Đề thi và đáp án môn Toán chuyên đề thi 08072016 DA dethi.TCD.2015 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010 Đề thi gồm: 01 trang Câu 1 (2,0 điểm) 1) Cho 3 3 1 12 135 12 135 1 3 3 3 x + − ÷ = + + ÷ . Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức ( ) 2 3 2 M= 9 9 3x x − − . 2) Cho trước ,a b R∈ ; gọi ,x y là hai số thực thỏa mãn 3 3 3 3 x y a b x y a b + = + + = + Chứng minh rằng: 2011 2011 2011 2011 x y a b+ = + . Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình: 3 2 1 0 (1)x ax bx+ + − = 1) Tìm các số hữu tỷ a và b để phương trình (1) có nghiệm 2 3x = − . 2) Với giá trị ,a b tìm được ở trên; gọi 1 2 3 ; ; x x x là ba nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức 5 5 5 1 2 3 1 1 1 S x x x = + + . Câu 3 (2,0 điểm) 1) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 5 60 37x y x y xy+ + + = . 2) Giải hệ phương trình: ( ) 3 2 4 2 1 5 2 0 x x x y y x x y − = − + − + + = Câu 4 (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R). Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A. Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (O’ ; R’); D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cùng nửa mặt phẳng bờ là O’A). Đường thẳng AI cắt (O’ ; R’) tại M (điểm M khác điểm I ). 1) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD. Chứng minh: 2 KB = KI.KJ ; từ đó suy ra KB = KD. 2) AO’ cắt BC tại H. Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn. 3) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD . Câu 5 (1,0 điểm) Mọi điểm trên mặt phẳng được đánh dấu bởi một trong hai dấu (+) hoặc ( − ). Chứng minh rằng luôn chỉ ra được 3 điểm trên mặt phẳng làm thành tam giác vuông cân mà ba đỉnh của nó được đánh cùng dấu. Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2010 - 2011 Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010 Đáp án gồm : 04 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG. 1 Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa. 2 Việc chi tiết điểm số (với cách khác, nếu có) phải được thống nhất Hội đồng chấm. 3 Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 Cho 3 3 1 12 135 12 135 1 3 3 3 x + − ÷ = + + ÷ .Tính ( ) 2 3 2 M= 9 -9 -3x x . 1,00 Từ 3 3 1 12 135 12 135 1 3 3 3 x + − ÷ = + + ÷ ( ) 3 3 12 135 12 135 3 1 3 3 x + − ÷ ⇒ − = + ÷ ( ) 3 3 3 3 12 135 12 135 3 1 3 3 x + − ÷ ⇔ − = + ÷ ( ) ( ) 3 3 1 8 3 3 1x x⇒ − = + − 3 2 9 9 2 0x x⇔ − − = ( ) 2 1 1M⇒ = − = 0,25 0,25 0,25 0,25 1 2 Cho trước ,a b R∈ ; gọi x,y là hai số thực thỏa mãn 3 3 3 3 ( ) x y a b I x y a b + = + + = + .Chứng minh rằng: 2011 2011 2011 2011 x y a b+ = + . 1,00 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 ( ) 3 3 x y a b I x y xy x y a b ab a b + = + ⇔ + − + = + − + (1) (*) ( ) ( ) (2) x y a b xy a b ab a b + = + ⇔ + = + +/Nếu 0a b+ ≠ thì (*) ⇔ x y a b xy ab + = + = => x, y là 2 nghiệm của phương trình 2 ( ) 0X a b X ab− + + = Giải ra ta có ; x b x a y a y b = = = = => 2011 2011 2011 2011 x y a b+ = + . +/Nếu 0a b+ = => a b= − . Ta có hệ phương trình 3 3 0 0 x y x y x y + = ⇔ = − + = . => 2011 2011 2011 2011 0 0 a b x y + = + = => 2011 2011 2011 2011 x y a b+ = + 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1 3 2 1 0 (1)x ax bx+ + − = . Tìm ,a b Q∈ để (1) có nghiệm 2 3x = − . 1,00 Thay 2 3x = − vào (1)ta có : ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 3 2 3 1 0 a b − + − + − − = ( ) 3 4 15 7 2 25a b a b⇔ + + = + + +/Nếu ( ) 4 15 0a b+ + ≠ => ( ) 7 2 25 3 4 15 a b a b + + = + + (vô lí vì VT là số vô tỷ , VP là số hữu tỷ). +/ Suy ra ( ) 4 15 0a b+ + = ⇒ 7 2 25 0 4 15 0 a b a b + + = + + = Giải hpt ,kết luận : 5 5 a b = − = 0,25 0,25 Khoa GDĐC Họ tên:……………………………………………….Lớp : CĐ…… ……………… Bộ môn VHNN ĐỀ 1:THI HỌC KỲ KHĨA 15 Mơn: TỐN CHUN ĐỀ GV1:…………… GV2:…………………… (Tg 60 phút SV không sử dụng tài liệu) Phần 1: HÀM BIẾN SỐ PHỨC CÂU (1đ) (1đ) (1đ) (2đ) ĐỀ Giải phương trình: e = − + i ĐÁP ÁN 5π z = ln + ( + k 2π )i z Cho hàm u = x + x + y − y Tìm hàm v cho f ( z ) = u + iv giải tích Cho f ( z ) = xy + i (4 y − x y ) Tính f ' ( z ) tại: a / v = − x + y + xy f ' ( z3 ) = − 3i z1 = + i ; z2 = + i; z3 = + i 3; có Tính: I = 1+ i y I= ∫ ( x − i )dz dọc theo: (d ) : y = x (2đ) Tính tích phân: z2 Ik = ∫ dz C1 : z − = 1; C2 : z − = ( z − 1)( z − 3) Ck 3+i i = + 2 a / I1 = πi b / I2 = 3πi Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE { } / (1.5đ) Tìm L e −2t cos 3t theo hai bước sau z 1 1 + a/ Bước 1: Tìm L cos 3t = L + cos 6t = (1đ) 2 z z + 36 1 z+2 −2t + (0.5đ) b/ Bước 2: Tìm L e cos 3t = 2( z + ) ( z + ) + 36 7/ (1.5đ).Tìm L−1 e −2 z F ( z ) với F ( z ) = ( z + 3) + 25 theo ba bước sau −1 −1 −1 a/ Bước 1: Tìm L { F ( z − 3) } = L = L = sin 5t (0.5đ) z + 25 z + 25 −3 t −1 −3t −1 b/ Bước 2: Tìm L { F ( z )} = e L { F ( z − 3) } = e sin 5t (0.5đ) −3 ( t − ) −1 −2 z sin 5( t − ).u (t − 2) (0.5đ) c/ Bước 3: Tìm L e F ( z ) = e { } { } { } { } Giáo viên đề…… … Tống Minh Hải Trưởng môn VHNN ………… Ngô Văn Thiện Khoa GDĐC Họ tên:……………………………………………….Lớp : CĐ…… ……………… Bộ môn VHNN ĐỀ 2: THI HỌC KỲ KHĨA 15 Mơn: TỐN CHUN ĐỀ GV1:…………… GV2:…………………… (Tg 60 phút SV không sử dụng tài liệu) Phần 1: HÀM BIẾN SỐ PHỨC CÂU (1đ) (1đ) (1đ) (2đ) ĐỀ Giải phương trình: e = 3i − ĐÁP ÁN 2π z = ln + ( + k 2π )i z Cho hàm u = x + x − y − y Tìm hàm v cho f ( z ) = u + iv giải tích Tính đạo hàm f ( z ) = x − y + ( xy + y )i tại: z1 = + 3i, z2 = + i, z3 = + 2i có i +1 f ' ( z ) = + 4i i Tính: I = ∫ ( x − iy )dz dọc theo: ( P ) : y = x I = 1+ Tính tích phân: z2 + Ik = ∫ dz C1 : z − = 1; C2 : z − = ( z − ) ( z − ) Ck a / I1 = − (2đ) v = x + y + 2xy 7πi b / I2 = 11πi Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE { } / (1.5đ) Tìm L e 2t sin 3t theo hai bước sau { } z 1 1 − a/ Bước 1: Tìm L sin 3t = L − cos 6t = (1đ) 2 z z + 36 1 z−2 2t − b/ Bước 2: Tìm L e sin 3t = (0.5đ) 2( z − 2) ( z − ) + 36 7/ (1.5đ), Tìm L−1 e −4 z F ( z ) với F ( z ) = theo ba bước sau ( z − 2) + −1 −1 −1 a/ Bước 1: Tìm L { F ( z + 2) } = L = L = sin 3t (0.5đ) z +9 z +9 2t −1 2t −1 b/ Bước 2: Tìm L { F ( z )} = e L { F ( z + 2) } = e sin 3t (0.5đ) 2( t −4 ) −1 −4 z sin 3( t − 4).u (t − 4) (0.5đ) c/ Bước 3: Tìm L e F ( z ) = e { } { } { } Giáo viên đề…… … Tống Minh Hải Trưởng môn VHNN ………… Ngô Văn Thiện Khoa GDĐC Họ tên:……………………………………………….Lớp : CĐ…… ……………… Bộ môn VHNN ĐỀ 3: THI HỌC KỲ KHĨA 15 Mơn: TỐN CHUN ĐỀ GV1:…………… GV2:…………………… (Tg 60 phút SV không sử dụng tài liệu) Phần 1: HÀM BIẾN SỐ PHỨC CÂU (1đ) (1đ) (1đ) (2đ) ĐỀ Giải phương trình: e = − 2i ĐÁP ÁN z z = ln + ( − Cho hàm u = x + y + x − y Tìm hàm v cho f ( z ) = u + iv giải tích Cho f ( z ) = xy + i (4 y − x y ) Tính f ' ( z ) tại: v = − x + y + 4xy z1 = + i ; z2 = + 2i ); z3 = + i có f ' ( z ) = − 4i 1+i + 4i = + i Tính: ∫ xdz dọc theo ( P ) : y = x I= Tính tích phân: ez Ik = ∫ dz C1 : z − = 1; C2 : z − = ( z − )( z − ) Ck a / I1 = (2đ) π + k 2π )i eπi b / I2 = e3πi Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE { } / (1.5đ) Tìm L e 2t sin 3t theo hai bước sau 9 1 sin 3t − sin 9t 3 − = − (1đ) a/ Bước 1: Tìm L sin 3t = L = z + z + 81 z + z + 81 9 1 2t (0.5đ) − b/ Bước 2: Tìm L e sin 3t = 2 ( z − ) + ( z − ) + 81 { } { } 3z − theo ba bước sau ( z − 2) + 25 3z z −1 −1 −1 a/ Bước 1: Tìm L { F ( z + 2) } = L = 3L = cos 5t (0.5đ) z + 25 z + 25 b/ Bước 2: Tìm L−1 { F ( z )} = e 2t L−1 { F ( z + 2) } = 3e 2t cos 5t (0.5đ) { } 7/ (1.5đ), Tìm L−1 e −4 z F ( z ) với F ( z ) = { } c/ Bước 3: Tìm L−1 e −4 z F ( z ) = 3e 2( t −4 ) cos 5( t − ).u (t − 4) Giáo viên đề…… … Tống Minh Hải (0.5đ) Trưởng môn VHNN ………… Ngô Văn Thiện Khoa GDĐC Họ tên:……………………………………………….Lớp : CĐ…… ……………… Bộ môn VHNN ĐỀ 4:THI HỌC KỲ KHĨA 15 Mơn: TỐN CHUN ĐỀ GV1:…………… GV2:…………………… (Tg 60 phút SV không sử dụng tài liệu) Phần 1: HÀM BIẾN SỐ PHỨC CÂU (1đ) (1đ) (1đ) (2đ) ĐỀ Giải phương trình: e = 3i − ĐÁP ÁN 2π z = ln + ( + k 2π )i z Cho hàm u = x + y − x + y Tìm hàm v cho f ( z ) = u + iv giải tích Tính đạo hàm f ( z ) = x + x − y + (2 xy − y + 12 y )i tại: z1 = + 2i, z = + i, z3 = + 3i có 1+i v = − x + y − xy f ' ( z ) = + 3i I= Tính tích phân: ez Ik = ∫ dz C1 : z − = 1; C2 : z − = ( z − 1) ( z − 3) Ck − 3eπi a / I1 = (2đ) + 3i 1 = + i Tính: ∫ ydz dọc theo ( P ) : y = x e3πi b / I2 = Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE { } / (1.5đ) Tìm L e 2t cos 3t theo hai bước sau z z cos 3t + cos 9t 3 + 1đ) a/ Bước 1: Tìm L cos 3t = L = z + z + 81 { } z−2 z−2 z−2 2t + = + b/ Bước 2: Tìm L e cos 3t = (0.5đ) 2 2 ( z − ) + ( z − ) + 81 ( z − ) + ( z − ) + 81 { } { } 7/ (1.5đ), Tìm L−1 e −2 z F ( z ) với F ( z ) = −1 a/ Bước 1: Tìm L 2z + theo ba bước sau: ( z + 3) + 25 { F ( z − 3) } = L−1 ... BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN 1 Bùi Văn Chi SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐNNH TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN NĂM HỌC 2009 – 2010 Đề chính thức Mơn thi: TỐN (chun) Ngày thi: 19/06/2009 Thời gian: 150 phút Bài 1. (1,5 điểm) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 1 2 b c c a a b < + + < + + + Bài 2. (2 điểm) Cho 3 s ố phân bi ệ t m, n, p. Ch ứ ng minh r ằ ng ph ươ ng trình 1 1 1 0 x m x n x p + + = − − − có hai nghi ệ m phân bi ệ t. Bài 3. (2 điểm) V ớ i s ố t ự nhiên n, n ≥ 3. Đặ t S n = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1 + + + + + + + + ⋯ . Ch ứ ng minh r ằ ng S n < 1 2 . Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC n ộ i ti ế p trong đườ ng tròn tâm O có độ dài các c ạ nh BC = a, AC = b, AB = c. E là đ i ể m n ằ m trên cung BC khơng ch ứ a đ i ể m A sao cho cung EB b ằ ng cung EC. N ố i AE c ắ t c ạ nh BC t ạ i D. a. Ch ứ ng minh: AD 2 = AB.AC – DB.DC b. Tính độ dài đ o ạ n AD theo a, b, c. Bài 5. (1,5 điểm) Ch ứ ng minh r ằ ng: ( ) 2 m 1 2 n n 3 2 − ≥ + v ớ i m ọ i s ố ngun d ươ ng m, n. BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN 2 Bùi Văn Chi GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUN THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐNNH MƠN TỐN CHUN NĂM HỌC 2009 – 2010 Ngày thi: 19/06/2009 – Thời gian: 150 phút Bài 1. (1,5 điểm) Chứng minh: a b c 1 2 b c c a a b < + + < + + + (với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác) Ta có: m m k n n k + < + , (v ớ i 0 < m < n, ∀ k > 0) (1) Th ậ t v ậ y, (1) ⇔ 0 < m(n + k) < n(m + k) ⇔ 0 < mk < nk ⇔ 0 < m < n (0 < m, n, k) Áp d ụ ng: 0 < a < b + c ⇒ a 2a b c a b c < + + + 0 < b < c + a ⇒ b 2b c a a b c < + + + 0 < c < a + b ⇒ c 2c a b a b c < + + + C ộ ng v ế theo v ế các b ấ t đẳ ng th ứ c trên : a b c 2(a b c) 2 b c c a a b a b c + + + + < = + + + + + (2) Ta ch ứ ng minh b ấ t đẳ ng th ứ c ph ụ : ( ) 1 1 1 x y z 9 x y z + + + + ≥ (x, y, z > 0) Ta có: ( ) 1 1 1 x y z x y z + + + + = x y y z x z 3 y x z y z x + + + + + + ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 Thay x = a + b, y = b + c, z = c + a vào (2): 1 1 1 2(a b c) 9 a b b c c a + + + + ≥ + + + ⇔ 1 1 1 9 (a b c) a b b c c a 2 + + + + ≥ + + + ⇔ c a c 9 1 1 1 a b b c a b 2 + + + + + ≥ + + + ⇔ a b c 9 3 3 1 b c c a a b 2 2 + + ≥ − = > + + + (3) T ừ (2), (3) suy ra: a b c 1 2 b c c a a b < + + < + + + . Bài 2.(2 điểm) Chứng minh phương trình 1 1 1 0 x m x n x p + + = − − − (1) có hai nghiệm phân biệt (∀ m ≠n ≠ p) Đ i ề u ki ệ n xác đị nh c ủ a ph ươ ng trình: x ≠ m, n, p. Bi ế n đổ i ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng: (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x n x p x m x p x m x n 0 − − + − − + − − = ⇔ 3x 2 – 2x(m + n + p) + mn + np + mp = 0 ∆ ’ = (m + n + p) 2 – 3(mn + np + mp) = m 2 + n 2 + p 2 – mn – np – mp = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 m n n p m p 2 − + − + − > 0 (vì m ≠ n ≠ p) V ậ y ph ươ ng trình (1) ln có hai nghi ệ m phân bi ệ t. BO ẹE THI 10 CHUYEN 3 Buứi Vaờn Chi Bi 3.(2 im) Chng minh S n = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1 + + + + + + + + , n N, n 3 Ta cú b t ng th c: 2n 1 2 n(n 1) + > + (2n + 1) 2 > 4n(n + 1) 4n 2 + 4n + 1 > 4n 2 + 4n: B T ỳng Do ú: ( ) ( ) ( ) 1 1 2n 1 n n 1 2 n n 1 . n(n 1 < + + + + + + = ( ) n 1 n 1 2 n 1 n n(n 1) + + + = = 1 1 1 2 n n 1 + (1) Cho n l n Sở giáo dục đào tạo Hng yên kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán đề thức (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (1,5 điểm) Cho a = : +1 ữ +1 +1ữ Hãy lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm Bài 2: (2,5 điểm) x 16 xy = y a) Giải hệ phơng trình: xy y = x ( ) b) Tìm m để phơng trình x 2x 3x + 6x + m = có nghiệm phân biệt Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh số nguyên k lớn thoả mãn k + k + 16 số nguyên tố k chia hết cho b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a + p b + p c 3p Bài 4: (3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O dây AB không qua O Gọi M điểm cung AB nhỏ D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B) DM cắt AB C Chứng minh rằng: a) MB.BD = MD.BC b) MB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Tổng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD không đổi Bài 5: (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình - giác EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình - giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ Hết -Họ tên thí sinh: . Chữ ký giám thị . Số báo danh: ..Phòng thi số: Hớng dẫn chấm thi Bài 1: (1,5 điểm) 1 +1 +1 +1 +1 a = 2: ữ= : 7 +1 +1 +1ữ = a = 2: Đặt x = a x = x + = x + 2x + = x + 2x = Vậy phơng trình x + 2x = nhận làm nghiệm 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ Bài 2: (2,5 điểm) x 16 x 16 xy = (1) xy = y y a) ĐK: x, y y x y xy = = (2) x y x Giải (2) 6y 6x = 5xy (2x + 3y)(3x 2y) = 3y 3y 16 y + = 2 0,25 đ 0,25 đ * Nếu 2x + 3y = x = Thay vào (1) ta đợc 3y 23 (phơng trình vô nghiệm) = 2y * Nếu 3x 2y = x = Thay vào (1) ta đợc y = y = - Với y = x = (thoả mãn điều kiện) - Với y = x = (thoả mãn điều kiện) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) b) Đặt x 2x + = y ( x 1) = y x = y (y 0) (*) Phơng trình cho trở thành: ( y 1) ( y 1) + m = 0,25 đ y 5y + m + = (1) Từ (*) ta thấy, để phơng trình cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) có nghiệm dơng phân biệt > 4m > S > > P > m + > 0,25 đ 0,25 đ m < < m < m > Vậy với < m < phơng trình có nghiệm phân biệt 0,25 đ Bài 3: (2,0 điểm) a) Vì k > suy k + > 5; k + 16 > - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 10n + k + M5 0,25 đ k + không số nguyên tố - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 20n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 30n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố 0,25 đ 0,25 đ - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 40n + 16 k + M5 0,25 đ k + không số nguyên tố Do k M5 ( ) 2 b) Ta chứng minh: Với a, b, c ( a + b + c ) a + b + c (*) Thật (*) a + b + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 3a + 3b + 3c 0,5 đ (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 (luôn đúng) áp dụng (*) ta có: ( pa + pb + pc Suy ) ( 3p a b c ) = 3p 0,5 đ p a + p b + p c 3p (đpcm) Bài 4: (3,0 điểm) N D J I A O C B M a) Xét MBC MDB có: ã ã BDM = MBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ã ã BMC = BMD 0,5 đ Do MBC MDB đồng dạng MB MD = MB.BD = MD.BC Suy BC BD 0,5 đ ã ã ã b) Gọi (J) đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC = 2BDC = 2MBC ã BJC ã hay MBC = ã 180 BJC ã BCJ cân J CBJ = 0,5 đ ã ã BJC 180 O BJC ã ã Suy MBC + CBJ = + = 90 O MB BJ 2 Suy MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB 0,5 đ c) Kẻ đờng kính MN (O) NB MB Mà MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng tròn ngoại tiếp ADC Chứng minh tơng tự I thuộc AN ã ã ã ã Ta có ANB = ADB = 2BDM = BJC CJ // IN Chứng minh tơng tự: CI // JN 0,5 đ Do tứ giác CINJ hình bình hành CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) (J) là: IC + JB = BN (không đổi) Bài 5: (1,0 điểm) A E 0,5 đ F a B b h c M K D G H g d f e J I C Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với a, b, c, d, e, f, g, h số hữu tỉ dơng) Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có (8 2).180O số đo là: = 135O Suy góc hình cạnh là: 180O - 135O = 45O Do tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông cân h b d f MA = AE = ; BF = Sở giáo dục đào tạo HảI dơng Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trãi - Năm học 2009-2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Đề thi thức Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phơng trình: x + y + xy = xy + 3x = 2) Tìm m nguyên để phơng trình sau có nghiệm nguyên: 4x + 4mx + 2m 5m + = Câu II (2.5 điểm): 1) Rút gọn biểu thức: + x2 ( + x ) A= + x2 2) Cho trớc số hữu tỉ m cho ( x) với x m số vô tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a m2 + b m + c = Câu III (2.0 điểm): 1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số x số nguyên dơng biết f(5) f(3) = 2010 Chứng minh rằng: f(7) f(1) hợp số 2 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x 4x + x + 6x + 13 Câu IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C lần lợt hình chiếu vuông góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E ã ã cho DE song song với NP Trên tia AB lấy điểm K cho DMK Chứng = NMP minh rằng: 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK Câu V (1.0 điểm): Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đờng tròn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn -Hết Họ tên thí sinh : Số báo danh : Chữ kí giám thị : .Chữ kí giám thị 2: Hớng dẫn chấm Câu Phần câu I 1) 2,5 điểm 1,5điểm nội dung Điểm x + y + xy = (1) (2) xy + 3x = Từ (2) x Từ y = 3x , thay vào (1) ta có: x 0.25 3x 3x x + =3 ữ + x x x 7x 23x + 16 = 16 Giải ta đợc x = x = 16 7 x= y=m 7 7 7 ; ; Vậy hệ có nghiệm (x; y) (1; 1); (-1; -1); ữ; ữ ữ ữ Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x ' Từ x = x = y = ; x = 2) 1,0điểm câu II 1) 2,5 điểm 1,5điểm m 5m + (m 2)(m 3) Vì (m - 2) > (m - 3) nên: x ' m m m 3, mà m Z m = m = Khi m = x ' = x = -1 (thỏa mãn) Khi m = x ' = x = - 1,5 (loại) Vậy m = Đặt a = + x; b = x (a, b 0) 2 2 a + b = 4; a b = 2x + ab ( a b3 ) + ab ( a b ) ( a + b + ab ) A= = + ab + ab + ab ( a b ) ( + ab ) A= = + ab ( a b ) + ab A = + 2ab ( a b ) A 2= (a 1,0điểm ) + b + 2ab ( a b ) = ( a + b ) ( a b ) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 A = a b = 2x A = x 0.25 0.25 a m + b m + c = (1) Giả sử có (1) b m + c m + am = (2) Từ (1), (2) (b ac) m = (a m bc) 0.25 2) 0.25 a m bc số hữu tỉ Trái với giả thiết! b ac b ac = b3 = abc a m bc = bc = am Nếu a m bc m = b số hữu tỉ Trái với giả a thiết! a = 0;b = Từ ta tìm đợc c = Ngợc lại a = b = c = (1) Vậy: a = b = c = 0.25 b3 = a m b = a m Nếu b m = câu III 1) điểm 1,0điểm 2) 1,0điểm Theo f(x) có dạng: f(x) = ax + bx + cx + d với a nguyên dơng Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) Ta có f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) M3 Vì a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 Vậy f(7)-f(1) hợp số P= ( x 2) + 12 ( x + 3) OA = ( x x 3) ( x 2) 2 điểm K B C N 2) 1,25điểm E A 0.25 0.25 0.25 + 12 , OB = ( x + 3) + 12 + 22 ( x + 3) + 2 26 Dấu = xảy A thuộc đoạn OB B thuộc đoạn OA x2 = x = Thử lại x = A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn x+3 OB Vậy Max P = 26 x = Ta dễ dàng chứng minh tứ giác 1) ã ã MBAN nội tiếp MAB , = MNB 0,75điểm ã ã M MCAP nội tiếp CAM = CPM D 0.25 + ( ) = 25 + = 26 ( x 2) Mặt khác ta có: OA OB AB câuIV 0.25 0.25 + 22 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) Ta chứng minh đợc: AB = 0.25 P ã ã Lại có BNM = CPM (cùng phụ góc NMP) ã ã (1) CAM = BAM Do DE // NP mặt khác MA NP MA DE (2) Từ (1), (2) ADE cân A MA trung trực DE MD = ME 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 M K B C D N E P A ã ã Do DE//NP nên DEK , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên: = NAB ã ã ã ã + DEK = 1800 NMB + NAB = 1800 NMB ã ã ã ã Theo giả thiết DMK DMK + DEK = 1800 = NMP Tứ giác MDEK nội tiếp Do MA trung trực DE MEA = MDA ã ã ã ã MEA = MDA MEK = MDC ã ã ã ã DM phân giác góc CDK, kết hợp Vì MEK = MDK MDK = MDC S GIO DC BèNH NH BèNH NH K THI TUấN SINH VO LP 10 TRNG THPT CHUYấN Lấ QUí ễN NM HC 2009-2010 Mụn thi:Toỏn (chuyờn) Ngy thi:19/06/2009 Thi gian:150 phỳt chớnh thc Bi 1(1.5im) Cho a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc.Chng minh rng: 1< a b c + + 0 v a< b+c ,b< a + c , c < a+b a a+ a 2a < = b+ c a+ b+ c a+ b+ c a a > Mt khỏc b+ c a+ b+ c a a 2a < < (1) Vy ta cú a+ b+ c c+ b a+ b+ c b b 2b c c 2a < < (2); < < (3) Tng t a+ b+ c c+ a a+ b+ c a+ b+ c b+ a a+ b+ c Nờn ta cú Cng (1) (2) v (3) v theo v ta cú iu phi chng minh Bi 2: K: x m, n, p PT ó cho (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = 3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1) Ta cú ' = (m + n + p)2 - 3(mn + mp + np) = m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp1 3np = m2+n2+p2 mn-mp-np = [(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0 t f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np Ta cú f(m) = 3m2 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 mn mp +np = (m-n) (m-p) = >m,n,p khụng phi l nghim ca pt(1) Vy PT ó cho luụn cú hai nghim phõn bit Bi Ta có : < ( 2n + 1) ( n + n + 1) n+ 1- n = = n+ 1- n n+ 1- n = 2n + 4n2 + 4n + 1 ổ1 = ỗ ỗ ỗ ố n n + n ỗ n +1 - n 4n + 4n 1ổ 1 1 + + + Do ú Sn < ỗỗỗ1 2ố 2 n ữ ữ ữ ữ n + 1ứ 1ổ ữ ữ = ỗ ỗ1 ữ ữ 2ố ỗ n + 1ứ Bi 3: ã ã Ta cú BAD ( Do cung EB = cung EC) = CAE ã ã V AEC ( Hai gúc ni tip cựng chn cung = DBA AC) nờn BAD EAC BA AE ị = ị AB AC = AE.AD(1) AD AC ã ã ã ã Ta cú ADC = BDC (Đối đỉnh) CAD = DBE (2 gúc ni tip cựng chn cung CE) nờn ACD BDE AD DB ị = ị AD.DE = DB.DChay DC DE ữ ữ < ữ ữ n + 1ứ C a E AD(AE-AD) = DB.DC Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC DB.DC (do (1)) O b D B c A 4b)Theo tớnh cht ng phõn giỏc ta cú DC DB DC DB DC + DB a = hay = = = AC AB b c b+ c b+ c DC DB a a a bc = ị DB DC = vy b c b+ c b+ c ( b + c) theo cõu a ta cú AD = AB.AC DB.DC = bc a2 bc ( b + c) ổ a2 ữ ỗ ữ ỗ = bc ỗ1 2ữ ữ ỗ ữ ỗ ( b + c) ứ ố ổ a2 ữ ỗ ữ ỗ ị AD = bc ỗ1 2ữ ỗ ữ ỗ b + c ) ứữ ố ( Bi 5: m m số hữu tỉ 2là số vô tỉ nên n n Vỡ Ta xet hai trng hp: a) m > n Khi m > 2n ị m 2 n + hay m 2n + T ú suy : m n b) 2n2 + n m < n = 2+ n Khi m < n ịÊm - n2 2= = ổ 1 + + n2 ỗ 2+ + ỗ ỗ n ỗ n ố 2+ n2 ữ 2ữ ữ ữ ứ n - hay m Ê 2n - T ú suy : m n = = 2- ổ n2 ỗ ỗ 2+ ỗ ỗ ố m n 2n - = 2n 2- n2 ữ 2- ữ ữ n ữ ứ 2- = n2 2- 2+ 2+ n2 2- n2 ( 3+ ) ************************************************ ( 3+ ) ... 4) Giáo viên đề … … Tống Minh Hải (0.5đ) Trưởng môn VHNN ………… Ngô Văn Thi n Khoa GDĐC Họ tên:……………………………………………….Lớp : CĐ…… ……………… Bộ môn VHNN ĐỀ 4 :THI HỌC KỲ KHĨA 15 Mơn: TỐN CHUN ĐỀ GV1:……………... (0.5đ) Giáo viên đề … … Tống Minh Hải Trưởng môn VHNN ………… Ngô Văn Thi n Khoa GDĐC Họ tên:……………………………………………….Lớp : CĐ…… ……………… Bộ môn VHNN ĐỀ 5 :THI HỌC KỲ KHĨA 15 Mơn: TỐN CHUN ĐỀ GV1:…………… GV2:……………………... (0.5đ) Giáo viên đề … … Tống Minh Hải Trưởng môn VHNN ………… Ngô Văn Thi n Khoa GDĐC Họ tên:……………………………………………….Lớp : CĐ…… ……………… Bộ môn VHNN ĐỀ 7: THI HỌC KỲ KHĨA 15 Mơn: TỐN CHUN ĐỀ GV1:…………… GV2:……………………