Đại cương về không gian vec tơ tô pô khoá luận tốt nghiệp

UỶ BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN NGUYỄN CƠNG MINH ĐẠI CƯƠNG VỀ KHƠNG GIAN VEC-TƠ TƠ-PƠ KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành: Sư Phạm Tốn học Trình độ đào tạo: Đại học Tp Hồ Chí Minh - 2017 UỶ BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN NGUYỄN CƠNG MINH ĐẠI CƯƠNG VỀ KHƠNG GIAN VEC-TƠ TƠ-PƠ KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành: Sư Phạm Tốn học Trình độ đào tạo: Đại học Người hướng dẫn: Ts LÊ MINH TUẤN Tp Hồ Chí Minh - 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, nội dung nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn NGUYỄN CÔNG MINH Lời cảm ơn Tơi xin chân thành cảm ơn Q thầy cơ, Q cơng nhân viên trường Đại học Sài Gòn tạo điều kiện để tơi học tập năm qua Tôi xin chân thành cảm ơn Q thầy Khoa Tốn - Ứng dụng, người thầy trực tiếp xây khả tự học tiến Tôi xin cảm ơn người bạn dồng hành q trính học Tơi xin chân thành cảm bạn Nguyễn Khánh Trường, người trực tiếp đồng hành q trình thực khóa luận Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy Lê Minh Tuấn, người giúp tiến nhiều việc học Toán, khơi dậy niềm đam mê học tập tơi mà người trực tiếp hướng dẫn tơi thực khóa luận Bốn năm Đại học trôi qua với trải nghiệm trưởng thành hơn, thực biết ơn giúp đỡ hi sinh thời gian tâm sức q thầy bạn dành cho Tôi cố gắng chăm hơn, tiến để giúp đỡ người khác PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích hàm ngành giải tích tốn học nghiên cứu không gian trang bị thêm cấu trúc tơpơ phù hợp tốn tử tuyến tính liên tục chúng Chính việc nghiên cứu phổ toán tử dẫn đến việc nghiên cứu đại số tơ-pơ, đối tượng khác giải tích hàm Các kết phương pháp thâm nhập vào nhiều ngành khác lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết toán cực trị biến phân, phương pháp tính, lý thuyết biểu diễn, Ra đời vào năm đầu kỷ 20, bắt nguồn từ cơng trình phương trình tích phân Hilbert, Fredholm, , đến giải tích hàm tích lũy thành tựu quan trọng trở thành chuẩn mực việc nghiên cứu trình bày kiến thức tốn học Đặc biệt, Khơng gian tơ-pơ sở tảng sơ khởi cho ngành tốn Tuy nhiên, chương trình tốn Đại học Việt Nam nói chung Đại học sài Gòn nói riêng, mơn Giải tích hàm tiếp cận thông qua không gian Định chuẩn Không gian Metric mà khơng có liên hệ nhiều với mơn tơ-pơ đại cương mà trước sinh viên chúng tơi học Điều thật đáng tiếc! Bên cạnh đó, tơi thực hứng thú với hướng tiếp cận môn học thông qua Không gian tô-pô, nên thực đề tài "Đại cương Không gian tô-pô" nhằm mở rộng tầm hiểu biết thân có thêm góc nhìn mới, hướng tiếp cận khác hẳn khó khăn tơi học Mục đích nghiên cứu Ngồi lý làm thỏa mãn tò mò nhu cầu cải thiện lực thân liên kết lại thứ học, mục đích nghiên cứu đề tài tơi cung cấp hướng tiếp cận khác mơn Giải tích hàm thơng qua ngôn ngữ tô-pô, đồng thời tạo tài liệu tham khảo đáng tin cậy cho hứng thú với hướng nghiên cứu Khách thể đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Không gian tơ-pơ Khách thể nghiên cứu: Giải tích hàm Giả thiết khoa học Khơng có Nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ khái niệm, định lí, tính chất, cấu trúc Không gian tô-pô Giải tập, ví dụ nhằm minh họa cho Khơng gian tơ-pơ Phạm vi nghiên cứu Nội dung Khóa luận chủ yếu dựa vào Functional Analysis Walter Rudin, McGraw-Hill Book Company, 1973 Thời gian: năm (Từ tháng năm 2016 đến tháng năm 2017) Địa điểm: Đại học Sài Gòn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu tơ-pơ Giải tích hàm học, phân tích chúng thành phận để tìm hiểu sâu sắc đối tượng Liên kết khái niệm, tính chất phân tích nhằm làm rõ ràng sáng tỏ Không gian tô-pô Phương pháp chuyên gia: Hỏi ý kiến thầy Lê Minh Tuấn bạn Nguyễn Khánh Trường hướng nghiên cứu vấn đề khó giải Dự kiến cấu trúc nội dung đề tài nghiên cứu nghiên cứu Ngoài phần Bìa, Lời cảm ơn, Lời cam đoan, Phần mở đầu, Tài liệu tham khảo, khóa luận dự kiến có phần chính: Chương 1: Khơng gian tơ-pơ Chương 2: Phụ lục Chương 3: Bài tập minh họa Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn PHẦN MỞ ĐẦU KHƠNG GIAN tơ-pơ 1.1 Ghi 1.2 Không gian vec-tơ 1.3 Không gian định chuẩn - không gian metric 1.4 Các không gian hàm 1.5 Không gian tô-pô 1.6 Không gian vec-tơ tô-pô 1.6.1 Mệnh đề 1.7 Tính bất biến 1.7.1 Mệnh đề 1.7.2 Hệ 1.7.3 Mệnh đề 1.8 Các kiểu không gian tô-pô 1.9 Một số mối quan hệ tính chất không gian tô-pô X Các tính chất rời rạc 1.10 Định lí 1.10.1 Mệnh đề 1.10.2 Hệ 1.11 Định lí 1.12 Định lí 1.13 Định lí 1.14 Định lí 1.14.1 Hệ 1.15 Định lí 11 11 11 13 14 15 16 16 17 18 18 18 19 20 20 20 21 22 23 23 23 25 27 27 Ánh xạ tuyến tính 29 1.16 Các định nghĩa 29 1.16.1 Tính chất 29 1.17 Định lí 30 1.18 Định lí 30 1.18.1 Mệnh đề 31 Không gian hữu hạn chiều 1.19 Các định nghĩa 1.19.1 Mệnh đề 1.20 Bổ đề 1.21 Định lí 1.21.1 Mệnh đề 1.22 Định lí 1.23 Định lí Phép Metric hóa 1.24 Định lí 1.24.1 Mệnh đề 1.24.2 Mệnh đề 1.25 Dãy Cauchy 1.25.1 Mệnh đề 1.25.2 Mệnh đề 1.26 Định lí 1.27 Định lí 1.28 Định lí Tính bị chặn tính liên tục 1.29 Tập bị chặn 1.29.1 Mệnh đề 1.30 Định lí 1.31 Các phép biến đổi tuyến tính bị 1.32 Định lí Nửa chuẩn tính lồi địa phương 1.33 Các định nghĩa 1.34 Định lí 1.35 Định lí 1.36 Định lí 1.37 Định lí 1.38 Các ý chặn 31 31 32 32 33 33 34 35 35 35 36 37 38 39 39 39 40 40 41 41 42 42 43 44 45 45 45 47 48 48 50 1.39 Định lí 52 Không 1.40 1.41 1.42 1.43 gian thương Các định nghĩa Định lí Định lí Các nửa chuẩn khơng Các ví 1.44 1.45 1.46 dụ Khơng gian C(Ω) Không gian H(Ω) Không gian C ∞ (Ω) DK 1.46.1 Mệnh đề 1.47 Không gian Lp với < p < 1.47.1 Mệnh đề 1.47.2 Hệ gian thương 52 52 53 55 56 56 56 57 57 59 60 61 62 Phụ lục 63 Bài tập minh hoạ Tài liệu tham khảo88 Chỉ mục.89 71 10 Xét định nghĩa "Tập bị chặn" phần 1.6 Nội dung định nghĩa có bị thay đổi khơng u cầu với lân cận V tương ứng với t > cho E ⊂ tV Bài Giải Gọi E tập bị chặn V lân cận Bởi Định lí 1.14 (a), tồn lân cận cân U cho U ⊂ V Theo định nghĩa tương ứng với s > cho E ⊂ sU ⊂ sV Mà U cân nên sU ⊂ tU với ∀t > s Do E ⊂ tU ⊂ tV với ∀t > s nội dung định nghĩa không đổi so với định nghĩa phần 1.6 Chứng minh tập E không gian tô-pô bị chặn tập đếm E bị chặn Bài Giải Chiều thuận hiển nhiên Ta chứng minh chiều ngược lại Giả sử E khơng bị chặn, tồn lân cận V X cho với ∀n ∈ N, ∃t(n) > n cho E t(n)V Suy tồn dãy {xt(n) } ∈ E/t(n)V Tất nhiên {xt(n) } tập đếm được, khơng bị chặn E nên vơ lí so với giả thiết Do E bị chặn Cho X không gian tất hàm số phức khoảng đóng đơn vị [0, 1], tơ-pơ hố họ nửa chuẩn Câu px (f ) = |f (x)| (0 ≤ x ≤ 1) tô-pô gọi tô-pô hội tụ điểm 15 Chứng minh có dãy {fn } ∈ X cho (a) {fn } hội tụ n → ∞, (b) {γn } dãy vơ hướng cho γn → ∞ {γn fn } khơng hội tụ Giải Theo đề bài, tồn song ánh Φ : [0, 1] −→ C0 15 Cho {f } dãy hàm số A ⊂ R vào R, cho A ⊂ A cho f : A → R Ta nói dãy {f } hội tụ n n 0 f A0 với x ∈ A0 , dãy {fn (x)} hội tụ f (x) R Trong trường hợp ta gọi f giới hạn dãy {fn } A0 Nếu hàm số f tồn tại, ta nói dãy {fn } hội tụ điểm A0 (Tham khảo phần Pointwise and Uniform Convergence Introduction to REAL ANLYSIS, Robert G.Bartle - Donald R.Sherbert , John Wiley and Sons.Inc , 2000) 76 α −→ {αn }n∈N với α ∈ [0, 1] , C0 không gian tất dãy số hội tụ bị chặn [0, 1] Xét dãy {fn } ∈ X với fn (α) = Φ(α)n = αn (phần tử thứ n dãy Φ(α)) Do fn (α) → f (α) = n → ∞ 1 ∈ C0 Dẫn đến → Suy γn γn Khi fn (x) = =⇒ γn fn (x) = với γn Mặt khác, với dãy {γn } với γn → ∞ tồn x ∈ [0, 1] cho Φ(x) = n Vậy γn fn γn Câu (a) Giả sử P họ nửa chuẩn rời rạc không gian X Cho Q họ nhỏ nửa chuẩn X mà chứa P đóng qua phép lấy max (nghĩa là: Nếu p1 ∈ Q, p2 ∈ Q p = max{p1 , p2 }, p ∈ Q ) Nếu cấu trúc định lí 1.37 áp dụng cho P Q , chứng minh hai tô-pô chúng trùng Điều khác biệt P dẫn trực tiếp tới sở, Q dẫn tới sở (Xem Chú ý (a) phần 1.38) (b) Giả sử Q câu (a) Λ phiếm hàm tuyến tính X Chứng minh Λ liên tục tồn p ∈ Q cho Λx ≤ Mp(x) với x ∈ X số M < ∞ Chứng minh (a) Ta xây dựng V (p′ , n) với p′ ∈ P định lí 1.37 Khi B = { V (p′ , n)} sở địa phương cân lồi với tô-pô τ X Gọi S = {V (p, n)} với p ∈ Q sở X cảm sinh tô-pô τS Giả sử Vτ lân cận X , theo định nghĩa, tồn p1 , , pm r1 , , rm > cho Vτ ⊃ V (p1 , r1 ) ∩ ∩ V (pm , rm ) Đặt p = max{p1 , , pm } ∈ Q r = max{r1 , , rm }, Vτ ⊃ V (p, r), dẫn tới τ ⊃ τS Ngược lại, gọi Vτs lân cận X , hiển nhiên Vτs ⊃ V (p′ , n) giả thiết Suy τS ⊃ τ (b) Giả sử X không gian tô-pô với tô-pô τS sinh họ nửa chuẩn Q Chiều thuận Ta có Λ liên tục, mà {Λx : |Λx| < 1} tập mở Φ Suy 77 {x ∈ X : |Λx| < 1} tập mở X chứa Do tồn p ∈ Q ⊂ {x ∈ X : |Λx| < 1} Suy |Λx| ≤ rp(x) r Chiều nghịch Giả sử tồn p ∈ Q cho Λx ≤ Mp(x) với x ∈ X số M < ∞ Khi Λx ≤ |M|p(x) = p(Mx), suy Λ bị chặn lân r > cho V (p, r) = x : p(x) < cận V (p, M) Áp dụng định lí 1.18 ta Λ liên tục Giả sử X Y không gian tô-pô Λ : X → Y tuyến tính N khơng gian đóng X π : X → X/N ánh xạ thương Λx = với x ∈ X Chứng minh Bài (a) Có ánh xạ f : X/N → Y cho Λ = f · π với x ∈ X (b) Ánh xạ f tuyến tính Λ liên tục f liên tục (c) Λ ánh xạ mở f ánh xạ mở Chứng minh Λ X Y π f X/Y (a) Xét x ∈ X giả sử tồn g = f cho g(π(x)) = Λx = f (π(x)), suy g = f (vô lí) (b) Chiều nghịch Với x, y ∈ X , α, β ∈ Φ, xét f (απ(x) + βπ(y)) = f (π(αx + βy)) = Λ(αx + βy) = αΛx + βΛx = αf (π(x)) + βf (π(y)) Vậy f tuyến tính Mặt khác f π liên tục nên Λ liên tục Chiều thuận Gọi V lân cận Λ0 Y , Λ liên tục nên tồn lân cận U X cho Λ(U) = f (π(U)) ⊂ V với π(U) tập mở chứa π(0) X/N , f liên tục 0, bên cạnh theo giả thiết f tuyến 78 tính, áp dụng định lí 1.17 suy f liên tục X/N (c) Chiều thuận Do Λ ánh xạ mở nên với tập mở V ∈ X Λ(V ) = f (π(V )) mở Y , mà π ánh xạ mở nên f Chiều nghịch Với tập mở V ∈ X π(V ) mở X/N , nên f (π(V )) = Λ(V ) mở Y Vậy Λ ánh xạ mở Giả sử X Y không gian tô-pô, dimY < ∞, Λ : X → Y tuyến tính Λ(X) = Y Bài 10 (a) Chứng minh Λ ánh xạ mở Chứng minh Λ X Y g f Φ n (a) Giả sử dimY = n, gọi {yi }i=1,n sở Y Do giả thiết, tồn {xi }i=1,n ∈ X cho Λxi = yi Xét ánh xạ sau: Φn f: −→ α = (αi ) −→ X αi xi với Φ trường vô hướng, α vơ hướng i = 1, n Ta có f ánh xạ liên tục X không gian tô-pô Với U lân cận mở X , tính liên tục nên f −1 (U) mở Φn f −1 (0) = 0, dẫn đến f −1 (U) lân cận Φn Mặt khác, Y hữu hạn chiều nên tồn đồng phơi g từ Y vào Φn (định lí 1.21) g: y= −→ Φn Y αi yi −→ (αi ) Suy g −1(f −1 (U)) lân cận Y Chú ý với y ∈ Y tồn αi cho y= αi Λxi = Λ αi xi = Λ(f (α)) = Λ(f (g(y))) 79 Suy g ◦ f ◦ Λ ánh xạ đồng Ta có f (g(g −1(f −1 (U))) = f (f −1 (U)) ⊂ U , suy Λ(f (g(g −1(f −1 (U))))) ⊂ ΛU , dẫn tới g −1(f −1 (U)) ⊂ ΛU Vậy ΛU chứa lân cận mở Y (*) Bây xét V tập mở X lấy y0 ∈ Λ(V ) Khi giả thiết, tồn x0 ∈ V ⊂ X cho Λx0 = y0 Đặt V ′ = V − x0 lân cận mở Khi từ (*), Λ(V ′ ) chứa lân cận mở W Y Suy Λ(V ) = Λ(V ′ + x0 ) = Λ(V ′ ) + Λx0 ⊃ W + y0 Vậy Λ ánh xạ mở Nếu N không gian không gian X , đồng chiều N X chiều không gian thương X/N Giả sử < p < 1, chứng minh khơng gian có đồng chiều hữu hạn dày đặc Lp Bài 11 Chứng minh Gọi M khơng gian Lp dimLp /M hữu hạn Giả sử M khơng dày đặc Lp Khi M ⊂ Lp dimLp /M hữu hạn Xét ánh xạ sau: φ : Lp /M −→ R f +M = αi fi + M −→ αi với {fi }i=1,2, ,dimLp /M sở Lp /M αi ∈ R Dễ thấy φ tuyến tính liên tục (vì phép cộng liên tục) Mặt khác theo định lí 1.41, π : Lp −→ Lp /M ánh xạ tuyến tính liên tục khác Suy π ◦ φ : Lp −→ R ánh xạ tuyến tính liên tục khác Vơ lí theo hệ 1.47.2 Vậy M dày đặc Lp Bài 12 Giả sử d1 (x, y) = |x − y| d2 (x, y) = |φ(x) − φ(y)| với φ(x) = x + |x| Chứng minh d1 d2 metric R mà cảm sinh tơ-pơ, d1 đầy đủ d2 khơng Chứng minh Gọi τi metric sinh di , i = 1, Xét ánh xạ φ sau: φ : R −→ 80 R x −→ x + |x| với x ∈ R Ta chứng minh φ song ánh Với x, y ∈ R, φ(x) = φ(y) x y + |x| + ⇔x= y + |x| + |y| + |y| Đồng hai vế ta x = y Vậy φ đơn ánh Mặt khác, với y ∈ R, tồn x = (1 + |y|)y cho φ(x) = y Vậy φ tồn ánh Tóm lại φ song ánh R Xét không gian metric (R, d1 ) isometry φ ∗ d1 : R × R −→ 16 sau: R (x, y) −→ d1 (φ(x), φ(y)) Rõ ràng φ ∗ d1 = d2 Ta chứng minh φ(X, φ ∗ d1) −→ φ(X, d1 ) đồng phơi Xét cầu mở Vr (x) = {y : d1 (x, y) < r} Khi φ−1 (Vr (x)) = {φ−1 (y) : d1 (φ−1 (x), φ−1 (y)) < r} cầu mở Vậy φ liên tục Tương tự ta nhận φ−1 liên tục Tóm lại φ(R, d2 ) −→ φ(R, d1 ) đồng phôi Mặt khác, id : (R, τ2 ) −→ (R, d2 ) đồng phơi Do φ ◦ id : (R, τ2 ) −→ (R, d1 ) đồng phôi Dẫn tới τ2 = τ1 Cho C không gian tất hàm số phức liên tục [0, 1] Định nghĩa Bài 13 d(f, g) = |f (x) − g(x)| dx + |f (x) − g(x)| Cho (C, σ) không gian tô-pô với tô-pô σ sinh metric Cho (C, τ ) không gian tô-pô định nghĩa nửa chuẩn px (f ) = |f (x)| (0 ≤ x ≤ 1), định lí 1.37 (a) Chứng minh tập bị chặn - τ C bị chặn - σ ánh xạ đồng id : (C, τ ) → (C, σ) biến cách tập bị chặn thành tập bị chặn 16 Tham khảo Bài tập phần Limit Point Compactness tô-pôlogy, James R.Munkres , Second Edition, Prentice Hall.Inc, 2000 81 (b) Chứng minh id : (C, τ ) → (C, σ) không liên tục, liên tục dãy 17 (bởi Định Lí Lebesgue’s dominated convergence 18 ) Dẫn tới (C, τ ) khơng metric hố Chứng minh trực tiếp (C, τ ) khơng có sở địa phương đếm (c) Chứng minh hàm số tuyến tính liên tục (C, τ ) có dạng n f→ ci f (xi) i=1 với xi ∈ [0, 1] ci ∈ C (d) Chứng minh (C, σ) không chứa tập mở lồi khác ∅ C (e) Chứng minh id : (C, σ) → (C, τ ) không liên tục Chứng minh Đầu tiên ta cần chứng minh d metric Hiển nhiên d ≥ d(x, y) = d(y, x) Sử dụng bất đẳng thức sau: Nếu a, b, c > a + b > c 1 < + , ta nhận d(f, h) ≤ d(f, g) + d(g, h) 1+c 1+a 1+b (a) Giả sử B tập bị chặn - τ C Sử dụng định lí 1.37 (b), ta suy px (f ) bị chặn B Do với f ∈ B , tồn số thực dương (phụ thuộc vào x) Mx cho px (f ) = |f (x)| ≤ Mx Mặt khác với g ∈ B , d(g, 0) = |g(x)| dx < + |g(x)| |g(x)| dx < Mx Do với lân cận Vσ (0, r) 0, với t > Vậy E bị chặn - σ Mx tVσ (0, r) ⊃ E r (b) Ta có τ tô-pô hội tụ điểm nên với {fn } hội tụ f px (fn − f ) = |fn (x) − f (x)| → Đặt δn (x) = |fn (x) − f (x)| , δn → δn < Áp + |fn (x) − f (x)| 17 Cho X Y không gian tô-pô cho ánh xạ f : X → Y cho x ∈ X Khi f gọi liên tục dãy x dãy {xn } X hội tụ x, {f (xn )} Y hội tụ f (x) f liên tục dãy X f liên tục dãy điểm thuộc X 18 Định Lí Lebesgue’s dominated convergence: Cho {f } dãy hàm thực đo không gian đo n (S, Σ, µ) Giả sử dãy hội tụ điểm hàm f bị chặn hàm khả tích g (|fn (x)| ≤ g(x)) với n ∈ N x ∈ S, f khả tích fn dµ = lim n→+∞ f dµ S S 82 dụng Định lí hội tụ bị chặn ta lim n→+∞ δn dµ = S 0dµ = ← d(fn , f ) S Do id liên tục dãy Mặt khác, id khơng liên tục có lân cận - σ khơng lân cận - τ 0, cầu - d Br (0) = {f ∈ C : d(0, f ) < r} với < r < Vì lân cận - τ chứa giá trị hữu hạn điểm chứa hàm f với d(f, 0) tuỳ ý gần Lấy hàm mà triệt tiêu hữu hạn điểm cho trước lân cận - τ (e) Xét tập mở lồi khác rỗng (C, τ ), từ câu (d) ảnh ngược khơng mở Vậy id khơng liên tục Đặt K = [0, 1] định nghĩa DK phần 1.46 Chứng minh ba họ nửa chuẩn sau (Với n = 1, = 3, ) định nghĩa tô-pô Bài 14 DK , D = d : dx Dnf ∞ = sup{|D nf (x)| : −∞ < x < +∞} Dnf |D n f (x)| dx = Dnf = |D n f (x)|2 dx Chứng minh Áp dụng Bất đẳng thức Holder, ta có n D f = 1/2 n 1.|D f (x)| dx ≤ Ta có n dx 0 t |D n f (t)| = 1/2 2 |D f (x)| dx = Dnf D n+1 f (x) dx ≤ |D n+1 f (x)| dx = D n+1 f với t ∈ K Suy Dn f ∞ ≤ Dn+1 f Mặt khác, dựa vào định nghĩa tích phân, ta có Dn f ≤ Dn f ∞ Tóm lại, ta có Dn f ≤ Dn f ≤ Dn f ∞ ≤ Dn+1 f Vậy nửa chuẩn cảm sinh tô-pô DK 83 Bài 15 Chứng minh khơng gian C(Ω) khơng có tính Heine - Borel Chứng minh Chọn Ω = R Xét tập A = {ei2nπx : n ∈ N}, dễ thấy A bị chặn Xét fn (x) = ei2nπx , fn (x) − fm (x) = ei2nπx − ei2mπx = ei2mπx (ei2(n−m)πx − iπm fn (x0 ) − fm (x0 ) = −2e n − m Do pk (fn − fm ) = 1) Tại x0 = 2(n − m) sup{|fn − fm | : x ∈ Kk } = với k ∈ N pk (fn − fm ) với k = Do d(fn , fm ) = max k≥1 2−k pk (fn − fm ) = + pk (fn − fm ) Dẫn tới {fn } khơng có dãy Cauchy khơng có dãy hội tụ Suy A = {ei2nπx : n ∈ N} đóng (vì khơng có điểm tụ) không Compact (Bolzano-Weierstrass) Trong phần 1.46, chứng minh f → Dα f ánh xạ liên tục từ C ∞ (Ω) vào C ∞ (Ω) từ DK vào DK , với đa số α Bài 16 Chứng minh Đặt φ : C ∞ (Ω) −→ C ∞ (Ω) f −→ D α f Để chứng minh φ liên tục, ta cần chứng minh φ liên tục 0, tức dãy {fn } ∈ C ∞ (Ω) cho fn −→ φ(fn ) −→ φ(0) = Dễ thấy φ tuyến tính Giả sử họ nửa chuẩn sau: u α,j = sup{|D α f | : x ∈ Kj } tô-pô sinh họ nửa chuẩn trùng với tơ-pơ sinh họ pN Ta có fn α,i → Ki với i, nên ta có fn α,i+|α| → Ki+|α| với i Mặt khác Ki ⊂ Ki+|α| , suy sup{|Di+|α| f | → 0} Ki với i, điều tương đương với Dα f α,i → Như vậy, φ liên tục 0, theo định lí 1.17, φ liên tục C ∞ (Ω) Chứng minh tương tự khơng gian đóng DK 84 Giả sử M không gian dày đặc không gian tô-pô X , Y không gian - F, Λ : M → Y liên tục tuyến tính (quan hệ với tô-pô M thừa hưởng từ X ) Chứng minh Λ có ánh xạ mở rộng tuyến tính liên tục Λ : X → Y Bài 17 Chứng minh Đầu tiên ta cần chứng minh mệnh đề sau: • Mệnh đề: A dày đặc X với tập mở V = ∅ ta ln có A ∩ V = ∅ Chiều thuận Với ∀x ∈ X = A, với V lân cận 0, ta ln có A ∩ (V + x) = ∅ Chiều nghịch Với ∀x ∈ X mọi V lân cận 0, ta ln có A ∩ (V + x) = ∅, suy x ∈ A Gọi {Vn } họ lân cận cân X cho Vn + Vn ⊂ Vn−1 cho với x ∈ M ∩ Vn dY (0, Λx) < 2n Xét dãy {xn } ∈ M ∩(Vn +x) Rõ ràng xn −x ∈ M ∩Vn với n = 1, 2, 1 Suy dY (0, Λ(xn − x)) < n Dẫn tới dY (Λxn , Λx) < n d metric bất biến 2 Suy dY (Λxn , Λx) −→ n −→ ∞ Mặt khác, dY (Λxn , Λxm ) = dY (Λxn − Λx, Λxm − Λx) ≤ dY (Λxn − Λx, 0) + dY (0, Λxm − Λx) Suy dY (Λxn , Λxm ) −→ n −→ ∞ Do {Λxn } dãy Cauchy Y , {Λxn } hội tụ Y Đặt Λx ∈ Y giới hạn dãy {Λxn } Khi dY (Λxn , Λx) −→ n −→ ∞ Xét ≤ dY (Λx, Λx) = dY (Λx − Λxn , Λx − Λxn ) ≤ dY (Λx − Λxn , 0) + dY (0, Λx − Λxn ) → Do Λx = Λx với x ∈ M = X Do Λ = Λ Λ liên tục tuyến tính Tóm lại, Λ ánh xạ mở rộng tuyến tính liên tục Λ Bài 18 nghĩa Nếu f hàm phức xác định đoạn compact I = [0, 1] ⊂ R, định ωδ (f ) = sup |f (x) − f (y)| ≤ δ, x ∈ I, y ∈ I |x − y| Nếu < α ≤ 1, Không gian Lipschitz tương ứng Lip α bao gồm tất hàm f với f = |f (0)| + sup{δ −αωδ (f ) : δ > 0} 85 hữu hạn Định nghĩa lip α = {f ∈ Lip α : lim δ −α ωδ (f ) = 0} δ→0 Chứng minh Lip α không gian Banach lip α khơng gian đóng Lip α Chứng minh Gọi {fn } dãy Cauchy Lip α với chuẩn Ta chứng minh tồn hàm f ∈ Lip α cho fn − f → n → ∞ Đầu tiên ý dãy số thực {fn (0)} dãy hội tụ Thực vậy, điều suy trực tiếp từ đánh giá sau |fn (0) − fm (0)| ≤ |fn (0) − fm (0)| + sup{δ −αωδ (fn − fm )} = fn − fm Với giả thiết {fn } dãy Cauchy Lip α R đầy đủ, ta thu {fn (0)} dãy hội tụ R với x ∈ [0, 1] Ta định nghĩa hàm qua f : [0, 1] → R x → f (x) = limfn (x) Ta chứng minh f ∈ Lip α Nhận xét {fn } dãy Cauchy Lip α, ta nhận dãy bị chặn Lip α (mệnh đề 1.29.1), nghĩa ∃R > cho fn < R với ∀n ≥ Bởi định nghĩa f , ta nhận với s = t |fn (s) − fn (t)| |f (s) − f (t)| = lim ≤ sup ωδ (f ) ≤ sup fn < R n→∞ |s − t| |s − t| n≥1 Do đó, ωδ (f ) < ∞ Suy f ∈ Lip α Cuối cùng, ta chứng minh lim fn − f = Cho ε > 0, {fn } dãy Cauchy Lip α nên ∃N > cho |fn (0) − fm (0)| + ωδ (fn − fm ) < ε với n, m > N Với s = t, |fn (0) − fm (0)| + |fn (s) − fm (s) − (fn (t) − fm (t))| < ε |s − t| 86 với n, m > N Cho m → ∞ ta |fn (0) − f (0)| + |fn (s) − f (s) − (fn (t) − f (t))| < ε |s − t| với n > N Lấy sup với s = t, ta fn − f < ε với n > N Cho X không gian tất hàm liên tục khoảng mở (0, 1) Với f ∈ X r > 0, cho V (f, r) bao gồm tất g ∈ X cho |f (x) − g(x)| < r với x ∈ (0, 1) Cho τ tô-pô X sinh tập V (f, r) Chứng minh phép cộng liên tục - τ phép nhân vơ hướng khơng Bài 19 Chứng minh Xét +:X ×X →X (f, g) → f + g Xét V (0, r) lân cận X W 0, r lân cận X Ta có W 0, r r +W 0, = 2 với w, w ′ ∈ W , Suy w + w ′ : |w(x) + w ′ (x)| ≤ |w(x)| + |w ′ (x)| ≤ r +(W, W ) = W + W ⊂ V Dẫn tới + liên tục Mặt khác, dễ chứng minh + tuyến tính Theo Định lí 1.17, suy + liên tục Chứng minh tập W xuất định lí 1.14 khơng cần phải lồi, A khơng cần phải cân trừ U lồi Bài 20 Chứng minh Ta có hợp hai tập lồi khơng lồi, ví dụ tập hợp mở sau R2 Mặt khác αV chưa lồi Do W khơng cần lồi 87 V −2 −1 −1 -V −2 −3 Hình 13: Minh hoạ cho tập V ∪ (−V ) Tài liệu [1] Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1973 [2] Robert G.Bartle - Donald R.Sherbert ,Introduction to REAL ANLYSIS, John Wiley and Sons.Inc , 2000 [3] James R.Munkres, tô-pôlogy , Second Edition, Prentice Hall.Inc, 2000 [4] Đậu Thế Cấp, Tô pô Đại Cương, Tái lần thứ nhất, Nhà xuất Giáo Dục, 2008 88 Chỉ mục ∞ , 15 CK ánh xạ mở, 53 ánh xạ thương, 53 ánh xạ tuyến tính, 29 ánh xạ tuyến tính bị chặn, 43 Định lí Ascoli, 59 đóng, 15 đầy đủ, 14 đồng chiều, 80 đồng phôi, 18, 64 ảnh, 29 ảnh ngược, 29 đa số, 58 bất biến phép tinh tiến, 18 bán cộng tính, 45 bị chặn - d, 42 bị chặn địa phương, 19 Bổ đề dán, 68 Bao đóng, 15 Bao lồi, 73 C(Ω), 14 cân bằng, 12 sở, 15 sở địa phương, 16, 19 chuẩn, 13 chuẩn hóa, 20 chuẩn thương, 55 compact, 15 compact địa phương, 19 hội tụ, 16 hội tụ điểm, 76 họ nửa chuẩn rời rạc, 45 hữu hạn chiều, 12 không gian - F, 20 không gian định chuẩn, 13 Không gian Banach, 14 không gian con, 12 không gian Fréchet, 20 Không gian Hausdorff, 15 không gian metric, 13 không gian thương, 53 không gian topo, 15 không gian triệt, 29, 66 không gian vector, 11 không gian vector phức, 11 không gian vector thực, 11 không gian vector topo, 16 lớp kề, 53 lân cận, 15 lồi, 12 lồi địa phương, 19 liên tục, 16 liên tục , 30 liên thông đường, 33, 68 metric, 13 metric bất biến, 19 metric hóa, 19, 35 modulo, 53 dãy Cauchy, 38 nửa chuẩn, 45 H(Ω), 15 phép cộng, 11 89 phép nhân vô hướng, 11 phép tịnh tiến, 18 phép vị tự, 18 Phần trong, 15 Phiếm hàm Minkowski, 45 phiếm hàm tuyến tính, 29 cầu đóng đơn vị, 14 cầu mở, 14 cầu mở đơn vị, 14 tính Heine - Borel, 20 tập đối xứng, 21, 65 tập bị chặn, 17 tập hấp thụ, 45 tập mở, 15 tương thích, 16 thừa hưởng, 16 topo Hausdorff, 15 topo thương, 53 trường vô hướng, 11 vô hướng, 11 vector topo, 16 90 ... xn 1.6 Không gian vec- tơ tô- pô Giả sử τ tô- pô không gian X cho (a) Tập gồm điểm X tập đóng, (b) Các phép tốn khơng gian liên tục τ Với hai điều kiện này, τ gọi tô- pô X, X khơng gian tơ- pơ Điều... 1.2 Không gian vec- tơ 1.3 Không gian định chuẩn - không gian metric 1.4 Các không gian hàm 1.5 Không gian tô- pô ... khơng gian hội tụ 1.4 Các khơng gian hàm Nhiều không gian hàm phổ biến không gian Banach, ví dụ như: Khơng gian hàm số liên tục không gian compact, họ không gian Lp xuất định lí tích phân, khơng gian