Đang tải... (xem toàn văn)
chuyên đề phương trình, bât phương trình, hệ phương trình tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài t...
Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình sau a) x 2 − 6x + 6 > 0. b) −4x 2 + x − 2 ≥ 0. c) x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 8x − 10 ≤ 0. d) x 4 + x 2 + 4x − 3 ≥ 0. Lời giải. a) Ta có x 2 − 6x + 6 > 0 ⇔ x > 3 + √ 3 x < 3 − √ 3 . Vậy tập nghiệm S = −∞; 3 − √ 3 ∪ 3 + √ 3; +∞ . b) Ta có ∆ = −31 < 0 ⇒ −4x 2 + x − 2 < 0, ∀x ∈ R. Vậy bất phương trình vô nghiệm. c) Bất phương trình tương đương với x 4 + 3x 2 − 10 − 4x 3 + 8x ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x 2 + 5 − 4x x 2 − 2 ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x 2 − 4x + 5 ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 ≤ 0 ⇔ − √ 2 ≤ x ≤ √ 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = − √ 2; √ 2 . d) Bất phương trình tương đương với x 4 + 2x 2 + 1 ≥ x 2 − 4x + 4 ⇔ x 2 + 1 2 ≥ (x −2) 2 ⇔ x 2 + x − 1 x 2 − x + 3 ≥ 0 ⇔ x 2 + x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1+ √ 5 2 x ≤ −1− √ 5 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −∞; −1− √ 5 2 ∪ −1+ √ 5 2 ; +∞ . Bài tập 2.2. Giải các bất phương trình sau a) x − 2 x 2 − 9x + 8 ≥ 0. b) x 2 − 3x − 2 x − 1 ≥ 2x + 2. c) x + 5 2x − 1 + 2x − 1 x + 5 > 2. d) 1 x 2 − 5x + 4 < 1 x 2 − 7x + 10 . Lời giải. a) Ta có bảng xét dấu x −∞ 1 2 8 +∞ x − 2 − | − 0 + | + x 2 − 9x + 8 + 0 − | − 0 + VT − || + 0 − || + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2] ∪ (8; +∞). b) Bất phương trình tương đương với x 2 − 3x − 2 − (x − 1) (2x + 2) x − 1 ≥ 0 ⇔ −x 2 − 3x x − 1 ≥ 0. Ta có bảng xét dấu 1 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu x −∞ −3 0 1 +∞ −x 2 − 3x − 0 + 0 − | − x − 1 − | − | − 0 + VT + 0 − 0 + || − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [0; 1). c) Bất phương trình tương đương với (x + 5) 2 + (2x − 1) 2 − 2 (x + 5) (2x − 1) (2x − 1) (x + 5) > 0 ⇔ x 2 − 12x + 36 2x 2 + 9x − 5 > 0. Ta có bảng xét dấu x −∞ −5 1 2 6 +∞ x 2 − 12x + 36 + | + | + 0 + 2x 2 + 9x − 5 + 0 − 0 + | + VT + || − || + 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5) ∪ 1 2 ; 6 ∪ (6; +∞). d) Bất phương trình tương đương với x 2 − 7x + 10 − x 2 + 5x − 4 (x 2 − 5x + 4) (x 2 − 7x + 10) < 0 ⇔ −2x + 6 (x 2 − 5x + 4) (x 2 − 7x + 10) < 0. Ta có bảng xét dấu x −∞ 1 2 3 4 5 +∞ −2x + 6 + | + | + 0 − | − | − x 2 − 5x + 4 + 0 − | − | − 0 + | + x 2 − 7x + 10 + | + 0 − | − | − 0 + VT + || − || + 0 − || + || − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2) ∪ (3; 4) ∪ (5; +∞). Bài tập 2.3. Giải các phương trình sau a) x 3 − 5x 2 + 5x − 1 = 0. b) x 3 − 3 √ 3x 2 + 7x − √ 3 = 0. c) x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = 0. d) (x − 3) 3 + (2x + 3) 3 = 18x 3 . e) x 2 + 1 3 + (1 − 3x) 3 = x 2 − 3x + 2 3 . f) (4 + x) 2 − (x − 1) 3 = (1 − x) x 2 − 2x + 17 . Lời giải. a) Ta có x 3 − 5x 2 + 5x − 1 = 0 ⇔ (x −1) x 2 − 4x + 1 = 0 ⇔ x = 1 x = 2 ± √ 3 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2 ± √ 3. b) Ta có x 3 − 3 √ 3x 2 + 7x − √ 3 = 0 ⇔ x − √ 3 x 2 − 2 √ 3x + 1 = 0 ⇔ x = √ 3 x = √ 3 ± √ 2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = √ 3, x = √ 3 ± √ 2. c) Ta có x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = 0 ⇔ (x −1) x 3 − 3x 2 − 4x + 12 = 0 ⇔ x = 1 x = 3 x = ±2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = ±2. d) Phương trình tương đương với (x − 3 + 2x + 3) 3 − 3(x − 3)(2x + 3)(x − 3 + 2x + 3) = 18x 3 ⇔ 9x 3 − 9x 2x 2 − 3x − 9 = 0 ⇔ 9x 7x 2 + 3x + 9 = 0 ⇔ x = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. e) Phương trình tương đương với x 2 + 1 + 1 − 3x 3 − 3(x 2 + 1)(1 − 3x)(x 2 + 1 + 1 − 3x) = x 2 − 3x + 2 3 ⇔ − A HUNH VN LNG 0918.859.305 01234.444.305 0996.113.305 0967.859.305 0929.105.305 0666.513.305 www.huynhvanluong.com - LU HNH NI B Cỏc ni dung Quyn 5: H phng trỡnh Trang Phng trỡnh, Bpt i s Trang 21 Tỡm c trn b gm Quyn vi cỏc ni dung: Quyn 1: Hm s - S phc-M v logarit Quyn 2: Tớch phõn Hỡnh oxyz Quyn 3: Lng giỏc T hp - Xỏc sut Quyn 4: Hỡnh c in Hỡnh Oxy Quyn 5: Phng trỡnh, bpt v h pt i s Quyn 6: 100 thi THPT Quc gia Chỳc cỏc em t kt qu cao k thi sp ti Hunh Vn Lng (ng hnh cựng hs sut chn ng THPT) Luyn THPT Quc gia (Quyn 5: Pt, Bpt v h phng trỡnh www.huynhvanluong.com H PHNG TRèNH BC NHT HAI N ooOoo a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 I N: l h hai n x, y cú dng: II Cỏch gii: Bc 1: Tớnh cỏc nh thc : D= a1 a2 b1 = a1b2 a b1 b2 (gi l nh thc ca h) Dx = c1 c2 b1 = c1b2 c b1 b2 (gi l nh thc ca x) Dy = a1 a2 c1 = a1c a c1 c2 (gi l nh thc ca y) Bc 2: Bin lun Dx x = D * D : h cú nghim nht y = Dy D * D = v D x hoc D y : h vụ nghim * D = Dx = Dy = 0: h cú vụ s nghim Bi tp: mx + y = m + x + my = 2m Cho h phng trỡnh: a) Gii v bin lun h b) Tỡm m h cú nghim nht Tỡm h thc liờn h gia x v y c lp m c) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca m h cú nghim nguyờn mx + y = m + x + my = 2m + Cho h phng trỡnh: a) Tỡm m h vụ nghim b) Tỡm m h cú nghim nht (x, y) tha x x, y ) y = x Thay y = x vo (1) ta c: Hunh Lng Trang 0918.859.305-01234.444.305 Luyn THPT Quc gia (Quyn 5: Pt, Bpt v h phng trỡnh www.huynhvanluong.com x = x x + = ( x 1) ( x + x 1) = x = + + ; ; ; 2 x + y =1 Vớ d (D2004) Tỡm m h phng trỡnh sau cú nghim: x x + y y = 3m Vy h phng trỡnh cú nghim l: (1; 1) ; S = xy , S HD: - t P = x + y , P ( S P 0) - a h phng trỡnh theo n S,P Sau ú gii tỡm S, P 1 - iu kin h cú nghim l: S0, P0, S2-4P0 S: m ; Bi tp: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau : x y + xy = x + xy + y = xy + x + y = 1) 2) x + y = 13 3( x + y ) + xy + = 4) x y + y x = 30 7) x x + y y = 35 ỏp s: 1) (0;2); (2;0) 4) (3; 2),(2;3),(2 xy + x + y = 11 3) x + y xy = x y + xy = 30 5) 3 x + y = 35 2 2 x y + xy = 30 x y + y x = 6) x y + xy = 20 x+ y =4 8) x + y xy = x + y = 34 9) x + y = 2) (0; 1),(1;0) 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 10 10 ; ) 5) (2;3);(3;2) 2 6) (1;4),(4;1) 7) (4;4) Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau: x + y = 3y 1) 2 y + x = x x + y = 4) 3y + x = x2 y2 x x = y 7) (QG 2000) 2 x 2x + 2x + = 2y 6) y 2y + 2y + = 2x x = 3x y 8) y = y x y y = x x + y = x 9) (QG 99) y + = x y Hunh Lng y = x x + x 3) x = y 3y + y x + xy = x 2) 2 y + xy = y y2 + = y x2 5) x = x + y2 ( MTCN 98) x = x + 8y 10) y = y + x Trang (QG 98) 0918.859.305-01234.444.305 Luyn THPT Quc gia (Quyn 5: Pt, Bpt v h phng trỡnh x + y = 11) y + x = www.huynhvanluong.com y2 + y = x2 12) ( KhốiB 2003) x + x = y2 x2 ( TL 2001) y2 x 3y = m Cho h phng trỡnh: 3 y x = m a) Gii h m = -2 b) Tỡm m h phng trỡnh cú 03 nghim phõn bit HE NG CP (THUN NHT) ooOoo I N: l h cú n s x, y cựng bc hai hoc cựng bc ba a1 x + b1 xy + c1 y = d1 2 a2 x + b2 xy + c2 y = d2 a1 x + b1 x y + c1 xy + d1 y = e1 2 a2 x + b2 x y + c2 xy + d2 y = e2 II Cỏch gii: Bc 1: Kim tra xem (0;y) cú phi l nghim ca h hay khụng? Bc 2: Vi x ta t y = kx Thay vo ...CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 7 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 1 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI TẬP SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) Bài 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, 6 2 4 2, 3 8 3 1 7 3, 5 2 1 3 1 4, 4 6 4 5 1 5, 2 4 2 2 2 6, 2 4 1 3 5 7, 2 1 2 1 2 8, 2 1 3 1 0 9, 4 1 2 10 1 3 2 10, 1 1 11, 3 2 2 2 6 12, 2 4 2 5 1 13, 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − + = + − + = − − = + + + − + + = + + + = − + − + = + + + − − + = − + − + = + ≥ + − + + − − ≥ + − = + + − + − = − − − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 6 11 14, 5 3 3 1 1 15, 4 5 1 2 1 9 3 16, 1 3 3 4 2 17, 4 3 19 3 2 9 18, 3 1 2 3 4 2 2 1 19, 1 1 1 3 4 20, 2 3 4 3 5 9 6 13 21, 3 1 4 3 2 22, 4 3 10 3 2 23, 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − = − + − + − = − + − − − − = + − + − = − − + + − = + + + + + = + − + + + = + + + + = + + + − + + + + = − − = − + + − ( ) 2 2 2 2 3 1 24, 2 4 2 5 2 5 25, 3 1 3 1 26, 2 1 2 3 3 1 27, 1 10 2 5 28, 3 3 1 2 2 2 29, 18 78 30, 3 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + − + − + − = − + + = + + + + + = + + − + + + = + + + + + + = + + = + + + = + + CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 7 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 2 Bài 2. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực ( ) 2 3 2 2 2 3 4 3 2 32 24 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, 6 7 1 2, 3 2 4 3 2 5 4 3, 3 4 1 1 4, 77 3 2 5, 2 11 21 3 4 4 6, 1 2 1 3 1 7, 3 2 6 5 2 9 7 8, 3 6 16 2 2 2 4 9, 2 23 4 2 2 7 10, 2 1 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = − − − + + − + ≥ − + − = − + + − − = − + = − + + − = − + + + + + + > + + + + + + ≤ + + + = − + + + + + − + < ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11, 1 1 1 2 5 12, 2 3 5 2 3 5 3 13, 4 1 1 2 1 2 14, 3 1 6 3 14 8 0 15, 9 1 4 3 2 3 16, 5 12 3 5 17, 2 3 2 6 18, 9 20 2 10 3 19, 3 2 1 3 20, 1 8 4 21, 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + − = + + + − + > − = + + + − + − − + − − = + − − = + + + = + + − − > − + + = + + + = + + + + = + + + + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 22, 3 2 1 2 3 23, 3 1 2 3 3 2 24, 2 5 4 2 25, 2 2 2 2 26, 3 2 1 1 3 4 27, 3 1 2 1 2 1 3 28, 2 1 5 1 29, 3 1 1 1 30, 2 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + = + + + + + = + + + − ≤ − + − = + − + + + + = + = + − + − − = − − − ≤ + − + + = + + + + CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN 1 – SƯ ĐOÀN 7 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 3 Bài 3. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1, 4 9 5 2 1 1 2, 8 1 3 5 4 7 2 2 3, 3 19 3 2 7 11 2 4, 3 7 3 2 3 5 1 3 4 5, 2 1 3 2 4 3 5 4 6, 1 1 4 3 7, 2 1 3 8, 9 1 7 3 1 3 4 9, 2 7 10 12 20 10, 5 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + − + − = − + + + = + + − + + − = + + − + − − = − − − − + − + − < − + − + + ≤ + + + + + − = + ≤ + − + − + = + − + − ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 8 84 2 2 9 2 3 1 11, 10 1 3 5 9 4 2 2 12, 3 4 5 3 8 19 0 13, 2 2 2 14, 2 11 15 2 3 6 15, 1 2 2 3 16, 2 1 3 2 2 2 3 2 17, 17 2 1 1 18, 2 1 2 1 19, 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − = + − + + − = + + − + − − + − − > − ≤ − − − − + + + + − ≥ + − − + + = − + − + = + + + − + − − − = − + + + + = + − − + ( CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HÀ N ỘI, 8/2013 HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: 0 ax b + = Chú ý: Khi a ≠ 0 thì (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 0 ax b + < Biện luận Dấu nhị thức bậc nhất Điều kiện Kết quả tập nghiệm a > 0 S = b a ; −∞ − a < 0 S = b a ; − +∞ a = 0 b ≥ 0 S = ∅ b < 0 S = R f(x) = ax + b (a ≠ 0) x ∈ b a ; −∞ − a.f(x) < 0 x ∈ b a ; − +∞ a.f(x) > 0 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 2 0 ax bx c + + = 1. Cách giải Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = c a . – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = c a − . – Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với 2 b b ′ = . 2. Định lí Vi–et Hai số 1 2 , x x là các nghiệm của phương trình bậc hai 2 0 ax bx c + + = khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a ≠ 0 (1) có nghiệm duy nhất a = 0 b ≠ 0 (1) vô nghiệm b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x (1) Kết luận ∆ > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt ∆ = 0 (1) có nghiệm kép ∆ < 0 (1) vô nghiệm GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2 1 2 b S x x a = + = − và 1 2 c P x x a = = . 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Xét dấu tam thức bậc hai Giải bất phương trình bậc hai f(x) = 2 ax bx c + + (a ≠ ≠≠ ≠ 0) ∆ < 0 a.f(x) > 0, ∀ x ∈ R ∆ = 0 a.f(x) > 0, ∀ x ∈ \ 2 b R a − ∆ > 0 a.f(x) > 0, ∀ x ∈ (–∞; x 1 ) ∪ (x 2 ; +∞) a.f(x) < 0, ∀ x ∈ (x 1 ; x 2 ) Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai để giải II. CÁC DẠNG TOÁN 1. Dạng toán 1: Giải và biện luận phương trình và bất phương trình HT1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: 1) 2 ( 2) 2 3 m x m x + − = − 2) ( ) 2 m x m x m − = + − 3) ( 3) ( 2) 6 m x m m x − + = − + 4) 2 ( 1) (3 2) m x m x m − + = − 5) 2 2 ( ) 2 1 m m x x m − = + − 6) 2 ( 1) (2 5) 2 m x m x m + = + + + HT2. Giải các bất phương trình sau: 1) (2 5)( 2) 0 4 3 x x x − + > − + 2) 3 5 1 2 x x x x − + > + − 3) 3 1 2 5 3 x x x x − − < + − 4) 3 4 1 2 x x − > − 5) 2 5 1 2 x x − ≥ − − 6) 2 5 1 2 1 x x ≤ − − HT3. Giải và biện luận các bất phương trình sau: 1) ( ) 1 m x m x − ≤ − 2) 6 2 3 mx x m + > + 3) ( 1) 3 4 m x m m + + < + 4) 2 1 mx m x + > + 5) ( 2) 1 6 3 2 m x x m x − − + + > 6) 2 3 2( ) ( 1) mx x m m − < − − + HT4. Giải và biện luận các bất phương trình sau: 1) 2 1 0 1 x m x + − > + 2) 1 0 1 mx m x − + < − 3) 1( 2) 0 x x m − − + > HT5. Giải và biện luận các phương trình sau: 1) 2 5 3 1 0 x x m + + − = 2) 2 2 12 15 0 x x m + − = 3) 2 2 2( 1) 0 x m x m − − + = 4) 2 ( 1) 2( 1) 2 0 m x m x m + − − + − = 5) 2 ( 1) (2 ) 1 0 m x m x − + − − = 6) 2 2( 3) 1 0 mx m x m − + + + = HT6. Giải và biện luận các bất phương trình sau: 1) 2 3 0 x mx m − + + > 2) 2 (1 ) 2 2 0 m x mx m + − + ≤ 3) 2 2 4 0 mx x − + > Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 1 1. 2 4 2x x x 2 2. x 4 1 x 1 2x 3. 2 x 4x 5 3x 17 4. 2 3x 19x 20 4x 4 5. x 12 2x 1 x 3 PHN I PHNG TRÌNH ậ BT PHNG TRÌNH 2 B0 AB AB B0 AB AB B0 AB AB 2 B0 A B A 0 AB 2 A0 B0 AB B0 AB TNG QUÁT : i vi nhng nhng phng trình, bt phng trình không có dng chun nh trên, ta thc hin: - t điu kin cho cn thc có ngha, - Chuyn v sao cho 2 v đu không âm, - Bình phng c hai v đ kh cn. VÍ D - BÀI TP Ví d 1: Gii các phng trình, bt phng trình sau: 1. 2 4 2x x x 2 2 2 2 x 2 0 4 2x x x 2 x2 x2 x3 x 0 x 3 x 3x 0 Vy: x3 2. x 4 1 x 1 2x x 4 1 x 1 2x iu kin : x 4 0 1 1 x 0 4 x 2 1 2x 0 2 x 4 2 3x 2 2x 3x 1 2 2x 1 2x 3x 1 22 2x 1 0 (2x 1) 2x 3x 1 22 2x 1 0 4x 4x 1 2x 3x 1 2 1 x 2 2x 7x 0 1 x 2 x0 7 x 0 x 2 So điu kin nhn x0 Vy: x0 3. 2 x 4x 5 3x 17 2 22 2 x 4x 5 0 3x 17 0 x 4x 5 (3x 17) x 1 x 5 x 1 x 5 17 17 xx 33 21 8x 98x 294 0 x x 7 4 x7 Vy: x7 4. 2 3x 19x 20 4x 4 2 2 2 4x 4 0 4x 4 0 3x 19x 20 0 3x 19x 20 (4x 4) 2 x1 x1 4 x 5 x 13x 51x 4 0 3 x1 4 x 5 x 1 1 3 x4 13 4 x 5 x 1 1 x 4 3 Vy: 4 x 5 x 1 1 x 4 3 5. x 12 2x 1 x 3 x 12 x 3 2x 1 (*) CÁC DNG C BN www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 2 iu kin: x 12 0 x 3 0 x 3 2x 1 0 (*) x 12 x 3 2x 1 2 2 x 12 x 3 2x 1 2 (x 3)(2x 1) 14 2x 2 (x 3)(2x 1) (x 3)(2x 1) 7 x (x 3)(2x 1) 0 7 x 0 (x 3)(2x 1) 49 14x x 1 x x 3 2 x7 x 9x 52 0 1 x x 3 2 1 x 7 x 3 x 4 2 x 4 x 13 So điu kin 3 x 4 . Vy: 3 x 4 Ví d 2: Gii các phng trình, bt phng trình sau: 1. 6 3 x 9 5x 3x (1) iu kin: 3 x 0 9 x 9 5x 0 5 (1) 2 9 x 5x 24x 27 22 9 x 0 81 18x x 5x 24x 27 2 x9 4x 6x 54 0 x9 9 x x 3 9 2 x x 3 2 So điu kin nhn x3 Vy: x3 2. 2 x 16 5 x3 x 3 x 3 (2) iu kin : 2 x 4 x 4 x 16 0 x4 x3 x 3 0 Do x 3 0 nên quy đng b mu ta đc: (2) 2 x 16 8 x 2 22 x 16 0 8 x 0 8 x 0 x 16 (8 x) x 4 x 4 x8 x8 16x 80 x8 x5 5x8 So điu kin nhn x5 Vy: x5 3. 2 (x 1) 16x 17 8x 15x 23 (3) iu kin : 17 16x 17 0 x 16 (3) (x 1) 16x 17 (x 1) 8x 23 (x 1) 16x 17 8x 23 0 x1 16x 17 8x 23 2 x1 8x 23 0 16x 17 64x 368x 529 x1 x1 23 x x4 8 x 2 x 4 So điu kin nhn x1 hoc x4 Vy: x1 hoc x4 1. 6 3 x 9 5x 3x 2. 2 x 16 5 x3 x 3 x 3 3. 2 (x 1) 16x 17 8x 15x 23 4. 22 (x 3) x 4 x 9 5. 22 2x 8x 6 x 1 2x 2 6. 2 51 2x x 1 1x Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình sau a) x 2 − 6x + 6 > 0. b) −4x 2 + x − 2 ≥ 0. c) x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 8x − 10 ≤ 0. d) x 4 + x 2 + 4x − 3 ≥ 0. Lời giải. a) Ta có x 2 − 6x + 6 > 0 ⇔ x > 3 + √ 3 x < 3 − √ 3 . Vậy tập nghiệm S = −∞; 3 − √ 3 ∪ 3 + √ 3; +∞ . b) Ta có ∆ = −31 < 0 ⇒ −4x 2 + x − 2 < 0, ∀x ∈ R. Vậy bất phương trình vô nghiệm. c) Bất phương trình tương đương với x 4 + 3x 2 − 10 − 4x 3 + 8x ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x 2 + 5 − 4x x 2 − 2 ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x 2 − 4x + 5 ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 ≤ 0 ⇔ − √ 2 ≤ x ≤ √ 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = − √ 2; √ 2 . d) Bất phương trình tương đương với x 4 + 2x 2 + 1 ≥ x 2 − 4x + 4 ⇔ x 2 + 1 2 ≥ (x −2) 2 ⇔ x 2 + x − 1 x 2 − x + 3 ≥ 0 ⇔ x 2 + x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1+ √ 5 2 x ≤ −1− √ 5 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −∞; −1− √ 5 2 ∪ −1+ √ 5 2 ; +∞ . Bài tập 2.2. Giải các bất phương trình sau a) x − 2 x 2 − 9x + 8 ≥ 0. b) x 2 − 3x − 2 x − 1 ≥ 2x + 2. c) x + 5 2x − 1 + 2x − 1 x + 5 > 2. d) 1 x 2 − 5x + 4 < 1 x 2 − 7x + 10 . Lời giải. a) Ta có bảng xét dấu x −∞ 1 2 8 +∞ x − 2 − | − 0 + | + x 2 − 9x + 8 + 0 − | − 0 + VT − || + 0 − || + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2] ∪ (8; +∞). b) Bất phương trình tương đương với x 2 − 3x − 2 − (x − 1) (2x + 2) x − 1 ≥ 0 ⇔ −x 2 − 3x x − 1 ≥ 0. Ta có bảng xét dấu 1 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu x −∞ −3 0 1 +∞ −x 2 − 3x − 0 + 0 − | − x − 1 − | − | − 0 + VT + 0 − 0 + || − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [0; 1). c) Bất phương trình tương đương với (x + 5) 2 + (2x − 1) 2 − 2 (x + 5) (2x − 1) (2x − 1) (x + 5) > 0 ⇔ x 2 − 12x + 36 2x 2 + 9x − 5 > 0. Ta có bảng xét dấu x −∞ −5 1 2 6 +∞ x 2 − 12x + 36 + | + | + 0 + 2x 2 + 9x − 5 + 0 − 0 + | + VT + || − || + 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5) ∪ 1 2 ; 6 ∪ (6; +∞). d) Bất phương trình tương đương với x 2 − 7x + 10 − x 2 + 5x − 4 (x 2 − 5x + 4) (x 2 − 7x + 10) < 0 ⇔ −2x + 6 (x 2 − 5x + 4) (x 2 − 7x + 10) < 0. Ta có bảng xét dấu x −∞ 1 2 3 4 5 +∞ −2x + 6 + | + | + 0 − | − | − x 2 − 5x + 4 + 0 − | − | − 0 + | + x 2 − 7x + 10 + | + 0 − | − | − 0 + VT + || − || + 0 − || + || − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2) ∪ (3; 4) ∪ (5; +∞). Bài tập 2.3. Giải các phương trình sau a) x 3 − 5x 2 + 5x − 1 = 0. b) x 3 − 3 √ 3x 2 + 7x − √ 3 = 0. c) x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = 0. d) (x − 3) 3 + (2x + 3) 3 = 18x 3 . e) x 2 + 1 3 + (1 − 3x) 3 = x 2 − 3x + 2 3 . f) (4 + x) 2 − (x − 1) 3 = (1 − x) x 2 − 2x + 17 . Lời giải. a) Ta có x 3 − 5x 2 + 5x − 1 = 0 ⇔ (x −1) x 2 − 4x + 1 = 0 ⇔ x = 1 x = 2 ± √ 3 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2 ± √ 3. b) Ta có x 3 − 3 √ 3x 2 + 7x − √ 3 = 0 ⇔ x − √ 3 x 2 − 2 √ 3x + 1 = 0 ⇔ x = √ 3 x = √ 3 ± √ 2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = √ 3, x = √ 3 ± √ 2. c) Ta có x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = 0 ⇔ (x −1) x 3 − 3x 2 − 4x + 12 = 0 ⇔ x = 1 x = 3 x = ±2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = ±2. d) Phương trình tương đương với (x − 3 + 2x + 3) 3 − 3(x − 3)(2x + 3)(x − 3 + 2x + 3) = 18x 3 ⇔ 9x 3 − 9x 2x 2 − 3x − 9 = 0 ⇔ 9x 7x 2 + 3x + 9 = 0 ⇔ x = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. e) Phương trình tương đương với x 2 + 1 + 1 − 3x 3 − 3(x 2 + 1)(1 − 3x)(x 2 + 1 + 1 − 3x) = x 2 − 3x + 2 3 ⇔ − 3(x 2 + 1)(1 − 3x)(x 2 − 3x + 2) = 0 ⇔ x = 1 3 x = 1 x = [...]... =0 =0 x2 + y 2 ( x + y 1) + 1 = 0 x+ y x + y 1 = 0 (V ì x + y > 0 nê n x2 + y 2 + 1 > 0) x+ y x + y =1 Thay vào pt (2) ta đợc : 1 = x 2 (1 x ) x 2 + x 2 = 0 x = 1 hoặc x = 2 Từ đó suy ra hệ đã cho có 2 nghiệm ( x; y ) {(1; 0 ) ; ( 2; 3)} Cỏch khỏc: x2 + y2 + 2 xy =1 x+ y ( x 2 + y 2 + 2 xy ) 1 + 2 xy 2 xy = 0 x+ y ( x + y 1)( x + y + 1)( x + y ) 2 xy ( x + y 1) = 0 ( x + y 1)