Đề thi Xác suất Thống kê Đại học Bách Khoa TPHCM

Thí sinh được dùng bảng thông dụng và máy tính cá nhân, không dùng tài liệu Câu 1.. Để nghiên cứu về sự ảnh hưởng của mức thu nhập X triệu đồng của các hộ gia đình đối với mức độ tiêu d

1

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ĐỀ THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ

BỘ MƠN T0ÁN ỨNG DỤNG THỜI LƯỢNG : 90 PHÚT

m 2 m t tờ 4

( SV CHỈ ƯỢC DÙNG MÁY TÍNH CÁ NHÂN VÀ BẢNG TR THƠNG DỤNG)

CÂU I Mỗi hộp có 16 sản phẩm, trong đó mỗi sản phẩm đều có thể là chính

phẩm hoặc phế phẩm với xác suất như nhau Lấy ngẫu nhiên lần lượt 6 sản phẩm

theo phương thức có hoàn lại thì được toàn chính phẩm Tính xác suất để hộp có

chứa toàn chính phẩm

CÂU II Cho vec tơ n ẫu nhiên (X,Y) cĩ hàm mật độ đ n thời:

b) Tính covarian của véc tơ n ẫu nhiên (X, Y)

CÂU III Thốn kê điểm kiểm tra mơn tốn 1(X) và tốn 2 (Y) của một số SV năm

1) Hãy tính các đ c trưn của mẫu trên , viết phươn trình tươn quan tuyến tính

của Y theo X và tính hệ số tươn quan mẫu

2) Hãy ước lượn điểm trun bình của các mơn tốn trên với độ tin cậy γ=0,95

Y

X

2

3) Qui định SV có điểm trun bình ≥8 thì đạt loại tốt , phòn đào tạo côn bố tỷ

lệ SV đạt loại tốt của môn toán I là 0,39 Hãy cho nhận xét v côn bố đó với mức ý n hĩa α=0,01

3

4

HƯỚNG DẪN chi tiết cho câu 1:

Có thể viết lại giả thiết bài này:

Một hộp m 16 sản phẩm được lấy ra n ẫu nhiên từ 1 dây chuy n sản xuất có tỉ lệ chính phẩm là 50% Từ hộp đó n ười ta lấy ra 6 sản phẩm ( có hoàn lại sau mỗi lần lấy) thì được

cả 6 chính phẩm Tìm xác suất hộp ban đầu đó chứa cả 16 chính phẩm

Từ iả thiết có thể thấy ta khôn biết chắc chắn tron hộp ban đầu có bao nhiêu chính phẩm và phế phẩm, các khả năn có thể xảy ra được liệt kê tron 17 trườn hợp như sau:

16 6

ở đây P(F) cần tính bằn côn thức xác suất toàn phần

Giả sử rơi vào trườn hợp H3, tức là tron hộp ban đầu có 3 chính phẩm tron 16 sản phẩm, thì xác suất lấy cả 6 lần được chính phẩm ( có hoàn lại) sẽ được tính bằn công thức Bernoulli, bằn C6

6(3/16)6(13/16)0 Tính tươn tự cho tất cả các trườn hợp:

6 6

6 6 6

Trường ĐHBK TP.HCM ĐE À THI HỌC KỲ MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN ƯD THỜI LƯỢNG 90 phút

ĐỀ THI GỒM 02 TRANG

(Thí sinh được dùng bảng thông dụng và máy tính cá nhân, không dùng tài liệu)

Câu 1 Một túi chứa 4 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen Hai người chơi A và B lần lượt rút một quả cầu trong túi (rút xong không trả lại vào túi) Trò chơi kết thúc khi có người rút được quả cầu đen Người đó xem như thua cuộc và phải trả cho người kia số tiền là số quả cầu đã rút ra nhân với 5 USD Giả sử

A là người rút trước và X là số tiền A thu được

a) Lập bảng phân bố xác suất của X

b) Tính EX Nếu chơi 150 ván thì trung bình A được bao nhiêu?

Câu 2 Cho X , Y là véc tơ ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là:

b) Tìm hàm mật độ lề của X và của Y

c) Tính kỳ vọng của Y

Câu 3: Bán kính của một số sản phẩm như sau

a) Ước lượng đường kính trung bình của cây với độ tin cậy 99%

b)Viết phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu của Y theo X

c)Những loại cây cao 6m trở lên là cây loại I Hãy ước lượng tỉ lệ cây loại I với độ tin cậy 90%

d)Trước đây chiều cao trung bình của loại cây này là 5 m Số liệu trên lấy ở những cây áp dụng một biện pháp chăm sóc mới Với mức ý nghĩa 5%, hãy nhận xét về tác dụng của biện pháp chăm sóc đó

PHO CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

TS NGUYỄN BÁ THI

6 35

3 35

1 35Bảng PPXS cần tìm:

35

6 35

3 7

2 7

3 35b) E(X)= 6

Trường ĐHBK TP HCM ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Bộ môn Toán ứng dụng Thời gian: 90 phút

Câu 2 (2đ)

Thời gian đi từ nhà tới trường của sinh viên A là một đại lượng ngẫu nhiên T (đơn vị là phút) có phân bố chuẩn Biết rằng 68% số ngày A đến trường mất hơn 20 phút và 9% số ngày An đi mất hơn 30 phút

a) Tính thời gian đến trường trung bình của sinh viên A và độ lệch tiêu chuẩn

b) Giả sử sinh viên A xuất phát từ nhà trước giờ vào học 26 phút Tính xác suất để A bị muộn học

Câu 3 (3đ)

Để nghiên cứu về sự ảnh hưởng của mức thu nhập X (triệu đồng) của các hộ gia đình đối với mức độ tiêu dùng Y (kg) về một loại thực phẩm hàng tháng, người ta điều tra ở một số gia đình và thu được bảng số liệu sau đây:

b) Với độ tin cậy 0,99, tìm các khoảng tin cậy cho phương sai của mức thu nhập và mức độ tiêu dùng của loại thực phẩm của các gia đình

c) Có tài liệu nói tỷ lệ gia đình có thu nhập cao ( từ 50 triệu trở lên) là 25% Với mức ý nghĩa 0,01 hãy cho nhận xét về độ tin cậy của tài liệu trên

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

PGS.TS.Nguyễn Đình Huy

ÁP ÁN

Các chữ số gần đúng phải lấy làm tròn 4 chữ số phần thập phân

Các bài kiểm định phải có đầy đủ giả thiết Ho và H 1

Câu 1: ( đ)

Gọi F1 là biến cố lần đầu người đó sản xuất ra 8 sản phẩm thì có 2 phế phẩm

Gọi F2 là biến cố lần sau người đó sản xuất ra 8 sản phẩm thì có 2 phế phẩm

1 0,92 0, 08

1 0,85 0,15

 Khoảng ƯL cho phương sai của X:

c) Gọi p là tỉ lệ gia đình có thu nhập cao

Giả thiết kiểm định H0 : p = 25%

Giả thiết đối H1 : p  25%

Tra bảng z 2,58

Tính tckđ: 0

23

0, 25 121

Giả thiết Kiểm định H0 : Mẫu phù hợp phân phối chuẩn

H1: Mẫu không phù hợp phân phối chuẩn

Trường ĐHBK TP HCM ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bộ môn Toán ứng dụng Thời lượng: 90 phút

Đêề gồm 2 m t tờ A4

- Thí sinh chỉ được dùng ba ng tra số và máy tính bỏ túi

- Các giá trị gần đúng được lấy 4 chữ số phần thập phân

Câu 1 (2 đ)

Một người viết n bức thư cho n người bạn (mỗi người một bức thư khác nhau) Trong mỗi phong bì anh ta bỏ một bức thư , rồi ghi ngẫu nhiên đđịa chỉ của một trong n người bạn ( mỗi đđịa chỉ ghi một lần) Hãy tính xác suất để có ít nhất một bức thư ghi đúng địa chỉ

Câu 2 (2 đ)

Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến chừng nào một người ném lọt rổ thì dừng lại Người thứ nhất ném trước Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần ném bóng của người thứ nhất, biết xác suất ném lọt rổ của người thứ nhất là 0,45 và của người thứ hai là 0,36 Tính

kỳ vọng E(X), phương sai D(X)

Câu 3 (3 đ)

Khi nghiên cứu về sự ảnh hưởng của thu nhập X(triệu đồng ) đối với mức độ tiêu dùng Y(kg) về một loại thực phẩm hàng tháng , người ta điều tra ở các gia đình và thu được bảng số liệu sau đây:

b) Với độ tin cậy 0,95, hãy tìm các khoảng tin cậy cho phương sai của mức thu nhập và mức độ tiêu dùng đối với loại thực phẩm này của các gia đình trên c) Có tài liệu nói tỷ lệ gia đình có thu nhập cao ( từ 50 triệu trở lên) là 31% Với mức ý nghĩa 0,05 hãy cho nhận xét về độ tin cậy của tài liệu trên

Câu 4 (3 đ)

Trong một thí nghiệm khoa học người ta nghiên cứu độ dày của lớp mạ kền thu được khi dùng ba loại bể mạ khác nhau Sau một thời gian mạ, người ta

đo độ dày của lớp mạ nhận được ở các bể và được số liệu sau:

Độ dày lớp mạ

HƯỚNG DẪN

Câu 1: (2đ)

Gọi Ai là biến cố lá thư thứ i ghi đúng địa chỉ i = 1,2,…n

Gọi B là biến cố có ít nhất 1 lá thư đến đúng địa chỉ

Gọi Ai là biến cố người thứ nhất ném trúng ở lần thứ i; i= 1,2,3…

Gọi Bi là biến cố người thứ hai ném trúng ở lần thứ i; i= 1,2,3…

c) Gọi p là tỉ lệ gia đình có thu nhập cao

Giả thiết kiểm định H0 : p = 31% Giả thiết đối H1 : p  31%

Tra bảng z  1,96

Tính tckđ: 0

37 0,31 121

121 0,1002 0,31*0, 69

z



Câu 4: (3đ)

Giả thiết kiểm định H0: Độ dày lớp mạ không phụ thuộc loại bể mạ được dùng

H1: Độ dày lớp mạ phụ thuộc loại bể mạ được dùng

Trường ĐHBK TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ

Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Thời gian: 90 phút

- Đề thi gồm 2 trang

- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi

- Không sử dụng tài liệu

Câu 1:

Một nhà ăn phải phục vụ bữa trưa cho 1000 khách trong hai đợt liên tiếp Số chỗ ngồi của nhà ăn phải ít nhất là bao nhiêu để xác suất của biến cố: “không đủ chỗ cho khách đến ăn” là bé hơn 1%? Giả thiết rằng mỗi khách có thể đến ngẫu nhiên một trong hai đợt

Câu 2:

Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5% Tất cả các sản phẩm của máy sẽ được kiểm tra chất lượng bởi một thiết bị tự động Tuy nhiên tỷ lệ kết luận sai của thiết bị này đối với chính phẩm là 4%, còn đối với phế phẩm là 1% Nếu sản phẩm bị thiết bị kết luận là phế phẩm thì sẽ bị loại

a) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị thiết bị kiểm tra đó kết luận nhầm

b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị thiết bị loại sai

Ông chủ cửûa hàng cho rằng nếu trung bình một ngày bán ra không quá 170 kg thì tốt hơn là nghỉ bán Từ số liệu trên, với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết cửûa hàng nên quyết định thế nào ?

b) Ước lượng đường kính trung bình của cây loại 1 với độ tin cậy 99%

c) Trước đây chiều cao trung bình của loại cây này là 5,2 m Số liệu trên lấy ở những cây áp dụng một biện pháp chăm sóc mới Với mức ý nghĩa 5%, hãy nhận xét về tác dụng của biện pháp chăm sóc đó

PHÓ CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

TS NGUYỄN BÁ THI

ĐÁP ÁN Câu 1: (2 đ) Phần sửa chi tiết hơn ở cuối trang

Gọi m là số ghế ngồi trong nhà ăn ( 500 < m <1000)

Gọi X là số khách vào nhà ăn trong đợt 1

X có phân phối Nhị thức với n =1000, p=1/2

Xác suất đủ chỗ ngồi cho khách = P( số khách đến ca 1 ≤ m và số khách đến ca 2 ≤ m )

Ho: Bán kính phù hợp với phân phối chuẩn

H1: Bán kính không phù hợp với phân phối chuẩn

   Chấp nhận Ho

Câu 4: ( 1 đ) Gọi a là lượng gạo bán ra trung bình hàng ngày

Ho: a = 170 kg ( hay a<=170 kg , dấu = phải ở biểu thức của Ho)



 = 2,3047 W  nên bác bỏ Ho Chấp nhận H1

Cửa hàng nên tiếp tục bán

Cách khác:

Bác bỏ Ho Chấp nhận H1 Coi như lượng gạo TB bán được hàng ngày thực sự khác 170 kg

Do khối lượng gạo bán TB hàng ngày x >170 kg nên ta coi như a > 170 kg

Nên cửa hàng cần tiếp tục bán

Caâu 1: (2 đ) Phần sửa chi tiết hơn

Mỗi khách hàng có thể đến nhà ăn vào ca 1 với xác suất p = 0,5 và đến vào ca 2 với xác suất q=0,5 Các khách đến nhà ăn được coi là độc lập với nhau (Như vậy đã xuất hiện dạng bài Bernoulli ở đây)

Chúng ta có 1000 khách hàng như vậy

Gọi X là BNN chỉ số khách hàng ( trong 1000 khách nói trên) đến nhà ăn vào ca 1 Khi đó 1000-X là số khách hàng vào ăn ở ca 2

Có thể nhận thấy biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức với n = 1000, p=0,5; q=0,5

{ giải thích chi tiết hơn qua ví dụ:

Gọi m là số ghế đã có trong nhà ăn ( m là 1 hằng số)

Muốn đủ chỗ cho khách ở ca 1 thì m >= X (1);

muốn đủ chỗ cho khách ở ca 2 thì m >= 1000 –X (2)

Muốn đủ chỗ cho khách ở cả 2 ca thì 1000-m ≤ X ≤ m (3)

Gọi A là biến cố đủ chỗ ngồi cho khách ở cả 2 ca

{ Nói thêm: Nếu muốn A luôn xảy ra ( xác suất 100%) thì cần m >=1000 Nhưng đề chỉ yêu cầu xác suất không đủ chỗ ngồi nhỏ hơn 1%, tức là A xảy ra với xác suất lớn hơn 99% nên có thể thấy m cần tìm có thể nhỏ hơn 1000}

YCBT: P(A) > 99%, dẫn đến P(1000-m ≤ X ≤ m) > 99% (4)

1000 1000

1

Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Thời gian: 90 phút

- Đề thi gồm 2 trang

- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi

- Các số gần đúng làm tròn đến 4 chữ số phần thập phân

Câu 1 (2,5 đ) Một hệ thống kỹ thuật gồm n bộ phận mắc nối tiếp nhau Xác

suất hoạt động tốt của mỗi bộ phận trong khoảng thời gian T là p Hệ

thống sẽ ngừng hoạt động khi có ít nhất một bộ phận bị hỏng

Để nâng cao độ tin cậy của hệ thống, người ta dự trữ thêm n bộ phận nữa

theo phương thức a) hoặc phương thức b) như sau:

Câu 2 ( 2,5 đ) Một nhà máy bán một loại sản phẩm với giá 1 USD một sản

phẩm Trọng lượng của sản phẩm là một ĐLNN có phân bố chuẩn với kỳ

vọng a kg và độ lệch tiêu chuẩn 2  1 kg2 Giá thành làm ra một sản

phẩm là: c = 0,051a + 0,32 Nếu sản phẩm có trọng lượng bé hơn 8kg

thì phải loại bỏ vì không bán được

Hãy xác định a để lợi nhuận của nhà máy là lớn nhất

Câu 3 ( 3 đ) Khi nghiên cứu về sự ảnh hưởng của mức thu nhập X của các hộ

gia đình (đơn vị: triệu đồng/ tháng) đối với mức độ tiêu dùng Y đối với một

c) Có tài liệu nói tỷ lệ gia đình cĩ thu nhập cao ( từ 50 triệu trở lên) là 28% Với mức

ý nghĩa 3%, hãy cho nhận xét về độ tin cậy của tài liệu trên

Câu 4: ( 2 đ) Dưới đây là một mẫu thống kê về chiều cao của một loại cây sau hai

3

ĐÁP ÁN Câu 1: 2đ + 0,5 đ

a) Theo phương thức a): Pa = (1- q2)n q=1-p

E’a = - 0,051 + f(8-a) f(x) : hàm mật độ Gauss

E’a = 0 khi f(8-a) = 0,051  8-a =  2,02 ( tra bảng)  a= 5,98 ; a= 10,02 Xét dấu E’ dựa vào hàm f …  E(Y) đạt GTLN tại a= 10,02

Câu 3: 1đ + 1đ+ 1đ

a) R = 0,7538 Phương trình hồi quy x = 10,5681 +3,9746 y

b) Khoảng ƯL cho mức thu nhập trung bình:

36,0714  1,96 11,5316/168 = 36,0714  1,7438

 (34,3277 ; 37,8152 ) Khoảng ƯL cho nhu cầu trung bình:

6,4167  1,96 2,2187/168 = 6,4167  0,3307  (6,0859 ; 6,7474 ) c) Ho : p= 28%; H1: p ≠ 28%

Ho: Mẫu phù hợp phân phối chuẩn a = 12,37 ;  = 2,3797

H1: Mẫu khơng phù hợp phân phối chuẩn

Trường ĐHBK TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ

Bộ môn Toán ứng dụng MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Thời gian: 90 phút

- Đề thi gồm 2 trang

- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi

- Không sử dụng tài liệu

CÂU 1: (1,5đ) Có n quả cầu được đánh số từ 1 đến n ( n≥ 5) Lấy ngẫu

nhiên ra 5 quả cầu Gọi X là số nhỏ nhất trên các quả cầu đã được lấy ra Tính P(X=1); P(X= k)

CÂU 2: (2đ) Thời gian hoạt động tốt liên tục (không phải sửa chữa) của

một loại tivi là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với kỳ vọng  =4300 giờ và độ lệch chuẩn  = 250 giờ Ước tính mỗi ngày một tivi được sử dụng trung bình 10 giờ Thời hạn tivi được bảo hành miễn phí là 1 năm (360 ngày)

a) Tìm tỷ lệ tivi mà công ty sản xuất phải bảo hành

b) Sau một thời gian đầu tư cải tiến công nghệ cho sản phẩm, công ty nhận thấy rằng hiện giờ có thể tăng thời gian bảo hành cho các sản phẩm lên đến 2 năm mà tỷ lệ sản phẩm cần phải bảo hành vẫn không đổi Hãy cho biết thời gian hoạt động tốt trung bình của mỗi sản phẩm đã tăng lên bao nhiêu nếu giả thiết phương sai của thời gian sản phẩm hoạt động tốt không thay đổi?

CÂU 3: (1,5đ) Từ n cặp vợ chồng người ta chọn ngẫu nhiên ra m người

nam và m người nữ Hãy tính xác suất để chọn được đúng k cặp vợ chồng ( k<m<n , 2m<n+k )

CÂU 4: (2đ) Người ta đo bán kính (cm) của một số sản phẩm được lựa

chọn ngẫu nhiên và có kết quả như sau:

Bán kính x i 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6

Số lượng n i 4 6 10 18 42 14 6

Với mức ý nghĩa 5%, có thể coi bán kính các sản phẩm này tuân theo quy luật chuẩn không?

CÂU 5: (3đ) Nghiên cứu về sự ảnh hưởng của mức thu nhập X (triệu

đồng/tháng) đối với mức tiêu dùng Y (kg/tháng) về một loại thực phẩm ở

150 hộ gia đình trong vùng, người ta thu được số liệu:

c) Với mức ý nghĩa 10%, hãy xét xem mức tiêu dùng Y có phụ thuộc vào mức thu nhập X hay không ?

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

TS NGUYỄN BÁ THI

ĐÁP ÁN Câu 1: 1,5 đ

4

1 5

     (Có thể trả lời theo µ’- µ)

Câu 3: 1,5 đ Câu này khơng chia nhỏ để chấm điểm thành phần.

 Chọn tiếp m-k người nữ từ n-k người phụ nữ chưa được chọn

 Chọn thêm m-k người nam từ (n-k) – (m-k) người nam chưa được chọn và vợ họ cũng chưa được chọn

Câu 4: 2đ n100 x4,108 s0, 2777 (s0, 2791)

Ho: mẫu phù hợp phân phối chuẩn

H1: mẫu không phù hợp phân phối chuẩn

Miền bác bỏ: Wα =( 9,49; +∞)

Tiêu chuẩn kđ: qs2 = 18,8545  Wα Bác bỏ H0

Mẫu không phù hợp phân phối chuẩn

( Cĩ thể dùng cơng thức rút gọn để tính  2

nhanh hơn ).