Đề thi Xác suất Thống kê Đại học Bách Khoa TPHCM

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ĐỀ THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ BỘ MÔN T0ÁN ỨNG DỤNG THỜI LƯỢNG : 90 PHÚT m m t tờ ( SV CHỈ ƯỢC DÙNG MÁY TÍNH CÁ NHÂN VÀ BẢNG TR THƠNG DỤNG) CÂU I Mỗi hộp có 16 sản phẩm, sản phẩm phẩm phế phẩm với xác suất Lấy ngẫu nhiên sản phẩm theo phương thức có hoàn lại toàn phẩm Tính xác suất để hộp có chứa toàn phẩm CÂU II Cho vec tơ n ẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đ n thời:  a x  y   x, y    0     y  nơi khác x 1 a) Xác định a b) Tính covarian véc tơ n ẫu nhiên (X, Y) CÂU III Thốn kê điểm kiểm tra mơn tốn 1(X) tốn (Y) số SV năm I có thốn kê sau: Y X 7 17 8 mj ni n 1) Hãy tính đ c trưn mẫu , viết phươn trình tươn quan tuyến tính Y theo X tính hệ số tươn quan mẫu 2) Hãy ước lượn điểm trun bình mơn tốn với độ tin cậy γ=0,95 3) Qui định SV có điểm trun bình ≥8 đạt loại tốt , phịn đào tạo côn bố tỷ lệ SV đạt loại tốt môn tốn I 0,39 Hãy cho nhận xét v bố với mức ý n hĩa α=0,01 CÂU I V • Thống kê chiều cao loại sau hai tháng tuổi cho kết • sau Ñoä cao (cm) 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 Số lượng 12 25 27 30 26 22 24 20 14 Với mức ý nghóa  = 0,01 kiểm định xem mẫu có phù hợp với phân phối chuẩn không? • CHỦ NHIỆM BỘ MƠN PGS.TS.N uyễn ình Huy HƯỚNG DẪN chi tiết cho câu 1: Có thể viết lại giả thiết này: Một hộp m 16 sản phẩm lấy n ẫu nhiên từ dây chuy n sản xuất có tỉ lệ phẩm 50% Từ hộp n ười ta lấy sản phẩm ( có hồn lại sau lần lấy) phẩm Tìm xác suất hộp ban đầu chứa 16 phẩm Từ iả thiết thấy ta khơn biết chắn tron hộp ban đầu có phẩm phế phẩm, khả năn xảy liệt kê tron 17 trườn hợp sau: H0: Hộp có phẩm 16 phế phẩm H1: Hộp có phẩm 15 phế phẩm H2: Hộp có phẩm 14 phế phẩm ………… H16: Hộp có 16 phẩm phế phẩm Theo thức Bernoulli, ta tính XS xảy từn biến cố sau: P  H   C160 (0,5)0  (0,5)16  C160 (0,5)16 P  H1   C161 (0,5)1  (0,5)15 P  H   C162 (0,5)  (0,5)14 P  H16   C1616 (0,5)16  (0,5)0 Gọi F biến cố sản phẩm lấy đ u phẩm XS cần tìm là: P(H16/F) Cơn thức tươn ứn cần dùn là: P( H16 F )  P( F ) (1) P( H16 )  P( F / H16 )  P( H ) P(F/ H )  P( H1 ) P(F/ H1 )   P( H16 ) P(F/ H16 ) P( H16 / F )  P(F) cần tính bằn thức xác suất toàn phần Giả sử rơi vào trườn hợp H3, tức tron hộp ban đầu có phẩm tron 16 sản phẩm, xác suất lấy lần phẩm ( có hồn lại) tính bằn cơng thức Bernoulli, bằn C66(3/16)6(13/16)0 Tính tươn tự cho tất trườn hợp: ) 0 16 1 P  F/H1   ( )  16 16 26 P  H   ( )6  16 16 P  F/H   ( P  H16   C1616 (0,5)16  (0,5) Thay vào thức (1), ta tính được: P( H16 / F )   16  C (0,5)     16   16 16 16 16   16   16   16 16  16  C16 (0,5)     C16 (0,5)     C16 (0,5)      C16 (0,5)     16   16   16   16  16  16  0, 000463 k  C16  k 16 16 16 k 1 Trường ĐHBK TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ƯD ĐE À THI HỌC KỲ MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ THỜI LƯNG 90 phút ĐỀ THI GỒM 02 TRANG (Thí sinh dùng bảng thông dụng máy tính cá nhân, không dùng tài liệu ) Câu Một túi chứa cầu trắng cầu đen Hai người chơi A B rút cầu túi (rút xong không trả lại vào túi) Trò chơi kết thúc có người rút cầu đen Người xem thua phải trả cho người số tiền số cầu rút nhân với USD Giả sử A người rút trước X số tiền A thu a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính EX Nếu chơi 150 ván trung bình A bao nhiêu? Câu Cho X , Y véc tơ ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là:   f ( x, y)   k.x2 y 0  neáu x   yx x trái lại a) Tìm số k b) Tìm hàm mật độ lề X Y c) Tính kỳ vọ ng Y Câu 3: Bán kính số sản phẩm sau Bán kính xi 3,4 Số lượng ni 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 18 42 14 Với mức ý nghóa   0,05 , coi bán kính sản phẩm tuân theo quy luật chuẩn ? Câu 4: Nghiên cứu phát triển loại người ta tiến hành đo đường kính X(cm) chiều cao Y(m) số Số liệu ghi baûng sau: Y 3 5 X 20 22 10 24 12 16 10 26 28 a) Ước lượng đường kính trung bình với độ tin cậy 99% b)Viết phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X c)Những loại cao 6m trở lên loại I Hãy ước lượng tỉ lệ loại I với độ tin cậy 90% d)Trước chiều cao trung bình loại m Số liệu lấy áp dụng biện pháp chăm sóc Với mức ý nghóa 5%, nhận xét tác dụng biện pháp chăm só c PHO CHỦ NHIỆM BỘ MÔN TS NGUYỄN BÁ THI Câu 1: a) Bảng PPXS cho số cầu rút (Z): Z P 7 35 Bảng PPXS cần tìm: X P -25 -15 35 35 6 b) E(X)=  - 0,8571 900 150*E(X) = Câu 2: a) k=2  x dy ln x   x b) f X ( x)   x x y     dx     y 2x y y  fY ( y )    dx    2x y  1y 0  -5 35 35 10 20 35 x 1 x 1 y 1  y 1 y0 c) Khơng có E(Y) Câu 3: n=91; x  4,1648; s  0, 2473 GTKĐ H0 : X  N(a=4,1648; (0,2473)2 ) GT H1 : X khơng có phân phối chuẩn  3,5  4,1648  p1 =     0,5  0, 4964  0,5 = 0,0036  0, 2473   3,  4,1648   3,5  4,1648    p2 =      0, 4700  0, 4964 = 0,0265  0, 2473   0, 2473  p3 = 0,1120 p4 =0,2545 p5 =0,3111 p6 =0,2047 p7 =0,0724 p8 =0,0152 02  17,0137  0,05 (8   1)  11,07 Bác bỏ H0 Câu 4: Số liệu bấm máy ( đề không yêu cầu hết): n  100; x  24,8 s X  2, 2978 y  24,8 sY  1,3076 sY  1,3142 xy  126, 66 r  0,8027 A  6,3191 B  0, 4568 2,58*2,3094  0,5958 100 b) Y = -6,3191 + 0,4568 * X a)   s X  2,3094 Khoảng UL: 24,8  0,5958 1, 64* 0,37*0, 63 Khoảng UL tỷ lệ: 0,37  0,0792  0, 0792 100 d) GTKĐ H0 : a= m H1: a  m 5, 01  z0  100  0, 0761  z  1,96 1,3142 Chấp nhận H0 c)   Trường ĐHBK TP HCM ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ Thời gian: 90 phút Bộ môn Toán ứng dụng (Thí sinh dùng Câu 1(2đ) máy tính cá nhân ) Ba công nhân sản xuất loại sản phẩm Xáùc suất để người thứ người thứ hai làm phẩm 0,92 Còn xác suất để người thứ làm phẩm 0,85 Một người số làm sản phẩm, thấy có phế phẩm Tìm xác suất để sản phẩm người sản xuất có phẩm Câu (2đ) Thời gian từ nhà tới trường sinh viên A đại lượng ngẫu nhiên T (đơn vị phút) có phân bố chuẩn Biết 68% số ngày A đến trường 20 phút 9% số ngày An 30 phút a) Tính thời gian đến trường trung bình sinh viên A độ lệch tiêu chuẩn b) Giả sử sinh viên A xuất phát từ nhà trước vào học 26 phút Tính xác suất để A bị muộn học Câu (3đ) Để nghiên cứu ảnh hưởng mức thu nhập X (triệu đồng) hộ gia đình mức độ tiêu dùng Y (kg) loại thực phẩm hàng tháng, người ta điều tra số gia đình thu bảng số liệu sau ñaây: Y 15 20 25 30 35 X 10 20 15 30 21 11 40 50 60 17 10 a) Tinh cac đ c trưng cua mẫu Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu X Y tính hệ số tương quan mẫu Ông chủ cửûa hàng cho trung bình ngày bán không 170 kg tốt nghỉ bán Từ số liệu trên, với mức ý nghóa 5%, cho biết cửûa hàng nên định ? Câu 5: Khi nghiên cứu phát triển loại cây, người ta tiến hành đo đường kính X(cm) chiều cao Y(m) số Số liệu ghi bảng sau: Y 3 5 X 20 22 10 24 12 16 10 26 28 a) Những cao từ m có đường kính từ 26 cm trở lên loại I Hãy ước lượng tỉ lệ loại I với độ tin cậy 90% b) Ước lượng đường kính trung bình loại với độ tin cậy 99% c) Trước chiều cao trung bình loại 5,2 m Số liệu lấy áp dụng biện pháp chăm sóc Với mức ý nghóa 5%, nhận xét tác dụng biện pháp chăm sóc PHÓ CHỦ NHIỆM BỘ MÔN TS NGUYỄN BÁ THI ĐÁP ÁN Câu 1: (2 đ) Phần sửa chi tiết cuối trang Gọi m số ghế ngồi nhà ăn ( 500 < m 0,99   m  500   m  500  2     0,99      0, 495  (2,58)  250   250  m  500   2,58  m  2,58  250  500  m  541 250 Caâu 2: ( đ) a) Tỷ lệ KL sai thiết bị: 95%* 4% + 5% *1% = 3,85% 0,95*4% b) P(sản phẩm phẩm/ sản phẩm bị loại)=  43, 43% 0,95*4%  0, 05*99% Câu 3: (2 đ) Ho: Bán kính phù hợp với phân phối chuẩn H1: Bán kính không phù hợp với phân phối chuẩn 2 (3)  7,81 n  110; x  4,1091 s  0, 2437 Các giá trị trung gian: Pi Ei =n*pi 0.0466 5.1265 0.1488 16.3719 0.2897 31.8633 0.2982 32.7998 0.1624 17.8595 0.0544 5.9790 02  6,6612  2 (Oi-Ei)^2/Ei 1.6106 1.1674 0.4684 2.5806 0.8340 0.0001 6.6612 Chấp nhận Ho Câu 4: ( đ) Gọi a lượng gạo bán trung bình hàng ngày Ho: a = 170 kg ( hay a 170 kg Do   5%  z2  1,645  W  (1,645;  ) n  113; x  175,0442 s  23, 2657 x  a0 n = 2,3047 W nên bác bỏ Ho Chấp nhận H1 s Cửa hàng nên tiếp tục bán TCKÑ Zo  Cách khác: Ho: a = 170 kg H1: a  170 kg z  1,96 n  113; x  175,0442 s  23, 2657 TCKÑ Zo  x  a0 n = 2,3047 s Bác bỏ Ho Chấp nhận H1 Coi lượng gạo TB bán hàng ngày thực khác 170 kg Do khoái lượng gạo bán TB hàng ngày x >170 kg nên ta coi a > 170 kg Neân cửa hàng cần tiếp tục bán Câu 5: ( đ) a) z  1,64 n  100; f  0, 46 Khoảng Ư L: (0,3783; 0,5413) b) z  2,58 n  46; x  26,7826 Khoaûng UL: (26,4072; 27,1580) c) Ho: a=5,2m H1: a 5,2 m z  1,96 n  100; y  0,51 TCKđ: Zo= -1,4457 Chấp nhận Ho Cách tương tự   0,0817 s  0,9869 s  1,3142   0,3754 Caâu 1: (2 đ) Phần sửa chi tiết Mỗi khách hàng đến nhà ăn vào ca với xác suất p = 0,5 đến vào ca với xác suất q=0,5 Các khách đến nhà ăn coi độc lập với (Như xuất dạng Bernoulli đây) Chúng ta có 1000 khách hàng Gọi X BNN số khách hàng ( 1000 khách nói trên) đến nhà ăn vào ca Khi 1000-X số khách hàng vào ăn ca Có thể nhận thấy biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức với n = 1000, p=0,5; q=0,5 { giải thích chi tiết qua ví dụ: 100 P(X=100)=C100 (0,5)900 1000 (0,5) ……… } 150 P(X=150)=C150 (0,5)850 1000 (0,5) Gọi m số ghế có nhà ăn ( m số) Muốn đủ chỗ cho khách ca m >= X (1); muốn đủ chỗ cho khách ca m >= 1000 –X (2) Muốn đủ chỗ cho khách ca 1000-m ≤ X ≤ m (3) Gọi A biến cố đủ chỗ ngồi cho khách ca { Nói thêm: Nếu muốn A xảy ( xác suất 100%) cần m >=1000 Nhưng đề yêu cầu xác suất không đủ chỗ ngồi nhỏ 1%, tức A xảy với xác suất lớn 99% nên thấy m cần tìm nhỏ 1000} YCBT: P(A) > 99%, dẫn đến P(1000-m ≤ X ≤ m) > 99% (4) Nếu dùng trực tiếp công thức P(1000  m  X  m)  m  1000  m k C1000 (0,5)k (0,5)1000k rõ ràng khơng dễ dàng May mắn có định lý giới hạn: n lớn ta coi X xấp xỉ phân phối chuẩn N(a= np; 2= npq) , biểu thị qua công thức:  k  np   k  np  P(k1  X  k2 )       npq   npq      Suy ra:  m  500   1000  m  500   m  500  P(1000-m ≤ X ≤ m)         2    250  250     250  (4)   m  500   m  500  2     0,99      0, 495  (2,58)  250   250  m  500   2,58  m  2,58  250  500  m  541 250 * Nếu không ghép (1) (2) thành (3) ta giải P(1) + P(2) > 99% kết tương tự Trường ĐHBK TPHCM Bộ môn Toán ứng dụng ĐỀ THI HỌC KỲ MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ Thời gian: 90 phút - Đề thi gồm trang - Thí sinh dùng bảng tra số máy tính bỏ túi - Các số gần làm tròn đến chữ số phần thập phân Câu (2,5 đ) Một hệ thống kỹ thuật gồm n phận mắc nối tiếp Xác suất hoạt động tốt phận khoảng thời gian T p Hệ thống ngừng hoạt động có phận bị hỏng Để nâng cao độ tin cậy hệ thống, người ta dự trữ thêm n phận theo phương thức a) phương thức b) sau: a) P P P P P P b) P P P P P P a) Tìm xác suất hoạt động tốt hệ thống dự trữ theo phương thức khoảng thời gian T b) Hỏi phương thức dự trữ mang lại độ tin cậy cao cho hệ thống? Câu ( 2,5 đ) Một nhà máy bán loại sản phẩm với giá USD sản phẩm Trọng lượng sản phẩm ĐLNN có phân bố chuẩn với kỳ vọng a kg độ lệch tiêu chuẩn   kg2 Giá thành làm sản phẩm là: c = 0,051a + 0,32 Nếu sản phẩm có trọng lượng bé 8kg phải loại bỏ không bán Hãy xác định a để lợi nhuận nhà máy lớn Câu ( đ) Khi nghiên cứu ảnh hưởng mức thu nhập X hộ gia đình (đơn vị: triệu đồng/ tháng) mức độ tiêu dùng Y loại thực phẩm (đơn vị: kg/ tháng), người ta khảo sát ngẫu nhiên 168 gia đình vùng thu bảng số liệu sau đây: X Y 10 10 20 13 30 18 25 15 40 50 60 27 11 20 a) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu X Y tính hệ số tương quan mẫu b) Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy cho trung bình mức thu nhập trung bình mức tiêu dùng loại thực phẩm gia đình vùng c) Có tài liệu nói tỷ lệ gia đình có thu nhập cao ( từ 50 triệu trở lên) 28% Với mức ý nghóa 3%, cho nhận xét độ tin cậy tài liệu Câu 4: ( đ) Dưới mẫu thống kê chiều cao loại sau hai tháng tuổi: Độ cao (cm) Số lượng 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 27 52 68 33 14 Với mức ý nghóa  = 0,01 kiểm định xem mẫu có phù hợp với phân phối chuẩn không? CHỦ NHIỆM BỘ MÔN PGS.TS.Nguyễn Đình Huy ĐÁP ÁN Câu 1: 2đ + 0,5 đ a) Theo phương thức a): Pa = (1- q2)n q=1-p n Theo phương thức b): Pb = 1- (1- p ) b) Pa = pn * ( 2- p )n > Pb = pn * ( – pn) ( tính chất hàm mũ) Câu 2: Gọi X trọng lượng sản phẩm Y số tiền thu sản xuất sản phẩm E(Y) = -c * P(X=8) = - 0,051 a + 0,18 - (8-a) E’a = - 0,051 + f(8-a) f(x) : hàm mật độ Gauss E’a = f(8-a) = 0,051  8-a =  2,02 ( tra bảng)  a= 5,98 ; a= 10,02 Xét dấu E’ dựa vào hàm f …  E(Y) đạt GTLN a= 10,02 Caâu 3: 1đ + 1đ+ 1đ a) R = 0,7538 Phương trình hồi quy x = 10,5681 +3,9746 y b) Khoảng ƯL cho mức thu nhập trung bình: 36,0714  1,96 11,5316/168 = 36,0714  1,7438  (34,3277 ; 37,8152 ) Khoảng ƯL cho nhu cầu trung bình: 6,4167  1,96 2,2187/168 = 6,4167  0,3307  (6,0859 ; 6,7474 ) c) Ho : p= 28%; H1: p ≠ 28% z= 2,17 Miền bác bỏ W = ( -; -2,17) ( 2,17; +) f = 38/168 = 0,2262 zqs = (0,2262 – 0,28)* 168/ (0,28* 0,72) = -1,5533  W Chấp nhận Ho Tài liệu coi đáng tin Caâu 4: đ Ho: Mẫu phù hợp phân phối chuẩn a = 12,37 ;  = 2,3797 H1: Mẫu không phù hợp phân phối chuẩn Tra bảng 2= 11,34 Miền bác bỏ W = (11,34 ; +) Pi Ei =n*pi 0.033152 6.630356 0.126492 0.278577 0.315095 25.29836 55.71544 63.01895 0.183105 0.063579 36.62102 12.71588 2qs = 1,3036  W Chấp nhận Ho Mẫu phù hợp với phân phối chuẩn Trường ĐHBK TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ Thời gian: 90 phút Bộ môn Toán ứng dụng - Đề thi gồm trang - Thí sinh dùng bảng tra số máy tính bỏ túi - Không sử dụng tài liệu CÂU 1: (1,5đ) Có n cầu đánh số từ đến n ( n≥ 5) Lấy ngẫu nhiên cầu Gọi X số nhỏ cầu lấy Tính P(X=1); P(X= k) CÂU 2: (2đ) Thời gian hoạt động tốt liên tục (không phải sửa chữa) loại tivi biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với kỳ vọng  =4300 độ lệch chuẩn  = 250 Ước tính ngày tivi sử dụng trung bình 10 Thời hạn tivi bảo hành miễn phí năm (360 ngày) a) Tìm tỷ lệ tivi mà công ty sản xuất phải bảo hành b) Sau thời gian đầu tư cải tiến công nghệ cho sản phẩm, công ty nhận thấy tăng thời gian bảo hành cho sản phẩm lên đến năm mà tỷ lệ sản phẩm cần phải bảo hành không đổi Hãy cho biết thời gian hoạt động tốt trung bình sản phẩm tăng lên giả thiết phương sai thời gian sản phẩm hoạt động tốt không thay đổi? CÂU 3: (1,5đ) Từ n cặp vợ chồng người ta chọn ngẫu nhiên m người nam m người nữ Hãy tính xác suất để chọn k cặp vợ chồng ( k