CH 4. PH NG TR NH B C 2 V NH L VI T

CH 4. PH NG TR NH B C 2 V NH L VI T tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các l...

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ VÀ ĐỊNH LÝ VI-ÉT LUYỆN THI VÀO 10 A KIẾN THC CN NH: I Định nghĩa : Phơng trình bậc hai ẩn phơng trình có dạng ax bx c x ẩn; a, b, c số cho trớc gọi hệ số a II Công thức nghiệm phơng trình bậc hai : Phơng trình bËc hai ax  bx  c  0(a  0)   b2  4ac *) NÕu  phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1  b   b   ; x2 2a 2a *) Nếu phơng trình cã nghiÖm kÐp : x1  x  b 2a *) Nếu phơng trình vô nghiệm III Công thức nghiệm thu gọn : Phơng trình bậc hai ax  bx  c  0(a  0) vµ b  2b'  '  b '2 ac *) Nếu ' phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt : x1  *) NÕu ' phơng trình có nghiệm kép : x1  x  b ' a b '  ' b '  ' ; x2  a a *) Nếu ' phơng trình vô nghiƯm IV HƯ thøc Vi - Et vµ øng dơng : Nếu x1; x2 hai nghiệm phơng tr×nh ax  bx  c  0(a  0) th× : b   x1  x   a  x x  c  a Muốn tìm hai số u v, biÕt u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình : x Sx P  Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top H Ni Facebook: https://www.facebook.com/N.Quy.Huy (Điều kiện để có u vµ v lµ S2  4P  ) Nếu a + b + c = phơng tr×nh ax  bx  c  0(a  0) cã hai nghiÖm : c a NÕu a - b + c = phơng trình ax  bx  c  0(a  0) cã hai nghiÖm : c x1  1; x   a x1  1; x  IV: Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc im cho trc: Tìm điều kiện tổng quát để phơng tr×nh ax2+bx+c = (a  0) cã: Cã nghiƯm (cã hai nghiƯm)    V« nghiÖm   < NghiÖm nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiÖm b»ng nhau)   = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > Hai nghiƯm cïng dÊu   vµ P > Hai nghiƯm tr¸i dÊu   > vµ P <  a.c < Hai nghiƯm d¬ng(lín h¬n 0)   0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0) 0; S < P > Hai nghiƯm ®èi   S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo P = 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S > B MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI: Bài Giải phơng trình sau : a / 2x   c / 2x  3x   b / 3x  5x  d / x  3x   x2 f/ 3 x 5 2x e / x3  3x  2x   Gi¶i a / 2x    2x   x  x Vậy phơng trình có nghiệm x  2 2 Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top Hà Nội Facebook: https://www.facebook.com/N.Quy.Huy x  x  b / 3x  5x   x(3x  5)    x  3x    VËy phơng trình có nghiệm x 0; x c / 2x  3x   NhÈm nghiÖm : Ta cã : a - b + c = - - + = => phơng trình có nghiệm : x1 1; x   5  2 d / x  3x   §Ỉt t  x (t  0) Ta có phơng trình : t 3t a+b+c=1+3-4=0 => phơng trình có nghiệm : t1   (tháa m·n); t2    4  (lo¹i) Với: t   x   x  1 VËy phơng trình có nghiệm x e / x  3x  2x    (x  3x )  (2x  6)   x (x  3)  2(x  3)   (x  3)(x  2)  x    x  3  x  3    x   x  x Vậy phơng trình có nghiệm x  3; x   x2 (§KX§ : x  2; x  ) 3 x 5 2x x2 Phơng trình : x 2x (x  2)(2  x) 3(x  5)(2  x) 6(x  5)    (x  5)(2  x) (x  5)(2  x) (x  5)(2  x)  (x  2)(2  x)  3(x  5)(2  x)  6(x  5) f/   x  6x  3x  30  15x  6x  30  4x  15x     152  4.(4).4  225  64  289  0;   17 15  17   (tháa m·n §KX§) => phơng trình có hai nghiệm : x1 2.(4) 15  17 x2   (tháa m·n §KX§) 2.(4) Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top H Ni Facebook: https://www.facebook.com/N.Quy.Huy Bài Cho phơng trình bËc hai Èn x, tham sè m : x  mx  m   (1) a/ Giải phơng trình với m = - b/ Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình Tính x12  x 22 ; x13  x 32 theo m c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 tháa m·n : x12  x 22  d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = - Tính nghiệm lại f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu g/ Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào giá trị m HNG DN GII: a/ Thay m = - vào phơng trình (1) ta có phơng trình : x 2x   (x  1)   x 1   x 1 VËy víi m = - phơng trình có nghiệm x = b/ Phơng trình : x mx  m   (1) Ta có:   m2  4(m  3)  m2  4m 12 Phơng trình có nghiệm x1; x    x1  x  m  x1x  m  Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã :  (a) (b) *) x12  x 22  (x1  x )2  2x1x  (m)2  2(m  3)  m2  2m  *) x13  x32  (x1  x )3  3x1x (x1  x )  (m)3  3(m  3)(m)  m3  3m2  9m c/ Theo phÇn b : Phơng trình có nghiệm x1; x Khi ®ã x12  x 22  m2  2m  Do ®ã x12  x 22   m2  2m    m2  2m 15   '(m)  (1)2  1.(15)   15  16  0; (m)  1 1  5; m2   3 1 +) Víi m     7  => lo¹i +) Víi m  3     => thỏa mÃn => phơng trình có hai nghiệm : m1  Thư l¹i : VËy víi m = - phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mÃn : x12  x 22  d/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm x1; x     x1  x  m  x1x  m  Khi ®ã theo định lý Vi-et, ta có : (a) (b) Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top Hà Nội Facebook: https://www.facebook.com/N.Quy.Huy HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = (c) Từ (a) (c) ta có hệ phơng tr×nh : x1  x  m 3x  3x  3m x  3m  x  3m      2x1  3x  2x1  3x  x  m  x1 x  2m   x1  3m  vào (b) ta có phơng trình : x  2m  Thay  ( 3m  5)(2m  5)  m   6m  15m  10m  25  m   6m  26m  28   3m  13m  14   ( m)  132  4.3.14   13 2.3 => phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt : 13  m2   2.3 Thư l¹i : +) Víi m  2    => tháa m·n 7 25 +) Víi m      => tháa m·n VËy víi m  2; m phơng trình có hai nghiệm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = e/ Phơng trình (1) có nghiệm x1 (3)2  m.(3)  m    2m  12   m  m1  Khi ®ã : x1  x  m  x  m  x1  x  6  (3)  x  3 VËy víi m = phơng trình có nghiệm x1 = x2 = - f/ Phơng trình (1) có hai nghiƯm tr¸i dÊu  ac   1.(m  3)   m    m  3 VËy víi m < - th× phơng trình có hai nghiệm trái dấu g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1; x2 Khi theo ®Þnh lÝ Vi-et, ta cã :  x1  x  m m   x1  x    x1  x  x1x    x1x  m  m  x1x  Vậy hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – = Bài 3: Cho phơng trình (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? Thy Huy_Toỏn MathMap_Luyn thi vào 10 Top Hà Nội Facebook: https://www.facebook.com/N.Quy.Huy c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? hÃy tìm nghiệm lại(nếu có)? HNG DN GIẢI: a) + NÕu m-1 =  m = (1) có dạng 2x - =  x = (lµ nghiƯm) + NÕu m Khi (1) phơng trình bậc hai cã: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cã nghiÖm  ’ = 3m-2   m  phơng trình có nghiệm 3 b) + Nếu m-1 =  m = th× (1) cã dạng 2x - = x = (là nghiệm) + Kết hợp hai trờng hợp ta cã: Víi m  + NÕu m ≠ Khi (1) phơng trình bậc hai có: = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cã nghiÖm nhÊt  ’ = 3m-2 =  m = Khi ®ã x =  (tho¶ m·n m ≠ 1) 1  3 m 1 1 +VËy với m = phơng trình có nghiệm nhÊt x = víi m = 2 th× phơng trình có nghiệm x = 3 c) Do phơng trình có nghiệm x1 = nên ta cã: (m-1)22 + 2.2 - =  4m – =  m = Khi ®ã (1) phơng trình bậc hai (do m -1 = Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 = VËy m = -1=  ≠ 0) 4 3 3   12  x  m nghiệm lại x2 = Bài 4: Cho phơng tr×nh: x2 -2(m-1)x - - m = a) Chứng tỏ phơng trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiƯm tr¸i dÊu Thầy Huy_Tốn MathMap_Luyện thi vào 10 Top H Ni Facebook: https://www.facebook.com/N.Quy.Huy c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phơng trình thoả mÃn x12+x22 10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m f) H·y biĨu thÞ x1 qua x2 HƯỚNG DẪN GIẢI: 15 a) Ta cã: ’ = (m-1)2 – (– – m ) =  m     2 15 Do  m    víi mäi m;    > víi mäi m  2  Ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt Hay phơng trình có hai nghiệm (đpcm) b) Phơng trình có hai nghiƯm tr¸i dÊu  a.c <  – – m <  m > -3 VËy m > -3 c) Theo ý a) ta có phơng trình có hai nghiệm Khi theo định lí Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3) Khi phơng trình có hai nghiệm âm S < P > 2(m  1)  m     m  3  (m  3)  m  3 VËy m < -3 d) Theo ý a) ta có phơng trình có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3) Khi ®ã A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bµi A  10  4m2 – 6m   2m(2m-3)   m    m   m    m  2 m         m   m     m   2m    m   VËy m  hc m  Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top Hà Nội Facebook: https://www.facebook.com/N.Quy.Huy e) Theo ý a) ta cã phơng trình có hai nghiệm x1 x2  2(m  1)  x  x  2m     x1 x2  (m  3) 2 x1 x2  2m  Theo định lí Viet ta có: x1 + x2+2x1x2 = - VËy x1+x2+2x1x2+ = lµ hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuéc m f) Tõ ý e) ta cã: x1 + x2+2x1x2 = -  x1(1+2x2) = - ( +x2)  x1   VËy x1    x2  x2  x2  x2 ( x2   ) Bài 5: Cho phơng trình: x2 + 2x + m-1= ( m tham số) a) Phơng trình có hai nghiệm nghịch đảo b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mÃn 3x1+2x2 = c) Lập phơng trình ẩn y thoả m·n y1  x1  1 ; y  x2  víi x1; x2 lµ nghiƯm cđa x2 x1 phơng trình HNG DN GII: a) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = – m Phơng trình có hai nghiệm nghịch đảo '  2  m  m     m2 m   m  P  VËy m = b) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = m Phơng trình có nghiệm  – m   m  (*) Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bµi: 3x1+2x2 = (3)  x1  x2  2 2 x  x2  4 x  x     3x1  x2  3x1  x2   x1  x2  2  x2  7 Tõ (1) vµ (3) ta cã:  ThÕ vµo (2) ta cã: 5(-7) = m -1  m = - 34 (tho¶ m·n (*)) VËy m = -34 giá trị cần tìm d) Với m phơng trình đà cho có hai nghiệm Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2) Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top Hà Nội Facebook: https://www.facebook.com/N.Quy.Huy Khi ®ã: y1  y  x1  x2  y1 y  ( x1  x  x2 1 2 2m   x1  x2   2   (m≠1) x1 x2 x1 x2 m 1 1 m 1 1 m2 (m≠1) )( x2  )  x1 x2    m 1 2 x2 x1 x1 x2 m m y1; y2 nghiệm phơng tr×nh: y2 - m2 2m y + = (m≠1) m 1 m Phơng trình ẩn y cần lập lµ: (m-1)y2 + 2my + m2 = C MỘT S BI TP T LUYN Bài 1Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + = (1) Tìm tất số nguyên m để phơng trình (1) có nghiệm nguyên HDẫn : * m = : -2x + =  x  * m : m - + (-2m) +m +1 =  x1  ; x2   m   1;2  m   1;0;2;3 m 1  1 m 1 m Bài 2: Cho phơng trình x2 + (2m - 5)x - 3n = Xác định m n để phơng trình có nghiệm -2 HDÉn : 6m  3n  m    4m  3n  14 n  Bài 3: Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau có nghiệm : mx2 + (mn + 1)x + n = HDÉn :  m  m  2      n  m    mn  1  n  Bài 4: Cho hai phơng trình : x2 - 3x + 2m + = (1) vµ x2 + x - 2m - 10 = (2) CMR : Víi mäi m, Ýt nhÊt phơng trình có nghiệm HDẫn :    26 >  cã biệt số không âm Thy Huy_Toỏn MathMap_Luyn thi vo 10 Top Hà Nội Facebook: https://www.facebook.com/N.Quy.Huy Bµi 5: Cho hai phơng trình : x2 + (m - 2)x + m =0 (1) vµ 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = (2) CMR víi mäi m, Ýt nhÊt ph¬ng trình có nghiệm HDẫn : (m  1)(m  4) ;   16(1  m)(m  4) 1   16(m  1) (m  4)   cã biệt số không âm Bài 6: Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nhÊt nghiÖm chung x2 + 2x + m = x2 + mx + = : + m =2 : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x +2 = ( v« nghiƯm) + m  : x = ; m = -3 Bài 7: Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x2 + (m - 2)x + = 2x2 + mx + (m + 2) = HDÉn : (m -2)x = m - : + m = : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x +3 = ( v« HDÉn : (m - 4)x = m - nghiÖm) + m  : x = ; m = -2 Bµi : Gäi x1 vµ x lµ nghiệm phơng trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = (1) Tìm giá trị k để nghiệm phơng trình (1) tho¶ m·n : 3x1  5x2  HDÉn : *   (3k  4)   k   k  * k   32 15  (t/m) Bµi : Cho phơng trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + = Xác định m để hai nghiÖm x1 , x2 ta cã hÖ thøc : 3x1 x2  5( x1  x2 )   HDÉn : *   4m    m  m  * m   lo¹i m = Bài 10: Cho phơng trình x 2m  2x  m   Gäi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để x1 x2  x2 1  x1   m Thầy Huy_Toán MathMap_Luyện thi vào 10 Top Hà Nội Facebook: https://www.facebook.com/N.Quy.Huy 10 HDÉn : 3 *  =  m     2  ' m  m  2 * x1 1  x2   x2 1  x1   m  x1  x2  x1 x2  m  mm  2 Bài 11: Cho phơng trình x  2m  3x  2m   (1) 1  m x1  x Gọi hai nghiệm phơng trình (1) x1, x2 hÃy tìm m để HDẫn : *  = m  42  *  33 1   m  2m  m    m  x1  x  Bµi 11: Cho phơng trình x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm thoả mÃn: - 2