cac phuong phap chung minh bat dang thuc 75845

Dạng 1: Phương pháp: Để chứng minh A≥B ta chứng minh A-B≥0. Để chưng minh A-B≥0 ta thường dùng phép biến đổi tương đương chuyển A-B thành tổng của nhiều bình phương, tích của hai thừa số cùng dấu hoặc tích của nhiều thừa số không âm. Ta cũng có thể dùng phép biến đổi tương đương, biến đổi bất đẳng thức A≥B thành bất đẳng thức tương đương hiển nhiên đúng. Dạng 2: Phương pháp: Ngoài các tính chất cơ bản của bất đẳng thức ta cần lưu ý thêm một số tính chất đặc biệt của bất đẳng thức phân bố sau đây: 1. a/b<1⇒ a/b< (a+c)/(b+c) , (a,b,c>0). 2. a/b>1⇒a/b> (a+c)/(b+c) , (a,b,c>0). 3. a/(a+b)>a/(a+b+c) , (a,b,c>0). 4. a/b > c/d⇒ a/b>(a+c)/(b+d)>c/d , (a,b,c,d>0). Dạng3: Chứng minh bất đẳng thức bằng phép chứng minh phản chứng Phương pháp: Đểchứng minh một bất đẳng thức là đúng bằng phép phản chứng, ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để suy ra điều vô lí. Điều vô lý có thể trái với giả thiết, có thể trái với một mệnh đè đúng nào đó, cũng có thể là hai điều trái ngược nhau,….Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. Dạng4: Chứng minh bất đẳng thức bằng phép quy nạp Để chứng minh một bất đẳng thức là đúng với mọi số tự nhiên thuộc tập D⊂N mà n0 là phần tử nhỏ nhất của tập D, ta thực hiện những bước sau: 1. chứng minh bất đẳng thức đúng với n=n0. 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với số tự nhiên k≥n0, từ đó chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n=k+1. 3. kết luận bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n của tập D. Dạng 5:chứng minh bất đẳng thức bằng cách áp dụng bất đẳng thức cô-si Nếu a1,a2,…,an là n số không âm thì (a1+a2+….+an)/n≥ √a1a2…….an. Dấu đẳng thức xay ra khi a1=a2=….=an. Dạng 6: chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng vectơ. Các tính chất về độ lớn, tọa độ của vectơ… Dang6: chứng minh bất đẳng thức bằng phưong pháp hình học Ta cần chuyển các bất đẳng thức cần chứng minh về dạng bất đẳng thức mà các vế của nó là những đoạn thẳng, các cạnh của hình đa giác,sau đó áp dụng một số tính chất trong hình học để chưng minh thường là các công thức trong tam giácnhư:herong ,diện tích, công thức sin,cos… Onthionline.net Dạng 1: Phương pháp: Để chứng minh A≥ B ta chứng minh A-B≥ Để chưng minh A-B≥ ta thường dùng phép biến đổi tương đương chuyển A-B thành tổng nhiều bình phương, tích hai thừa số dấu tích nhiều thừa số không âm Ta dùng phép biến đổi tương đương, biến đổi bất đẳng thức A≥ B thành bất đẳng thức tương đương hiển nhiên Dạng 2: Phương pháp: Ngoài tính chất bất đẳng thức ta cần lưu ý thêm số tính chất đặc biệt bất đẳng thức phân bố sau đây: a/b0) a/b>1⇒a/b> (a+c)/(b+c) , (a,b,c>0) a/(a+b)>a/(a+b+c) , (a,b,c>0) a/b > c/d⇒ a/b>(a+c)/(b+d)>c/d , (a,b,c,d>0) Dạng3: Chứng minh bất đẳng thức phép chứng minh phản chứng Phương pháp: Đểchứng minh bất đẳng thức phép phản chứng, ta giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết, tính chất bất đẳng thức để suy điều vô lí Điều vô lý trái với giả thiết, trái với mệnh đè đó, hai điều trái ngược nhau,….Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Dạng4: Chứng minh bất đẳng thức phép quy nạp Để chứng minh bất đẳng thức với số tự nhiên thuộc tập D⊂N mà n0 phần tử nhỏ tập D, ta thực bước sau: chứng minh bất đẳng thức với n=n0 Giả sử bất đẳng thức với số tự nhiên k≥ n0, từ chứng minh bất đẳng thức với n=k+1 kết luận bất đẳng thức với số tự nhiên n tập D Dạng 5:chứng minh bất đẳng thức cách áp dụng bất đẳng thức cô-si Nếu a1,a2,…,an n số không âm (a1+a2+….+an)/n≥ √a1a2…….an Dấu đẳng thức xay a1=a2=….=an Dạng 6: chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng vectơ Các tính chất độ lớn, tọa độ vectơ… Dang6: chứng minh bất đẳng thức phưong pháp hình học Ta cần chuyển bất đẳng thức cần chứng minh dạng bất đẳng thức mà vế đoạn thẳng, cạnh hình đa giác,sau áp dụng số tính chất hình học để chưng minh thường công thức tam giácnhư:herong ,diện tích, công thức sin,cos… Onthionline.net Onthionline.net Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức A. Kiến thức cơ bản. * Một số bất đẳng thức cần nhớ: 1. a 2 0; ; - , dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ab 0 2. Bất đẳng thức Cô - si : a, b 0 dấu " = " xảy ra và chỉ khi a = b 3. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: (a.c + b.d) 2 (a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ), dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi B. Các ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức . Ph ơng pháp 1 : Dựa vào định nghĩa. A B <=> A - B 0 Chú ý các hằng đẳng thức: * a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 0; * a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ab + 2ca = (a + b + c) 2 0 Bài 1.1: Chứng minh rằng với mọi x, y ta luôn có: a. b. x 2 + y 2 + 1 xy + x + y; c. x 4 + y 4 xy 3 +x 3 y Giải: a. Xét hiệu: 1 0 a aaa + ba ba + , 2 ab ba + d b c a = ; 4 2 2 xy y x + 0)2( 4 1 4 44 4 2 222 2 = + =+ yx yxyx xy y x 0)2( 4 1 4 44 4 2 222 2 = + =+ yx yxyx xy y x . 4 2 2 xy y x + VËy: DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi 2x = y. b. x 2 + y 2 + 1 - (xy + x + y) = ≥ 0 VËy: x 2 + y 2 + 1 ≥ xy + x + y. c. x 4 + y 4 - (xy 3 + x 3 y) = x 4 - xy 3 + (y 4 - x 3 y) = x (x 3 - y 3 ) - y (x 3 - y 3 ) = (x 3 - y 3 ) (x - y) = (x - y) 2 (x 2 + xy + y 2 ) = (x - y) 2 ≥ 0 VËy: x 4 + y 4 ≥ xy 3 + x 3 y Bµi 1.2: Cho 0 < a ≤ b ≤ c. Chøng minh r»ng: a. b. Gi¶i: a. = = = = ( v× o < a ≤ b ≤ c) VËy: b. (V× a 2 c ≤ abc) 2 )222222( 2 1 22 yxxyyx −−−++ [ ] 222 )1()1()( 2 1 −+−+−= xyyx       ++ 4 3 ) 2 ( 2 2 yy x c a b c a b a c c b b a ++≥++ b a a b c b a c +≥+ )( 1 222222 baaccbbcabca abcc a b c a b a c c b b a −−−++=−−−++ [ ] )()()( 1 222222 acbcbaabcbca abc −+−+− [ ] )()()( 1 222 abcababbac abc −+−+− ))(( 1 2 cabcbcaab abc ++−−− 2 )(( 1 cababcaab abc ++−−− 0))()(( 1 ≥−−− acbcab abc c a b c a b a c c b b a ++≥++ ≥−−+=−−+ )( 1 2222 cacbabbc abcb a a b c b a c )( 1 222 abccbabbc abc −−+≥ [ ] [ ] )()( 1 )()( 1 222 cbbabcbc abc abcabcbbc abc −+−=−+−≥ 0))(( 1 ≥−−≥ acbcb abc b a a b c b a c +≥+ (Vì o < a b c). Vậy: Bài 1.3: Cho a < b < c < d. Hãy xếp thứ tự tăng dần các số sau: x = (a + b) (c + d); y = (a + c) (b + d); z = (a + d) (b + c). Giải: Xét hiệu: y - x = (a + b) (b + d) - (a + b) (c + d) = ab + ad + cb + cd - ac - ad - bc - bd = b (a - d) - c (a - d) = (a - d) (b - c) > 0 (vì a < b < c < d) Suy ra: y > z Tơng tự, xét hiệu: z - y = (a + d) (b + c) - (a + c) (b + d) = (a - b) (c - d) > 0 Suy ra: z > y. Vậy: x < y < z. Bài 1.4: Cho abc = 1 và a 3 > 36. Chứng minh rằng: Giải (Vì abc = 1 và a 3 > 36 nên a > 0). Vậy: Bài 1.5: Cho a > b > 0. So sánh hai số x, y với x = Giải: Ta có x,y > 0 và 3 cabcabcb a ++>++ 22 2 3 cabcabcb aa cabcabcb a +++=++ 22 22 22 2 1243 bc a bccaabcb a 3 12 2 4 2 22 2 + +++= 0)36( 12 1 2 3 2 >+ = a a cb a cabcabcb a ++>++ 22 2 3 22 1 1 , 1 1 bb b y aa a ++ + = ++ + > + += + += + += + ++ = a aa a a a a aa x 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 22 22 y b b 1 11 1 1 2 = + +> ) 1111 22 ba va ba << (Vì a > b> 0 nên Vậy: x < y. Ph ơng pháp 2 : Sử dụng tính Bắc Cầu: * A B => A C. B C * 0 x 1 => x 2 x (vì x - x 2 = x (1 - x) 0) Bài 2.1: Cho 0 x, y, x 1, Chứng minh rằng: a. 0 x + y + z - xy - yz - zx 1; b. x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 y + y 2 z + z 2 x. Giải: a. Ta có: x + y + z - xy - yz - zx = x (1 - y ) + y (1 - z) + z (1 1 ___________ ABC GLA nhữngphơngphápchứngminh bĐT độc đáo ___________ ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh gla abc những ph ơng pháp chứng minh LI NểI U Nhng nm gn õy Bt ng thc (BT) ging nh mt n hong - mang trong mỡnh nhiu v p huyn bớ . T nhng kỡ thi H C, HSG Tnh hay n nhng kỡ thi Olympic quc gia, quc t, BT c trao cho mt v trớ c bit quan trng. Nú xut hin trong bi thi nh th thỏch s dng mnh ca cỏc chin binhvỡ th nú cú kh nng hụ phong, hoỏn v , nú lm chao o khụng bit bao nhiờu cỏi u thụng minh nht. Cng chớnh vỡ v p cha ng nhiu s tim n ú m khụng bit bao nhiờu anh ti lao vo cuc chinh phc nh cao. Hng lot nhng cỏi tờn luụn c gii tr yờu Toỏn, yờu BT trong nc nhc n nh : Phm Kim Hựng, Nguyn Anh Cng, Vừ Thnh Nam, Bựi Vit Anh vi s mi m v phng phỏp, sõu sc v kin thc. Bờn cnh h l nhng tỏc phm tuyt nh nh : Dn bin, Only ABC, GLAvi sc sỏt thng khng khip khi ng cnh nhng BT nh cao Cú l vỡ th m BT khụng cũn ng kiờu hónh nh trc na, gi õy mt a tr 15, 17 tui cú th nhỡn nhng BT ng cp quc t ca nhng nm v trc vi n ci ngo ngh Nhng cỏi lung linh huyn o ú cha hn ó b chinh phc, bi trong dõn gian õu ú vn cũn m o búng ca nhng anh ti cha hộ l. May mn cho tụi bi tụi ớt nht cng ó mt ln c bit n nhng iu mi l ú, cú th vi tụi mt phỏt minh, 1 sỏng kin quỏ xa vi bi cũn quỏ mờnh mụng nhng BT tụi ch dỏm nhỡn ngm nú t rtrt xa, cú nhng phng phỏp gii toỏn tụi c hng trm ln m cha hiu ht s gi gm ca tỏc gi . Nhng cú mt ai ú ó núi rng : ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnhtụi thy mỡnh mnh m hn !!! - phạm kim chung - www.MATHVN.com www.mathvn.com 2 ___________ ∑ ABC GLA nh÷ngph−¬ngph¸pchøngminh b§T ®éc ®¸o ___________ Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình I. 1 KĨ THUẬT CÔ – SI NGƯỢC DẤU . # Bài 1 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho . Chứng minh bất đẳng thức : a,b,c 0: a b c 3>++= 222 abc 1b 1c 1a 2 3 + +≥ +++ BG . Ta có : 22 AM GM 22 aab ab aa 1b 1b 2b 2 − =− ≥ − =− ++ ab a . Hoàn toàn tương tự ta có : ()() 222 abc 1 abc abbcca 1b 1c 1a 2 2 ++≥++−++≥ +++ 3 . Do () 2 abc ab bc ca 3 3 ++ + +≤ = # Bài 2 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức a,b,c,d 0: a b c d 4>+++= 2222 abcd 2 1b 1c 1d 1a + ++≥ ++++ BG . Hoàn toàn tương tự Bài 1 . Lưu ý rằng : ()() ()() 2 AM GM ac bd ab bc cd da a c b d 4 4 − ⎡++ +⎤ ⎣⎦ +++=+ + ≤ = # Bài 3 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức a,b,c,d 0: a b c d 4>+++= 22 2 2 abcd 2 1bc1cd1da 1ab + ++ ++++ ≥ BG . Ta có : ( ) 22 AM GM AM GM 22 b aac aabc abcba.a.c aaa a 1bc 1bc 2 4 2b c −− + =− ≥− =− ≥− ++ Hoàn toàn tương tự ta có : ()()() 22 2 2 abcd 1 1 a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab 1bc 1cd 1da 1ab 4 4 +++≥+++−+++−+++ ++++ Lại có : ()() ()() 2 AM GM ac bd ab bc cd da a c b d 4 4 − ⎡++ +⎤ ⎣⎦ +++=+ + ≤ = và ()() () () () () 22 AM GM bc ad abc bcd cda dab bc a d da c b a d c b 44 − ++ +++= ++ + ≤ ++ + = = ()() () () ( 2 AM GM bcad abcd abcd abcd 4 416 − ++ +++ +++ ≤ +++ = ) . đpcm ⇒ # Bài 4 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức : a,b,c,d 0> 3333 22 2222 22 abcdabc abbccdda 2 d + ++ +++≥ + ++ + BG . Ta có : 32 2 AM GM 22 22 aab ab aa ab ab 2ab 2 − b a = −≥−= ++ − . Hoàn toàn tương tự ta sẽ giải quyết được BĐT trên . # Bài 5 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức : a,b,c 0: a b c 3>++= 222 222 abc 1 a2b b2c c2a + +≥ +++ BG . Ta có : 22 2 AM GM 3 22 22 3 4 a2ab 2ab2 aaa a2b a2b 3 3ab − =− ≥ − =− ++ a.b . Lại có : www.MATHVN.com www.mathvn.com 3 ___________ ABC GLA nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo ___________ ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 31 Chương 2 : Các phương pháp chứng minh Chứng minh bất ñẳng thức ñòi hỏi kỹ năng và kinh nghiệm. Không thể khơi khơi mà ta ñâm ñầu vào chứng minh khi gặp một bài bất ñẳng thức. Ta sẽ xem xét nó thuộc dạng bài nào, nên dùng phương pháp nào ñể chứng minh. Lúc ñó việc chứng minh bất ñẳng thức mới thành công ñược. Như vậy, ñể có thể ñương ñầu với các bất ñẳng thức lượng giác, bạn ñọc cần nắm vững các phương pháp chứng minh. ðó sẽ là kim chỉ nam cho các bài bất ñẳng thức. Những phương pháp ñó cũng rất phong phú và ña dạng : tổng hợp, phân tích, quy ước ñúng, ước lượng non già, ñổi biến, chọn phần tử cực trị … Nhưng theo ý kiến chủ quan của mình, những phương pháp thật sự cần thiết và thông dụng sẽ ñược tác giả giới thiệu trong chương 2 : “Các phương pháp chứng minh”. Mục lục : 2.1. Biến ñổi lượng giác tương ñương ……………………………………… 32 2.2. Sử dụng các bước ñầu cơ sở …………………………………………… 38 2.3. ðưa về vector và tích vô hướng ………………………………………… 46 2.4. Kết hợp các bất ñẳng thức cổ ñiển ……………………………………… 48 2.5. Tận dụng tính ñơn diệu của hàm số ……………………………………… 57 2.6. Bài tập ……………………………………………………………………. 64 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 32 2.1. Biến ñổi lượng giác tương ñương : Có thể nói phương pháp này là một phương pháp “xưa như Trái ðất”. Nó sử dụng các công thức lượng giác và sự biến ñổi qua lại giữa các bất ñẳng thức. ðể có thể sử dụng tốt phương pháp này bạn ñọc cần trang bị cho mình những kiến thức cần thiết về biến ñổi lượng giác (bạn ñọc có thể tham khảo thêm phần 1.2. Các ñẳng thức,bất ñẳng thức trong tam giác). Thông thường thì với phương pháp này, ta sẽ ñưa bất ñẳng thức cần chứng minh về dạng bất ñẳng thức ñúng hay quen thuộc. Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng hai kết quả quen thuộc 1cos;1sin ≤≤ xx . Ví dụ 2.1.1. CMR : 7 cos3 14 sin2 14 sin1 π π π > − Lời giải : Ta có : ( ) 1 7 3 cos 7 2 cos 7 cos 14 sin2 14 sin1 7 3 cos 7 2 cos 7 cos 14 sin2 14 5 sin 14 7 sin 14 3 sin 14 5 sin 14 sin 14 3 sin 14 sin1 πππ π π ππππ π π π π π π π ++= − ⇒       ++= −+−+−=− Mặt khác ta có : ( ) 2 7 cos 7 3 cos 7 3 cos 7 2 cos 7 2 cos 7 cos 7 2 cos 7 4 cos 7 cos 7 5 cos 7 3 cos 7 cos 2 1 7 cos ππππππ πππππππ ++=       +++++= ðặt 7 3 cos; 7 2 cos; 7 cos π π π === zyx Khi ñó t ừ ( ) ( ) 2,1 ta có b ấ t ñẳ ng th ứ c c ầ n ch ứ ng minh t ươ ng ñươ ng v ớ i : ( ) ( ) 33 zxyzxyzyx ++>++ mà 0,, > zyx nên : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 403 222 >−+−+−⇔ xzzyyx Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 33 Vì z y x , , ñôi một khác nhau nên ( ) 4 ñúng ⇒ ñpcm. Như vậy, với các bất ñẳng thức như trên thì việc biến ñổi lượng giác là quyết ñịnh sống còn với việc chứng minh bất ñẳng thức. Sau khi sử dụng