ƯỚC LƯỢNG THỐNG kê

THỐNG KÊ TOÁN NÂNG CAO Nguyễn Ngọc Dung 1311041 Mai Ngọc Châu 1311027 ƯỚC LƯỢNG THỐNG KÊ NỘI DUNG:  Khái niệm ước lượng  Ước lượng hữu hiệu  Ước lượng khơng chệch  Ước lượng có phương sai nhỏ  Thông tin Fisher  BĐT Rao-Cramér Khái niệm ước lượng: Để mô tả liệu tổng thể biến số ngẫu nhiên,phương pháp thống kê mô tả nhiều tham số đặc trưng θ trung bình, phương sai, median, mode…và tham số hoàn tồn xác định ta có đầy đủ liệu cho tổng thể Tuy nhiên thực tế, thường ta thu thập liệu mẫu (ngẫu nhiên) với liệu mẫu này,lý thuyết ước lượng nhằm xây dựng số thống kê để ước lượng tham số θ cho tổng thể Để ước lượng tham số θ cho tổng thể có hàm mật độ xác suất giới hạn mơ hình thống kê  cho trước, người ta thu thập số liệu mẫu ngẫu nhiên kích thước n, , ,…, , lấy từ tổng thể tìm cách xây dựng câc thống kê mẫu nhằm ước lượng θ Ta khảo sát hai phương pháp ước lượng: ước lượng điểm ước lượng khoảng Trong phương pháp ước lượng điểm, người ta tìm cách xây dựng thống kê ̂ = g( , ,…, ) cho ứng với số liệu ( , ,…, ) nhận từ mẫu, giá trị ̂ = g( , ,…, ) cho ta ước lượng điểm chấp nhận cho θ Tham số thống kê (population parameter) Ước lượng (estimation) Giá trị ước lượng (point estimation) Trung bình Phương sai Độ chệch chuẩn Tỉ lệ μ Ϭx2 ϭx p x S X2 SX f Chú ý thống kê ̂ biến số ngẫu nhiên nên ứng với giá trị nhận từ mẫu, ta nhận ước lượng điểm khác tiêu chuẩn tự nhiên để đánh giá mức độ “tốt” ước lượng điểm ̂ đánh giá độ chệch kỳ vọng ̂ với θ, bias( ̂ )= E(n )   đặc biệt, ta có Định nghĩa ước lượng không chệch: Ước lượng điểm ̂ gọi khơng chệch kỳ vọng tham số cần ước lượng E( ̂ ) = θ Ví dụ: n n E ( X )  E (  X i )   E ( X i )  n   n i 1 n i 1 n  E ( X )   Suy X ước lượng không chệch cho  Tất ước lượng không chệch θ,ước lượng có phương sai bé gọi ước lượng không chệch phương sai bé (MVUE) Ước lương hiệu tốt Gọi ̂và ̂là ước lượng không chệch θ dựa số lượng mẫu quan sát giống nhau: ̂ hiệu ̂ nếu: var(̂)< var( ̂) Trung bình bình phương sai số:  Trong số trường hợp, ta có ̃ ước lượng chệch lại có phương sai nhỏ ̂ ước lượng khơng chệch với phương sai lớn hơn.Câu hỏi đặt ta chọn ước lượng ̂ hay ̃  Một độ đo kết hợp độ chệch phương sai mẫu ước lượng trung bình bình phương sai số (MSE): MSE( ̂ ) = ̂ = Var( ̂ ) + ̂  Nếu ̂ ước lượng không chệch: MSE( ̂ ) = Var( ̂ )  Cho trước hai ước lượng, ̂ ̃ , tiêu chuẩn MSE cho phép ta chọn ̃ nếu, với cỡ mẫu n: MSE( ̃ )  Nếu ̂ ̃là ước lượng không chệch, tiêu chuẩn MSE trở thành tiêu chuẩn so sánh dựa phương sai mẫu  Tiêu chuẩn MSE tương đương với việc so sánh tỷ số: Eff ( ̂ , ̃ ) = ̃ ̂ chọn ̃ Eff( ̂ , ̃ ) < Sai số chuẩn: Sai số chuẩn ước lượng ̂ độ lệch tiêu chuẩn nó, cho bởi: ̂ =√ ̂ Nếu sai số chuẩn chứa tham số chưa biết ước lượng, thay giá trị vào ta sai số chuẩn ước lượng, kí hiệu ̂.Đơi sai số chuẩn ước lượng kí hiệu ̂ se ( ̂ ̂  Định nghĩa ước lượng khoảng:  Giả sử cần khảo sát đặc tính X tổng thể xác định  Biến ngẫu nhiên X có phân phối F(x,θ),tham số θ chưa biết  Chọn mẫu ngẫu nhiên cỡ n: X=(X1 ,X2,… Xn)  Định nghĩa: ước lượng khoảng (interval estimator) tham số θ cặp thống kê L(X1 ,X2,… Xn) U(X1 ,X2,… Xn) mẫu ngẫu nhiên thỏa L(X)  U(X) L(X)  θ  U(X).Nếu mẫu thực nghiệm x=(x1,x2,….xn) quan trắc,[l(x),u(x)] gọi khoảng ước lượng(interval estimate) cho θ  Định nghĩa “Khoảng tin cậy”: xét mẫu ngẫu nhiên X=(X1,X2,….Xn) có hàm mật độ thời phụ thuộc vào tham số   L(X) U(X) hai thống kê cho L(X)  U(X) Khi đó, khoảng ngẫu nhiên [L(X),U(X)] gọi khoảng tin cậy cho tham số θ với độ tin cậy 100(1-α)% nếu: P{L( X )    U ( X )}    Ý nghĩa độ tin cậy (1- α):cứ lần lấy mẫu,ta nhận mẫu khác khoảng tin cậy tìm khác nhau.Tuy nhiên,trong 100% lần lấy mẫu cỡ n thì:  Có 100(1-α)% lần giá trị tham số θ  [l(x),u(x)]  Có 100α% lần giá trị tham số θ  [l(x),u(x)] Lượng thông tin Fisher Trong cấu trúc (χ,B, PX,θ, θ ), giả sử PX,θ