Hàm biến phức

Những vấn đề cơ bản của giải tích phức được trình bàytrong bài giảng này: giới hạn, hàm phức, liên tục giải tích, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent.... Vì vậy,

Mục lục

§1 Định nghĩa số phức 3

§2 Các phép toán trên các số phức 3

§3 Mặt phẳng phức mở rộng - Mặt cầu Riemann 10

§4 Giới hạn của dãy số phức 10

§5 Chuỗi số phức 11

Bài tập chương 1 13

Chương 2 Hàm biến phức - đạo hàm của hàm biến phức 14 §1 Khái niệm về miền và biên của miền 14

§2 Hàm số biến số phức 15

§3 Giới hạn của hàm số 17

§4 Hàm số liên tục và liên tục đều 19

§5 Khái niệm về hàm giải tích 20

§6 Các hàm số sơ cấp 27

Bài tập chương 2 35

Chương 3 Lý thuyết tích phân 36 §1 Tích phân của hàm số biến số phức 36

§2 Định Lý Cauchy cho miền đơn liên 40

Bài tập chương 3 50

Chương 4 Chuỗi hàm biến phức 51 §1 Lý thuyết chuỗi hàm biến phức 51

§2 Chuỗi lũy thừa 55

§3 Chuỗi Taylor của một hàm giải tích 57

§4 Chuỗi Laurent 60

Bài tập chương 4 71

LỜI NÓI ĐẦU

Bài giảng hàm biến phức được biên soạn cho sinh viên nghành ĐHSP Toán, nộidung chính gồm bốn chương: Chương 1, Chương 2: giới thiệu về số phức, các hàm

số biến số phức và các phép biến hình bảo giác nhờ các hàm sơ cấp Chương 3:giới thiệu về tích phân phức và lý thuyết tích phân Chương 4 trình bày lý thuyếtchuỗi và lý thuyết thặng dư Những vấn đề cơ bản của giải tích phức được trình bàytrong bài giảng này: giới hạn, hàm phức, liên tục giải tích, tích phân phức, chuỗi

số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent Để nghiên cứu các vấn đề này chúng tathường liên hệ với những kết quả đã đạt được của hàm biến thực Mỗi hàm biếnphức w = f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) tương ứng với hai hàm thực haibiến u(x, y) và v(x, y) Hàm phức w = f (z) liên tục khi và chỉ khi u(x, y) và v(x, y)liên tục f (z) khả vi khi và chỉ khi u(x, y) và v(x, y) có đạo hàm riêng cấp 1 thỏađiều kiện Cauchy - Riemann Tích phân phức tương ứng với hai tích phân đườngloại hai Vì vậy, để có thể học tốt học phần này, sinh viên cần được trang bị một

số kiến thức cơ bản về phép tính vi tích phân của hàm một biến, hàm nhiều biếnthực, một số dạng phương trình quen thuộc trong hình học giải tích Từ những tínhchất đặc thù của hàm biến phức chúng ta có các công thức tích phân Cauchy Đó

là công thức liên hệ giữa giá trị của hàm phức tại một điểm với tích phân dọc theođường cong kín bao quanh điểm này Trên cơ sở công thức tích phân Cauchy có thểchứng minh được các kết quả: Mọi hàm phức giải tích thì có đạo hàm mọi cấp, cóthể khai triển hàm phức thành chuỗi Taylor, hàm giải tích trong hình vành khănđược khai triển thành chuỗi Laurent Bằng cách tính thặng dư của hàm số tại điểmbất thường cô lập ta có thể áp dụng để tính các tích phân phức

Tác giả đã dành nhiều thời gian và công sức để biên soạn tập bài giảng nàynhưng sai sót là không thể tránh khỏi Tác giả rất mong được sự góp ý từ phíaThầy, Cô và các bạn sinh viên để tập bài giảng được hoàn thiện hơn

Đồng hới, 9/2010Phan Trọng Tiến

Bình phương của mọi số thực đều là một số không âm Cho nên nếu chỉ biết sốthực thì không thể lấy căn bậc hai của một số âm và sẽ không giải được mọi phươngtrình bậc hai với hệ số thực Chẳng hạn, phương trình x2+ 1 = 0 không có nghiệmthực.

Để khắc phục trở ngại đó, người ta đưa vào khái niệm số phức Việc đưa vàokhái niệm số phức cũng như xác định các phép toán về số phức phải đạt được yêucầu sao cho các số thực và các phép toán trên tập các số thực, có thể xem là trườnghợp riêng của số phức và các phép toán trên tập các số phức

Có nhiều phương pháp để xây dựng loại số mới này Ở đây ta đưa vào số i (gọi

là đơn vị ảo) là nghiệm của phương trình x2+ 1 = 0

Số phức là số có dạng z = x + iy, trong đó x, y ∈ R và i gọi là đơn vị ảo(i2+ 1 = 0)

x gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu Re z;

y gọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu Im z

Đặc biệt, nếu y = 0, khi đó số phức z = x + i0 là số thực x Nếu x = 0, khi đó

z = iy gọi là số thuần ảo

Hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 gọi là bằng nhau nếu x1 = x2 và

Phép cộng trên có phép toán ngược Với hai số phức z1 = x1+iy1và z2 = x2+iy2

ta có thể tìm được số phức z sao cho z2 + z = z1 Số phức này gọi là hiệu của hai

Đặc biệt khi lấy z1 = z2 = i Từ định nghĩa (2.3) ta có

Rõ ràng với z1 = x1 + iy1 và z2 = x2+ iy2 thì công thức (2.3) sẽ có được bằngcách nhân thông thường (phép nhân trong tập hợp số thực) và thay i2 = −1.Chú ý: z.z = x2+ y2 ≥ 0.

2.4 Phép chia

Phép toán nhân có phép toán ngược nếu ít nhất một trong hai số đó khác không.Giả sử z2 6= 0 Khi đó ta có thể tìm được một số phức z = x + iy sao cho z2.z = z1.Thật vậy, theo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trình sau

y = y1x2− x1y2

x2

2+ y2 2

Với quan điểm các phép toán trong trường các số phức, số thuần ảo bi có thểhiểu như là tích của số thực b với đơn vị ảo i và mỗi số phức a + ib như là tổng của

số thực a với số thuần ảo ib

Do đó trong cách xây dựng số phức này ta đã xây dựng các kí hiệu có một ýnghĩa hoàn toàn cụ thể và vì thế tránh được tính hình thức do kí hiệu đơn vị ảo imang lại

2.5 Phép nâng lên lũy thừa và khai căn

Ta gọi tích của n số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức z Kí hiệu

Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình:

(

z + iζ = 12z + ζ = 1 + itrong đó các ẩn số z và ζ là những số phức, ta có:

2.6 Biểu diễn hình học của số phức

Cho số phức z = x + iy Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Descartes xOy

và biểu diễn số phức z bởi một điểm M có tọa độ (x, y) Như vậy các số thực sẽđược biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, nó được gọi là trục thực; các số thuần ảođược biểu diễn bởi các điểm trên trục Oy, nó được gọi là trục ảo

Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng xOy có tọa độ (x, y), ta đặt tương ứngvới một số phức z = x + iy

Như vậy có tương ứng 1-1 giữa tập hợp tất cả các số phức C với tập hợp tất cảcác điểm của một mặt phẳng.

Vì lý do đó, ta gọi mặt phẳng xOy là mặt phẳng phức Sau này ta đồng nhất sốphức z với một điểm M là tọa vị của nó, đồng nhất C với mặt phẳng phức Đáng

lẽ nói số phức z thì ta có thể nói điểm z

2.7 Môđun và acgumen của số phức z

Cho số phức z có tọa vị là M Ta gọi độ dài r của vectơ −−→

Như vậy, mọi số phức z 6= 0 đều có vô số giá trị acgumen liên hệ với nhau mộtcách đơn giản: hai giá trị bất kì của acgumen khác nhau một bội nguyên của 2π

Ta có thể tránh được tính đa trị của acgumen nếu đặt thêm điều kiện để táchmột trong các giá trị có thể có của acgumen, chẳng hạn điều kiện 0 ≤ ϕ < 2π hoặc

−π < ϕ ≤ π Giá trị acgumen thỏa mãn điều kiện vừa nêu được gọi là giá trị chínhcủa acgumen và được kí hiệu là arg z Thông thường ta sẽ xét giát trị acgumen thỏamãn điều kiện −π < ϕ ≤ π Từ định nghĩa giá trị chính ta có hệ thức

(nếu số phức z ở góc phần tư thứ II)arctanyx − π nếu x < 0, y < 0

(nếu số phức z ở góc phần tư thứ III)Với arctanxy ∈ [−π

2,π2] là giá trị chính của hàm arctan

Nếu z là một số thực dương, thì arg z = 0, nếu z là một số thực âm thì arg z = π.Nếu z = 0, thì Arg z không xác định

Chứng minh Tính chất 1), 2), 3), 4) được chứng minh một cách dễ dàng.

|z1+ z2|2 ≤ z12+ 2|z1||z2| + z22

≤ (|z1| + |z2|)2.Lấy căn bậc hai hai vế của bất đẳng thức trên ta có 5)

z1

= 1

r1

(cos ϕ1 − i sin ϕ1) (z1 6= 0) (2.10)Chứng minh

z1z2 = r1r2(cos ϕ1+ i sin ϕ1)(cos ϕ2+ i sin ϕ2)

= r1r2[(cos ϕ1cos ϕ2− sin ϕ1sin ϕ2) + i(sin ϕ1cos ϕ2+ sin ϕ2cos ϕ10)]

= r1r2[cos(ϕ1+ ϕ2) + i sin(ϕ1+ ϕ2)]

Đẳng thức 1) được chứng minh.

Đẳng thức 2 được suy ra dễ dàng từ phép tính nghịch đảo của số phức

Tổng quát ta có công thức sau:

Đặc biệt khi r = 1, ta có công thức Moivre

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ (2.12)Giả sử w = √n



(2.14)trong đó k là số nguyên bất kì

Chú ý rằng, nếu ta cho k lấy hai giá trị số hơn kém nhau n, chẳng hạn k và

k + n thì ta được cùng một số phức Cho nên trong (2.14) chỉ cần cho k lấy n trị

số nguyên liên tiếp Chẳng hạn k = 0, 1, 2, , n − 1 Ứng với n trị số đó của k, ta sẽđược n số phức khác nhau Tóm lại, mỗi số phức z có n căn bậc n

Nhận xét Khi ta xem số 1 là một số thực thì căn bậc hai của nó là 1; còn khi

ta xem số 1 là một số phức thì căn bậc hai của nó có hai giá tị là 1 và −1

Để đơn giản cách viết các số phức ta đặt

Từ (2.15) ta thấy rằng

Đó là dạng mũ của số phức Từ công thức trên ta chứng minh được rằng với z1 =

r1eiϕ1 và z2 = r2eiϕ2 thì

Trong không gian Euclide ba chiều với hệ tọa độ Descartes vuông góc (O; ξ, η, ζ).Xét mặt cầu S có phương trình

ξ2+ η2 + ζ2 = ζ

Mặt cầu S có tâm là điểm I(0, 0,12) và bán kính r = 1

2.Lấy mặt phẳng ζ = 0 làm mặt phẳng phức sao cho trục thực Ox trùng với trục

Oζ, trục ảo Oy trùng với trục Oη Gọi điểm N (0, 0, 1) là cực bắc của mặt cầu S

Từ mỗi điểm z(x, y) của mặt phẳng phức ta kẻ tia N z Tia này cắt mặt cầu S tạiđiểm z1(ξ, η, ζ) Ngược lại, từ mỗi điểm z1 ∈ S\{N } ta kẻ tia N z1 Tia này cắt mặtphẳng phức tại điểm z(x, y)

Phép tương ứng này gọi là phép chiếu nổi Khi z1 dần tới điểm cực bắc N , tia

N z1 trở thành tia song song với mặt phẳng xOy Do đó, ta có thể xem điểm N ∈ Stương ứng với điểm z = ∞

Mặt phẳng phức bổ sung thêm điểm vô cùng, được gọi là mặt phẳng phức mởrộng Kí hiệu C, nghĩa là C = C ∪ {∞}

Định nghĩa 4.1 Dãy số phức là một ánh xạ từ tập hợp các số tự nhiên vào C,nghĩa là ánh xạ

A : N −→ C

n 7−→ A(n) = zn

Kí hiệu (zn)n hay {zn}

Tập hợp những điểm z ∈ C thỏa mãn hệ thức |z − z0| < ε, trong đó ε là sốdương cho trước, với z0 ∈ C được gọi là ε-lân cận của điểm z0 Đó là hình tròn mởtâm z0 bán kính ε Kí hiệu

Ta còn nói dãy {zn} hội tụ về z0 Kí hiệu zn → z0, n → ∞

Từ tính chất của ε-lân cận ta suy ra các kết quả sau:

Trong C mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất

Nếu biểu diễn zn = xn+ iyn thì định lý sau được khẳng định:

Định lý 4.3 Dãy zn hội tụ về z0 = x0+ iy0 khi và chỉ khi dãy {xn} hội tụ về x0 vàdãy yn hội tụ về y0

Ví dụ 4.4 Nếu |z| < 1 thì lim

n→∞zn = 0

Đặt z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Như vậy zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ), an = Re(zn) =

rncos nϕ; bn = Im(zn) = rnsin nϕ Vì r = |z| < 1 và | cos nϕ| ≤ 1, | sin nϕ| ≤ 1, nên

P

n=1

zn hội tụ

Ngược lại, nếu lim

n→∞Sn = ∞ hoặc không tồn tại thì ta nói chuỗi

∞

P

n=1

zn phân kì.Chú ý rằng, nếu zn = an+ ibn thì dễ dàng chứng minh được rằng:

Vậy, việc khảo sát sự hội tụ của một chuỗi số phức được đưa về khảo sát sự hội

tụ của hai chuỗi số thực

Để khảo sát sự hội tụ của một chuỗi số phức, thường ta còn dùng tiêu chuẩnsau:

Định lý 5.2 Nếu chuỗi các môđun

an hội tụ tuyệt đối

Tương tự, ta chứng minh được chuỗi

1

1 − z = 1 + z + z

2+ + zn+ (|z| < 1)

Thay z = r(cos ϕ + i sin ϕ) sau đó tách phần thực, phần ảo ở hai vế ta được

1 + r(cos ϕ + i sin ϕ) + r2(cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + = 1

1 − r(cos ϕ + i sin ϕ)

= 1 − r(cos ϕ − i sin ϕ)(1 + r cos ϕ)2+ (r sin ϕ)2 = 1 − r cos ϕ + i sin ϕ

1.1 Thực hiện các phép tính sau:

a) 1 − i

1 + i; b) (1 − i

√3)6; c)

a) 1 + i; b) − 3 + i√

3; c) (3 + i√

3)2.1.4 Tính môđun các số phức sau:

a) z2+ z + 1 = 0; b) z2− (2 + 3i)z − 1 + 3i = 0; c) z4+ 1 = 0.1.9 Tính các tổng

S = cos ϕ + cos 2ϕ + + cos nϕ;

T = sin ϕ + sin 2ϕ + + sin nϕ

Chương 2

HÀM BIẾN PHỨC-ĐẠO HÀM CỦA HÀM BIẾN PHỨC

1.1 Điểm trong của một tập

Giả sử E là một tập điểm trong mặt phẳng phức z và z0 là điểm thuộc E Nếutồn tại một ε−lân cận của z0 nằm hoàn toàn trong E, thì z0 được gọi là điểm trongcủa E

1.2 Điểm biên của một tập

Điểm ζ được gọi là điểm biên của tập E nếu mọi hình tròn tâm ζ đều chứa cảnhững điểm thuộc E và những điểm không thuộc E

Tập hợp các điểm biên của E, được gọi là điểm biên của tập E Nếu điểm ηkhông thuộc E và tồn tại một hình tròn tâm η không chứa một điểm nào của E,thì η được gọi là điểm ngoài của tập E

Ví dụ 1.1 Xét tập E là hình tròn |z| < 1 Mọi điểm của E đều là điểm trong Biêncủa E là đường tròn |z| = 1 Mọi điểm η mà |η| > 1 là điểm ngoài của E

Người ta gọi miền trên mặt phẳng phức là một tập hợp G trên mặt phẳng ấy

có hai tính chất sau:

a) G là một tập mở, nghĩa là tập chỉ gồm những điểm trong

b) G là một tập liên thông, nghĩa là qua hai điểm tùy ý của G, bao giờ cũng nốichúng với nhau bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong G

Tập G, hợp thêm những điểm biên của nó, được gọi là một miền kín và có kíhiệu là G

Miền G được gọi là miền bị chặn nếu tồn tại một hình tròn bán kính R, chứa

G bên trong

Ví dụ 1.2 Phần của mặt phẳng phức giới hạn bởi một đường cong kín liên tục L

là một miền Biên của miền là đường cong L

Sau này ta chỉ nói những miền G mà biên của nó gồm một số hữu hạn các đườngcong kín Số các đường cong này được gọi là cấp liên thông của miền G

Ta quy ước hướng dương trên biên L là hướng mà khi một người đi trên L theohướng đó, thì phần của miền G kề người đó luôn luôn nằm ở bên trái

§2 HÀM SỐ BIẾN SỐ PHỨC

2.1 Định nghĩa hàm số

Ta nói trên tập M của mặt phẳng phức cho hàm số w = f (z), nếu với mỗi điểm

z ∈ M đặt tương ứng với một số phức hay nhiều giá trị phức w

Nếu mỗi trị số z ∈ M tương ứng với một giá trị w thì hàm w = f (z) gọi là hàmđơn trị Còn trường hợp mỗi trị số z tương ứng với nhiều giá trị w thì gọi là hàm

đa trị M gọi là tập xác định của f

Tập hợp gồm tất cả các giá trị w của f (z) lấy trên M gọi là tập các giá trị.Khi M và N là những miền trong C, thì ta sẽ có một số tính chất quan trọngđược khảo sát ở chương sau

Vì z và w là những số phức nên ta có thể biểu diễn như sau:

z = x + iy; w = u + iv,khi đó hàm số w = f (z) trở thành

2.2 Phép biến hình được thực hiện bởi một hàm phức

Để biểu diễn hình học một hàm số một biến số thực, ta vẽ đồ thị của hàm số

đó Để mô tả hình học một hàm số biến số phức, ta không thể dùng phương pháp

đồ thị được nữa mà cần thực hiện như sau:

Giả sử cho hàm số biến số phức w = f (z), z ∈ M Lấy hai mặt phẳng phức xOy(mặt phẳng z) và mặt phẳng phức uO1v (mặt phẳng w) Ứng với mỗi điểm z0 ∈ M ,hàm w = f (z) xác định điểm w0 = f (z0) trong mặt phẳng w Cho nên, về mặt hìnhhọc, hàm w = f (z) xác định một phép biến hình từ mặt phẳng z vào mặt phẳng w.Điểm w0 được gọi là ảnh của điểm z0, điểm z0 được gọi là nghịch ảnh của điểm

w0

Cho đường cong L có phương trình tham số: x = x(t); y = y(t) (còn có thể viết

là z(t) = x(t) + iy(t) Ảnh của L qua phép biến hình w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

là tập các điểm trong mặt phẳng w có tọa độ là:

u = u(x(t), y(t)), v = v(x(t), y(t)) (2.2)Thông thường thì ảnh của L là một đường cong Γ nhận (2.2) làm tham số Muốnđược phương trình đềcác của Γ, nghĩa là muốn được liên hệ trực tiếp giữa u và vthì ta khử t ở hai phương trình (2.2)

Muốn tình ảnh của một miền G ta có thể làm như sau: coi G như được quétnên bởi một họ đường cong L (ví dụ, nếu G là hình tròn tâm O bán kính R thì nó

có thể xem như được quét nên bởi một họ đường tròn L tâm O bán kính r khi rbiến thiên từ 0 đến R)

Ta tìm ảnh Γ của L Khi L quét nên toàn bộ miền G, nếu ảnh Γ của nó quétnên một miền ∆, thì ∆ sẽ là ảnh của miền G

miền quạt 0 < arg z < π2;

5) Giải: 1) w0 = (1 + 2i)2 = −3 + 4i

2) Nếu |z| = 2 thì |w| = |z|2 = 4

Cũng có thể lý luận như sau: Ta có w = z2 = (x + iy)2 = x2 − y2 + i2xy, vậy

u = x2 − y2; v = 2xy Mặt khác, đường tròn |z| = 2 có phương trình tham số là

x = 2 cos t; y = 2 sin t; t ∈ [0, 2π] Theo (2.2) thì ảnh của nó có phương trình tham

số là: u = (2 cos t)2− (2 sin t)2 = 2 cos 2t, v = 2xy = 2.2 cos t.2 sin t = 4 sin 2t, khử t,

ta được u4
2

+ v4
2

= 1 hay u2+ v2 = 4, đó là đường tròn tâm O1 bán kính bằng 4.3) Nếu arg z = α thì arg w = 2 arg z = 2α Vậy ảnh của tia arg z = α là tiaarg w = 2 arg z = 2α, tia này tạo với trục Ou một góc 2α

4) Miền quạt 0 < arg z < π2 có thể coi như được tạo nên bởi tia arg z = α khi α biếnthiên từ 0 đến π2 Ảnh của tia arg z = α là tia arg w = 2 arg z = 2α

Khi α biến thiên từ 0 đến π2 thì 2α biến thiên từ 0 đến π Vậy ảnh của miền

0 < arg z < π2 là nửa mặt phẳng trên 0 < arg w < π

Ví dụ 2.3 Tìm nghịch ảnh của đường tròn



u − 12

 2

+



v + 12

 2

= 12qua phép biến hình w = 1

z.

x2+ y2 Thay các biểu thức này của u và v vào phương trình

đã cho, ta được: x + y − 1 = 0 Vậy nghịch ảnh phải tìm là đường thẳng x + y − 1 = 0

Về mặt hình học người ta có thể biểu diễn một hàm số của biến số phức như làmột phép biến đổi tập hợp M của mặt phẳng phức (z) thành tập hợp N của mặtphẳng phức (w)

Nếu f đơn trị 1-1, khi đó phép biến đổi này được gọi là đơn trị 2 chiều hay còngọi là đơn diệp

2.3 Hàm ngược

Cho hàm số phức w = f (z) biến tập hợp M thành tập hợp N Hàm số z = ϕ(w)đặt tương ứng mỗi w ∈ N với tất cả các điểm z ∈ M sao cho w = f (z) được gọi làhàm ngược của hàm f , kí hiệu ϕ = f−1

Rõ ràng w = f (z) đơn trị hai chiều nếu và chỉ nếu f và ϕ đơn trị

Ví dụ 2.4 Cho hàm số phức f1(z) = az + b, a 6= 0 Khi đó hàm ngược của nó là

Điểm z 6= 0 và z 6= ∞ gọi là điểm phân nhánh của hàm f2−1

Từ nay về sau ta chỉ xét trường hợp hàm f là hàm đơn trị

Định nghĩa 3.1 Cho hàm số đơn trị w = f (z) xác định trong lân cận của điểm

z0, có thể trừ z0 Số A 6= ∞ gọi là giới hạn của hàm số f (z) khi z dần về z0, nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀z thỏa mãn 0 < |z − z0| < δ ta có |f (z) − A| < ε Kí hiệulim

z→z 0

f (z) = A

Định nghĩa 3.2 Cho hàm số đơn trị w = f (z) xác định trong lân cận của điểm

z0, có thể trừ z0 Số A 6= ∞ gọi là giới hạn của hàm số f (z) khi z dần về z0, nếumọi dãy {zn}, zn thuộc lân cận z0, mà zn hội tụ về z0 thì f (zn) hội tụ về A Kí hiệulim

z→z 0

f (z) = A

Người ta đã chứng minh được rằng hai định nghĩa trên là tương đương

Định lý 3.3 Cho hàm số f (z) = u(x, y) + iv(x, y) và A = a + ib ∈ C Khi đó

|f (z) − A| < ε với mọi z thỏa điều kiện



.Đặt z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ Xét giới hạn của hàm f (z), khi z dần đến 0 theotia Ot hợp với trục thực một góc bằng ϕ, ta có

fϕ(0) = lim

z→0

12i

Suy ra giới hạn của hàm số f khi z → 0 không tồn tại.

Từ định lý trên, tương tự như hàm số biến số thực, ta có các tính chất sau vềgiới hạn của hàm số biến số phức:

Định nghĩa 4.1 Cho hàm số f (z) xác định trên D ⊂ C Hàm số f (z) được gọi làliên tục tại điểm z0 ∈ D nếu lim

z→z0 = f (z0) Hàm số f (z) được gọi là liên tục trên Dnếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D

Vậy f liên tục tại z0 Do đó f liên tục trên C

Định lý 4.3 1) Hàm số f (z) = u(x, y) + iv(x, y) liên tục tại điểm z0 = x0+ iy0

khi và chỉ khi u(x, y) và v(x, y) liên tục tại (x0, y0)

2) Nếu hàm số f (z) liên tục tại z0 thì hàm |f (z)| cũng liên tục tại z0

Định lý 4.4 Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu khác không) của các hàm liên tục làmột hàm liên tục

Định nghĩa 4.5 Hàm số f (z) được gọi là liên tục đều trên D nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0sao cho ∀z, z0 ∈ D mà |z − z0| < δ ta có |f (z) − f (z0)| < ε

Từ tính liên tục đều của hàm f suy ra hàm f liên tục Điều ngược lại nói chungkhông đúng

Ví dụ 4.6 Ta xét hàm số f (z) = 1

z trên tập hợp D = {z ∈ C : 0 < |z − z0| < 1}

Rõ ràng hàm f (z) liên tục trên D, nhưng không liên tục đều trên D.

Thật vậy, lấy ε = 1, ∀δ > 0, ∃n ∈ N sao cho n > 1

|z − z0| = 1

n − 12n =

12n < δvà

|f (z) − f (z0)| =

1

z − 1

z0

=

... eiz e−iz hàm đơn trị nên hàm lượng giác biến phức nhữnghàm đơn trị

b) Đạo hàm hàm lượng giác: Vì hàm eiz e−iz hàm giải tíchtrên tồn C nên w =... data-page="34">

Những hàm thác triển hàm hyperbol biến thực từ trục thực mặt phẳngphức Dễ dàng thấy hàm ch z hàm chẵn hàm sh z, th z, coth z cáchàm lẻ Vì ez tuần hồn với chu kì 2iπ nên hàm sh z... Ox dương Khi cáchàm đơn trị tách từ hàm đa trị w = √n

z mà ta thường gọi nhánh đơn trịcuả hàm w = √n

z hàm biến phức biến E (mặt phẳng phức với lát cắt