệ x y x y x y t t 3u v 13 ( u ) ; v = x – y ta hệ : x y u v Giải hệ ta u = 2, v = ( u ) Đặt u = x + y + 2 x y x x y x y Từ giải hệ x y y x y Đề số250 x 1 y 2 y 3 x 2 3.2 Giải hệ phương trình: 3x xy x x 1 x+1 x 1 PT x 3x y 1 x y 3x 3x xy x Với x = thay vào (1) : y 2 3.2 y y 12.2 y y 8 y log 11 11 x 1 x 1 3 x 1 3.2 3 Với thay y = – 3x vào (1) ta : y 3x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt t 23 x 1 , x 1 nên t t 2 PT (3) : t t 6t t t 2 Đối chiếu điều kiện t ta chọn t 2 Khi 23 x 1 2 x log 2 1 3 y 3x log 2 x x log 2 1 Vậy HPT cho có nghiệm y log y log 2 11 x y x y 13 Giải hệ phương trình: 2 x y x y 25 Đề số 251 Giải: x y x y 13 Giải hệ phương trình: 2 x y x y 25 x, y x, y x y x y 13 1 x3 xy x2 y y3 13 2 2 y xy x y x 25 x y x y 25 Lấy (2’) - (1’) ta có: x2 y– xy2 = x y xy (3) 1' 2 ' 2 x y x y 13 Kết hợp với ta có I Đặt y = - z ta có : x y xy 2 x z x z 13 x z x z 2xz 13 I x z xz x z xz 6 Đặt S = x +z P = xz ta có : S S 2P 13 S 2SP 13 S P 6 SP 6 SP 6 x z x x 2 Ta cã : Hệ có nghiệm x.z 6 z 2 z Vậy hệ cho có hai nghiệm là: ( ; 2) vµ ( -2 ; -3 ) Đề số252 Giải bất phương trình: log x (log (2 x 4)) Giải: Giải bất phương trình: log x (log (2 x 4)) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 0 x log x (log (2 x 4)) Đk: log (2 x 4) x log x 2 Do x PT log4 (2x 4) x 2x 4x 4x 2x với x Do BPT có nghiệm: x log Đề số 253 x 35 5x x 24 2: Giải bất phương trình: 2( x 1) yx log 2010 y Giải hệ phương trình y x2 x y Giải: x 35 5x x 24 2: Giải bất phương trình: BPT tương đương 11 x 35 x 24 x x 35 x 24 5x 11 (5 x 4)( x 35 x 24) Xét: không thỏa mãn BPT a)Nếu x b)Nếu x>4/5: Hàm số y (5x 4)( x 35 x 24) với x>4/5 1 y'= 5( x 35 x 24) (5 x 4)( ) >0 x>4/5 2 x 35 x 24 Vậy HSĐB +Nếu 4/51 y(x)>11 Vậy nghiệm BPT x>1 x2 Đề số254 Giải: Giải phương trình: 2 Giải phương trình: 3x x x1 x x1 6 6 x log3 log3 2x 1 Đưa phương trình dạng: (x – 1)(2x2 + x – - log 32 ) = Lấy logarit theo số cho hai vế ta được: x Từ suy nghiệm x = 1; x Đề số255 Giải: Giải bất phương trình Giải bất phương trình 1 8log log 22 x log x (log x 3) log 22 x log x (log x 3) x ĐK: 2 log x log x Bất phương trình cho tương đương với log 22 x log x (log x 3) (1) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com đặt t = log2 x, BPT (1) t 2t (t 3) (t 3)(t 1) (t 3) t 1 0 x log x 1 t 1 t 2 3 t 3 log x (t 1)(t 3) 5(t 3) 8 x 16 Vậy BPT cho có tập nghiệm là: (0; ] (8;16) Đề số 256 2 log 1 x( xy 2 x y 2) log 2 y ( x x 1) 2,Giải hệ phương trình: log 1 x( y 5) log 2 y ( x 4) 1 4,Giải phương trình: log 2( x ) log x 1 log x 2 log 1 x ( xy x y 2) log 2 y ( x x 1) Giải 2,Giải hệ phương trình: log 1 x ( y 5) log 2 y ( x 4) x 1, x §K y 2; y 1 Đưa phương trình thứ hệ dạng : log 1 x (2 y) log 2 y 1 x Đặt t log 1 x (2 y) , tìm T=1 kết hợp với phương trình thứ hệ, đối chiếu với điều kiện trên, tìm nghiệm : x; y 2;1 1 4Giải phương trình: log 2( x ) log x 1 log x ĐK x > x Đưa phương trình dạng : log 2( x 3) log x 1 log 4 x Xét hai khả 00, y>0 Khi hệ tương đương 2 3xy x Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: (x-y)(3xy+x+y) = x y thay lại phương trình Giải tìm nghiệm hệ là: (1;1) Giải phương trình: 2x 2x 2x Tập xác định: D = R Đặt f(x) = Ta có: f ' ( x) (2 x 1) 2x 1 2x 2x 3 (2 x 2) 3 ; x , , 2 (2 x 3) Suy hàm số f(x) đồng biến tập M= , ,1 1, , 2 2 Ta thấy f(-1)=0 x=-1 nghiệm (1) Ta có: f ( ) 3; f ( ) 3 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x f’(x) -1 -∞ +∞ +∞ F(x) -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = x = -1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 u v3 u x u v 0 Cách 2: Học sinh đặt ta hệ v x v u giải hệ tìm nghiệm Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 x x (1 )4 y y Giải hệ phương trình: x x x3 y y3 y Đề số 259 Giải 1 x x y (1 y ) Giải hệ phương trình: x x 4 x y y3 y 1 x x y (1 y ) x §k y x x x3 x3 y y y 1 x y y đặt x ( x) y3 y y a x y b x y a a 2b a a 2b a a a 2b Ta đ- ợc a 2ab a a(a a 4) a 4a b Đề số 260 Giải phương trình : 3x 5x (x R) 2 log (x y ) log (xy) Giải hệ phương trình : (x, y R) x xy y 81 Giải 2.Giải phương trình : 3x 5x (x R) 3x 5x , điều kiện : x x Đặt t = 3x t3 = 3x – x = t3 5t vaø – 5x = 3 5t 8 Phương trình trở thành : 2t 3 5t t4 2t t = -2 Vaäy x = -2 15t 4t 32t 40 2 log (x y ) log (xy) Gỉai hệ phương trình : (x, y R) x xy y 81 3 Điều kiện x, y > 2 2 (x y) log2 (x y ) log 2 log (xy) log (2xy) x y 2xy 2 xy x xy y x xy y x y x x 2 hay xy y y 2 ………………………………………………………………………………………………………………… ... Xét hàm số f(t) = , với t [3;9] Ta có: t 2 (t 2) t 2 Lập bảng biến thi n t f/ (t) + f(t) 48 Căn bảng biến thi ng, (1) có nghiệm x [-1;1] (2) có nghiệm t [3;9] m 48 3 log... theo vế ta được: x 91 y 91 y x y x x2 y x 91 y 91 ( x y) yx ( y x)( y x) y2 x2 x y x 91 y 91 x2 x y y2 x = y (trong. .. x2 x3 x Vậy: f ' x x Bảng biến thi n: f ' x 3x x f ' x || 3x2 x || CÑ f x 3 22 4 Dựa vào bảng biến thi n, ta có: 3 22 Phương trình cho có nghiệm