Đang tải... (xem toàn văn)
DA De MH Toan K17 v1 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2008-2009 KHÓA NGÀY 18-06-2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm): ! !"# $$% 2x m 1 mx 1 ≥ − ≥ &'()%# Câu 2(4 điểm):(*+$(,-(. / a b c (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) + + − − − − − − $0+(1& $2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2x 1 x 2x 1 + − + − − + − − − − 3 Câu 3(2 điểm):4$'56+-7()89:$::';6'$# 4,<. $ ' 56=>$-7?# $$3'# Câu 4 (2 điểm): 4$56-7@ A$#BC $56-7()8 '#DE)# $4-7@-) ) ) 56+-7()8#4, F ) F G56+-7()8# Câu 5 (3 điểm):4HIJH0?KB#L&4(&HIJ0M4D;(1;N KB40+K;6BOD(&KB#PHIQ4$+0?4DRHIJST;6U#4,TU V((>4D# Câu 6 (3 điểm):4 W KB4X(S$<#8SK45%)+TU-∠KBT∠ 4BU #Y*Z56(>BU;6[568SB4-B[BZ#?='8 \ ] W W B4U;6 W BU[# Câu 7 (2 điểm): 4$56-7@- F $ F #4,^$:# _____J_____ Gợi ý giải đề thi môn toán chuyên Câu 1: a∆ `a FFb;N*85(1Q$ # ./;62`# T.! !"⇔ `c⇔/ 2`c ⇔ ``c⇔a FF`c ⇔ a Aa⇔ a⇔±# de) f4B⇔±# b 2x m 1 (a) mx 1 (b) ≥ − ≥ # .⇔3 m 1 2 − # gh$.ib.$⇔3 1 m # i.$⇔3d[ i^.$⇔: 1 m # de)'()%⇔ m 0 1 m 1 m 2 < − = ⇔ 2 m 0 m m 2 0 < − − = ⇔# Câu 2: / a b c (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) + + − − − − − − $0+(1& a(c b) b(a c) c(b a) (a b)(b c)(c a) − + − + − − − − ac ab ba bc cb ca (a b)(b c)(c a) − + − + − − − − # $2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2x 1 x 2x 1 + − + − − + − − − − 3 2 2 2 ( x 1 1) ( x 1 1) 2x 2 2x 1 2x 2 2x 1 − + + − − + − − − − 2 2 2 x 1 1 x 1 1 ( 2x 1 1) ( 2x 1 1) − + + − − − + − − − 2 x 1 1 x 1 1 2x 1 1 2x 1 1 − + + − − − + − − − 2 x 1 1 x 1 1 2x 1 1 ( 2x 1 1) − + + − − − + − − − ;38 x 1 1− ≥ ;6 2x 1− 3 2 x 1− # Câu 3:4$'56+-7()8 :$::';6'$# d:$::'8j$0;6'0∈[ k''$⇔$0$⇔0# de)$0;6'0# T. $ ' $0 $ 0 $ 0 $00 $ $ $ 0 $$000 $ $0 0 56=>$-7?'$$0;6056+-7()8 $'$00$$000 $0$0 :$;0∈[;6$: de)':$P24Z Câu 4: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2017 Môn: TOÁN ĐỀ MINH HỌA (Đề gồm có 08 trang) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số ? A y x x B y x 3x C y x x D y x 3x Câu Cho hàm số y f ( x) có lim f ( x) lim f ( x) Khẳng định sau x x khẳng định ? A Đồ thị hàm số cho tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng y y D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng x x Câu Hỏi hàm số y x đồng biến khoảng ? 1 A ; 2 C ; B (0; ) D ( ; 0) Câu Cho hàm số y f ( x) xác định, liên tục có bảng biến thiên : x y' + + + + y 1 Khẳng định sau khẳng định ? A Hàm số có cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ 1 D Hàm số đạt cực đại x đạt cực tiểu x Câu Tìm giá trị cực đại yCĐ hàm số y x3 x A yCĐ B yCĐ C yCĐ D yCĐ 1 Câu Tìm giá trị nhỏ hàm số y x2 đoạn [2; 4] x 1 A y C y [2; 4] B y [2; 4] D y [2; 4] [2; 4] 19 Câu Biết đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số y x3 x điểm nhất; kí hiệu ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm Tìm y0 A y0 B y0 C y0 D y0 Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y x 2mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m B m C m D m Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số x 1 có hai tiệm cận ngang y mx A Không có giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu đề C m D m B m Câu 10 Cho nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhôm bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x (cm), gập nhôm lại hình vẽ để hộp không nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x B x C x D x Câu 11 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y biến khoảng 0; 4 A m m B m C m tan x đồng tan x m D m Câu 12 Giải phương trình log ( x 1) A x 63 B x 65 C x 80 D x 82 Câu 13 Tính đạo hàm hàm số y 13x A y ' x.13 x 1 x B y ' 13 ln13 13x D y ' ln13 x C y ' 13 Câu 14 Giải bất phương trình log (3x 1) A x B x 3 C x D x 10 Câu 15 Tìm tập xác định D hàm số y log ( x x 3) A D ( ; 1] [3; ) B D [ 1; 3] C D ( ; 1) (3; ) D D (1; 3) Câu 16 Cho hàm số f ( x ) x.7 x Khẳng định sau khẳng định sai ? A f ( x) x x log B f ( x ) x ln x ln C f ( x ) x log x D f ( x) x log Câu 17 Cho số thực dương a, b, với a Khẳng định sau khẳng định ? A log a ( ab) log a b B log a (ab) 2log a b 1 C log a ( ab) log a b D log a (ab) log a b 2 Câu 18 Tính đạo hàm hàm số y x 1 4x 2( x 1)ln 22 x 2( x 1)ln C y ' 2x 2( x 1)ln 22 x 2( x 1)ln D y ' 2x A y ' B y ' Câu 19 Đặt a log , b log Hãy biểu diễn log 45 theo a b A log 45 a 2ab ab a 2ab C log 45 ab b B log 45 2a 2ab ab 2a 2ab D log 45 ab b Câu 20 Cho hai số thực a b, với a b Khẳng định khẳng định ? A log a b log b a B log a b log b a C log b a log a b D log b a log a b Câu 21 Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần trả hết tiền nợ sau tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ông A hoàn nợ A m 100.(1,01)3 (triệu đồng) B m (1,01)3 (triệu đồng) (1,01)3 C m 100 1,03 (triệu đồng) D m 120.(1,12)3 (triệu đồng) (1,12)3 Câu 22 Viết công thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y f(x), trục Ox hai đường thẳng x a, x b (a b), xung quanh trục Ox b b B V f ( x)dx A V f ( x )dx a a b b C V f ( x)dx D V | f ( x) | dx a a Câu 23 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) x (2 x 1) x C C f ( x)dx 2x C A f ( x )d x (2 x 1) x C D f ( x )dx 2x C B f ( x)dx Câu 24 Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t ) 5t 10 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét ? A 0,2m B 2m C 10m D 20m Câu 25 Tính tích phân I cos3 x.sin x dx A I B I C I D I e Câu 26 Tính tích phân I x ln x dx 1 A I 2 e 2 B I e2 C I e2 D I Câu 27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x3 x đồ thị hàm số y x x A 37 12 B C 81 12 D 13 Câu 28 Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2( x 1)e x , trục tung trục hoành Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox C V e B V (4 2e) A V 2e D V (e 5) Câu 29 Cho số phức z 2i Tìm phần ... Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007 - 2008 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang) Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng a ---------------------------------------------- Câu Nội dung Biểu điểm Câu 1: 6,0 a. (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1). 3,0 ĐK: x 0; Đặt t = x , t 0. 0,5 (1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t 2 + 3 - m = 0 <=> m = 2 2 2t 3t 3 t t 1 + + (2) 0,5 Xét f(t) = 2 2 2t 3t 3 t t 1 + + , t 0 ; f / (t) = 2 2 2 t 2t (t t 1) + . 0,5 f / (t) = 0 <=> t 0 t 2 = = 0,5 Bảng biến thiên t 0 2 + 0,5 f / (t) 0 + f(t) 3 2 5 3 Phơng trình (1) có nghiệm <=> phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn t 0. 0,25 <=> 5 m 3 3 . 0,25 b. 3 sinx cosx x > ữ (1). 3,0 (1) <=> tgx.sin 2 x - x 3 > 0. Xét f(x) = tgx.sin 2 x - x 3 ; x (0; ) 2 . 0,25 f / (x) = tg 2 x + 2sin 2 x - 3x 2 . f // (x) = 2tgx. 2 1 cos x + 4sinx.cosx - 6x = 3 2sin x cos x + 2sin2x - 6x. f /// (x) = 4 2 2 6 2cos x 6sin x.cos x 4cos2x 6 cos x + + 0,25 0,25 0,25 Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng A1 = 2 2 2 4 2cos x 6sin x 8cos x 10 cos x + + − = 6 4 2 4 8cos x 10cos x 4cos x 6 cos x − − + = 2 2 2 4 2(cos x 1) (4cos x 3) 0 cos x − + > ; x (0; ) 2 π ∀ ∈ . 0,5 => f // (x) ®ång biÕn trªn (0; ) 2 π => f // (x) > f // (0) = 0 , x (0; ) 2 π ∀ ∈ . 0,5 => f / (x) ®ång biÕn trªn (0; ) 2 π => f / (x) > f / (0) = 0 , x (0; ) 2 π ∀ ∈ . 0,5 => f(x) ®ång biÕn trªn (0; ) 2 π => f(x) > f(0) = 0 , x (0; ) 2 π ∀ ∈ . 0,5 Bµi 2. 6,0 a. 3,0 x + y = 3 <=> y = 3 - x. Ta cã x 0 y 1 ≥ ≥ => x [ ] 0;2∈ . 0,5 Thay vµo P: P = x 3 + 2(3 - x) 2 + 4x(3 - x) - 5x + 3x 2 = x 3 + x 2 - 5x + 18. 0,5 XÐt f(x) = x 3 + x 2 - 5x + 18 ; x [ ] 0;2∈ ; f / (x) = 3x 2 + 2x - 5. 0,5 f / (x) = 0 <=> x 1 5 x (lo ) 3 ¹i = − = 0,5 Ta cã: f(0) = 18 ; f(1) = 15 ; f(2) = 20. 0,5 VËy max P 20 t min P 15 t ¹i x = 2 ; y = 1 ¹i x = 1 ; y = 2 = = 0,25 0,25 b. 3,0 x y 2 2 sinx e (1) sin y 3 8x 3 1 6 2y 2y 1 8y (2) x, y 0; (3) 4 − = + + = − + + π ∈ ÷ Ta cã (1) <=> / x y sin x sin y (1 ) e e = . 0,25 XÐt f(t) = t sin t e , t 0; 4 π ∈ ÷ . f / (t) = t 2t t t 2.cos(t ) e (cos t sin t) cos t sin t 4 0 , t (0; ) 4 e e e π + − − π = = > ∀ ∈ . 0,25 0,25 Trang / 5 - To¸n 12 THPT - B¶ng A2 => f(t) đồng biến trên 0; 4 ữ . Khi đó từ (1 / ) => x = y. 0,25 Thay vào (2) ta đợc: 2 2 3 8x 3 1 6 2x 2x 1 8x+ + = + + <=> 2 2 3( 8x 3 8x 8x 4) 8x 1+ + = <=> 3(8x - 1) = (8x - 1)( 2 2 8x 3 8x 8x 4+ + + ) <=> (8x - 1)( 2 2 8x 3 8x 8x 4+ + + - 3) = 0 <=> 2 2 8x 1 0 8x 3 8x 8x 4 3 0 (*) = + + + = 0,5 0,5 Xét phơng trình (*) ta có: 2 2 8x 3 8x 8x 4+ + + - 3 = 2 2 8x 3 2(2x 1) 2 3+ + + 3 2 3 0+ > => phơng trình (*) vô nghiệm. 0,5 Với 8x - 1 = 0 <=> x = 1 0; 8 4 ữ Vậy hệ có nghiệm 1 x 8 1 y 8 = = 0,25 0,25 Bài 3. 2,5 Với n N * , xét f(x) = x 1 x n 2008 + ; x R. f / (x) = - x ln 2008 2008 - 1 < 0 x R. => f(x) nghịch biến trên R (1). 0,25 0,25 Ta có: n n 1 1 f (n) 0 2008 1 f (n 1) 1 0 2008 + = > + = < => f(x) = 0 có nghiệm x n (n; n + 1) (2). Từ (1) và (2) => đpcm. 0,25 0,25 Ta có: x n - n = n x 1 2008 > 0 => x n > n. => 0 < x n - n < n 1 2008 . 0,25 0,25 Mặt khác: lim n 1 0 2008 = => lim(x n - n) = 0. 0,5 Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng A3 Khi đó lim(x n - 1 - x n ) = lim{[x n + 1 - (n + 1)] - (x n - n) + 1} = 1. 0,5 Bài 4. 5,5 a. Gọi C(a; b) 2,5 S = 1 2 CH.AB (1). Ta có: AB = 2 0,25 Phơng trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = a b 5 2 do đó: (1) <=> a b 5 3 1 . . 2 a b 5 3 2 2 2 = = . <=> a b 8 a b 2 = = 0,25 0,25 0,25 Toạ độ G( a 5 b 5 ; 3 3 + ) Ta có: G <=> 3(a 5) b 5 8 0 3 3 + = <=> 3a - b = 4. 0,5 TH 1 : a b 8 a 2 3a b 4 b 10 = = = = => C(-2; -10) 0,25 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 65 89+ + => r = KỲ THI TUYỂN SINH THPT NĂM HỌC 2009 -2010 MÔN : TOÁN (Hệ số 2) ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang I- Hướng dẫn chung: 1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi. 3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số. II- Đáp án và thang điểm: CÂU ĐÁP ÁN Điểm Câu 1a. (2,0đ) Ta có phương trình : 4 3 2 x + ax +x +ax + 1 = 0 (1) Khi a =1 , (1) 4 3 2 x +x +x +x+1= 0 (2)⇔ Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm. Chia 2 vế của (2) cho x 2 ta được: 2 2 1 1 x + + x + +1= 0 x x (3). Đặt 1 1 1 t = x+ t x+ x + 2 x x x ⇒ = = ≥ và 2 2 2 1 x + t -2 x = . Phương trình (3) viết lại là : 2 t + t - 1 = 0 Giải (3) ta được hai nghiệm 1 1 5 t 2 − + = và 2 1 5 t 2 − − = đều không thỏa điều kiện |t|≥ 2.Vậy với a = 1, phương trình đã cho vô nghiệm. 0,50 0,50 0,50 0,50 Câu1b. (2,0đ) Vì x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên ta cũng chia 2 vế cho x 2 ta có phương trình : 2 2 1 1 x + +a x + +1= 0 x x ÷ . Đặt 1 t = x + x , phương trình sẽ là : t 2 + at - 1 = 0 (4). Do phương trình đã cho có nghiệm nên (4) có nghiệm |t| ≥ 2. Từ (4) 0,50 0,50 Hướng dẫn chấm môn Toán – Trang 1 suy ra 2 1- t a t = . Từ đó : 2 2 2 2 (1 - t ) a >2 2 t ⇔ > 2 2 t (t - 4) 1 0 (5)⇔ + > Vì |t| ≥ 2 nên t 2 >0 và t 2 – 4 ≥ 0 , do vậy (5) đúng, suy ra a 2 > 2. 0,50 0,50 Câu 2a. (2,0đ) x + 3 + 6 - x - (x + 3)(6 - x) 3 (1)= Điều kiện : x+3 0 -3 x 6 6-x 0 ≥ ⇔ ≤ ≤ ≥ . Đặt : 2 2 x + 3 , , 0 9. v = 6 - x u u v u v = ≥ ⇒ + = Phương trình đã có trở thành hệ : 2 2 2 u + v = 9 (u + v) - 2uv = 9 u + v - uv = 3 u + v = 3 + uv ⇔ Suy ra : (3+uv) 2 -2uv = 9 uv = 0 u = 0 uv = -4 v = 0 ⇔ ⇔ x+3 = 0 x = -3 x = 6 6-x = 0 ⇔ ⇔ . Vậy phương trình có nghiệm là x =-3 , x = 6. 0,50 0,50 0,50 0,50 Câu 2b. (2,0đ) Ta có hệ phương trình : 2 2 x+y+z=1 x+y = 1-z 2x+2y-2xy+z =1 2xy = z +2(x+y)-1 ⇔ 2 2 x + y = 1 - z 2xy = z - 2z + 1 = (1- z) ⇔ 2 2xy = (x + y)⇔ ⇔ 2 2 x + y = 0 x = y = 0 z = 1⇔ ⇒ . Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1). 0,50 0,50 0,50 0,50 Câu 3. (3,0đ) Ta có : 3x 2 + 6y 2 + 2z 2 +3y 2 z 2 -18x = 6 (1) 2 2 2 2 2 3(x-3) + 6y + 2z + 3y z 33 (2)⇔ = Suy ra : z 2 M 3 và 2z 2 ≤ 33 Hay |z| ≤ 3. Vì z nguyên suy ra z = 0 hoặc |z| = 3. a) z = 0 , (2) ⇔ (x-3) 2 + 2y 2 = 11 (3) Từ (3) suy ra 2y 2 ≤ 11 ⇒ |y| ≤ 2. 0,50 0,50 Hướng dẫn chấm môn Toán – Trang 2 Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn. Với |y| = 1, từ (3) suy ra x ∈ { 0 ; 6}. b) |z| = 3, (2) ⇔ (x-3) 2 + 11 y 2 = 5 (4) Từ (4) ⇒ 11y 2 ≤ 5 ⇒ y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa mãn. Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0 ;-1;0) ; (6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0). 0,50 0,50 0,50 0,50 Câu 4a. (2,0đ) 3 3 3 abc xyz (a+x)(b+y)(c+z) (1)+ ≤ Lập phương 2 vế của (1) ta được : 2 2 3 3 abc + xyz + 3 (abc) xyz +3 abc(xyz) (a+x)(b+y)(c+z)≤ 2 2 3 3 abc + xyz+ 3 (abc) xyz +3 abc(xyz)⇔ ≤ abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz 2 2 3 3 3 (abc) xyz +3 abc(xyz) (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc)⇔ ≤ (2) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : 2 3 (abz+ayc+ xbc) 3 (abc) xyz≥ (3) 2 3 (ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz)≥ (4) Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó (1) được chứng minh. 0,50 0,50 0,50 0,50 Câu4b. (1,0đ) Áp dụng BĐT (1) với 3 3 a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = 3 - 3, y = 1, z = 1 Ta có : abc = 3 + 3 3 , xyz = 3- 3 3 , a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2 Từ đó : 3 3 3 3 3 3 3+ 3 3- 3 6.2.2 2 3+ ≤ = (đpcm). 0,50 0,50 Câu 5a. (2,0) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ. Khi đó : BJ = MN 2 (trung tuyến ∆ vuông SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ***** Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x 4 + ax 3 + x 2 + ax + 1 = 0, a là tham số . a) Giải phương trình với a = 1. b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a 2 > 2. Câu 2.(4,0 điểm) a) Giải phương trình: x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3− . b) Giải hệ phương trình: 2 x + y + z = 1 2x + 2y - 2xy + z = 1 . Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn :3x 2 + 6y 2 +2z 2 + 3y 2 z 2 -18x = 6. Câu 4.(3,0 điểm) a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 3 3 3 abc + xyz (a + x)(b + y)(c + z)≤ . b) Từ đó suy ra : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3+ + − ≤ Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông. a) Chứng minh rằng S ABCD AC 4 ≤ (MN + NP + PQ + QM). b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất. Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS. OA và OB là hai bán kính thay đổi vuông góc với nhau. Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP. Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By. =HẾT= Họ và tên thí sinh:……………………………………….Số báo danh:…………… Chữ kí giám thị 1:………………………Chữ kí giám thị 2:….…………………… TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2011 TRÌNH ĐỘ THẠC SĨ NĂM 2011 (đợt 1) Môn: Phương trình toán lý Chuyên nghành: Vật lý (Kỹ thuật và Lý thuyết) Thời gian làm bài: 180 phút NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐỀ 2 Câu 1 (1 đ): Thực hiện các phép tính sau 1. Thiết lập phương trình truyền sóng điện từ trong môi trường chân không từ hệ phương trình Maxwell ∇ · B = 0, ∇ · E = 0, ∇ × B = 0 µ 0 ∂ E ∂t , ∇ × E = − ∂ B ∂t . Tác dụng toán tử Curl lên hai vế phương trình thứ ba ∇ ×( ∇ × B) = ∇( ∇ · B) − ∇ 2 B = ∇ ×( 0 µ 0 ∂ E ∂t ), =⇒ ∇ 2 B = 0 µ 0 ∂ 2 B ∂t 2 . Tương tự ∇ 2 E = 0 µ 0 ∂ 2 E ∂t 2 . Đây là các phương trình truyền sóng điện từ trong môi trường chân không. Mỗi thành phần Decartes (x, y, z) của E, B tuân theo phương trình truyền sóng 3 chiều ∇ 2 f = 1 c 2 ∂ 2 f ∂t 2 , c = 1 √ 0 µ 0 = 3 ·10 8 m/s, f : E x , E y , E z , B x , B y , B z . 2. Chứng minh các đẳng thức sau: ∇ × ∇V (r) = 0 , trong đó V (r) là thế vô hướng. ∇ · ∇ × A = 0 , trong đó A là thế vector. 1 ∇ × ∇V (r) = i j k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ ∂x V ∂ ∂y V ∂ ∂z V = 0, Như vậy Curl của Gradient là bằng không, hay tất cả các Gradient là không xoáy. ∇ · ∇ × A = ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z A x A y A z = 0, Divergence của Curl là bằng không, hay tất cả các Curl đều xoáy. Câu 2 (1,5 đ): Một chất điểm chuyển động trên mặt phẳng Oxy , vector định vị của nó được cho bởi r = a cos(ωt) i + a sin(ωt) j, (a, ω là các hằng số). Chứng minh rằng 1. Vector vận tốc v vuông góc với r. 2. Vector gia tốc a hướng về gốc tọa độ. Độ lớn của a? 3. L = r × mv là một hằng vector. Tìm độ lớn của L? 1. Ta có v = dr dt = −aω sin(ωt) i + aω cos(ωt) j, v ·r = 0, đpcm. 2. Ta có a = dv dt = −ω 2 r, đpcm. a = ω 2 r. 3. Ta có L = r ×mv = ma 2 ω k = −−−−−→ constant, L = ma 2 ω. Câu 3 (1 đ): Chứng minh các đẳng thức sau 2 1. Chứng minh rằng nếu B = ∇ × A ( B là vector cảm ứng từ và A là thế vector), S là một mặt kín bất kỳ thì ˛ S B · dσ = 0, ˛ S B · dσ = ˆ V ∇ · B dV = ˆ V ∇ · ∇ × A dV = ˆ V 0 dV = 0, (Divergence cửa một Curl luôn bằng không). 2. Chứng minh rằng nếu u, v là hai hàm vô hướng, C là một đường cong kín bất kỳ, S là diện tích giới hạn bởi C thì ˛ C u ∇v · d l = ˆ S ( ∇u) ×( ∇v) · dσ. ˛ C u ∇v · d l = ˆ S ∇ ×(u ∇v) · dσ = ˆ S [( ∇u) ×( ∇v) + u ∇ × ∇v] · dσ = ˆ S ( ∇u) ×( ∇v) · dσ (Curl của một Divergence luôn bằng không). Câu 4 (1 đ): Toán tử T (t + , t) mô tả sự thay đổi của hàm sóng từ thời điểm t đến thời điểm t + . Với thực và đủ nhỏ sao cho ta có thể cho 2 = 0, khi đó T được biểu diễn T (t + , t) = 1 − i H(t). 1. Nếu H là hermite, chứng minh T là unita. 2. Nếu T là unita, chứng minh H là hermite. 1. Ta có: T T † = (1 − i H(t))(1 + i H † (t)) = 1 + i H † (t) − H(t) = 1, tương tự cho T † T . Như vậy T là unita. 2. Vì T là unita nên T T † = 1 =⇒ H † (t) − H(t) = 0 hay H † (t) = H(t) =⇒ H(t) là hermite. Tương tự cho T † T . Câu 5 (1,5 đ): Tìm các trị riêng và các vector riêng (trực giao, chuẩn hóa) tương ứng của các ma trận sau A = 0 0 0 0 0 −i 0 i 0 , B = 0 0 i 0 0 0 −i 0 0 . 3 1. Trường hợp A: các trị riêng λ = −1, 0, 1. Các vector riêng tương ứng là |r 1 = 1 √ 2 0 1 −i , |r 2 = 1 0 0 , |r 3 = 1 √ 2 0 1 i 2. Trường hợp B: các trị riêng λ = −1, 0, 1. Các vector riêng tương ứng là |r 1 = 1 √ 2 1 0 i , |r 2 = 0 1 0 , |r 3 = 1 √ 2 1 0 −i Câu 6 (1 đ): Thực hiện các phép tính sau 1. Ma trận C không là ma trận hermite. Chứng minh rằng ma trận C + C † và i(C −C † ) là các ma trận hermite. (Điều này có nghĩa là một ma trận không hermite có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai ma trận hermite C = 1 2 (C + C † ) + 1 2i i(C −C ... thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gò theo cách V2 tổng thể tích hai thùng V gò theo cách Tính tỉ số V2 A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1 V2 Câu 41 Trong không gian, cho
