Các dạng bài chững minh bất đẳn thức

Dạng 1: Phương pháp: Để chứng minh A≥B ta chứng minh A-B≥0. Để chưng minh A-B≥0 ta thường dùng phép biến đổi tương đương chuyển A-B thành tổng của nhiều bình phương, tích của hai thừa số cùng dấu hoặc tích của nhiều thừa số không âm. Ta cũng có thể dùng phép biến đổi tương đương, biến đổi bất đẳng thức A≥B thành bất đẳng thức tương đương hiển nhiên đúng. Dạng 2: Phương pháp: Ngoài các tính chất cơ bản của bất đẳng thức ta cần lưu ý thêm một số tính chất đặc biệt của bất đẳng thức phân bố sau đây: 1. a/b<1⇒ a/b< (a+c)/(b+c) , (a,b,c>0). 2. a/b>1⇒a/b> (a+c)/(b+c) , (a,b,c>0). 3. a/(a+b)>a/(a+b+c) , (a,b,c>0). 4. a/b > c/d⇒ a/b>(a+c)/(b+d)>c/d , (a,b,c,d>0). Dạng3: Chứng minh bất đẳng thức bằng phép chứng minh phản chứng Phương pháp: Đểchứng minh một bất đẳng thức là đúng bằng phép phản chứng, ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để suy ra điều vô lí. Điều vô lý có thể trái với giả thiết, có thể trái với một mệnh đè đúng nào đó, cũng có thể là hai điều trái ngược nhau,….Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. Dạng4: Chứng minh bất đẳng thức bằng phép quy nạp Để chứng minh một bất đẳng thức là đúng với mọi số tự nhiên thuộc tập D⊂N mà n0 là phần tử nhỏ nhất của tập D, ta thực hiện những bước sau: 1. chứng minh bất đẳng thức đúng với n=n0. 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với số tự nhiên k≥n0, từ đó chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n=k+1. 3. kết luận bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n của tập D. Dạng 5:chứng minh bất đẳng thức bằng cách áp dụng bất đẳng thức cô-si Nếu a1,a2,…,an là n số không âm thì (a1+a2+….+an)/n≥ √a1a2…….an. Dấu đẳng thức xay ra khi a1=a2=….=an. Dạng 6: chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng vectơ. Các tính chất về độ lớn, tọa độ của vectơ… Dang6: chứng minh bất đẳng thức bằng phưong pháp hình học Ta cần chuyển các bất đẳng thức cần chứng minh về dạng bất đẳng thức mà các vế của nó là những đoạn thẳng, các cạnh của hình đa giác,sau đó áp dụng một số tính chất trong hình học để chưng minh thường là các công thức trong tam giácnhư:herong ,diện tích, công thức sin,cos… Những Bất đẳng thức thờng gặp Những kiến thức thờng gặp (a+b)2 4ab Bất đẳng thức hay dùng cho a+b an + bn a+b n ( ) , n số tự nhiên 2 Dấu xảy a= b với n chẵn, a2 = b2 n lẻ giải phơng trình: Giải phơng trình (x+1)6+ (x + )6 = 18- ( x ) + ( x + ) 6 ( ) =9 - x = 2 +1 Bài Chứng minh a3 b3 c3 + + a + b + c ; với a, b, c dơng bc ca ab Giải: a4 + b4 2a2b2 a4 + b4 + c4 a2b2 + b2c2 + c2a2 a2b2 + b2c2 2ab2c a2b2 + b2c2 + c2a2 abc(a + b + c) a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) , chia abc a3 b3 c3 + + a+b+c bc ca ab Bài a b c Chứng minh: a + (a + b)(a + c) + b + (b + a)(b + c) + c + (c + b)(c + a) Với a, b, c > Giải: (a + b)(a + c) ab + ac (a+b)(a+c)- ( ac + ab ) = (a bc ) a a + (a + b)(a + c) a a + ab + ac = a a+ b+ c Cộng ba vế lại có (đpcm) Bài Cho a, b, c ba số dơng a + b + c 3abc Giải: Từ 1 + + = a + b + c Chứng minh: a b c 1 + + = a + b + c ab + bc + ca = abc(a+b+c) a b c a2 + b2 + c2 ab + bc + ca a2 + b2 + c2+ 2(ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca) (a+b+c)2 3(ab + bc + ca) = 3abc(a+b+c) a + b + c 3abc Bài Chứng minh bất đẳng thức: 1 + + ab + bc + ca + với a, b, c số dơng a2 + b2 + c2 = Giải: Sử dụng 1 1 + + + + x y z x+ y+z ab + bc + ca + ab + bc + ca + a2 + b2 + c2 ab + bc + ca dấu a = b = c 9 =1 ab + bc + ca + a + b + c + dấu a = b = c = Bài Gọi a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh a3 + b3 + 3abc > c3 Giải: a+b> c a2 - ab + b2 > 0, a3 + b3 + 3abc = (a+b)(a2-ab+b2) + 3abc > > c(a2-ab+b2) + 3abc = c(a+b)2 > c3 Bài Cho a, b, c ba số dơng có tổng Chứng minh a + b + c ab + bc + ca a2 b2 c2 2 2 Thay vào ta cần chứng minh: a +b +c + 2( a + b + c ) Giải: a2 +b2+c2 +2(ab+bc+ca) = ab+bc+ca = a2 + a = a2 + a + a 3 a a a = 3a Cộng vế ta có (đpcm) Bài Cho a, b số thực thoả mãn a2 + b3 a3 + b4 Chứng minh: a3 + b3 Giải: Cách 1: Trớc hết chứng minh a + b2 a2 + b3 Giả sử a + b2 < a2 + b3 2(a2 + b3) > a + b2+ a3 + b4 2(a2 + b3) vô lý a + b2 a2 + b3 a3 + b4 2(a + b2) a2 + b3 + a3 + b4 (1+a2 ) + (1+b4) 2(a + b2) a2 + b3 + a3 + b4 a3 + b3 Cách 2: Bằng phơng pháp phản chứng Giả sử a3 + b3 > Chứng minh: a2 + b3 < a3 + b4 Từ a + b2 a3 + b3 a2 + b2 2(a + b ) < 2 ( a + b ) (a + b ) =a3+b3 a2 - a3 < b3- b2 , nhng b2(b - 1)2 b3 - b2 b4 - b3 a2- a3 < b4 - b3 a2 + b3 < a3 + b4 Bài Cho a, b, c số thực đặt M = a + b + c + a + b + c ab bc ca Chứng minh M max{3a, 3b, 3c} số: M 3a ; M 3b ; M 3c tổng hai số Giải: 3(b - c)2 4b2 + 4c2 - 4bc b2 + c2 + 2bc 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) (2a - b - c)2 a + b + c ab bc ca 2a - b c cộng hai vế với a + b + c Tơng tự M 3b, M 3c M max{3a, 3b, 3c} M x2 M y2 M z2 đặt x = M 3a , y = M 3b , z = M 3c a= ,b= ,c= 3 1 x2 + y2 + z2 =6 (a b) + (b c) + (c a) 2 2 x2 + y2 + z2=2 x + y + z x y y z z x x4+y4+z4 - 2x2y2- 2y2z2 2z2x2 = (x2+y2)2 - 2z2(x2+y2) + z4 - 4x2y2 = (x + y + z)(x + y - z)(x + z - y)(y + z - x) = Bài Cho số thực a, b, c, d a2 + b2 Chứng minh: (ac + bd - 1)2 (a2 + b2 - 1)( c2 + d2 - 1) Giải: Nếu c2 + d2 bất đẳng thức Chúng ta chứng minh c2 + d < 1, đặt x = 1- a2 - b2 y = 1- c2 - d x, y Bđt (2 - 2ac - 2bd)2 4xy ((a-c)2+(b-d)2+x+y)2 4xy ((a-c)2+(b-d)2+x+y)2 (x + y)2 4xy Bài 10 a3 b3 c3 + + Cho a, b, c ba số dơng ab+bc+ca = Chứng minh b c a a3 Giải: a3+b3 ab(a+b) + b2 ab+a2 cộng lại (cđpcm) b Bài 10 a+b+c a3 b3 c3 + + 2 2 2 b +c c +a a +b b a ab Giải: a2 + b2 2ab từ 2 = a - 2 a b +c b +c Chứng minh: Bài 11 Cho a, b, c, d số dơng có tổng Chứng minh: a2 b2 c2 d2 + + + a+b b+c c+d d +a a+b a2 a Giải: + a+b Dờu a = b = c=d = Bài 12 Cho a, b, c với < a, b, c Chứng minh: 1 + + a + b+ c a b c 1 2) k + k + k ak + bk + ck (k là số tự nhiên) a b c 1) Giải:1) (a-1)(b-1)(c-1) = abc - ab - bc - ca + a + b + c-1= a b c =1- + a + b + c -1= 1 +a+b+c a b c 2)