Những Bất đẳng thức th ờng gặp
Những kiến thức thờng gặp (a+b)2 ≥ 4ab
Bất đẳng thức hay dùng cho a+b ≥ 0 ⇒ ( 2
2
b a b
a n + n ≥ + )n , n là số tự nhiên
Dấu bằng xảy ra khi a= b với n chẵn, a2 = b2 nếu n lẻ
giải phơng trình: Giải phơng trình (x+1)6+ (x + 5)6 = 18- 8 5
=
−
≥ +
+
−
2
1 5 ( 2
) 5 (
)
1
2
1
5 +
Bài 1
ab
c ca
b bc
a3 + 3 + 3 ≥ + + ; với a, b, c dơng
Giải: a4 + b4 ≥ 2a2b2⇒ a4 + b4 + c4≥ a2b2 + b2c2 + c2a2
a2b2 + b2c2 ≥ 2ab2c ⇒ a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b + c)
a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) , chia abc ⇒ a b c
ab
c ca
b bc
Bài 2
Chứng minh: a+ (a+a b)(a+c) + b+ (b+b a)(b+c) + c+ (c+c b)(c+a) ≤ 1
Với a, b, c > 0
Giải: (a+b)(a+c) ≥ ab + ac⇒(a+b)(a+c)-( ac+ ab) 2 = (a− bc) 2 ≥ 0
c b a
a ac
ab a
a c
a b a
a
a
+ +
= +
+
≤ + +
+ ( )( )
Cộng ba vế lại có (đpcm)
Bài 3
Cho a, b, c là ba số dơng và
c b a
1 1
1 + + = a + b + c Chứng minh:
a + b + c ≥ 3abc
Giải: Từ
c b a
1 1
1 + + = a + b + c ⇔ ab + bc + ca = abc(a+b+c)
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔ a2 + b2 + c2+ 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca)
(a+b+c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) = 3abc(a+b+c) ⇔ a + b + c ≥ 3abc
Bài 4
Chứng minh bất đẳng thức: 1
1
1 1
1 1
1
≥ +
+ +
+ + bc ca
ab
với a, b, c là các số dơng và a2 + b2 + c2 = 6
Giải: Sử dụng
z y x z y
9 1
1 1
+
+ +
+
1 1
1 1
1
ca bc
9 + + +bc ca ab
Trang 2a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca dấu bằng khi a = b = c ⇒ ab+bc9+ca+3≥ a2 +b29+c2 +3=1 dấu bằng khi a = b = c = 2
Bài 5
Gọi a, b, c là ba cạnh tam giác Chứng minh a3 + b3 + 3abc > c3
Giải: a+b> c và a2 - ab + b2 > 0, a3 + b3 + 3abc = (a+b)(a2-ab+b2) + 3abc >
> c(a2-ab+b2) + 3abc = c(a+b)2 > c3
Bài 6
Cho a, b, c là ba số dơng và có tổng bằng 3
Chứng minh a+ b+ c ≥ ab + bc + ca
Giải: a2 +b2+c2 +2(ab+bc+ca) = 9 ⇒ ab+bc+ca =
2
9 −a2 −b2 −c2
Thay vào ta cần chứng minh: a2 +b2+c2 + 2( a + b+ c )≥ 9
a2 + 2 a= a2 + a + a≥ 33 a a a2 = 3a
Cộng các vế ta có (đpcm)
Bài 7
Cho a, b là các số thực thoả mãn a2 + b3 ≥ a3 + b4 Chứng minh:
a3 + b3 ≤ 2
Giải:
Cách 1: Trớc hết chứng minh a + b2≥ a2 + b3
Giả sử a + b2 < a2 + b3 ⇒ 2(a2 + b3) > a + b2+ a3 + b4 ≥ 2(a2 + b3) vô lý
a + b2 ≥ a2 + b3≥ a3 + b4 ⇒ 2(a + b2) ≥ a2 + b3 + a3 + b4
(1+a2 ) + (1+b4) ≥ 2(a + b2) ≥ a2 + b3 + a3 + b4 ⇒ a3 + b3≤ 2
Cách 2: Bằng phơng pháp phản chứng Giả sử a3 + b3 > 2 Chứng minh:
a2 + b3 < a3 + b4
3 3 2
2
2 2
b a b
a + ≤ + ⇒ a2 + b2 ≤3 2 (a3 +b3 ) 2 < 3 (a3 +b3 ) 2 (a3 +b3 )=a3+b3
a2 - a3 < b3- b2 , nhng 0 ≤ b2(b - 1)2 ⇒ b3 - b2 ≤ b4 - b3 ⇒ a2- a3 < b4 - b3
⇒ a2 + b3 < a3 + b4
Bài 8
Cho a, b, c là các số thực đặt M = a + b + c + 2 a2 +b2 +c2 −ab−bc−ca
Chứng minh M ≥ max{3a, 3b, 3c} và một trong 3 số:
M − 3a; M − 3b; M − 3cbằng tổng hai số kia
Giải: 3(b - c)2 ≥ 0 ⇒ 4b2 + 4c2 - 4bc ≥ b2 + c2 + 2bc ⇒
4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) ≥ (2a - b - c)2
⇒2 a2 +b2 +c2 −ab−bc−ca≥ 2a - b – c ⇒ cộng hai vế với a + b + c
Tơng tự M ≥ 3b, M ≥ 3c ⇒ M ≥ max{3a, 3b, 3c}
đặt x = M 3− a, y = M 3− b, z = M 3− c⇒ a=
3
2
x
3
2
y
3
2
z
⇔ x2 + y2 + z2 =6 2 2 ( ) 2
2
1 ) ( 2
1 ) ( 2
1
a c c
b b
Trang 3x2 + y2 + z2=2 x4 + y4 +z4 −x2y2 − y2z2 −z2x2
x4+y4+z4 - 2x2y2- 2y2z2 – 2z2x2 = 0
(x2+y2)2 - 2z2(x2+y2) + z4 - 4x2y2 = 0
(x + y + z)(x + y - z)(x + z - y)(y + z - x) = 0
Bài 9
Cho 4 số thực a, b, c, d và a2 + b2 ≤ 1 Chứng minh:
(ac + bd - 1)2 ≥ (a2 + b2 - 1)( c2 + d2 - 1)
Giải: Nếu c2 + d2 ≥ 1 bất đẳng thức đúng
Chúng ta chứng minh c2 + d 2 < 1, đặt x = 1- a2 - b2 và y = 1- c2 - d 2
0 ≤ x, y ≤ 1 Bđt ⇔ (2 - 2ac - 2bd)2 ≥ 4xy ⇔ ((a-c)2+(b-d)2+x+y)2≥ 4xy
((a-c)2+(b-d)2+x+y)2 ≥ (x + y)2 ≥ 4xy
Bài 10
Cho a, b, c là ba số dơng và ab+bc+ca = 1 Chứng minh + + ≥
a
c c
b b
1
Giải: a3+b3 ≥ ab(a+b) ⇒
b
a3
+ b2 ≥ ab+a2 cộng lại (cđpcm)
Bài 10
Chứng minh: 2 3 2
c b
a
+ + 2 2
3
a c
b
+ + 2 2
3
b a
c
c b
≥
Giải: a2 + b2 ≥ 2ab từ đó 2 3 2
c b
a
+ = a - 2 2
2
c b
ab
+ ≥ a - b2
Bài 11
Cho a, b, c, d là các số dơng và có tổng bằng 1 Chứng minh:
2
1 2 2
2 2
≥ +
+ +
+ +
+
d d c
c c b
b b
a
a
Giải:
b
a
a
+
2
+ + ≥ 4
b a
a Dờu bằng khi a = b = c=d =
4
1
Bài 12
Cho a, b, c với 0 < a, b, c ≤ 1 Chứng minh:
1)
c
b
a
1
1
1
+
+ ≥ a + b+ c
2) k k k
c b
a
1 1
1 + + ≥ ak + bk + ck (k là là số tự nhiên)
Giải:1) (a-1)(b-1)(c-1) = abc - ab - bc - ca + a + b + c-1=
c
b
1
c b
1
≤ 0 2) 0 <a ≤ 1 ⇔ 0 < ak - 1≤ 0
(a-1)(b-1)(c-1) ≤ 0 ⇒ (ak-1)(bk-1)(ck-1) ≤ 0
(ak-1)(bk-1)(ck-1) = akbkck- akbk- bkck- ckak+ak+bk+ck-1≤ 0
k
k
a
1
1
1 + + ≥ ak + bk + ck
Trang 4Bài 13
Cho a, b, c là các số không âm và có tổng bằng 1 Chứng minh:
a2b + b2c + c2a
27
4
≤ (CanMO1999)
Giải: Gọi x =max{a, b, c}
• a ≥ b ≥ c ⇒ a2b + b2c + c2a ≤ a2b + b2c + c2a + c(ab + (a-b)(b-c))=
= a2b+ 2abc +bc2 = (a + c)2b = 4(
2
1
-2
1
b)(
2
1
-
2
1
b)b
27
4
≤
dấu bằng khi a =
3
2
, b =
3
1
, c = 0
* a ≥ c ≥ b ⇒ a2b + b2c + c2a = a2c + c2b + b2a + (a-c)(c-b)(a-b) ≤
≤ a2c + c2b + b2a
27
4
≤ ( trở lại trờng hợp trên)
dấu bằng xảy ra khi hoán vị a =
3
2
, b =
3
1
, c = 0
Bài 14
Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh:
1 8 8
+
+ +
+
c ca
b
b bc
a
a
(IMO-2001)
Giải: Cách 1- f(a, b, c) = f(ka, kb, kc) ⇒ đặt abc = 1
3
1
1 8
a
bc
a
a
+
=
+ , đặt x = 1 + 83
a , y = 1 + 83
b , z = 1 + 83
c
1 1 1
z y
⇔ xy + yz + zx + 2 xyz( x+ y + z) ≥ xyz
x = 1 + 83
1 9
a
≥ = 239 2
a
a a
) (
27
≥
abc xyz
9
≥ +
+ y z xyz
x
Cách 2
a a bc
a
a
+ +
≥ +
⇔ (a3 a +b3 b+c3 c) 2 ≥ 3 a2 (a2 + 8bc)
=
− +
+ 3 3 2 3 2
(a a b b c c a a (b3 b+c3 c) ( 2a3 a +b3 b+c3 c)=
)
(b3 b+c3 c (a3 a+a3 a+b3 b+c3 c) ≥ 23 (bc) 2 4 3 a2 3 bc = 8bc3 a2 ⇔
2 3 2 3 3
(a a +b b+c c ≥ a a + 8bc3 a2 = 3 a2 (a2 + 8bc), tơng tự
3 3 3
3
2 8 a a b b c c
b b ca
b
b
+ +
≥
3
2 8 a a b b c c
c c ab
c
c
+ +
≥
Mở rộng
k kab
c
c kca
b
b kbc
a
a
+
≥ +
+ +
+
3 2
2
Trang 5Bài 15
Chứng minh bất đẳng thức ab+bc+ca abc
7
9 7
2 +
≤
với a, b, c là các số dơng và có tổng bằng 1(Chọn đội tuyển QG 2004)
Giải: Nếu a
9
7
≥ ⇒ 1
7
9a ≥ ⇒ bc
7
9abc
≤ , a+ b+c = 1⇒ b + c ≤92, do a < 1 ⇒ ab + ac < 92< 72 ⇒ ab + bc + ac abc
7
9 7
2 +
≤
Nếu a <
9
7
⇒ 1 -
7
9a
> 0, bc
4
) (b+c 2
4
) 1 ( −a 2
≤
ab + bc + ac - abc
7
9
= bc(1- a
7
9
) + a(b+c)
7
2 ) 1 ( 4
) 1 ( ) 7
9 1 (
2
≤
− +
−
−
≤ a a a a
(7 - 9a)(1 - a)2 + 28a(1 - a) ≤ 8 ⇒ (a + 1)(3a - 1)2 ≥ 0
Dấu bằng khi a = b = c =
3 1
Bài 16
Cho a, b, c là các số dơng a+b+c = abc Chứng minh:
2 1
1
a
+ + 1 2
1
b
+ + 1 2
1
c
+ 2
3
≤
Giải: Đặt a = tgα , b = tgβ , c = tgγ, vói α , β , γ ∈ (0,π/2) và α + β + γ = π
tg(α + β + γ) = tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg = a−+ab b+−c bc−−abc ca
−
−
−
− + +
1
γ β α γ β α
cosα + cosβ + cosγ = cosα + cosβ - cos(α + β) = 2cos(α +2β )cos(
2
β
α −
)-2cos2
2
β
α +
+1≤ 2cos
2
β
α + - 2cos2
2
β
α + +1=2sin
2
γ - 2sin2
2
γ + 1= (2sin
2
1 2
3 −
2
γ -1)2
2
3
≤
Bài 17
Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh:
a(a1+c)+b(b1+a)+c(c1+b)≥ 2 ( ) 2
27
c b
Giải:
) (
1
c a
1
a b
1
b c
3
a c c b b a
≥
a + b + c ≥3 abc3 , a + b + c =
2
1
(a+ b+b+c+c+a) 3 ( )( )( )
2
3
a c c b b
≥
(a+b+c)2 3 ( )( )( )
2
9
abc a c c b b
Bài 18
Tìm hàm số f(x) biết rằng với mọi số thực x, y, z ta có:
f(x + y) + f(y + z) + f(z + x) ≥ 3f(x + 2y + 3z)
Giải: Thay x = y = -z ⇒ f(2x) ≥ f(0)
Thay x=z=-y ⇒ f(2x) ≤ f(0) ⇒ f(x) = const
Trang 6Bài 19
Chứng minh [ n+ n+ 1 + n+ 2] = [ 9n+ 8], với n số tự nhiên
Giải Thực ra đây là chứng minh bđt:
( n+ 1 − n)( n+ 1 + n) = 1 ⇒ n+ 1 − n=
n
n+1 +
1
> >
1 2
1 + + + n
⇒ 2 n+ 1 > n+ 2 + n
2
1 + +
+
+ n n
n < 3 n+ 1= 9n+ 9
Chứng minh n+ n+ 1 + n+ 2 > 9n+ 8 với n =0 và n = 1 đúng
n ≥ 2, n(n+2)-(n+
9
7
)2 =
81
49 9
4n− > 0 với n ≥ 2, ⇒ n(n+ 2 ) > n +
9 7
Từ 2 n+ 1 > n+ 2 + n⇒ 2( n + n+ 1 + n+ 2)>3( n+ 2 + n)
( n+ n+ 1 + n+ 2)2 >
4
9
(2n+2+ n(n+ 2 ))>
4
9
(2n+2 +2n+2
9
7
) =9n+8
Bài 20
Cho a, b, c là các số dơng có tích bằng 1 Chứng minh:
2
1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
1
+
+ +
+ +
≤ + +
+ + +
+ +
+b b c a c a b c
a
Giải: đặt x = a + b+ c và y = ab + bc + ca (x, y ≥ 3)
9 2 4
12 4
2
3 4
2
2
+ +
+ +
≤ +
+
+
+
+
+
y x
y x y xy
x
x
y
x
x
⇒ 3x2y + xy2 + 6xy - 5x2 - y2 - 24x - 3y - 27 ≥ 0 (3x2y - 5x2 - 12x) + (xy2 - y2 - 3x - 3y) + (6xy - 9x - 27) ≥ 0 , đúng x, y ≥ 3
Bài 21
a, b, c là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh:
1 < ab + bc + ca - abc ≤ 2728
Giải: Giả sử c ≤ b ≤ a , từ 2- a = b + c > a ⇒ a < 1
Xét: ab+bc+ca-abc-1 = a(b+c)+bc(1-a)-1=a(2-a)+bc(1-a)-1=(1-a)(bc+a-1)
b < 1, c <1 ⇒ (b-1)(c-1)>0 ⇒ bc + 1- b-c> 0 ⇒ bc+a-1>0 ⇒ Vế trái đpcm
bc ≤
4
)
(b+c 2 =
(1-2
a
)2=1- a+
4
2
a
⇒ bc+a-1≤
4
2
a
⇒
4
) 1 ( −a a2 ≤ 271
⇒ (3a+1)(3a-2)2≥ 0
Bài 22
Cho a, b, c là ba số dơng Chứng minh:
1) a6b6 + b6c6 + c6a6 + 3a4b4c4 ≥ 2a3b3c3(a3+b3+c3)
2) a6+b6+c6+3a2b2c2 ≥ 2(a3b3+b3c3+c3a3)
Giải:
1) Chia hai vế cho ⇒ a4b4c4 Đặt x =
bc
a2
; y=
ac
b2
; z =
ab
c2
1 1
1
z y
x + + + 3 ≥ 2(x+y+z)
Trang 7(1 1) 2
y
x − + 2(x-1)(y-1) + (yz-1)2≥ 0, vì xyz = 1 nên bao giờ cũng tồn tại hai trong ba số x,
y, z cùng lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 1
2) Tơng tự nh trên chia hai vế cho a2b2c2 ; đặt x = 2
c
ab
; y = 2
a
bc
; z = 2
b
ac
⇒ xyz = 1sau đó trở lại nh 1)
Bài 23
Cho a, b là các số dơng nhỏ hơn 1 Chứng minh 2
1
1
a
+ + +b ≤ 1 +ab
2 1
1 2
Giải: 2
1
1
a
1 1
1 ( 2 1
1
2 2
ab b
2 1
1 1
1
2 2
(2+a2+b2)(1+ab) ≤ 2(1+a2+b2+a2b2) ⇔ a2+b2 +2 a2b2- (a2+b2)ab-2ab ≥ 0
(ab-1)(a-b)2≥ 0 dấu bằng khi a= b
Bài 24
Gọi R, r là bán kính đờng tròn ngoại, nội tiếp tam giác và r1 là bán kính đờng tròn qua ba tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với các cạnh tam giác
Chứng minh: 2r1 ≤ r ≤ Rr1
Bài 25
Chứng minh: (n n) 2 ≥ n− 1 (n− 1 )!n+ 1 (n+ 1 )! (với n là các số tự nhiên n ≥ 2)
Bài 26
c
ab b
ac
a
bc
+ +
≥ + +
b)
ca bc
ab c
b
a
1 1
1 1 1
c)
a
c
a
b
+
− 2
2
+
b a
b c
+
− 2 2
+
c b
c a
+
− 2 2
≥ 0 , hd
a c
a b
+
− 2 2
= ((b c) (c a))
a c
a b
+
− + +
+
đặt u = a+b, v=b+c, z = c+a
Bài 27
Cho a, b, c là các số thực dơng có tích bằng 1 Chứng minh:
(a-1+
b
1
)(b-1+
c
1
)(1+c-c
1
) ≤ 1
Giải: Đặt a =
y
x
; b =
z
y
; c =
x
z ⇒ abc = xyz (a-1+
b
1
)(b-1+
c
1
)(c- 1+
c
1
) = ( y x -1+ y z )(
z
y
-1+
z
x
)(
x
z
-1+
z
x
) ≤ 1 (x+z-y)(y+x-z)(z+x-y) ≤ xyz trở lại bài toán đơn giản
Bài 28
a, b, c là ba cạnh tam giác Chứng minh 22 22
c b
bc a
+
+ +
2 2
2 2
c a
ac b
+
+ +
2 2
2 2
a b
ba c
+ + >3
Trang 8Hớng dẫn : a2 > (b-c)2 ⇒ a2 + 2bc > b2 + c2
Bài 29
a, b, c, d là các số dơng và
d c
b a
+
+
< 2 Chứng minh 22 22
d c
b a
+
+ < 8
Hớng dẫn :(c + d)2 < 2(c2 + d 2) , (a+b)2 > a2 + b2
) (
2
2
d
c
b
a
+
+
<(
d c
b a
+
+
)2 < 4
Bài 30
a, b, c > 0 Chứng minh:
bc a
bc
2
2 + +b ca
ca
2
2 + c ab
ab
2
2 + ≤ 1 ≤
bc a
a
2 2
2 + +b ca
b
2 2
2 + +c ab
c
2 2
2 +
Giải: b2 + c2 ≥ 2bc ⇒ a2 + b2 + c2≥ a2 +2bc ⇒
bc a
a
2 2
2 + ≥ 2 2 2
2
c b a
a
+
bc
a
a
2
2
2
+ +b ca
b
2 2
2 + +c ab
c
2 2
2 + ≥ 2 22 2
c b a
a
+ + + 2 2 2
2
c b a
b
+ + + 2 2 2
2
c b a
c
+
+ = 1
VP + 2VT = 3 ⇒ 3 = VP + 2VT ≥ VT + 2 ⇒ VT ≤ 1
Bài 31
Cho a, b, c là các số thực dơng Chứng minh:
2 2
2
)
(
2
)
2
(
c
b
a
c
b
a
+
+
+
+
2 ) ( 2
) 2
(
a c b
a c b
+ +
+ +
2 ) ( 2
) 2
(
b a c
b a c
+ +
+ +
≤ 8 Giải: (3- 2 2
2 ) ( 2
) 2
(
c b a
c b a
+ +
+ +
) + (3- 2 2
2 ) ( 2
) 2
(
c b a
c b a
+ +
+ +
2 ) ( 2
) 2
(
c b a
c b a
+ +
+ +
) ≥ 1
2 2
2 2
2
) ( 2
) (
4 ) (
2
c b a
ac ab bc c
b
a
+ +
−
− + +
+
2 2 2
) ( 2
) (
4 ) (
2
c a b
bc ba ac c
b a
+ +
−
− + + +
2 2 2
) ( 2
) (
4 ) (
2
b a c
ac cb ab c
b a
+ +
−
− +
+ +
≥
1 Sử dụng (x+y)2 ≥ 2(x2+y2)
2 2 2
c b a
ac bc ab bc ab ac ac ab bc c
b a
+ +
−
− +
−
− +
−
− + + +
≥ 1
Bài 32(đề thi ts Nguyễn Trãi)
Cho a, b, c > 0 , a < bc và 1+a3 = b3 + c3 Chứng minh 1 + a < b + c
Giải: (1+a)(1-a+a2) = (b+c)(b2-bc+c2)
1 + a < b + c ⇔ 1-a+a2 > b2- bc+c2
Giả sử 1+a ≥ b+c ⇒ b2- bc+c2≥ 1-a+a2⇒ (b+c)2 - 3bc≥ (1+a)2 - 3a > (1+a)2 - 3bc ⇒
(b+c)2 > (1+a)2⇒ b +c >1 + a
Bài 33
a, b, c là các số thực dơng và ab + bc + ca = 1 Chứng minh:
c b a
1 1
1 + + ≥ 3(a+b+c)
Trang 9Giải: qui đồng ⇒ abc(a+b+c) ≤ 31
abc(a+b+c) =(abac+bcba+cacb) ≤
3
) (ab+bc+ca 2
=
3
1
dấu bằng a=b=c=
3 1
Bài 34
Cho các số thực dơng a, b, c Chứng minh:
1< 2 2
b a
a
+ + b2 c2
b
+ + c2 a2
c
+ ≤
2
2 3
Giải: P = 2 2
b a
a
+ + b2 c2
b
+ + c2 a2
c
+ ⇒ P = 2 2 2
1
1 1
1 1
1
z y
+
Với x=b/a; y=c/b; z = a/c ⇒ xyz = 1
P > 1 dễ dàng
Sử dụng 2
1
1
a
+ + +b ≤ 1 +ab
2 1
1
2 với ab <1 Giả sử z ≥ 1 ⇒ Q = 1+1z2 + 1+2xy do xyz =1 ; đặt t=1/z
t
t
+
+ + 1
2
t t
t
+
+ + 1
2 1
2
=
t
t t
t
+
+ + + 1
1 2 1
2
; (1+t ≤ 2 ( 1 +t2 ))
t
t
t
t
+
+
+
+ 1
1
2
1
2
2
2 3
≤ ⇔ 2t + 2 2(1+t)≤ 3t + 3 bình phơng có: (t-1)2 ≥ 0
Bài 35
Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền là a và hai cạnh góc vuông là b, c
Chứng minh (b+c) b+(b−c) c < 2 2a a
Giải: b + c ≤ (b+c) 2 + (b−c) 2 = 2 a;
(b + c) b + (b - c) c ≤ (b+c) 2 + (b−c) 2 b+c ≤ 2a 2a
dấu bằng không xảy ra: (b + c) : (b - c) = b : c =1 : 1
Bài 35
a, b, c ∈(0; π/2) Chứng minh:
) sin(
) sin(
) sin(
sin
c b
c a b
a
a
+
−
−
+ sinbsin(sin(b−c c+)sin(a) b−a) + sincsin(sin(c−a a+)sin(b) c−b)≥ 0 Chứng minh: Giả sử a ≥ b≥ c
P≥ sinasin(sin(a−b b+)sin(c) a−c) - sinbsin(sin(a−c c+)sin(a) a−b) + sincsin(sin(a−a c+)sin(b) b−c)=
Bài 36
Sử dụng định lý Lagrăngs (f(x) liên tục [a; b] và có đạo hàm (a; b) ⇒ tồn tại c ∈ (a; b) thoả mãn f(b)-f(a) = (b-a)f ' (c)
Chứng minh rằng x = 5 không là nghiệm bất phơng trình:
sin(x+ 1 ) 3 cosx− sinx3 cos(x+ 1 ) < 3 cosxcos(x+ 1 )
Trang 10Gi¶i: 3sin(cos(x x++11)) −3sincosx x <1, xÐt hµm sè 3
cos
sin ) (
x
x t
3
2 ,
cos cos 3
1 cos 2 ) (
x x
x x
¸p dông b®t Cosi ⇒ f, (x) > 1 ⇒ f(x+1) - f(x) > 1
Bµi 37
x
Chøng minh r»ng x = e lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh
Gi¶i π > e; e-1 >1, 71828 >
2
π
⇒ sine>0; sin(e-1) > 0; cose<0; cos(e-1) <0
3 cos
sin
)
(
x
x
t
f = ; (e-1; e) ⊂ (π ; π
2 ) ; f(e)-f(e-1) > 1 Ph¬ng ph¸p dån biÕn
§Ó chøng minh f(x1, x2, , xn) ≥ 0 ta ®a vÒ
f(x1, x2, , xn) ≥ f( x1x2 , x1x2 , x3 , xn)
HoÆc f(x1, x2, , xn) ≥ f(
2
2
1 x
,
2
2
1 x
, x3 , xn) chøng minh f( x1x2 , x1x2 , x3 , xn) ≥ 0 hoÆc f(
2
2
1 x
,
2
2
1 x
x + , x3 , xn) ≥ 0 Bµi 36: a, b, c > 0 vµ abc = 1
Chøng minh a2 + b2 c2 + 3 ≥ ab + bc + ca + a + b + c
Gi¶i: f(a, b, c) = a2 + b2 c2 + 3 - (ab + bc + ca + a + b + c)
) , , ( )
,
,
(a b c f a bc bc
a bc c
Chøng minh f(a, bc, bc) ≥ 0; a a
a
a2 + ( 1 − 1 ) 2 + 2 ≥ + 2
a2+2 ≥ 2a + 1 ≥ a + 2 a
Bµi 37: Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng Chøng minh
2 (a2 +b2 +c2 ) + 3 3 a2b2c2 ≥ (a+b+c) 2
XÐt f(a,b,c) = 2 (a2 +b2 +c2 ) + 3 3 a2b2c2 − (a+b+c) 2, gi¶ sö a ≤ b≤ c
f(a,b,c) − f(a, bc, bc)= 2 (a2 +b2 +c2 ) + 3 3 a2b2c2 − (a+b+c) 2-
2 2
2 2
(
2 a + bc − a b c + a+ bc = ( b− c) 2 [( b + c) 2 − 2a]
dÔ dµng chøng minh b + c ≥ 2a
Chøng minh: 2 (a2 + 2bc) + 3 a2b2c2 − (a+ 2 bc) 2≥ 0
bc a c
b
a
a2 + 3 3 2 2 2 ≥ 4 ( cosi cho 4 sè)