Các BT của không gian vecto

CÁC DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTO Cm : X tổ hợp tuyến tính hệ vecto U gồm u1, u2, u3 Ví dụ Trong khơng gian ¡ ; chứng minh véc tơ x = (4; 5; 5) tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ U = {u1 = (1; 2; -3); u2 =( 2; 1; 1); u3 = (4; 2; 3)} Giải: Để chứng tỏ x tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ U, ta cần tìm số cho x = λ1 ; λ ; λ λ1u + λ u + λ u (4; 5; 5) = λ (1; 2; − 3) + λ (2;1;1) + λ ( 4; 2; 3) λ + 2λ + 4λ = λ + 2λ + 4λ = λ + 2λ + 4λ =    ⇔ 2λ + λ + 2λ = ⇔  − 3λ − 6λ = −3 ⇔  λ + λ3 = − 3λ + λ + 3λ =   4λ + 9λ = 14 4λ + 9λ = 14    λ + 2λ + 4λ = λ = − 2λ − 4λ = −2   ⇔ λ + λ = ⇔ λ = − λ = −1  λ = 5λ = 10   Dạng Vậy x = -2u1 – u2 + 2u3 Xét độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính hệ Ví dụ Trong khơng gian R3, xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ a) U = {u = (1; 1; -2)} b) U = {u1 = (1; 2; -3); u2 = (2; 4; -6)} c) U = {u1= (1; 2; 3); u2 =(0; 0; 0); u3 = (1;3; -1)} d) U = {u1 = (1, 1, 2), u2 = (1, 2, 5), u3 = (5, 3, 4)} e) U = {u1 =(1; -1; 2); u2 = (2; 0; 1); u3 = (1; 2; - 4); u4 = (3; 1; 4)} Giải : Cách xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um}: Ta xét phương trình: k1u1 + k2u2 + … + kmum = θ (*) +) Nếu phương trình (*) có nghiệm k = k2 = … = km = U độc lập tuyến tính +) Nếu phương trình (*) có nghiệm k1; k2; … ; km không đồng thời U phụ thuộc tuyến tính  => a) Hệ U có véc tơ khác khơng nên U độc lập tuyến tính b) Hệ U chứa véc tơ tỷ lệ nên U độc lập tuyến tính c) Hệ U có chứa véc tơ khơng nên hệ phụ thuộc tuyến tính d) Ta có k1u1 + k2u2 + k3u3 = θ ⇔ k1(1, 1, 2) + k2(1, 2, 5) + k3(5, 3, 4) = (0, 0, 0) ⇔ Hệ phương trình bậc  k + k + 5k =  k + 2k + 3k =  k + 5k + k =  (*) Lấy phương trình trừ phương trình 1, phương trình nhân với (-2) cộng với phương trình hệ (*) ⇔ hệ ⇔ k + k + 5k =  k − 2k =  ⇔ k + k + 5k =  k − 2k =   k − 2k =   k = −7 k   k = 2k Chọn k3 = hệ (*) có nghiệm k1 = -7, k2 = 2, k3 = Vậy chứng tỏ hệ cho phụ thuộc tuyến tính e) Giải tương tự d) suy hệ U phụ thuộc tuyến tính 3 Tìm hạng vecto Cách tìm hạng hệ véc tơ Rn: Cho hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} ⊂ Rn Với i,có ui = (ai1, ai2, , ain); i = 1, 2, 3, … , n Ma trận  a 11 a A =  21   a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n  a n    a mn  (với dòng thứ i A toạ độ véc tơ ui) Ma trận A gọi ma trận liên kết với hệ véc tơ U Khi r(U) = r(A) Ví dụ Trong khơng gian R4, tìm hạng hệ véc tơ U = {u1, u2, u3, u4} u1 = (1; -2; 3; 4); u2 = (1; -1; 2; -1); u3 = (2; - 3; 5; 3); u4 = (4; -5; 9; 1) Giải: Ta có ma trận liên kết với hệ véc tơ U: 1 −  1 − − 1  A= 2 −    4 −  Biến đổi ma trận dạng bậc thang, ta  4 1 −  1 − 1 − 1 − − 1 −d1 +d 0 − −  −d 21 +d 0 − − 5  →   →   A= 2 −  −− 24dd1 ++dd 0 − −  −3d +d 0 0 0   4    − 0   0 − − 15 0 =B Nên r(A) = r(B) = Suy r(U) = Chú ý Từ mối liên hệ hạng hệ véc tơ U hạng ma trận A, ta có nhận xét: +) r(A) = m +) r(A) < m ⇔ ⇔ hệ véc tơ U độc lập tuyến tính hệ véc tơ U phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Trong khơng gian R4, tìm m để hệ véc tơ U sau có hạng U = {u1 = (1; -2; 3; 4); u2 = (1; -1; 2; -1); u3 = (3; -5; 8; m); u4 = (3; - 4; 7; -2m + 12) } Giải: Gọi A ma trận liên kết với hệ véc tơ U Bài tốn đưa tìm m để r(A) = Ta có 1 1 A= 3  3 −2 −1 −5      − − 2m + 12 −1 m Biến đổi sơ cấp đưa ma trận A dạng bậc thang 4  1 −  1 −  1 − 1 −     −  − d1 + d  − −  − d +d 0 − −   A= → → =B 3 −  −−33dd1 ++dd 0 − m m − 12  −d +d 0 0 m − 7   4    0  3 − − 2m + 12 0 − − 2m + 24 0 Ma trận B ma trận dạng bậc thang.r(A) = r(B) = Vậy hệ véc tơ U có r(U) = m≠7 m≠7 Tìm sở số chiều vecto Định nghĩa : Cho w không gian vecto E - Mỗi hệ độc lập tuyến tính cực đại W sở W Số vecto sở W số chiều W Kí hiệu: dimW = số vecto sở W Ví dụ Tìm sở chiều khơng gian F R3 sinh hệ vecto sau U = { u1 = (1; 2;1); u = (1;−3;4); u = (2; − 1; 5)} a U = { u1 = (1; 0; 0); u = (1;1;0); u = (2;1;1)} b Cách 1: để tìm sở không gian F sinh U, ta cần tìm hệ độc lập tuyến tính cực địa U a Xét hệ vecto U có u3=u1+u2 => U hệ phụ thuộc tuyến tính (u1,u2) hệ đltt nên hệ đltt cực đại U  (u1,u2) sở F dimF=2 b Tương tự ta có U hệ đltt => U sở F dimF=3 Cách : tìm hạng mt liên kết vs hệ vecto Từ ma trận bậc thang tìm vecto tưng ứng vs dòng khác khơng mt => sở số chiều kg vecto f = L(U) Tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại of hệ vt Vd: Tìm hệ vector độc lập tuyến tính tối đại hệ vector sau: u1 (1, −1, 0); u2 = (2, −1, −1); u3 = (0,1, −1); u4 = (2, 0, −2) Hướng dẫn u1 , u2 , u3 , u4 Xét ma trận A có dòng tọa độ vector Khi đó, thực phép biến đổi sơ cấp dòng ta  −1  1 −1  1 −1   −1 −1 d2 →d2 − d1 0 −1 d3 →d3 −d2 0 −1 d → d4 − d1 d →d4 − d  →     A= →  −1  −1 0 0         −2  0 −2  0 0    r(A)= => hệ đltt tối đại có vecto Vậy hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ là: u1 = (1, −1, 0); u2 = (0,1, −1) ... chiều vecto Định nghĩa : Cho w không gian vecto E - Mỗi hệ độc lập tuyến tính cực đại W sở W Số vecto sở W số chiều W Kí hiệu: dimW = số vecto sở W Ví dụ Tìm sở chiều khơng gian F R3 sinh hệ vecto. .. dimF=3 Cách : tìm hạng mt liên kết vs hệ vecto Từ ma trận bậc thang tìm vecto tưng ứng vs dòng khác khơng mt => sở số chiều kg vecto f = L(U) Tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại of hệ vt Vd: Tìm hệ vector... U = { u1 = (1; 0; 0); u = (1;1;0); u = (2;1;1)} b Cách 1: để tìm sở không gian F sinh U, ta cần tìm hệ độc lập tuyến tính cực địa U a Xét hệ vecto U có u3=u1+u2 => U hệ phụ thuộc tuyến tính (u1,u2)