SKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợpSKKN“Giải toán bằng ph¬ơng pháp chọn thích hợp
Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp A Lý chọn đề tài Để gii bi toán, có phương pháp hay dùng l: dựa vo bi toán kiến thức toán học liên quan vạch định h-ớng sau dùng suy luận kiến thức toán học biết thực định h-ớng cách chọn thích hợp; từ tìm lời giải toán (điều quan trọng định h-ớng thực v tìm lời gii bi toán) Đã có nhiều tác giả đề cập đến ph-ơng pháp nh-ng dùng ph-ơng pháp để giải toán thuộc dạng toán cụ thể, chủ yếu toán liên quan đến Đại số Giải tích; ch-a dùng ph-ơng pháp để giải toán khác, đặc biệt toán liên quan đến Hình học Dùng ph-ơng pháp giải đ-ợc nhiều toán thuộc dạng toán khác từ dễ đến khó Với lí chọn đề tài: Giải toán phương pháp chọn thích hợp D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp B Nội dung Dùng ph-ơng pháp chọn thích hợp để giải số toán liên quan đến Hình học (chứng minh đ-ờng thẳng đồng quy, đ-ờng thẳng qua điểm cố định, ) I Một số kiến thức toán học th-ờng dùng 1.1 Cho I trung điểm đoạn thẳng AB Với điểm M bất kỳ, ta có: MA MB 2MI 1.2 Cho tam giác ABC với trọng tâm G Với điểm M bất kỳ, ta có: MA MB MC 3MG 1.3 Cho tứ giác ABCD với trọng tâm G Với điểm M bất kỳ, ta có: MA MB MC MD 4MG 1.4 Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G Với điểm M bất kỳ, ta có: MA MB MC MD 4MG 1.5 Vec tơ b ph-ơng với vec tơ a ( a ) có số thực k cho b ka 1.6 Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số thực k cho AB k AC 1.7 Cho vec tơ a điểm O Khi tồn điểm A cho D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp OA a 1.8 Cho n đểm A1, A2, , An n số thực k1, k2, , kn thỏa mãn k1 + k2 + + kn Khi tồn điểm G cho k1 GA1 k GA2 k n GAn (điểm G gọi tâm tỷ cự hệ điểm A1 , A2 , , An gắn với hệ số k1, k2, , kn Đặc biệt k1 = k2 = = kn, điểm G gọi trọng tâm hệ điểm A1 , A2 , , An ) 1.9 Cho G trọng tâm hệ điểm A1 , A2 , , An Với điểm M bất kỳ, ta có MA1 MA2 MAn nMG Chứng minh: 1.1 Xem trang 20 SGK Hình học nâng cao lớp 10 1.2 Xem trang 20 SGK Hình học nâng cao lớp 10 1.3 Xem 28 trang 24 SGK Hình học nâng cao lớp 10 1.4 Xem ví dụ trang 85 SGK Hình học nâng cao lớp 11 1.5 Xem trang 21 SGK Hình học nâng cao lớp 10 1.6 Xem trang 21 SGK Hình học nâng cao lớp 10 1.7 Xem trang SGK Hình học nâng cao lớp 10 1.8 Xem trang 63 sách tập Hình học nâng cao lớp 10 1.9 Với điểm M bất kỳ, ta có MA1 MA2 MAn MG GA1 MG GA2 MG GAn nMG GA1 GA2 GAn nMG (vì G trọng tâm hệ điểm A1 , A2 , , An nên GA1 GA2 GAn ) D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp II Dùng ph-ơng pháp chọn thích hợp để giải số toán liên quan đến Hình học Bài toán 2.1 Chứng minh ba đ-ờng trung tuyến tam giác đồng quy 2.1.1 Định h-ớng Giả sử tam giác ABC có ba đ-ờng trung tuyến AM, BN, CP (hình 1) n p g b c m hình Ta cần chứng minh tồn điểm G thuộc ba đ-ờng trung tuyến AM, BN, CP Điểm G thuộc đ-ờng trung tuyến AM có số thực k cho GA k GM Hay GA k GB GC (vì M trung điểm cạnh BC) k k GA GB GC 2 Vì vai trò điểm A, B, C toán bình đẳng (bài toán không thay k đổi thay đổi điểm A, B, C cho nhau) nên chọn k cho k (Khi k = -2 GA GB GC ) Vậy chọn k = - 2.1.2 Lời giải Giả sử tam giác ABC có ba đ-ờng trung tuyến AM, BN, CP (hình 1) Theo 1.8, tồn điểm G cho GA GB GC (2.1) Khi ta có D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu 4 Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp GA (GB GC ) GA 2GM (2.2) (vì M trung điểm cạnh BC) Suy ba điểm G, A, M thẳng hàng Do điểm G thuộc đ-ờng trung tuyến AM T-ơng tự G thuộc đ-ờng trung tuyến BN, CP Vậy đ-ờng trung tuyến AM, BN, CP đồng quy Nhận xét 2.1 2.1.1 Từ toán (Trang 13 SGK Hình học lớp 10 nâng cao) ta có tính chất: G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC Tính chất có đ-ợc nhờ sử dụng tính chất (trang 66 SGK Toán tập 2): Ba đường trung tuyến ca tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng 2/3 độ di trung tuyến qua đỉnh Còn đây, trực tiếp chứng minh cách tự nhiên ba đường trung tuyến ca tam giác ABC đồng quy điểm G cho GA GB GC suy đ-ợc tính chất trọng tâm mà em đ-ợc học lớp 2.1.2 Bằng cách làm t-ơng tự giải toán sau: Bài toán 2.2 (Bài 41 trang 11 sách tập Hình học nâng cao lớp 10) Cho sáu điểm ba điểm thẳng hàng Gọi tam giác có ba đỉnh lấy sáu điểm ' tam giác có ba đỉnh lại Chứng minh với cách chọn khác đ-ờng thẳng nối trọng tâm hai tam giác ' qua điểm cố định 2.2.1 Định h-ớng Giả sử sáu điểm A, B, C, D, E, F Ta cần chứng minh tồn điểm H cố định cho với cách chọn khác H thuộc đ-ờng thẳng nối trọng tâm hai tam giác ' Nếu tam giác ABC ' tam giác DEF Gọi G G lần l-ợt trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF H thuộc đ-ờng thẳng GG có số thực k cho HK k HG ' Hay k ( HA HB HC ) ( HD HE HF ) 3 1 k k k HA HB HC HD HE HF 3 3 3 D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp Vì vai trò điểm A, B, C, D, E, F toán bình đẳng nên chọn k k 3 cho k (khi k = -1 HA HB HC HD HE HF ) Vậy chọn k = -1 2.2.2 Lời giải vắn tắt Giả sử sáu điểm A, B, C, D, E, F Theo 1.8, tồn điểm H cho HA HB HC HD HE HF (H trọng tâm hệ điểm A, B, C , D, E, F ) Vì điểm A, B, C, D, E, F cố định nên điểm H cố định Theo định h-ớng 2.2.1, tam giác ABC H thuộc đ-ờng thẳng nối trọng tâm hai tam giác ' T-ơng tự với cách chọn khác ( tam giác có ba đỉnh lấy sáu điểm A, B, C, D, E, F ) đ-ờng thẳng nối trọng tâm hai tam giác ' củng qua điểm H Vậy với cách chọn khác đ-ờng thẳng nối trọng tâm hai tam giác ' qua điểm H cố định Nhận xét 2.2 Bằng cách làm t-ơng tự giải đ-ợc toán sau (Bài toán 2.3; 2.4; 2.5) Bài toán 2.3 ( Bài 42 trang 12 sách tập Hình học nâng cao lớp 10 ) Cho năm điểm ba điểm thẳng hàng Gọi tam giác có ba đỉnh lấy năm điểm đó, hai điểm lại xác định đoạn thẳng Chứng minh với cách chọn khác đ-ờng thẳng nối trọng tâm tam giác trung điểm đoạn thẳng qua điểm cố định Bài toán 2.4 Chứng minh tứ diện đ-ờng thẳng qua đỉnh trọng tâm mặt đối diện đồng quy điểm Bài toán 2.5 (Bài toán tổng quát toán 2.1; 2.2; 2.3; 2.4) Trong không gian cho n điểm A1 , A2 , , An (n > 2); m số tự nhiên cho < m < n Ai , Ai , , Ai m điểm lấy n điểm đó; Ai , Ai , , Ai n m điểm lại Chứng minh với cách chọn m điểm Ai , Ai , , Ai khác nhau, đ-ờng thẳng qua trọng tâm hai hệ điểm Ai , Ai , , Ai Ai , Ai , , Ai qua điểm cố định m m 1 m 2 m n m m m n Nhận xét Từ cách giải toán 2.1 quen thuộc ta vận dụng để giải toán khó sau (2.6; 2.7) D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp Bài toán 2.6 ( Bài T10/237, tạp chí Toán học tuổi trẻ số 237 tháng năm 1997) Gọi Gi trọng tâm mặt đối diện với đỉnh Ai tứ diện A1A2A3A4 M điểm không gian gọi Mi điểm đối xứng M qua Gi Chứng minh đ-ờng thẳng AiMi ( i = 1, 2, 3, ) đồng quy điểm 2.6.1 Định h-ớng Ta cần chứng minh tồn điểm H thuộc đ-ờng thẳng AiMi ( i = 1, 2, 3, ) Điểm H thuộc đ-ờng thẳng A1M1 có số thực k cho HM1 k HA1 Vì G1 trọng tâm tam giác A2A3A4; M1 điểm đối xứng M qua G1 nên HG HA HA HA 1 HA2 HA3 HA4 HM HM1 Suy HM1 , HG HM HM HA2 HA3 HA4 HM Do HM1 k HA1 hay 2 HA2 HA3 HA4 HM k HA1 k HA1 HA2 HA3 HA4 HM 3 Vì vai trò điểm A1 , A2 , A3 , A4 toán bình đẳng nên chọn k cho k= (khi k = 2 HM HA1 HA2 HA3 HA4 ) 3 2.6.2 Lời giải vắn tắt Theo 1.8, tồn điểm H cho HM HA1 HA2 HA3 HA4 Theo định h-ớng 2.6.1, điểm H thuộc đ-ờng thẳng A1M1 T-ơng tự điểm H thuộc đ-ờng thẳng AiMi ( i = 2, 3, ) Vậy đ-ờng thẳng AiMi ( i = 1, 2, 3, ) đồng quy điểm Bài toán 2.7 (Đề thi HSGQG lớp 12 năm 1998, Bảng A) Cho mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện ABCD Vẽ đ-ờng kính AA1, BB1, CC1, DD1 Gọi A0, B0, C0, D0 lần l-ợt trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh rằng: D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp a Các đ-ờng thẳng A0A1, B0B1, C0C1, D0D1 đồng quy điểm Gọi điểm F b Đ-ờng thẳng qua F trung điểm cạnh tứ diện vuông góc với cạnh đối diện cạnh 2.7.1 Định h-ớng (câu a) Ta cần chứng minh tồn điểm F thuộc đ-ờng thẳng A0A1, B0B1, C0C1, D0D1 Điểm F thuộc đ-ờng thẳng A0A1 có số thực k cho FA1 k FA0 Dễ thấy FA0 FB FC FD FA1 FO FA Do FA1 k FA0 FO FA Hay FA k FB FC FD k k k FB FC FD FO 3 Vì vai trò điểm A, B, C, D toán bình đẳng nên chọn k cho k k 3 Khi FA FB FC FD FO FG FO ( G trọng tâm tứ diện ABCD ) FO FG Vậy F điểm đối xứng O qua G Từ định h-ớng 2.7.1, dễ dàng giải đ-ợc toán Nhận xét Chúng ta chứng minh đ-ợc ba đ-ờng trung tuyến tam giác đồng quy cách giải thật độc đáo Liệu sử dụng đ-ợc cách giải để chứng minh ba đ-ờng cao tam giác đồng quy hay không? Bài toán 2.8 Chứng minh ba đ-ờng cao tam giác đồng quy 2.8.1 Định h-ớng Giả sử tam giác ABC có ba đ-ờng cao AK, BL, CM Ta cần chứng minh tồn điểm H cho H thuộc ba đ-ờng cao AK, BL, CM D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp Gọi O tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC; P trung điểm cạnh BC a (hình 2) l o m b h k c p hình Vì OP BC (do OB = OC) nên điểm H thuộc đ-ờng cao AK tồn số thực k cho AH k OP Mà AH OH OA OP OB OC (Vì P trung điểm cạnh BC) Do AH k OP Hay OH OA k OB OC OH OA k k OB OC 2 Vì vai trò điểm A, B, C toán bình đẳng nên chọn k cho k k 2 Khi OH OA OB OC Hay OH 3OG (G trọng tâm tam giác ABC) 2.8.2 Lời giải vắn tắt Giả sử tam giác ABC có ba đ-ờng cao AK, BL, CM Gọi O tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC; G trọng tâm tam giác ABC Theo 1.7, tồn điểm H cho OH 3OG Theo định h-ớng 2.8.1, ta có H thuộc đ-ờng cao AK T-ơng tự H thuộc đ-ờng cao BL, CM Vậy ba đ-ờng cao AK, BL, CM đồng quy D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp Nhận xét Từ cách giải toán 2.8, ta vận dụng để giải toán sau (bài toán 2.9; 2.10; 2.11; 2.12; 2.13) Bài toán 2.9 (Bài 2b trang 124 SGK Hình học nâng cao lớp 11) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ-ờng tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần l-ợt trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Kẻ MM, NN, PP, QQ lần l-ợt vuông góc với CD, DA, AB, BC Chứng tỏ bốn đ-ờng thẳng MM, NN, PP, QQ đồng quy điểm Nhận xét điểm đồng quy hai điểm I, O (I giao điểm MP NQ) 2.9.1 Định h-ớng Ta cần chứng minh tồn điểm H thuộc đ-ờng thẳng MM, NN, PP, QQ Vì OP CD (do OC = OD) nên điểm H thuộc đ-ờng thẳng MM có số thực k cho HM k OP Mà M P lần l-ợt trung điểm AB CD nên HA HB OP OC OD HM Do HM k OP Hay k HA HB OC OD 2 HO OA HO OB k OC OD 2OH OA OB k OC k OD Vì điểm A, B, C, D toán có vai trò bình đẳng nên chọn k cho -k = k=-1 Khi 2OH OA OB OC OD Hay 2OH 4OI (Dễ thấy I trọng tâm tứ giác ABCD) OH 2OI Vậy H điểm đối xứng O qua I 2.9.2 Lời giải vắn tắt Gọi H điểm đối xứng O qua I Ta có OH 2OI Theo định h-ớng 2.9.1 ta có H thuộc đ-ờng thẳng MM T-ơng tự H thuộc đ-ờng thẳng NN, PP, QQ D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu 10 Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp Vậy đ-ờng thẳng MM, NN, PP, QQ đồng quy điểm H H điểm đối xứng O qua I Nhận xét Nếu học sinh hiểu rõ cách giải toán 2.8 2.9 cách sâu sắc nhvậy học sinh dễ dàng giải đ-ợc toán 2.10 2.12, đồng thời xây dựng toán tổng quát Bài toán 2.10 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG lớp 12 năm 2004-2005) Trên đ-ờng tròn cho năm điểm ba điểm thẳng hàng Qua trọng tâm ba năm điểm kẻ đ-ờng thẳng vuông góc với đ-ờng thẳng qua hai điểm lại Chứng minh m-ời đ-ờng thẳng nhận đ-ợc cắt điểm 2.10.1 Định h-ớng Giả sử năm điểm A1, A2, A3, A4, A5 nằm đ-ờng tròn (O) Ta cần chứng minh tồn điểm H thuộc m-ời đ-ờng thẳng Gọi G trọng tâm tam giác A1A2A3; P trung điểm đoạn thẳng A4A5 Vì OP A4A5 (do OA4=OA5) nên điểm H thuộc đ-ờng thẳng qua G vuông góc với đ-ờng thẳng A4A5 có số thực k cho HG k OP Mà OG OP OA1 OA2 OA3 OA4 OA5 (vì G trọng tâm tam giác A1A2A3 ) (vì P trung điểm đoạn thẳng A4A5) Do HG k OP OG OH k OP Hay k OA1 OA2 OA3 OH OA4 OA5 1 k k OH OA1 OA2 OA3 OA4 OA5 3 2 Vì điểm A1, A2, A3, A4, A5 toán có vai trò bình đẳng nên chọn k k cho k Khi OH OA1 OA2 OA3 OA4 OA5 Hay OH OG (G trọng tâm hệ điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 ) D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu 11 Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp Từ định h-ớng 2.10.1, dễ dàng giải đ-ợc toán Bài toán 2.11 (Bài toán tổng quát toán 2.8; 2.9; 2.10) Trên đ-ờng tròn cho n điểm ( n ) ba điểm thẳng hàng Qua trọng tâm hệ (n-2) điểm n điểm kẻ đ-ờng thẳng vuông góc với đ-ờng thẳng qua hai điểm lại Chứng minh đ-ờng thẳng nhận đ-ợc cắt điểm Bài toán 2.12 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG năm 2006-2007) Cho tứ diện ABCD Chứng minh sáu mặt phẳng qua trung điểm cạnh vuông góc với cạnh đối diện đồng quy điểm 2.12.1 Định h-ớng Ta cần chứng minh tồn điểm H thuộc sáu mặt phẳng Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD; M N lần l-ợt trung điểm cạnh AB CD Vì ON CD (do OC= OD) nên điểm H thuộc mặt phẳng qua trung điểm M cạnh AB vuông góc với cạnh CD có số thực k cho HM k ON Dễ thấy HM HO ON OA OB OC OD Do HM k ON Hay HO OH k OA OB OC OD 2 1 k k OA OB OC OD 2 2 Vì điểm A, B, C, D toán có vai trò bình đẳng nên chọn k cho k k 2 Khi OH OA OB OC OD Hay OH 2OG (G trọng tâm tứ diện ABCD) Vậy H điểm đối xứng O qua G Từ định h-ớng 2.12.1, dễ dàng giải đ-ợc toán Bài toán 2.13 (Bài toán tổng quát toán 2.12) D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu 12 Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp Trên mặt cầu cho n điểm ( n ) bốn điểm đồng phẳng Chứng minh mặt phẳng qua trọng tâm hệ n điểm n điểm vuông góc với đ-ờng thẳng qua hai điểm lại đồng quy điểm Nhận xét Vận dụng cách giải toán 2.8 cách linh hoạt ta giải đ-ợc toán 2.14 khó Bài toán 2.14 (Đề thi HSGQG lớp 12 năm 1995, bảng B) Cho mặt cầu tâm I hai điểm P, Q cố định cho điểm P nằm bên mặt cầu điểm Q khác điểm I Với hình tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu nhận P làm trọng tâm, gọi A hình chiếu vuông góc điểm Q mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A Chứng minh trọng tâm hình tứ diện ABCD nằm mặt cầu cố định 2.14.1 Định h-ớng Gọi G trọng tâm hình tứ diện ABCD Ta cần chứng minh tồn điểm H cố định cho điểm H khác điểm G độ dài đoạn thẳng HG không đổi Ta có HG Suy HG HA' HB HC HD HA' HP HA (vì P trọng tâm hình tứ diện ABCD) ' AA HP ' AA HP HP AA ' 8HP AA ' 16 16 Để điểm H cố định độ dài đoạn thẳng HG không đổi ta tìm điểm H cố định cho AA ' 8HP AA ' (14.1) Dễ thấy IA AA, QA AA nên (14.1) có số thực k, l cho AA ' 8HP k IA l QA' AI IQ QA' 8HP k IA l QA' PH Vì điểm P k l ' IQ IA QA 8 IQ cố định nên để điểm H cố định ta chọn k, l cho k k l l D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu 13 Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp Khi PH IQ HG HP IQ > (vì điểm Q khác điểm I) 2.14.2 Lời giải vắn tắt Gọi G trọng tâm hình tứ diện ABCD Theo 1.7, tồn điểm H cho PH IQ Vì điểm P IQ cố định nên điểm H cố định Theo định h-ớng 2.14.1, ta có HG Do G nằm mặt cầu (H; IQ IQ >0( cố định) 8 IQ ) Vậy trọng tâm hình tứ diện ABCD nằm mặt cầu cố định Nhận xét Cách giải vừa tự nhiên, vừa đơn gin nhiều so với cách gii dùng phép vị tự (xem sách Các thi Olympic Toán THPT Việt Nam 1990-2006NXBGD) Bài toán 2.15 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG lớp 12 năm học 1995) Cho tứ diện ABCD với BC = a, CA = b, AB = c, DA=a1, DB = b1, DC = c1 Chứng minh có điểm P thoả mãn PA2 a12 b c PB b12 c a PC c12 a b PD a12 b12 c12 với điểm P ta có PA2 PB PC PD 4R (R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD) 2.15.1 Định h-ớng Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Ta có S A PA2 a12 b2 c PA2 BA2 CA2 DA2 OA OD 2OA OP OB OC OD 2 OA OP OA OB OA OC OP R 2 OP R 2OA OP 4OG OA (G trọng tâm tứ diện ABCD) OP2 R 2OA OP 4OG Vì điểm A, B, C, D toán có vai trò bình đẳng nên ta cần tìm điểm P cho điểm A, B, C, D biểu thức SA bình đẳng điểm A, B, C, D có vai trò bình đẳng P D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu 14 Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp Do tìm điểm P cho OP 4OG OP 4OG 2.15.2 Lời giải vắn tắt Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD; O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Theo 1.7, tồn điểm P cho OP 4OG Theo định h-ớng 2.15.1, ta có PA2 a12 b c OP2 R 2OA OP 4OG OP 9R (Vì OP 4OG ) T-ơng tự PB2 b12 c a OP 9R ; PC c12 a b OP 9R ; PD2 a12 b12 c12 OP 9R Suy tồn điểm P thoả mãn PA2 a12 b c PB b12 c a PC c12 a b PD a12 b12 c12 Giả sử tồn điểm Q cho hai điểm P Q phân biệt QA2 a12 b c QB b12 c a QC c12 a b QD a12 b12 c12 Suy PA2 a12 b c QA2 a12 b c PB b12 c a QB b12 c a PA2 QB PB QA2 PQ AB (15.1) (Theo toán trang 47 SGK hình học lớp 10 nâng cao) T-ơng tự PQ BC (15.2) Từ (15.1) (15.2) suy PQ ABC (15.3) T-ơng tự PQ BCD (15.4) Từ (15.3) (15.4) suy hai mặt phẳng (ABC) (BCD) song song với trùng Đây điều vô lý Vậy có điểm P thoả mãn toán với điểm P ta có 2OP OA OB OC OD 2 PA2 PB PC PD OA OP OB OP OC OP OD OP R 4OP R 4OP 8OP.OG 4R 4OP2 2OP2 (vì OP 4OG ) 4R 6OP 4R (vì 6OP2 0) D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu 15 Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp Bài toán 2.16 Hai điểm M, N chuyển động hai đoạn thẳng cố định BC BD ( M không trùng B, N không trùng B ) cho BC BD 10 BM BN Chứng minh đ-ờng thẳng MN qua điểm cố định 2.16.1 Định h-ớng Ta cần chứng minh tồn điểm H cố định cho đ-ờng thẳng MN qua điểm H hay MH ph-ơng với MN Đặt m BM BN , n ( m, n 0;1 ) BC BD Ta có 3 10 10 m n n m BM m BC , BN n BD , MN BN BM mBC nBD Ta tìm điểm H cho BH x BC y BD (x, y số thực cho MH ph-ơng với MN ) Từ ta có MH BH BM ( x m)BC yBD Suy MH ph-ơng với MN x m xm y 10 y (vì 10 ) m n m m n m 10 y 3m x y (16.1) Để MH ph-ơng với MN ta chọn x, y cho (16.1) với m hay x5 10 y 3 x y y 10 Khi BH BC BD 10 2.16.2 Lời giải vắn tắt Theo 1.7, tồn điểm H cho BH BC BD 10 Vì điểm B, C, D cố định nên điểm H cố định D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu 16 Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp Theo định h-ớng 2.16.1, đ-ờng thẳng MN qua H Vậy đ-ờng thẳng MN qua điểm cố định Bài toán 2.17 (Bài 15.8 trang 179 sách đề thi vô địch 19 n-ớc tập I-NXB Trẻ) Trên cạnh AB, AC, AD khối tứ diện ABCD cho tr-ớc với giá trị n N*, lấy điểm Kn , Ln , Mn t-ơng ứng cho AB = nAKn , AC = (n+1)ALn, AD = (n+2)AMn Chứng minh tất mặt phẳng (KnLnMn) qua đ-ờng thẳng cố định 2.17.1 Định h-ớng Ta cần chứng minh tồn hai điểm phân biệt cố định T, H cho tất mặt phẳng (KnLnMn) qua hai điểm T, H Ta chứng minh tồn hai điểm cố định T, H cho đ-ờng thẳng KnLn qua điểm T; đ-ờng thẳng LnMn qua điểm H hay K nT ph-ơng với K n Ln ; Ln H ph-ơng với Ln M n với n N* Ta có AK n 1 AB , ALn AC , AM n AD n n n2 K n Ln ALn AK n Ln M n AM n ALn 1 AB AC n n 1 AC AD n n2 Ta tìm điểm hai điểm H, T cho AT k AB l AC , AH x AC y AD (k, l, x, y số thực cho K nT ph-ơng với K n Ln ; Ln H ph-ơng với Ln M n ) Từ suy K nT AT AK n k AB l AC n Ln H AH ALn x AC y AD n Suy K nT ph-ơng với K n Ln D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu 17 Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp n l (k l )n l 1 n n k (17.1) Để K nT ph-ơng với K n Ln ta chọn k, l cho (17.1) với n k l k l l hay T-ơng tự chọn x = -1, y = Khi AT AB AC BC , AH AC AD CD hay T H hai điểm cho tứ giác ACDH tứ giác ABCT hình bình hành 2.17.2 Lời giải vắn tắt Từ hình tứ diện ABCD dựng hình bình hành ABCT ACDH Dễ thấy T H hai điểm phân biệt cố định Theo định h-ớng 2.17.1, tất mặt phẳng (KnLnMn) qua hai điểm T, H Vậy tất mặt phẳng (KnLnMn) qua đ-ờng thẳng Nhận xét Cách giải vừa tự nhiên vừa hay cách giải sách Đề thi vô địch 19 n-ớc Tập I - NXB Trẻ Bằng cách làm t-ơng tự giải đ-ợc toán sau Bài toán 2.18 (Bài T10/232 Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 232 tháng 10/1996) Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C cố định (khác O) lần l-ợt nằm ba tia Giả sử an cấp số cộng có a1 > 0, công sai d > Với số nguyên d-ơng n, Ox, Oy, Oz lần l-ợt lấy điểm An, Bn, Cn cho OA = an.OAn, OB = an+1.OBn, OC = an+2.OCn Chứng minh 1) Các đ-ờng thẳng AnBn, BnCn CnAn lần l-ợt qua điểm I, J K cố định 2) Ba điểm I, J, K thẳng hàng D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu 18 Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp C Kết luận Trong đề tài muốn dùng ph-ơng pháp chọn thích hợp để giải nhiều toán khác nhau, đặc biệt dùng ph-ơng pháp chọn thích hợp kết hợp với công cụ vectơ để giải số toán liên quan đến hình học Vẫn biết ph-ơng pháp vạn để giải tất toán nh-ng khẳng định ph-ơng pháp chọn thích hợp ph-ơng pháp giúp giải đ-ợc nhiều toán (Từ toán sách giáo khoa đến đề thi HSGQG, ) Qua kinh nghiệm giải toán thân, thực tiễn giảng dạy, bồi d-ỡng học sinh giỏi Tôi nhận thấy ph-ơng pháp chọn thích hợp ph-ơng pháp thiếu học sinh giáo viên Thông qua việc giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp giúp học sinh phát triển đ-ợc t- sáng tạo; tạo cho học sinh thói quen tự nghiên cứu, phát vấn đề, giải vấn đề, nghĩa b-ớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, góp phần vào công đổi ph-ơng pháp dạy học nhà tr-ờng Tuy nhiên, với khả có hạn thân, việc khai thác đề tài ch-a đầy đủ nhiều thiếu sót Rất mong nhận đ-ợc góp ý đồng nghiệp để đề tài đ-ợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Diễn Châu, ngày 16 tháng năm 2008 Ng-ời viết D-ơng Văn Sơn Giáo viên tr-ờng THPT Diễn Châu D-ơng Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu 19 ... Diễn Châu 18 Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp C Kết luận Trong đề tài muốn dùng ph-ơng pháp chọn thích hợp để giải nhiều toán khác nhau, đặc biệt dùng ph-ơng pháp chọn thích hợp kết hợp với công... Văn Sơn Giáo viên Tr-ờng THPT Diễn Châu Giải toán ph-ơng pháp chọn thích hợp II Dùng ph-ơng pháp chọn thích hợp để giải số toán liên quan đến Hình học Bài toán 2.1 Chứng minh ba đ-ờng trung tuyến... công cụ vectơ để giải số toán liên quan đến hình học Vẫn biết ph-ơng pháp vạn để giải tất toán nh-ng khẳng định ph-ơng pháp chọn thích hợp ph-ơng pháp giúp giải đ-ợc nhiều toán (Từ toán sách giáo