Dạng1: Tìm cực trị của biểu thức có điều kiện: a,Bài toán1 :Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức: Q= ax 2 +by 2 +cxy + dx + ey + f = 0 (1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: U= Ax + By + C (2) *cách giải: - cách 1: Nếu B 0,ta có:(2)y= - B A x- B C - B U Thế vào (1) ta có phơng trình bậc hai đối với x : h(x) = 0. Xem U là tham số Cực trị của U tìm đợc trong điều kiện có nghiệm của pt: h(x) = 0. - Cách 2: Nếu có thể ta biểu diển Q= m 2 U 2 + nU + k + [f(x)] 2 = 0.(*) Do Q= 0 và [f(x)] 2 0 => m 2 U 2 + nU + k 0 U 1 U U 2 =>{MinU=U 1 ;maxU=U 2 } * Đặc biệt khi Q có dạng: Q=p 2 (x-a) 2 + q 2 (y-b) 2 - r 2 =0 - Cách 1: Đánh giá bằng bất đẳng thức bunhiacópki - Cách 2: Đánh giá bằng bđt : | asinx + bcosx | 22 ba + (lợng giác) Dạng 2: Cho x, y liên hệ với nhau bởi công thức: ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 0) Tìm cực trị của biểu thức: T = p 2 (x - m) 2 + q 2 (y - n) 2 - r 2 Cách giải: Ta có thể giải theo các cách sau: Cách 1: Rút x hoặc y từ đẳng thức: ax + by + c = 0 thế vào T rồi đa về dạng 1. Cách2: Đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacôpski Bài tập1: Cho x, y liên hệ với nhau bởi biểu thức: P: = x 2 + 2y 2 + 2xy + 2x + 2y 3 = 0 (1) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: Q = x + y (2) Lời giải: Cách1: Từ (2) ta có : y = Q x thế vào (1) đợc: P = x 2 + 2(Q - x) 2 + 2x(Q - x) + 2 Q 3 = 0 x 2 2Qx + 2Q 2 + 2Q 3 = 0 (3) Cực trị của Q nếu có chính là điều kiện có nghiệm cccủa phơng trình (3) , 0 Q 2 - 2Q 2 - 2Q + 3 0 - Q 2 - 2Q + 3 0 -3 Q 1 Vậy GTNN(Q) = -3 y = 0 và x = -3 GTLN(Q) = 1 y = 0 và x = 1 Cách2: Ta có: P = (x 2 + y 2 + 2xy) + 2(x + y) +1 - 4 + y 2 = 0 P = (x + y) 2 + 2(x + y) +1 3 + y 2 = 0 P = (x + y + 1) 2 4 + y 2 = 0 (4) Do y 2 0 Do đó từ (4) suy ra: (x + y + 1) 2 4 0 1 ++ yx 2 -2 x + y + 1 2 -3 x + y 1. Vậy: Vậy GTNN(Q) = -3 y = 0 và x = -3 GTLN(Q) = 1 y = 0 và x = 1. Bài tập 2: Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: 4x 2 + 3y 2 - 4xy 2y 2008 = 0 Tìm GTNN, GTLN của M = x - 2 y + 2 1 Lời giải: Ta có: 4x 2 + 3y 2 - 4xy 2y 2008 = 0 4x 2 + y 2 + 1 4xy 2y + 4x + 2y 2 2009 = 0 (2x y +1) 2 + 2y 2 2009 = 0. Do 2y 2 0 suy ra: (2x y +1) 2 2009 0 12 + yx 2009 - 2009 2x y + 1 2009 2 2009 x 2 y + 2 1 2 2009 Vậy GTNN(M) = 2 2009 y = 0 và x = 2 2009 GTLN(M) = 2 2009 y = 0 và x = 2 2009 (Hoặc có thể giải theo cách1, rút x hoặc y từ M = x - 2 y + 2 1 rồi thế vào 4x 2 + 3y 2 - 4xy 2y 2008 = 0) Bài tập 3: Cho x, y là hai số thỏa mản: x + 2y = 3. Tìm GTNN của: E = x 2 + 2y 2 Lời giải: Cách1: Từ x + 2y = 3 suy ra x = 3 2y thế vào E = x 2 + 2y 2 ta có: E = (3 2y) 2 + 2y 2 = 6y 2 - 12y + 9 = 6(y - 1) 2 + 3 3 Vậy GTNN(E) = 3 khi và chỉ khi y = 1 và x = 1 Cách2: (Dùng BĐT Bunhiacốpki) Ta có: 9 = (x + 2y) 2 = (x + 2 2 y) 2 (1 + 2)(x 2 + 2y 2 ) (x 2 + 2y 2 ) 3. Vậy GTNN(E) = 3 khi và chỉ khi y = x = 1 Biểu thức phép tính liên quan đến tính giá trị biểu thức * BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Cho hai biểu thức: A = (700 x + 800): 1,6 B = (350 x + 800): 3,2 Không tính toán cụ thể, giải thích xem giá trị biểu thức lớn lớn lần? Giải: Xét A có 700 x = 700: x x = 350 x nếnố bị chia hai biểu thức A B giống số chia gấp đôi (3,2: 1,6 = 2) nên A có giá trị gấp đôi B Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau cách thích hợp a, 17,58 x 43 + 57 x 17,58 b, 43,57 x 2,6 x (630 – 315 x 2) e, 9,8 + 8,7 + 7,6 + .+2,1 – 1,2 – 2,3 – 3,4 - - 8,9 Giải: a, 17,58 x 43 + 57 x 17,58 = 17,58 x 43 + 17,58 x 57 (tính giao hoán) = 17,58 x (43 + 57) = 17,58 x 100 = 1758 (nhân số với tổng) b, 43,57 x 2,6 x (630 – 315 x 2) = 43,57 x 2,6 x (630 – 630) = 43,57 x 2,6 x = số chia, từ tới 55 số mà số liên tiếp đơn vị nên từ đến 55 có (55 – 1) :3 + = 19 số) e, 9,8 + 8,7 + 7,6 + + 2,1 – 1,2 – 2,3 – 3,4 - – 8,9 = (9,8 – 8,9) + (8,7 – 7,8) + +(2,1 – 1,2) = 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 = 0,9 x = 4,5 Bài 3: Tìm X : (X + 1) + (X + 4) + (X +7) +(X + 10) + + (X + 28) = 155 Giải: (X + 1) + ( X + 4) + ( X + 7) + +(X + 28) = 155 Ta nhận thấy số hạng liên tiếp tổng đơn vị nên tổng viết đầy đủ có 10 số hạng (28 – 1) : + = 10) (X + + X + 28) x 10 : = 155 (X x + 29) x 10 = 155 x = 310 (Tìm số bị chia) X x + 29 = 310 : 10 = 31 (Tìm thừa số tích) X x = 31 – 29 = (Tìm số hạng tổng) X = : = ( Tìm thừa số tích) Bài 4: Viết tổng sau thành tích thừa số: a, 132 + 77 + 198 b, 5555 + 6767 + 7878 c, 1997, 1997 + 1998, 1998 + 1999, 1999 Giải: a, 132 + 77 + 198 = 11 x 12 + 11 x + 11 x 18 = 11 x (12 + + 18) ( nhân số với tổng) = 11 x 37 b, 5555 + 6767 + 7878 = 55 x 101 + 67 x 101 + 78 x 101 = 55 + 67 + 78) x 101 = 200 x 101 c, 1997, 1997 + 1998, 1998 + 1999, 1999 = 1997 x 1,0001 + 1998 x 1,0001 + 1999 x 1,0001 = (1997 + 1998 + 1999) x 1,0001 = 5994 x 1,0001 ( nhân tổng với số) Bài 5: Tìm giá trị số tự nhiên a để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị lớn bao nhiêu? B = 1990 + 720 : (a – 6) Giải: Xét B = 1990 + 720 : (a – 6) B lớn thương 720 : (a – 6) lớn Khi số chia phải nhỏ nhất, số chia khác nên a – = (là nhỏ nhất) Suy : a = Với a = giá trị lớn B là: 1990 + 720 : = 2710 * BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Thêm dấu phép tính dấu ngoặc đơn vào chữ số để kết là: 1, 2, 3, 4, Bài 2: Tìm X: a, X x 1999 = 1999 x 199,8 b, (X x 0,25 + 1999) x 2000 = ((53 + 1999) x 2000 Bài 3: Tìm giá trị số biểu thức sau: A = a + a + a + a + + a – 99 (có 99 số a) Với a = 1001 Bài 4: Tìm giá trị số tự nhiên a để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ bao nhiêu? C = (a – 30) x (a – 29) x x (a – 1) Bài toán liên quan đến điều kiện chia hết * BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Điền chữ số thích hợp vào dấu * phép tính sau: Giải: Trước hết ta xác định chữ số hàng đơn vị số nhân: * x 432 = 30** Nếu * = x 432 = 592 < 30** Nếu * = x 432 = 456 > 30** Vậy * = ta xác định chữ số hàng chục số nhân: * x 432 = *** Vậy * = - Nếu * = thay vào ta phép nhân kết số có chữ số Vậy * = 2, thay vào ta phép nhân: b) Trước hết ta xét tích riêng x * * = * * * Từ ta suy chữ số hàng trăm tích riêng phải chữ số hàng chục số chia lớn Thay vào ta có phép tính: Ta xét số dư phép chia thứ nhất: ***-**=1 Vậy phép trừ phải 100 – 99 = Thay vào ta có: Xét tích riêng thứ * x * * = 99 mà chữ số hàng chục số chia phải lớn 5, nên số chia 99 Suy tích riêng cuối x 99 = 198 số bị chia 0098 Thay vào ta có phép chia: Bài 2: Thay chữ số chữ số thích hợp phép tính sau: Giải: a) Ta viết lại thành phép nhân: b) Ta có: abab = 101 x ab 101 x ab + ab = 1326 102 x ab = 1326 ab = 13 Bài 3: Tìm chữ số a b 1ab x 126 = 201ab Giải: 1ab x ( 25 + 1) = 2000 + 1ab ( cấu tạo số) 1ab x 125 + 1ab = 2000 + 1ab (nhân số với tổng) 1ab x 125 = 2000 (hai tổng bớt số hạng nhau) 1ab = 2000: 125 = 160 160 x 125 = 20160 Vậy a = 6; b = Bài 4: Điền chữ số vào dấu hỏi vào chữ biểu thức sau: a, (? ? x ? + a) x a = 123 b, (? ? x ? – b) x b = 201 Giải: a, Vì 123 = x 123 = x 41 nên a =1 hay = - Nếu a =1 ta có (? ? x ? + 1) x = 123 Hay ?? x ? = 123: – = 122 122 61 x Vậy ta có (61 x + 1) x = 123 (1) - Nếu a = Ta có (?? x ? + 3) x = 123 Hay ?? x ? = 123: – = 38 38 = x 38 hay = x 19 Vậy ta có: (38 + + 3) x = 123 (2) Hoặc: (19 x + 3) = 123 (3) Vậy, Bài toán có đáp số (1), (2), (3) b, Vì 201 =1 x 201 = x 67, nên b =1 hay - Nếu b = ta có: (?? x ? – 1) x = 201 Nên không tìm giá trị thích hợp cho ?? x ? - Nếu b = Ta có (?? x ? – 3) x = 201 Hay ?? x ? = 201: + = 70 70 = x 70 = x 35 = x 14 = x 10 Nên có kết quả: (70 x1 – 3) x = 2001 (35 x – 3) x = 2001 (14 x – 3) x = 2001 (70 x – 3) x =2001 Bài 5: Tìm chữ sốa, b, c phép nhân số thập phân: a,b x a,b = c,ab Giải: a,b x a,b = c,ab a,b x 10 x a,b x 10 = c,ab x 10 x 10 (Gấp 100 lần) ab x ab = cab ab x ab = c x 100 + ab (cấu tạo số) ab x ab – ab = c x 100 (Tìm số hạng tổng) ab x (ab – 1) = c x x 25 ab – hay ab: 25 nhỏ 30 để cab số có chữ số Vậy ab hoăc ab –1 25 Hơn ab – ab số tự nhiên liên tiếp nên: Xét: 24 x 25 25 x 26 Loại 25 x 26 c = 26 x 25: 100 = 6,5 (không được) Với ab – = 24, ab = 25 phép tính là: 2,5 x 2,5 = 6,25 Vậy: a = 2, b = ... Câu 1: Cho phân thức 4 3 2 4 3 2 x x x 2x 2 F(x) (x Z) x 2x x 4x 2 + = + a) Rút gọn phân thức. b) Xác định giá trị của x để phân thức có giá trị nhỏ nhất. Câu 2: Tính giá trị của biểu thức: 2a b 5b a A 3a b 3a b = + + Biết 10a 2 3b 2 + 5ab = 0 và 9a 2 b 2 0. Câu 3: Cho biểu thức: 4 3 4 3 2 1 P 2 1 + + + = - + - + x x x x x x x a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn P. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2. Câu 4: Cho a + b + c = 1, và a 2 + b 2 + c 2 = 1. a) Nếu x y z a b c = = . Chứng minh rằng: xy + yz + xz = 0. b) Nếu a 3 + b 3 + c 3 = 1. Tìm giá trị của a, b, c. Câu 5: (5đ) Cho ba phân thức: 2 2 2 2 2 2 4xy z 4yz x 4xz y A ; B ; C xy 2z yz 2x xz 2y = = = + + + Trong đó x, y, z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: A.B.C = 1. Câu 6: a) Cho ba số khác 0 thoả mãn ( ) 1 1 1 a b c 1 a b c + + + + = ữ Tính giá trị của biểu thức: (a 23 + b 23 )(b 5 + c 5 )(a 1995 + c 1995 ) b) Chứng minh rằng nếu: abc = a + b + c và 1 1 1 2 a b c + + = thì 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = Câu 7: Biết m + n + p = 0. Tính giá trị của biểu thức: m n n p p m p m n S p m n m n n p p m = + + + + ữ ữ Câu 8: Cho biểu thức: 4 3 4 3 2 x x x 1 A x x 2x x 1 + + + = + + a) Rút gọn A. b) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tị của x. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Câu 19: (3đ) Cho phân thức: 5 4 3 2 2 x 2x 2x 4x 3x 6 M x 2x 8 + + = + 1). Tìm các giá trị của x để M có nghĩa. 2). Tìm các giá trị của x để M = 0. 3). Rút gọn M. Câu 10: Cho ba số , y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức: S = (x 1) 1995 + y 1996 + (z + 1) 1997 . Câu 11: Cho x, y, z là ba số thoả mãn điều kiện: 2 2 2 3 3 3 x y z 1 x y z 1 x y z 1 + + = + + = + + = Hãy tính giá trị của biểu thức: 17 9 1997 P (x 1) (y 1) (z 1)= + + Câu 12: Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn đẳng thức: a b c a c b b c a c b a + + + = = Tính giá trị của biểu thức: (a b)(b c)(a c) P abc + + + = . Câu 13: Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 1 1 1 1 A 1 1 1 . 1 2 3 4 1998 = ữ ữ ữ ữ Câu 14: Cho 4a 2 + b 2 = 5ab với 2a > b > 0. Tính giá trị của biểu thức: 2 2 ab P 4a b = Câu 15: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện: 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + Tính ( ) ( ) ( ) 25 25 3 3 2000 2000 a b b c c a+ + Câu 16: x y z a b c Cho 1 và 0. a b c x y z + + = + + = Tính: + + 2 2 2 2 2 2 x y z a b c Câu 17: Rút gọn phân thức: 3 3 3 a b c 3abc A a b c + + = + + Câu 18: Cho abc = 1 tính + + + + + + + + a b c ab a 1 bc b 1 ac c 1 Câu 19: Cho a + b + c = 1 và 1 1 1 0 a b c + + = . Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 = 1 Câu 20: Cho x, y, z là 3 số thoả mãn điều kiện: x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 14. Hãy tính giá trị của biểu thức: A = 1 + x 4 + y 4 + z 4 . Câu 21: Cho x, y thoả mãn x > y > 0 và x 2 + 3y 2 = 4xy. Tính: 2x 5y A x 2y + = Câu 22: Cho x y 0, y 0+ và x 2 2y 2 = xy. Tính giá trị của biểu thức: x y A x y = + . Câu 23: Cho x y 0, y 0+ và x 2 2y 2 = xy. Tính giá trị của biểu thức: x y A x y = + . CHUYấN TNH GI TR BIU THC Cể IU KIN Ngời viết : Tễ MINH NHT Đặt vấn đề Bài tập tính giá trị của một biểu thức đại số có hai loại chính là : - Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện dàng buộc giữa các biến số - Tính giá trị của biểu thức trong đó giá trị của các biến số lại bị dàng buộc bởi một hoặc nhiều điều kiện nào đó Ví dụ 1: Các bài tập sau đây là loại tính giá trị không có điều kiện 1) Tính f(2) biết f(x) = 5x 5 + 4x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x + 1 2) Cho biểu thức : A = 2 2 3 3 2 (1 ) 1 1 : 1 1 1 x x x x x x x x x + + ữ ữ + + Tính giá trị của A nếu x = 2007 Ví dụ 2 : Các bài tập sau đây là loại tính giá trị có điều liện 1) Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc và abc 0 Tính giá trị của biểu thức B = 1 1 1 a b c b c a + + + ữ ữ ữ 2) Cho a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 14 Tính giá trị của biểu thức : C = a 4 +b 4 + c 4 3) Giả sử m , n thoả mãn mn = 3 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình : x 4 + a.x 3 + b.x 2 + a.x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức Q = 9a 2 48b + 2007 . Việc luyện tập cho HSG có cách nhìn tổng quát về loại bài tập tính giá trị của biểu thức đại số nói chung và tính giá trị của biểu thức có diều kiện nói riêng là rất quan trọng .Nó giúp HS có một t duy toán học chặt chẽ , chính xác , rèn luyện phép biến đổi đại số linh hoạt để HS tự tin khi gặp các loại toán này.Tuy nhiên chuyên đề này chỉ bàn tập trung vào loại tính giá trị với điều kiện cho trớc . Loại tính giá trị không có điều kiện đã dợc bàn tới nhiều trong sách giáo khoa và sách bài tập B . Nội dung chuyên đề Loại 1 : Không tính đợc giá trị cụ thể của các biến số Ví dụ 1 : Cho x+y = 3 Tính giá trị của biểu thức A = x 2 + y 2 + 2xy 4x 4y + 1 Với loại này ta cần biến đổi A thành gồm toàn các nhóm x + y rồi thay 3 vào : A = ( x + y) 2 - 4( x + y)+ 1 = 3 2 - 4.3 + 1 = - 2 Ví dụ 2 : Cho a 3 +b 3 +c 3 = 3abc 0 . Tính giá trị của biểu thức : B = 1 1 1 a b c b c a + + + ữ ữ ữ Rõ ràng ta có thể đánh giá quan hệ giữa a, b, c từ giả thiết chứ không thể tính đợc cụ thể a , b , c.Để thuận lợi biến đổi biểu thức A về dạng dễ đánh giá hơn B = ( ) ( ) ( ) a b b c a c abc + + + Từ giả thiết: ( a + b ) 3 + c 3 - 3ab( a + b ) 3abc = 0 ( a + b + c)( a 2 + 2ab + b 2 - ac bc + c 2 ) 3ab( a + b + c) = 0 ( a + b + c )( a 2 + b 2 + c 2 - ab bc ca ) = 0 Vậy ta đợc a + b + c = 0 , hoặc a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca = 0 * Với a + b + c = 0 , ta đợc a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b Khi đó B = abc abc = - 1 * Với a 2 + b 2 + c 2 - ab bc ca = 0 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab 2bc 2ca = 0 ( a b) 2 + ( b c) 2 + ( c a) 2 = 0 . Vậy a = b = c Khi đó B = 2 .2 .2b c a bca = 8 Ví dụ 3 : Cho 3 số dơng x , y , z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1 Tính giá trị của biểu thức A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y z z x x y x y z x y z + + + + + + + + + + + Ta thấy con số 1 trong điều kiện đã cho và trong biểu thiức có liên quan với nhau, hãy tính riêng từng bộ phận : 1 + x 2 = xy + yz + zx + x 2 = y( x + z ) + x( x + z ) = ( x + y )( x + z ) 1 + y 2 = xy + yz + zx + y 2 = y( x + y) + z( x + y) = ( x + y )( y + z ) 1 + z 2 = xy + yz + zx + z 2 = y( x + z ) + z( x + z) = ( x + z )( y + z ) Thay vào A rồi rút gọn , ta đợc : A = 2( xy + yz + zx ) = 2.1 =2 Loại 2 : tính đợc giá trị của các biến số Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức M = ( ) ( ) ( ) 5 1 5 x y x x + + Biết : x 2 + 9y 2 = 6xy - 3x Ta chỉ cần giải phơng trình x 2 + 9y 2 = 6xy - 3x để tìm giá trị của x , y nh sau Ta Bài toán liên quan đến điều kiện chia hết * BÀI TẬP VẬN DỤNG: 1. Loại toán viết số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết Bài 1: Hãy thiết lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 4, 5, 9 thoả mãn điều kiện a, Chia hết cho 2 b, Chia hết cho 4 c, Chia hết cho 2 và 5 Giải: a, Các số chia hết cho 2 có tận cùng bằng 0 hoặc 4. Mặt khác mỗi số đều có các chữ số khác nhau, nên các số thiết lập được là 540; 504 940; 904 450; 954 950; 594 490 590 b, Ta có các số có 3 chữ số chia hết cho 4 được viết từ 4 chữ số đã cho là: 540; 504; 940; 904 c, Số chia hết cho 2 và 5 phải có tận cùng 0. Vậy các số cần tìm là 540; 450; 490 940; 950; 590. Bài 2: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5? Giải: Một số chia hết cho 5 khi tận cùng là 0 hoặc 5. Với các số 1, 2, 3, 4, ta viết được 4 x 4 x 4 = 64 số có 3 chữ số Vậy với các số 1, 2, 3, 4, 5 ta viết được 64 số có 5 chữ số (Có tận cùng là 5) 2. Loại toán dùng dấu hiệu chia hết để điền vào chữ số chưa biết Ở dạng này: - Nếu số phải tìm chia hết cho 2 hoặc 5 thì trước hết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận cùng. - Dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu chia hết còn lại của số phải tìm để xác định các chữ số còn lại. Bài 3: Thay x và y vào 1996 xy để được số chia hết cho 2, 5, 9. Giải: Số phải tìm chia hết cho 5 vậy y phải bằng 0 hoặc 5. Số phải tìm chia hết cho 2 nên y phải là số chẵn Từ đó suy ra y = 0. Số phải tìm có dạng 1996 x 0. Số phải tìm chia hết cho 9 vậy (1 +9 + 9+ 6 + x )chia hết cho 9 hay (25 + x) chia hết cho 9. Suy ra x = 2. Số phải tìm là: 199620. Bài 4: Cho n = a 378 b là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tìm tất cả các chữ số a và b để thay vào ta dược số n chia hết cho 3 và 4. Giải: - n chia hết cho 4 thì 8b phải chia hết cho 4. Vậy b = 0, 4 hoặc 8 - n có 5 chữ số khác nhau nên b = 0 hoặc 4 - Thay b = 0 thì n = a3780 + Số a3780 chia hết cho 3 thì a = 3, 6 hoặc 9 + Số n có 5 chữ số khác nhau nên a = 6 hoặc 9 Ta được các số 63 780 và 930780 thoả mãn điều kiện của đề bài - Thay b = 4 thì n = a3784 + Số a3784 chia hết cho 3 thì a = 2, 5 hoặc 8 + Số n có 5 chữ số khác nhau nên a = 2 hoặc 5. Ta được các số 23784 và 53 784 thoả mãn điều kiện đề bài Các số phải tìm 63 780; 93 780; 23 784; 53 784. 3. Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu Các tính chất thường sử dụng trong loại này là: - Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2 - Nếu SBT và ST đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2 - Một số hạng không chia hết cho 2, các số hạng còn lại chia hết cho 2 thì tổng không chia hết cho 2 - Hiệu của 1 số chia hết cho 2 và 1 số không chia hết cho 2 là 1 số không chia hết cho 2. (Tính chất này tương tự đối với các trường hợp chia hết khác) Bài 5: Không làm phép tính xét xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không. a. 459 + 690 1 236 b. 2 454 - 374 Giải: a. 459, 690, 1 236 đều là số chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1 236 chia hết cho 3 b. 2 454 chia hết cho 3 và 374 không chia hết cho 3 nên 2 454 - 374 không chia hết cho 3. Bài 6: Tổng kết năm học 2001- 2002 một trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến và 195 học sinh xuất sắc. Nhà trường dự định thưởng cho học sinh xuất sắc nhiều hơn học sinh tiên tiến 2 quyển vở 1 em. Cô văn thư tính phải mua 1996 quyển thì vừa đủ phát thưởng. Hỏi cô văn thư tính đúng hay sai? vì sao? Giải: Ta thấy số HS tiên tiến và số HS xuất sắc đều là những số chia hết cho 3 vì vậy số vở thưởng cho mỗi loại HS phải là 1 số chia hết cho 3. Suy ra tổng số vở phát thưởng cũng là 1 số chia hết cho 3, mà 1996 không chia hết cho 3 > Vậy cô văn thư đã tính sai. 4. Các bài toán về phép HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn sách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado® Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1. Vào trang http://tilado.edu.vn 2. Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng ký 3. Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc 4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất 5. Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm để tiện truy cập Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado® Tilado® CHIA ĐA THỨC BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Thực hiện phép chia: a. [ 5(a − b) + 2(a − b) 2] : (b − a) b. 5(x − 2y) : (5x − 10y) c. (x + 8y 3) : (x + 2y) Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/811011 2. Làm tính chia: a. (6x + 13x − 5) : (2x + 5) b. (x − 3x + x − 3) : (x − 3) c. (2x + x − 5x − 3x − 3) : (x − 3) Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/811021 3. Tính nhanh: a. (4x − 9y 2) : (2x − 3y) b. (27x − 1) : (3x − 1) c. (8x + 1) : (4x − 2x + 1) d. (x − 3x + xy − 3y) : (x + y) Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/811031 4. Cho hai đa thức: A = x − 2x + x + 13x − 11 và B = x − 2x + Tìm thương Q và dư R sao cho A = B Q + R Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/811041 5. Tìm a sao cho đa thức x − x + 6x − x + a chia hết cho đa thức x − x + Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/811052 6. Tìm n ∈ Z để giá trị của biểu thức 3n + 10n − 5 chia hết cho giá trị của biểu thức 3n + Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/811062 7. Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến rồi thực hiện phép chia: a. (12x − 14x + − 6x + x 4) : (1 − 4x + x 2) b. (x − x − 3x + 3x + 5x − 5) : (5 + x − 3x) c. (2x − 5x + 2x + 2x − 1) : (x − x − 1) Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/811072 8. Tìm x biết: a. (12x + 24x 2) : 6x − (13x − 39x) : 13x = 10 b. (6x − 3x 2) : 3x − (4x + 8x) : 4x = Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/811082 9. Cho đa thức f(x) = 3x − 7x + 4x − a. Chứng minh rằng f(x) ⋮ x − b. Tìm thương trong phép chia đa thức f(x) cho x − 2 từ đó phân tích f(x)ra thừa số Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/811092 10. Xác định hằng số a sao cho: a. 4x − 6x + a ⋮ x − b. 2x + x + a ⋮ x + c. x + ax − ⋮ x + 4x + Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/8110102 11. Xác định hằng số a và b sao cho: a. x + ax + b ⋮ x − b. x + ax + bx − ⋮ x − c. x + ax + b ⋮ x + 2x − Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/8110112 12. Tìm đa thức dư trong phép chia: (x 2005 + x 2004) : (x − 1) Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/8110123 13. Chứng minh đa thức f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 chia hết cho đa thức g(x) = x + 8x + 10 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/8110133 14. Tìm m để đa thức x + y + z + mxyz chia hết cho x + y + z (x; y; z ≠ 0, x + y + z ≠ 0) Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/8110143 15. Cho x; y; z ∈ Z ∗ , biết a = x − xy; b = y − xz; c = z − xy. Chứng minh rằng: ax + by + cz ⋮ a + b + c Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/455/8110153 TÍNH CHIA HẾT TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI SỐ NGUYÊN 16. Chứng minh rằng 199 − 199 chia hết cho 200 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/456/811111 17. Chứng minh rằng a. 51 − ⋮ b. 70 + 70 ⋮ 13 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/456/811121 ... chục số chia lớn Thay vào ta có phép tính: Ta xét số dư phép chia thứ nhất: ***-**=1 Vậy phép trừ phải 100 – 99 = Thay vào ta có: Xét tích riêng thứ * x * * = 99 mà chữ số hàng chục số chia phải... x * * = 99 mà chữ số hàng chục số chia phải lớn 5, nên số chia 99 Suy tích riêng cuối x 99 = 198 số bị chia 0098 Thay vào ta có phép chia: Bài 2: Thay chữ số chữ số thích hợp phép tính sau: Giải:... 720 : (a – 6) Giải: Xét B = 1990 + 720 : (a – 6) B lớn thương 720 : (a – 6) lớn Khi số chia phải nhỏ nhất, số chia khác nên a – = (là nhỏ nhất) Suy : a = Với a = giá trị lớn B là: 1990 + 720 : =