Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn (25) Thời gian 180 phút Môn: Toán chung Câu I. ( 3 điểm) Cho biểu thức: 3 1 1 1 1 1 x x A x x x x x = + + a. Rút gọn biểu thức A b. Với giá trị nào của m thì A=4 Câu II. (4 điểm). Cho Parabon (P) có phơng trình 2 y x= và đờng thẳng (dm) có phơng trình: y=2(m-1)x-(2m-4) a. Chứng minh rằng với mọi m thì Parabon luôn cắt đờng thẳng (dm) tại hai điểm phân biệt. b. Gọi x 1 , x 2 là hoành độ giao điểm của (P) và (dm). Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1 2 y x x= + Câu III. (). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O. gọi H, i theo thứ tự là hình chiếu của B trên AC, CD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD, HI. Chứng minh rằng: a. V ABD và V HBI đồng dạng b. ẳ 0 90MNB = . Câu IV. (4,5 điểm). Cho hình chóp SABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với đáy ABCD. a. Chứng minh rằng: SC BD . b. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh rằng: ( )SC AMN . Câu V. Cho phơng trình: 4 3 2 1 0x ax bx ax+ + + + = (1) trong đó: ,a b R a. Biết (1) có ít nhất 1 nghiệm thực. Chứng minh rằng: 4 2 2 5 a b+ . b. Giải hệ phơng trình: 20 8 2005 2165 2005 20 8 2165 x y x y ì + + = + + ì = P N V THANG IM CHM Mụn Toỏn chung thi vo lp 10 chuyờn Lam Sn Câu I Nội dung Điểm a, Đ/K: x>1 0,25 1 1 2 1 ( 1)( 1) x x x x A x x x x x x x = + = + 0,5 ( 1) 2 1 1A x x= + 0,5 2 ( 1 1)A x = 0,25 b, Để 1 1 2 4 1 1 2 x A x = = = 0.5 1 3 1 1 x x = = 0,5 Nhận thấy pt(2) VN. 4 1 3.A x = = 10.x = 0,5 Câu II 4,0 a, Phơng trình hoành độ giao điểm của (p) và (dm) là: 2 2( 1) (2 4) 0(*)x m x m + = có ' 2 ( 1) (2 4)m m = V 2 4 5m m = + 0,75 2 ( 2) 1 0,m m = + > 0,75 Phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt hay parabon (p) luôn cắt đờng thẳng (dm) tại 2 điểm phân biệt 0,5 a, Theo giả thiết x 1, x 2 là hoành độ giao điểm của (p) và (dm) Theo câu a ta có m và theo viet ta có: 2( 1) 1 2 (2 4) 1 2 x x m x x m + = = 0,5 2 2 2 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 y x x x x x x= + = + 0,5 2 4( 1) 2(2 4)y m m = + (1) (2) 2 4 2 1 2 2 4 1 y m m m y m m = + + = 0,5 1 5 1 2 2 4 ( ) 4( ) 5 5 2 4 2 y m m = = y nhận giá trị nhỏ nhất là -5 khi 1 2 m = . 0,5 Câu III 5,0 a, Ta có ẳ 0 90BHC = (gt) ẳ 0 90BIC = (gt) H,I cùng nhìn BC Từ tứ giác BHIC nội tiếp ẳ ABC ẳ BIH = và ẳ ẳ BCH BDA = (góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) ẳ ẳ BIH BDA = (1) Tơng tự tao có ẳ ẳ ABD HBI= (2) Từ (1) và (2) ta có ABD HBIV : V (g.g) b, Theo trên ta có ABD HBIV : V Lại có BM,BN lần lợt là 2 trung tuyến của chúng BM BA BN BH = (3) Lại có: ẳ ẳ ABM HBN = (cặp góc tơng ứng của 2 tam giác đồng dạng) ẳ ẳ ABM MBN = (4) Từ (3) và (4) ta có: ABH MBNV : V ( c.g.c) ẳ ẳ AHB MNB = Mà: ẳ 0 90AHB = (gt) ẳ 0 90MNB = Câu IV 4,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 H D C A B M I N 1 1H a, Theo gt ta có ( )SA ABCD SA BD Mà: AC BD (gt) ( )BD SAC BD SC 0,5 0,5 0,5 0,5 b, Ta có: BC AB (gt) BC SA (gt) ( )BC SAD } ( ) BC AM AM SBC SB AM AM SC (1) Chứng minh tơng tự ta có: AN SC (2) Từ (1) và (2) ta có: ( )SC AMN 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu V a, Giả sử (1) có một nghiệm 0 x R ta có: 4 3 2 1 0(2) 0 0 0 0 0 0 1 1 2 (2) ( ) ( ) 0(3) 0 0 2 0 0 x ax bx ax x x a x b x x + + + + = + + + + = đặt: 1 1 2 2 2 0 0 0 0 2 0 0 x y y x x x + = = + Vậy (3) 2 2 0 0 0 y ay b + + = 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( ) ( )( 1) 0 0 0 y ay b a b y = + + + theo BunhiacôpSki 0,25 0,25 S N D A M B C 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 1,5 Lại có: ( ) 2 2 2 0 2 2 2 1 0 y a b y − ⇒ + ≥ + Nhng 2 1 2 2 4 0 0 2 0 y x x ÷ ÷ ÷ = + ≥ §Æt: 2 4 , 0 0 y t t= + ≥ ( ) 2 2 9 2 2 1 5 5 4 9 9 4 5 16 2 2 5 5 5 5 5 25 t a Onthionline.net PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯƠNG TRÀ _ ĐỀ CHÍNH THƯỚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ Xà NĂM HỌC 2011-2012 MÔN: TOÁN9 thời gian làm bài: 150phút Bài 1: (4đ) Câu 1:Rút gọn: + − 13 + 48 Câu 2:Tìm x,y biết : x − x + + y − y + = Bài 2: (4đ) Câu 1: Cho a2+b2=c2+d2=2005 ac+bd=0.Tính S=ab+cd Câu 2: Tìm giá trì lớn A= x − + y − biết x+y=4 Bài 3: (6đ) Câu 1: Cho hai điểm A(m;3) B(1;m) nằm đường thẳng có hệ số góc m m>0.Tìm m viết phương trình đường thẳng qua A B Câu 2: Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m mx + y = 2m my + x = m + Câu 3: Chứng minh bốn điểm A(0;-5), B(1;-2), C(2;1), D(2,5;2,5) thẳng hang Bài 4: (6đ) Câu 1: Cho tanα= Tính (cosα−sinα):( cosα+sinα) Câu 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh 3.Lấy điểm M cạnh BC Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài P,đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài Q, BP cắt CQ I a Cho CM=1,tính tích BI.CI b Khi M di động đoạn BC,hãy tìm quỹ tich điểm I SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 LAM SƠN (26) MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (2 điểm) Cho (x + 3 2 + x )(y + 3 2 + y ) = 3 Hãy tính giá trị của biểu thức P = x + y ( Đề thi TS vào lớp 10 chuyên ĐHTH năm học 1995 – 1996) Câu II (2 điểm) Giải phương trình: ) 1 ( 2 2 + + x x x = 1 (Tự ra) Câu III (2 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên y xx x 3 32 1 =+++ (Đề thi HSG quốc gia toàn quốc bảng A năm 1992) Câu IV (1 điểm) Chứng minh rằng ∀ x, y ∈R*, ta có: )(34 2 2 2 2 y y y x x y y x +≥++ (Đề thi QG chọn HSG Toán lớp 9 năm 1995) Câu V (3 điểm) Cho tia Ax, một điểm E khác điểm A, E∈Ax. Từ E, vẽ tia Ey. Hai điểm C và d phân biệt, khác điểm E, cho trước trên tia Ey. Một điểm B chạy trên tia Ex. Các đường thẳng AC và BD cắt nhau ở M, AD và Bc cắt nhau ở N. 1. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn cắt tia Ey tại một điểm F cố định 2. Hãy xác định một vị trí của điểm B trên tia Ex sao cho các tam giác MCD và NCD có diện tích bằng nhau (Đề thi TS vào lớp 10 chuyên Toán ĐHSP HN năm 1993) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 LAM SƠN MÔN TOÁN Câu Nội dung Điểm Câu I 2 điểm Nhân 2 vế của đẳng thức đã cho với (x - 3 2 + x ) ta được: -3(y + 3 2 + y ) = 3(x - 3 2 + x ) (1) Nhân 2 vế của đẳng thức đã cho với (x - 3 2 + x ) ta được: -3(x + 3 2 + x ) = 3(y - 3 2 + y ) (2) Cộng (1) và (2) theo vế với vế ta nhận được: 6(x +y) = 0, suy ra x + y = 0 Vậy E = x + y = 0 0.5 điểm 0.5 điểm 1 điểm Câu II 2 điểm ĐK: x ≠ 1 Pt đang xét ⇔ ) 1 ( 2 2 + + x x x + 01 1 2 2 =− + x x ⇔ 2 )1 1 ( 2 = + + x x ⇔ −=+ + =+ + 21 1 21 1 x x x x Giải (2) vô nghiệm vì có biệt thức âm. Vậy phương trình có 2 nghiệm là nghiệm của (1), đó là: 2 12212 1 −−− = x ; 2 12212 2 −+− = x ; 0.25 điểm 1 điểm 0.25 điểm 0.5 điểm Câu III 2 điểm Câu IV 1 điểm Ta có: 0 4 3 ) 2 1 ( 1 2 2 >+ + = + + x xx 0 10 29 ) 10 11 ( 55117 2 2 >+ + = ++ x xx nên ( xx x 32 1 +++ ) – ( 1 2 ++ x x ) < xx x 32 1 +++ < ( xx x 32 1 +++ )+(5 711 2 ++ x x ) Do đó, ⇒<< + )2( 33 3 xy x )1( 33 + = xy . Thay vào phương trình ban đầu ta có: xx x 32 1 +++ = )1( 33 + = xy ⇒ x(x + 1) = 0 ⇒ = = 1 0 x x Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: (0; 1) và (-1; 0) Bất đẳng thức cần chứng minh =⇔ P 0)(34 2 2 2 2 ≥+−++ y y y x x y y x Đặt z = y y y x + , ta có: 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −=+⇒++= z x y y x x y y x z Thay vào P ta được: P = z z 342 2 −+− = )2)(1(23 2 −−=+− zzz z Vì x, y ≠ 0 theo giả thiết ta có: • Với x, y trái dấu thì y y y x , cùng âm do đó z = y y y x + < 0 Từ đó )2)(1( −−= zzP < 0 (Vì 2 thừa số đều âm) • Với x, y cùng dấu thì y y y x , cùng dương do đó z = 2 ≥+ y y y x Từ đó z 02 ≥− ; z – 1 > 0, suy ra )2)(1( −−= zzP ≥ 0 với mọi x, y ∉ R*. Đẳng thức chỉ xảy ra khi y y y x = với x, y cùng dấu. Từ đó suy ra x = y. 0.5 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm Câu V 3 điểm Bài này học sinh phải vẽ hình mới chấm điểm 1. Dùng định lý Mê-nê-la-uyt (Xem hình) Trong tam giác CDA có: MA MC ND NA FD FC MC MA NA ND FD FC =⇒= 1 (1) Trong tam giác CAD có: AM AC BD BM ED EC AC AM BM BD ED EC =⇒= 1 (2) Trong tam giác ADN có: AM AC BD BM ED EC CA CM BM BD ND NA =⇒= 1 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: ED EC FD FC ED EC FD FC =⇒= 1: . Vậy F cố định. 2. Ta sẽ chứng minh rằng nếu EA = EB thì MN // AB. Thật vậy, giả sử rằng EA = EB mà đường thẳng MN cắt đường thẳng AB tại P. Khi đó ta cũng dùng định lý Mê-nê-la-uyt tương tự trên lần lượt cho các tam giác ABC, ABM, CBM thì được 1 == EB EA PB PA , vô lý Từ MN // AB, suy ra FM = FN Sở gd & ĐT thanh hoá Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (27) Môn Toán- Toán Chung Bài 1. Tính A= x x x x 211 21 211 21 + ++ + với 4 3 = x . Bài 2. a> cho a+b+c=0. Chứng minh rằng a 3 +b 3 +c 3 =3abc. b> Phân tích thành nhân tử: a(b 2 +c 2 )+b(a 2 +c 2 )+c(a 2 +b 2 )+2abc. Bài 3. Giải phơng trình: (x+2)(x+3)(x-5)(x-6)=180. Bài 4. Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 1 h 20 đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy 15 2 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể. Bài 5. Giải phơng trình: 275232522 =++++ xxxx . Bài 6. Cho (P): y=- 2 1 x 2 . Lập phơng trình đờng thẳng (D) đi qua A(-2;-2)và tiếp xúc với (P). Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y=x 3 (2-x) 5 với x [0;2]. Bài 8.Cho hình thoi ABCD cạnh a có A=60 0 . Một đờng thẳng bất kì đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA theo thứ tự tại M và N. a> Chứng minh rằng tích BM.DN có giá trị không đổi. b> Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính góc BKD. Bài 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn và d là tiếp tuyến của đờng tròn tại C. Gọi AH và BI là các đờng cao của tam giác. a> Chứng minh HI // d. b> Gọi MN và EF lần lợt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BI lên đờng thẳng d. Chứng minh MN EF. Bài 10. Dựng tam giác ABC biết hai cạnh AB=c, AC=b và trung tuyến AM=m. Sở gd & ĐT thanh hoá đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn Môn Toán- Toán Chung Câu ý Nội Dung Điểm 1 2.0 Ta có 1-2x=1- 4 32 = 2 )13( 4 1 )1323( 4 1 )324( 4 1 =+= Tơng tự 1+2x= 2 )13( 4 1 + Từ đó A= ) 2 13 1(4 )13( 2 + + + + ) 2 13 1(4 )13( 2 = )13(32 )13( 2 + + + )13(32 )13( 2 = 32 )13( + + 32 )13( =1. 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 2 2.0 a 1.0 Thay c=-(a+b) VT= a 3 +b 3 -(a+b) 3 = a 3 +b 3 - a 3 -b 3 -3ab(a+b) =-3ab(a+b) =3abc=VP. Đpcm. 0.25 0.25 0.25 0.25 b 1.0 Ta có a(b 2 + c 2 )+b(a 2 + c 2 )+c(a 2 + b 2 )+2abc =ab 2 +ac 2 +bc 2 +ba 2 +ca 2 +cb 2 +2abc =ab(a+b)+c 2 (a+b)+c(a+b) 2 =(a+b)ab+c 2 +ca+cb) =(a+b)(b+c)(c+a) 0.25 0.25 0.25 0.25 3 2.0 Ta có (x+2)(x+3)(x-5)(x-6)=180 (x 2 -3x-10)(x 2 -3x-18)=180 Đặt x 2 -3x-14=y Tìm đợc y=14 hoặc y=-14 0.5 0.25 0.25 + Với y=14 ta dợc x 1 =7, x 2 =-4 + Với y=-14 ta dợc x 3 =0, x 4 =3. Vậy phơng trình có 4 nghiệm: x 1 =7, x 2 =-4, x 3 =0, x 4 =3. 0.5 0.5 4 2.0 Đổi 1 h 20 =80 Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình thì đầy bể là x phút (x>80) Gọi thời gian vòi 2 chảy một mình thì đầy bể là y phút (x>80) Vậy 1 phút vòi 1 chảy đợc x 1 bể, vòi2 chảy đợc y 1 bể, cả 2 vòi chảy đợc yx 11 + bể. Theo bài ra ta có hệ =+ =+ 15 21210 1 8080 yy yx Đặt X= x 1 ,Y= y 1 Ta đợc hệ =+ =+ )2( 15 2 1210 )1(18080 YX YX Giải hệ ta đợc X= 120 1 ,Y= 240 1 Suy ra x=120 phút, y=240 phút. Vậy nếu chảy một mình thì vòi 1 chảy hết 120 phút, còn vòi 2 chảy hết 240 phút thì đầy bể. 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 5 2.0 TXĐ: D= ), 2 5 [ + Nhân cả hai vế với 2 ta đợc: 2 5 (*)14352152 14)352()152( 145264252242 22 =+++ =+++ =++++ xDo xx xx xxxx Nên hệ (*) trở thành: 15 552 14352152 = = =+++ x x xx Vậy phơng trình đã cho có duy nhất một nghiệm x=15. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.25 6 2.0 Phơng trình tổng quát của (D): y=ax+b. Hoành độ giao điểm (nếu có ) của (D) Và (P) là nghiệm của pt: ax+b = - ã2 2 1 22 + xx ax+2b=0 (*) Để (D) tiếp xúc với (P) thì pt(*) phải có nghiệm kép. 020 2' == ba Vì (D) đi qua A(-2;-2) nên 2=-2a+b b=2a-2 Vậy a,b là nghiệm của hệ: = = = = 2 2 22 02 2 b a ab ba Vậy pt (D) là: y=2x+2 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 7 2.0 Biến đổi y=x 3 (2-x) 5 = )36)(36)(36)(36)(36.( 3 1 .5.5.5. 5 1 53 xxxxxxxx áp dụng BĐT CôSi cho 8 số gồm 3 số Sở GD-ĐT Thanh Hóa đề thi tuyển sinh vào lớp 10 lam sơn (28) Năm học: 2006-2007 Môn: toán (Thời gian: 180 phút) Câu 1: Cho biểu thức: 1 2 )1(2 1 )1(2 1 3 2 + + + = a a aa A (với 1,0 aa ) 1. Rút gọn A. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của A? Câu2 : 1. Giả sử a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phơng trình: x 2 2x ab(a+b-2c)-bc(b+c-2a) ca(c+a-2b)+1=0 luôn có nghiệm. Khi đó tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm kép. 2. Giải phơng trình: 11642 2 +=+ xxxx . Câu 3: 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y=(x-2).(3x 2 +x-14) với 2 3 7 x . 2. Cho hai hàm số 2 4 1 xy = và mx m y + = 2 2 . Tìm m sao cho hai đồ thị hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. Câu 4: 1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn phơng trình: x 2 -2x+y-6 y +10=0. 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: yxxx =+++ . (có tất cả 2006 dấu căn thức). Câu 5: 1. Một hình chữ nhật có kích thớc là a,b. Hãy tìm vị trí các đỉnh của hình bình hành MNPQ ( ),,,, PDDQBNMBDAQCDPBCNABM === để diện tích của MNPQ là lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? N B C M P A D Q 2. Chứng minh rằng trọng tâm, trực tâm và tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác thẳng hàng? Ghi chú: 1, Tất cả các câu đều đợc sáng tác ( trừ câu 5.2 lấy từ cuốn Thực hành giải toán). 2, Thang điểm 10 (mỗi bài 01 điểm). §¸p ¸n Néi dung §iÓm C©u I: 1. A= )1(2 )2(2)1)(1()1)(1( 3 222 − +++++−−+− a aaaaaaa = 1 1 )1(2 )1(2 )1(2 )2(2)1(2 233 22 ++ − = − −− = − ++++− aaa a a aaa 1® 2. Do a 2 + a +1 = 4 3 4 3 ) 2 1 ( 2 ≥++ a ⇒ A≥ 4 3 4 3 1 −= − VËy minA=- 2 1 0 2 1 3 4 −=↔=+↔ aa (kh«ng tho· m·n ®iÒu kiÖn ≠ ≥ 1 0 a a ) VËy kh«ng tån t¹i GTNN cña A. 1® C©u II: 1. x 2 –2x –ab(a+b-2c)-bc(b+c-2a) –ca(c+a-2b)+1=0 ∆’=1+ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(a+c-2b)-1 = ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b) = abc −++−++−+ 222 b a b c a c a b c b c a 1® Nội dung Điểm = abc ++ ++ + 6 b a a b b c c b a c c a Theo bđt Côsi: 6 .6 6 =+++++ b a a b b c c b a c c a b a a b b c c b a c c a 0 pt luôn có nghiệm pt có nghiệm kép =0 a=b=c 2. 11642 2 +=+ xxxx ĐK: 42 04 02 x x x VF = (x-3) 2 + 2 0 + 2 =2 Ta c/m VF 2 thật vậy 242 + xx 2+2 4)4)(2( xx 0)3(096186186 2222 +++ xxxxxxx đúng Vậy pt 3 2116 242 2 = =+ =+ x xx xx thoã mãn điều kiện Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3. 1đ Câu III: 1. y=(x-2)(x-2)(3x+7) = 2 3 (2-x)(2-x)(2x+ ) 3 14 Do - 022 3 7 > xx , 2x+ 0 3 14 > áp dụng bđt Côsi ta có: y 5 3 3 3 3 13.4 3 26 . 18 1 ) 3 14 222( 27 1 . 2 3 = =+++ xxx Vậy maxy = 4. 27 8 3 14 22 3 13 5 3 =+= xxx 1đ 2. yêu cầu bài toán pt: mx m x += 2 24 1 2 có hai nghiệm trái dấu pt: x 2 + 2mx 8 +4m =0 có hai nghiệm trái dấu a.c = 4m 8 <0 m<2 1đ Câu IV: 1. x 2 2x + y -6 y + 10=0 1đ Néi dung §iÓm ↔ (x-1) 2 + ( )9;1();( 9 1 0)3( 0)1( 0)3 2 2 2 =→ = = ↔ =− =− ↔=− yx y x y x y 2. yxxx =+++ . Tõ pt =+ = → kxx mx víi k,m ∈N 000)1( 2 2 2 =→=↔=→=+→ =+ = → yxmkmm kxx mx VËy pt cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt x=y=0 1® C©u V: 1. §Æt MB =BN=DP=DQ=x ta cã: S MNPQ = S ABCD - S MBN - S NAP - S PDQ - S QCM = ab –x 2 –(a-x)(b-x)=-2x 2 + (a+b)x = -2(x 2 - 222 ) 4 .(2) 4 (2) 2 (2) 2 bababa xx ba + ≤ + + + −−= + VËy max S MNPQ =2.( 2 ) 4 2 ba x ba + =↔ + 1® 2. KÐo dµi CO lÊy L sao cho OC=OL 1® L B A H G O D F C (1) Néi dung §iÓm ⇒ = ODLB ODLB 2 // → LB//AH T¬ng tù, LA//BH → LBHA lµ h×nh b×nh hµnh → LB = AH (2) Tõ (1) vµ (2) → 2 = OD HA mµ G lµ träng t©m → 2 = GD GA VËy OD AH GD GA = (*) Mµ HADADOAHOD BCAH BCOD ∧∧ =→→ ⊥ ⊥ // (**) Tõ (*) vµ (**) → ∆OGD ®ång d¹ng víi ∆HGA → AGHDGO ∧∧ = Mµ D,G A th¼ng hµng →O,G,H th¼ng hµng. đề thi vào lớp 10 - lam sơn (29) môn: toán học - Thời gian 150 phút Câu 1: (2 điểm) a) Chứng minh rằng n N * ta có 1)1( 1 +++ nnnn = 1 11 + nn b) Tính tổng S = 1009999100 1 . 4334 1 3223 1 22 1 + ++ + + + + + Câu 2: (2 điểm) Tìm trên đờng thẳng y = x + 1 những điểm có toạ độ (x, y) thoả mãn y 2 - 3y x + 2x = 0 Câu 3: (1 điểm) Tìm n Z sao cho n 2 + 2006 là số chính phơng Câu 4: (2 điểm) Cho đờng (0, R) và 2 điểm A, B nằm ngoài đờng tròn (0) sao cho 0A = 2R. Tìm điểm M (0) sao cho P = MA + 2MB nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 5: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, đờng vuông góc với AC tại C cắt AB và AD lần lợt tại E và F. Chứng minh :BE CF + DF CE = AC EF Câu 6: (1 điểm) Tìm x, y , z N * sao cho x + y + z = xyz Hớng dẫn chấm Câu 1: a) ta có )1()1( 1)1( 1)1( 1 22 ++ ++ = +++ nnnn nnnn nnnn = 1 11 )1( 1)1( + = + ++ nn nn nnnn b) áp dụng đẳng thức trên với n = 1, n = 2 n = 99. Ta có 2 1 1 22 1 = + 3 1 2 1 3223 1 = + 100 1 99 1 1009999100( 1 = + -------------------------------------- cộng theo từng vế S = 1 - 10 9 100 1 = Vậy S = 10 9 1.0 0.25 0.5 Câu 2: Điều kiện : x 0 Gọi M (x, y) là điểm cần tìm => (x, y) là nghiệm của Hệ ( ) ( ) 2023 11 2 =+ += xxyy xy Giải (2) ta có y 1 = 2 x y 2 = x Với y 1 = 2 x (1) trở thành x + 1 = x ú ( )1 x 2 = 0 ú x = 1 Với y 2 = x (1) trở thành x + 1 = x ú x - x + 1 = 0 ú ( x - 2 1 ) 2 + 4 3 = 0 vô n 0 vậy điểm M cần tìm: M (1, 2) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 3: Giải sử n 2 + 2006 là số chính phơng => n 2 + 2006 = m 2 (m Z) Ta có m 2 - n 2 = 2006 ú (m - n) (m + n) = 2006 Nếu m, n khác tính chẵn lẻ => m 2 , n 2 khác tính chẵn lẻ => m 2 - n 2 là số lẻ => vô lí Hay m, n cùng tính chẵn lẻ Khi đó { 2 4))((2)( nm nmnmnm + +<=> Nhng 2006 không chia hêt cho 4 vậy không tồn tại n N để n 2 + 2006 là số chính phơng 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4: Gọi C là giao điểm của 0A và (0) I là trung điểm 0C => I cố định Xét tam giác 0IM và tam giác 0MA Có góc Ô chung. 2 1 0 0 0 0 == A M M I (gt) => tam giác 0IM tam giác 0MA => AM = 2IM. Vậy MA + 2MB = 2 (IM + MB) 2BI không đổi Đẳng thức xảy ra ú B, M, I thẳng hàng. KL: P = MA + 2MB nhỏ hhất = 2BI khi B, M, I thẳng hàng. Khi đó M là giao điểm của BI và (0). 0.25 0.25 0.25 0.254 Câu 5: áp dụng định lý ta lét 1 =+ =+= AF DF AE AF EF CF AF DF EF CE AE BE nhân 2 vế với AE.AF ta có BE. AF + AE.DF = AE. AF 0.5 Lại có AE. AF = AC . EF = 2 S AEF Nên BE. AF + AE . DF = AC. EF (1) Mặt khác: AF 2 = CP . EF => AF = EFCF. DF 2 = CE. EF -> DF = EFCE. Thay vào (1): BE EFACEFCEDFEFCF . =+ ú BE CF + DF CE = AC EF 0.5 0.5 0.5 Câu 6: Ta có : x, y, z N * x + y + z = xyz ú 1 111 =++ yzxzxy (1) Do x ,y, z có vai trò bình đẳng nh nhau nên ta giả sử 1 x y z nên (1) <-> 1 = 2222 3111111 xxxxxzyzxy =++++ -> x 2 3 do x N * => x = 1 khi đó ta có 1 + y + z = yz ú (z-1) (y-1) = 2 do 11 1,1 yz Nyz => = = 21 11 z y => = = 3 2 z y vậy 3 số cần tìm là 1, 2 , 3 0.25 0.25 0.25 0.25