SKKN-PItago

Kinh nghiệm: Hớng dẫn học sinh khối lớp 7 và 8 học và áp dụng định lý Pytago Phần I đặt vấn đề Chơng trình hình học lớp 7 có một tầm quan trọng đặc biệt, vì ở lớp 7 học sinh chuyển từ việc công nhận các sự kiện hình học sang việc chứng minh các sự kiện đó. Chơng tam giác ( chơng 2 hình học lớp 7) bắt đầu làm công việc đó. Một trong các vấn đề chính của chơng là nội dung định lí Pytago. Từ năm học 2003 2004 trở về trớc, học sinh lớp 8 chắc hẳn sẽ lúng túng khi phải tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có độ dài cạnh bên bằng 1. Tuy nhiên, nếu đặt câu hỏi đó với một học sinh khối 7 vào cuối học kỳ I năm học 2003 2004 thì các em sẽ tính đợc ngay độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân đó bằng 2 . Chính nhờ có định lý Pytago và kiến thức về căn bậc hai đã giúp các em giải quyết nhanh chóng vấn đề đó. Hơn nữa, từ đây các em sẽ còn đợc thấy thế mạnh của những kiến thức đợc học trong nhà trờng có tầm quan trọng rất lớn trong cuộc sống thực tế. Và để giúp học sinh nắm vững chắc nội dung định lý Pytago, đồng thời vận dụng linh hoạt kiến thức đó tôi đã hệ thống lại vấn đề này theo một trình tự từ lý thuyết đến thực hành và từ dễ đến khó. Với học sinh lớp 8, các em sẽ đợc nghiên cứu sâu hơn về cách chứng minh định lý Pytago. Còn với học sinh lớp 7, tôi mong muốn các em sẽ vững vàng hơn trong cách lập luận mỗi khi đứng trớc một bài toán hình học nói chung và việc chứng minh hình học nói riêng. 1 Kinh nghiệm: Hớng dẫn học sinh khối lớp 7 và 8 học và áp dụng định lý Pytago Phần II Giải quyết vấn đề I Tình hình chung Nhìn chung, học sinh thờng ngại học hình vì hình học đòi hỏi các em phải cùng lúc kết hợp nhiều kĩ năng : vẽ hình, phân tích đề bài, lập luận và đôi lúc đòi hỏi phải có trí thông minh thì mới có thể hoàn thành đợc các vấn đề mà gv đa ra. Tuy nhiên, cũng vẫn có một bộ phận HS các em lại rất hứng thú học hình, vì thế ngời gv phải biết tận dụng tối đa u thế này đồng thời nhân rộng thêm các đối tợng HS đó bằng khả năng s phạm, phơng pháp truyền thụ và kiến thức, kinh nghiệm vốn có của mình. Học sinh đợc tiếp cận với định lí Pytago từ lớp 7 nhng cha có đủ kiến thức để chứng minh mà phải sang đến lớp 8 các em mới có đủ cơ sở để chứng minh định lí này. Học sinh lớp7 lại mới đợc làm quen với những kĩ năng trình bày một bài toán hình học đòi hỏi thực đến t duy logic và tính chặt chẽ cao, vì thế các em vẫn còn rất lúng túng mỗi khi vẽ hình và trình bày bài. Một số HS vẽ hình còn sai, đôi khi trình bày còn ngộ nhận. Việc phải kẻ thêm đờng phụ đối với các em còn rất mới mẻ và khó, ít HS nghĩ và làm đợc điều đó. 2 Kinh nghiệm: Hớng dẫn học sinh khối lớp 7 và 8 học và áp dụng định lý Pytago II Ph ơng pháp tiến hành - GV giới thiệu nội dung định lí Pytago - HS suy nghĩ và đề xuất hớng chứng minh ( khối 8) - GV phân tích, gợi mở giúp HS tìm ra cách chứng minh ( khối 8) - HS áp dụng lý thuyết vào thực hành và giải quyết đợc một số bài toán giàu tính thực tế. III Giới hạn Nội dung kinh nghiệm này tôi mới chỉ tập chung vào hai đối tợng HS là HS khối 7 và 8. Với HS khối 8 chủ yếu giúp các em biết cách chứng minh định lí Pytago, còn với HS khối7 vì lí do s phạm chúng ta không yêu cầu các em phải chứng minh. Nhng áp dụng vào thực tế thì đòi hỏi tất cả HS khi học xong một vấn đề gì đều phải biết ứng dụng nó. Và ở đây do thời gian có hạn nên tôi mới chỉ dừng lại ở định lí Pytago thuận, và cũng mới chỉ khai thác ở mức độ rất nhỏ với mong muốn củng cố kiến thức cơ bản, rèn cho HS một số kĩ năng tối thiểu khi học hình học. Mong rằng các bạn đồng nghiệp sẽ góp ý bổ sung cho tôi để kinh nghiệm đợc hoàn thiện và đầy đủ hơn. 3 Kinh nghiệm: Hớng dẫn học sinh khối lớp 7 và 8 học và áp dụng định lý Pytago IV- Nội dung A. Định lí Pytago: Trong một tam giác vuông, bình phơng cạnh huyền bằng tổng các bình phơng hai cạnh góc vuông B. Chứng minh: Tóm tắt: GT Cho tam giác ABC có góc A = 90 0 ; AB = c; BC = a; CA = b KL 222 cba += Chứng minh: H ớng phân tích thứ nhất: Từ a 2 , b 2 , c 2 ta liên hệ đến diện tích của các hình vuông có độ dài các cạnh là a, b, c. Nếu dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình vuông có cạnh lần lợt là BC, CA, AB thì đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với diện tích hình vuông có cạnh BC bằng tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh là AB và AC Ta tiếp tục đặt vấn đề: Liệu có thể chia hình vuông có cạnh BC thành hai hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích của hai hình vuông còn lại không? Từ đó ta phát hiện ra đờng HH , trong đó H là chân đờng vuông góc hạ từ A xuống BC 4 Kinh nghiệm: Hớng dẫn học sinh khối lớp 7 và 8 học và áp dụng định lý Pytago Cách 1 Dựng về phía ngoài tam giác ABC các hình vuông AEFB, BMNC, CPQA (hình 1) .Đờng cao AH cắt MN tại H .Đặt BH = c , CH = b . Ta cần chứng minh S CNHH = S ACPQ ; S BMHH = S ABFE Hay a.c = c 2 ; a.b = b 2 (*) Thật vậy, vì hai tam giác vuông ABC và HBA có chung góc ABC '22 cacHCHBAB AB BC HB AB === Tơng tự ta có b 2 = a.b Định lí đợc chứng minh và nếu biết đ- ợc (*) thì ta cũng không cần vẽ thêm các hình vuông phụ. h a q p c e f b m n h' Hình 1 5 Kinh nghiệm: Hớng dẫn học sinh khối lớp 7 và 8 học và áp dụng định lý Pytago H ớng phân tích thứ hai: Ta có ( ) ( ) 2 22222 2 1 .42 2 cbbcabccbacba +=++=+= Liên hệ với các công thức tính diện tích , ta nhận thấy a 2 và (b+c) 2 là diện tích các hình vuông có cạnh là a và b+c ; bc 2 1 là diện tích của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là b và c. Từ đây ta thử tìm cách dựng hình phụ và chứng minh Cách 2: Dựng hình vuông ADEF có cạnh là b+c ; B thuộc AD, C thuộc AF ( hình 2) Lấy bKEIFDEKEFI == /; . Ta nhận thấy FCIEIKDKBABC === Và BCIK là hình vuông ( ) 222 2 2 2 1 .4 .4 cbacbbca SSS SSSSSS ADEFABCBCIK ABEFFCIEIKDKBABCBCIK +=+=+ =+ =++++ a f e d k i c b c c c c b b b b Hình 2 6 Kinh nghiệm: Hớng dẫn học sinh khối lớp 7 và 8 học và áp dụng định lý Pytago H ớng phân tích thứ ba: Thay đổi cách nhìn một chút so với cách hai, ta thấy 222 cba += ( ) ( ) ( ) cbcbbcacbbca ++=++=+ 2 1 . 2 1 .2. 2 1 2 2 2 2 Trong đó vế phải là diện tích hình thang có hai đáy là b, c và chiều cao là b+c. Cách 3 Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF = c . Dựng điểm D thuộc nửa mặt phẳng bờ AE chứa điểm B , DE vuông góc với AE , DE = b (hình 3) Ta nhận thấy rằng ABDE là hình thang vuông có hai đáy AB = c , DE = b , đờng cao AE = b+c, BCDECDABC = ; vuông cân tại C có cạnh bên là a ( ) ( ) 222 2 2 1 .2. 2 1 . 2 1 .2 cba bcacbcb SSS SSSS ABCBCDABDE EDCABCBCDABDE += +=++ += ++= b e d a c c a b b Hình 3 7 Kinh nghiệm: Hớng dẫn học sinh khối lớp 7 và 8 học và áp dụng định lý Pytago H ớng phân tích thứ t : Ta thấy : ( ) ( ) bccbabccbacba . 2 1 .42 2 22222 2 +=+=+= Cách 4: Không mất tính tổng quát, giả sử b > c. Dựng hình chữ nhật ABA C ; hình vuông BCED (chứa A) . Trên BA lấy điểm B sao cho BB = c ; trên DB lấy điểm C sao cho DC = c; CA cắt EC tại D (hình 4) Ta chứng minh đợc những kết quả sau: A B C D lầ hình vuông có cạnh là b c ( ) 222 2 2 '''' '''''''' . 2 1 .4 .4 cba bccba SSS SSSSSS ABCDCBABCED ECDDECBDBBCADCBABCED += += += ++++= b c e d c' d' a' b' a b - c c c b a a Hình 4 C. Một vài áp dụng Sau khi học xong định lí Pytago HS đã có thể giải đợc các bài toán thực tế : - Tính đợc đờng chéo của hình chữ nhật khi biết chiều dài và chiều rộng (bài 59- Sgk Toán 7) - Biết chiều dài của chiếc thang và khoảng cách từ chân thang đến tờng sẽ tính đợc chiều cao bức tờng(bài 55 -Sgk Toán 7) Trong lúc anh Nam dựng tủ cho đứng thẳng, tủ có bị vớng vào trần hay không? (bài 58- Sgk Toán 7) - Con cún có đến đợc bốn góc vờn để bảo vệ khu vờn hay không? (bài 62- Sgk Toán 7) 8 Kinh nghiệm: Hớng dẫn học sinh khối lớp 7 và 8 học và áp dụng định lý Pytago Trong kinh nghiệm này, tôi xin hệ thống lại một vài ứng dụng của định lí Pytago mà tôi cảm thấy rất tâm đắc mỗi khi dậy cho học sinh về vấn đề này . 1. Bài toán tính độ dài đoạn thẳng Bài 1: Tính độ dài x ; y trên các hình vẽ sau: H ớng dẫn Hình a: áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABH, ta có: AB 2 = AH 2 + BH 2 AH 2 = AB 2 - BH 2 = 81 9 = 72 áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABH, ta có: AC 2 = AH 2 + CH 2 CH 2 = AC 2 - AH 2 = 121 72 = 49 Vậy x = 7 b c a 11 9 3 x h Hình a Hình b: Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với BD tại H .Thế thì : AH = CD = 8; AC = DH = 6, do đó BH = 4 áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABH, ta có : AB 2 = AH 2 + BH 2 x 2 = 64 + 16 = 80 A B C D 1 0 8 6 x 9 Kinh nghiệm: Hớng dẫn học sinh khối lớp 7 và 8 học và áp dụng định lý Pytago Vậy x = 80 Hình b Hình c: áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ABH và ACH , ta có: x 2 = 16 2 + AH 2 ; y 2 = 9 2 + AH 2 . Do đó : x 2 y 2 = 175 (1) áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có : x 2 + y 2 = (16+9) 2 = 625 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x 2 = 400 , y 2 = 225 Vậy x = 20, y = 15 c b a h 9 16 y x Hình c Hình d: Ta thấy gócABC = 60 0 . Do BD là phân giác của góc B nên Góc ABD = góc CBD = 30 0 , do đó tam giác BDC cân tại D suy ra BD = CD (1) Lại thấy, trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc 30 0 bằng một nửa cạnh huyền nên AD = 2 BD (2) Mặt khác AC = AD + DC (3) Từ (1), (2), (3) suy ra AC = 3. AD hay 3x = 3 . Vậy x = 1 A D B C 3 30 x Hình d 10