Tìm phương pháp tối ưu để giải toán vật lí phương trình cân bằng nhiệt ở lớp 10

Đề tài “Dạy học và tự học cho học sinh lớp 10 vùng nông thôn của huyện chơng mỹ về phơng pháp tối u để giải bài toán cân bằng nhiệt ” đợc hoàn thành với sự tạo điều kiện, giúp đỡ về mọi

Sở gd & đt hà nội

Báo cáo sáng kiến

Tìm phơng pháp tối u để giải toán vật lí “Phơng trình cân bằng nhiệt” ở lớp 10

Tác giả : Nguyễn Tiến Thiệp Nghề nghiệp: Dạy học Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác:Trờng THPT Chúc Động

Chơng Mỹ ngày 25 tháng 04 năm 2010

phơng pháp tối u để giải toán ”Phơng trình cân

bằng nhiệt” vật lí 10

1/ Tác giả : Nguyễn Tiến Thiệp

2/ Trình độ chuyên môn : Đại học KHTN chuyên ngành vật lí

3/Nơi công tác : Trờng THPT Chúc Động- Chơng Mỹ- Hà Nội

4/Đối tợng áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 10 trờng THPT Chúc Động- Chơng Mỹ-Hà Nội.

Lời cảm ơn

1

Đề tài “Dạy học và tự học cho học sinh lớp 10 vùng nông thôn của huyện chơng mỹ về phơng pháp tối u để giải bài toán cân bằng nhiệt ” đợc hoàn thành với sự tạo điều kiện, giúp đỡ về mọi mặt của Ban Giám hiệu, Ban Chuyên môn, các thầy cô giáo là đồng nghiệp, các thầy giáo cùng tổ bộ môn và các em học sinh khối 10 năm học 2009 - 2010 của trờng THPT Chúc Động, của trờng THCS Hoàng Văn Thụ, THCS Nam

Ph-ơng Tiến

Do vậy tại đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu, Ban Chuyên môn, các thầy cô giáo là đồng nghiệp, các thầy giáo cùng tổ bộ môn và các em học sinh khối 10 năm học 2009 - 2010 của trờng THPT Chúc Động, các bạn đồng môn của tr-ờng THCS Hoàng Văn Thụ, THCS Nam Phơng Tiến đã giúp đỡ tận tình, đóng góp

ý kiến thiết thực để tôi hoàn thành và kiểm nghiệm đề tài này Tôi rất mong tiếp tục nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp, cổ vũ để những đề tài sau hiệu quả hơn và một lần nữa xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 4 năm 2010

A lý do chọn đề tài:

Trong nhà trờng phổ thông Vật lí với t cách là một môn khoa học ứng dụng, nó

cùng với các môn học khác góp phần đào tạo nên những con ngời phát triển toàndiện, sáng tạo

Qua thời gian thực tế giảng dạy ở trờng THPT Thuận châu – huyện Thuận Châu – Sơn La, năm 2009-2010 tôi dạy học sinh khối 10 ở trờng THPT Chúc Động và tham khảo ý kiến của một số thầy cô cùng bộ môn trong tổ, một số đồng nghiệp ở trờng THCS trên địa bàn của huyện, trực tiếp nói chuyện với các em học sinh tôi thấy có một

số vấn đề nh sau:

Học sinh ở nông thôn huyện Chơng Mỹ hầu hết là con em các gia đình làm nghề

nông đã và đang còn gặp nhiều khó khăn về đời sống Do nhiều nguyên nhân mà sự giáo dục ý thức, truyền thống tự học từ phía gia đình là rất hạn chế, thậm chí cha có

Và vì thế chất lợng đầu vào lớp 10 ở trờng còn khá khiêm tốn

Cho nên việc giáo dục các em ở các nhà trờng là khá khó khăn Đa số các em bị hổng, quên kiến thức và còn yếu về mặt tính toán Thực tế đó đòi hỏi giáo viên phải cực kì kiên trì, tâm huyết, biết khéo léo hớng dẫn, điều khiển và lắm đợc tổng quan kiến thức để trong quá trình dạy bài mới có thể trang bị lại và tận dụng đợc mức tối đa huy

động kiến thức cũ của các em để tiết dạy bài mới có hiệu quả Song chất lợng giáo dục càng hiệu quả nếu chính các em học sinh biết cách nhận dạng bài toán và biết cách tốt nhất “ tối u” để tự giải đợc bài tập và dần học tốt hơn, yêu thích môn học hơn

2

Hơn nữa, việc đổi mới phơng pháp dạy và học theo hình thức thi TNKQ đã làm thay đổi t tởng của cả giáo viên và học sinh Một số giáo viên để đáp ứng cho việc thi trắc nghiệm nên chỉ chú trọng mở rộng kiến thức cho học sinh khiến các em bị tràn bộ nhớ mà quên mất việc rèn t duy môn học cho các em qua việc làm bài tập tự luận Điều này ảnh hởng khá lớn đến chất lợng, mức độ hiểu sâu kiến thức về vật lý của học sinh

Tôi cho rằng muốn biết rộng thì trớc hết phải hiểu sâu ngay ở những phần kiến thức nhỏ tởng chừng nh đơn giản và càng phải vận dụng vào thực tế đối tợng học sinh Xuất phát từ nhận thức trên, tôi xin mạnh dạn làm đề tài “ phơng pháp tối u để giải bài toán cân bằng nhiệt ở lớp 10 ” Với đề tài này, tôi nhằm góp phần trang bị những kiến thức hết sức cần thiết cho việc hớng dẫn học sinh phơng pháp tổng quát tốt nhất để giải bài toán cân bằng nhiệt cũng là để các giáo viên đồng nghiệp có một tài liệu thờng xuyên dùng trong quá trình phụ đạo, bồi dỡng họcsinh - một nhiệm vụ th-ờng xuyên và mang tính đặc thù của trth-ờng Hơn nữa, tôi cũng muốn các em học sinh tr-ờng tôi khi còn ít tiền cũng có một tài liệu thiết thực, dễ hiểu để tập rèn ý thức tự học khi cần thiết

B - Mục đích nghiên cứu.

Đề tài nghiên cứu nhằm:

Tìm một phơng pháp quan trọng thờng dùng để có một cách nhìn và đánh giá

đúng đắn vai trò của việc phân tích bài toán đối với việc giải các bài toán vật lí trong chơng trình phổ thông Từ đó giáo viên đầu t hớng dẫn hình thành kĩ năng giải bài tập

về phơng trình cân bằng nhiệt ở lớp 10 cho học sinh Và trên hết để trong quá trình tự

đọc tài liệu và làm theo, học sinh biết phân tích, so sánh, đối chiếu và khái quát hóa, tìm ra và chọn đợc cách làm bài toán hợp lý

Gợi ra cho học sinh suy nghĩ liệu có làm tơng tự khi gặp một bài toán cân bằng nhiệt bất kì

Đề tài nghiên cứu cơ sở lý luận và tìm hiểu cách giải bài toán về cân bằng nhiệt cho hiệu quả Từ đó thấy đợc những khó khăn và sai lầm hay mắc phải của học sinh lớp

10 vùng nông thôn khi giải bài tập về phơng trình cân bằng nhiệt ở lớp 10

C- Phạm vi nghiên cứu.

+ Đề tài chỉ giới hạn phạm vi nghiên cứu chủ yếu với các bài toán cân bằng nhiệt khi không có sự truyền nhịêt ra bên ngoài và hớng dẫn cho học sinh lớp 10 ở trờng THPT Chúc Động thuộc vùng nông thôn huyện Chơng mỹ Các bài toán có sự truyền nhiệt ra bên ngoài chỉ giới thiệu thêm để học sinh khá, giỏi tìm hiểu khi cần

D Các giải pháp thực hiện:

Dù chỉ là giải các bài toán trong sách giáo khoa về vật lí thì bất kì một học sinh nào của trờng cũng lũng túng, đặc biệt là các lớp tôi dạy là các lớp mà học sinh đều

là học sinh trung bình và yếu Trừ một số không nhiều bài toán luyện tập đơn giản

để ghi nhớ công thức biểu diễn một định luật vật lí với yêu cầu chủ yếu là thay thế

3

các trị số của các đại lợng trong công thức và tìm trị số của một đại lợng cha biết Còn đối với các bài toán vật lí phải vận dụng nhiều định luật vật lí (thờng gọi là các bài toán tổng hợp) học sinh luôn luôn cảm thấy khó khăn

E Nhận định cụ thể:

Theo xu thế chung của dạy học hiện nay, ngời ta coi trọng việc dạy cho học sinh phơng pháp giải toán, không những hữu ích đối với việc giải các bài toán

trong sách giáo khoa mà còn cần thiết hình thành cho học sinh một phong cách hoa học tiếp cận bài toán nói chung, một điều vô cùng quan trọng đối với hoạt động lao

động trong tơng lai của hs

Học phơng pháp ngay từ lúc khởi đầu việc giải toán sẽ giúp học sinh có kỹ năng, t duy sớm để giải bài tập vật lí tránh sự sợ hãi của các em khi nghĩ tới môn vật lí Giải toán muốn đạt kết quả, chắc chắn phải là một hành động đợc tổ chức một cách có kế hoạch chặt chẽ và có hiệu quả nhằm đạt một mục đích xác định

Tôi xin đợc mạnh dạn đa ra các bớc (hay giai đoạn) trong phơng pháp giải toán vật lí nh sau:

Bớc 1:Diễn đạt thành lời bài toán:

Để giải toán có hiệu quả và tránh nhầm lẫn, yêu cầu đầu tiên là đọc kĩ nội dung của đề bài toán Hiểu đợc ý nghĩa của đề bài

Bớc 2: Phân tích bài toán:

Tức là phân tích thông tin đã cung cấp và nhận dạng bài toán, tóm tắt bài toán xem đã cho dữ kiện gì và còn thiếu dữ kiện gì cần phải tìm,Từ đó xác định xem cần

áp dụng kiến thức gì để giải bài toán Chính vì không có thói quen và kĩ năng phân tích thông tin đợc cung cấp trong bài toán nên học sinh thờng mắc sai lầm khi giải

3 Tìm phơng pháp giải( lập kế hoạch giải)

Sau khi phân tích kĩ bài toán ta quyết định chọn một phơng pháp và lập các bớc giải hoặc các bớc phụ cho cho phơng pháp đã chọn Lập kế hoạch giải toán thờng

đòi hỏi phải dự kiến những các bớc đi cụ thể theo phơng pháp đã chọn mà còn phải tính cả đến các khả năng điều chỉnh các bớc

4 Giải cụ thể bài toán :

Là một bớc quan trọng quyết định chất lợng của việc giải toán

Sau khi xác định phơng pháp “tối u” ta bắt tay vào giải bài toán theo phơng pháp đẵ chọn Với những bài toán vật lí tính toán, bạn nên rèn cho học sinh thói quen giải một cách tổng quát theo từng bớc nh trong nh trong phơng pháp đã chọn, chỉ đến kết quả cuối cùng mới thay các giá trị bằng số vào để tính đáp số Cách này giúp bạn dễ dàng kiểm tra lại cách thức vận dụng kiến thức để giải toán và phát hiện những sai lầm có thể mắc trong khi giải

4

5 Kiểm tra lại bài giải:

Tức là khẳng định điều đã làm đợc, khẳng định đã giải xong bài toán và tại sao giải đợc hoặc tại sao không giải đợc Từ kết quả vừa đạt đợc, ta nên khích lệ học sinh tìm thêm các cách khác để giải bài toán hoặc phát triển bài toán đó thành bài toán hay hơn bằng cách thêm yêu cầu cho bài toán (chỉ với học sinh khá, giỏi)

Đánh giá việc giải toán cũng là một việc rất quan trọng quyết định chất lợng của việc giải toán Nếu do hớng tâm lí không đúng trớc việc giải toán nhiều em học sinh thờng coi việc đi đến đáp số của bài toán là mục đích cuối cùng của quá trình giải toán cho nên thờng thỏa mãn với một kết quả nào đó mà thiếu kĩ năng và thói quen đánh giá kết quả Từ đó một số học sinh đã bỏ lỡ một cơ hội rất thuận lợi thông qua việc đánh giá kết quả đã thu đợc để phát triển khả năng giải toán của mình

F Đề suất áp dụng sáng kiến vào tìm ph ơng pháp tối u để giải toán “ Ph ơng trình cân bằng nhiệt ” ở lớp 10 :

Những bài toán vật lí định lợng phải sử dụng phơng trình cân bằng nhiệt (một trờng hợp riêng của định luật bảo toàn năng lợng) thuộc một loại toán vật lí quan trọng trong chơng trình Nhiệt học THPT

1 Lập phơng trình cân bằng nhiệt:

Tổng các nhiệt lợng nhờng(Qtoả hoặc cho ) = Tổng các nhiệt lợng nhận (Qthu) Qtoả= Qthu (*)

- Nếu gọi t là nhiệt lúc bắt đầu có sự cân bằng, t1 là nhiệt độ ban đầu chung của các vật nhận nhiệt lợng

(*) Trong đó vật thu nhiệt lợng đợc tính cho từng vật nhờ các công thức

Q1=m1c1(t - t1)

Q2=m2c2(t- t1)

………

Vậy tổng nhiệt lợng nhận là

Q thu Q1 Q2   (c1.m1 c2m2  ).(t t1) (1)

- c1, c2,… Là nhiệt dung riêng của vật

- m1, m2,… là khối lợng của các vật Công thức (1) dùng để tính nhiệt lợng nhận t  t1

- Nếu biết khối lợng m của vật, nhiệt nóng chảy hoặc nhiệt bay hơi riêng L của vật nhận nhiệt ta

có công thức

hoặc Qm.L (2)

Công thức (2) áp dụng chung cho cả trờng hợp có sự đốt cháy nhiên liệu và có sự chuyển thể, với

L là năng suất tỏa nhiệt, nhiệt nóng chảy riêng hoặc nhiệt hóa hơi riêng của vật.

5

(*) Nhiệt lợng nhờng (cho) đợc tính bởi công thức( các vật nhận cùng nhiệt độ đầu

t0)

Q3 = m3 c3(t0 - t)

Q4 = m4c4(t0- t) ………

Vậy tổng nhiệt lợng nhờng là:

Qnhờng= Q3+ Q4+…=(m3c3+m4c4+…).(t0- t) (3) Công thức (3) dùng để tính nhiệt lợng nhờng ở đây t0 > t

Vậy thay (1),(3) vào (*) ta có:

) ).(

.

Giải (**) ta tìm đợc yêu cầu của bài toán:

- Tuy nhiên khi giải bằng phơng pháp này tôi thấy học sinh thờng hay lúng túng và thờng mắc sai lầm ở chỗ (t- t1 ) hay (t1- t) hoặc (t0- t) hay (t-t0)

2 Tổng quát hơn có thể viết phơng trình cân bằng nhiệt dới dạng “tổng đại số”:

 Qnhận= - Qnhờng (4)  Qnhờng +  Qnhận= 0 (***)

Với Qnhận= (m1c1+ m2c2+…) (t- t1)

Qnhờng=(m3c3+m4c4+…).(t- t0)

Ghi nhớ rằng, mỗi nhiệt lợng Q ở (4) sẽ:

Mang dấu (-) khi nó là Q nhờng Mang dấu (+) khi là Q nhận

Dùng tổng đại số thì t  t1 hoặc (t- t2)…sẽ luôn là nhiệt độ cuối t ( nhiệt độ khi

bắt đầu có sự cân bằng) trừ nhiệt độ đầu t 1 , t 0 … của mỗi vật Khi cần tìm một nhiệt

độ cha biết thì dùng kí hiệu đại số t

Ví dụ khi đó nếu một vật có nhiệt độ đầu là 1000C và nhiệt độ cuối cần tìm là t

thì ta phải viết (t - 1000C) ở biểu thức tính nhiệt lợng Q của nó

Lu ý

a Trong những bài toán có sự chuyển thể thì phải cẩn thận về vai trò của nhiệt

l-ợng chuyển thể trong sự trao đổi nhiệt, tức là phải cẩn thận về dấu của các Q chuyển thể

Khi nớc đá tan thì nhiệt lợng nóng chảy là Q nhận (có dấu + trong công thức

đại số), nhng khi nớc đóng băng thì nhiệt lợng nóng chảy là Q nhờng (có dấu - )

6

Riêng trờng hợp đốt cháy nhiên liệu thì Q luôn là Q nhờng (dấu -).

b Có thể gặp trờng hợp (chỉ cho học sinh giỏi ) không biết trớc là tất cả hay chỉ một phần vật liệu tham gia chuyển thể trong quá trình trao đổi nhiệt Cần tính cho cả hai trờng hợp, rồi sẽ loại bỏ trờng hợp nào cho kết quả phi lí theo dữ kiện bài toán và tính lại cho đến khi đạt đợc kết quả hợp lí.

c Nếu sự trao đổi nhiệt diễn ra có hao phí, tức là chỉ có một phần nhiệt lợng nhờng

chuyển thành nhiệt lợng nhận thì phải tính đến hiệu suất H của quá trình, biểu diễn bằng tỉ số phần trăm giữa phần nhiệt lợng nhờng đã chuyển Q1 trên toàn bộ nhiệt l-ợng nhờng /

1

Q trong quá trình:

/

1

1

Q

Q

H  .100%

Vận dụng ph ơng pháp tối “ u để gâi các ví dụ sau”

Ví dụ 1: Một bình bằng đồng thau có khối lợng 100 g chứa 200 g nớc ở nhiệt độ

300 C Ngời ta thả vào một thìa nhôm có khối lợng 50g đợc đun nóng đến 1000C Xác định nhiệt độ của nớc khi bắt đầu có sự cân bằng Bỏ qua sự truyền nhiệt ra bên ngoài Biết nhiệt dung riêng của nhôn là 0,88 103J/kg.K, nhiệt dung riêng của đồng thau là 0,128 103 J/kg.K, nhiệt dung riêng của nớc là 4,19 103 J/kg.K

Giải:

Ta sẽ lần lợt sử dụng cả phơng trình cân bằng nhiệt và dạng tổng đại số

Thìa nhôm.

Khối lợng: mN = 0,05kg

Nhiệt dung riêng: cN = 0,88.103/kg.K

Nhiệt độ đầu: t2 = 1000C

Nhiệt độ cuối: t = ?

Nhiệt lợng nhờng:

Qnhờng= mN.cN.(100- t)

Bình đồng và nớc

Khối lợng: mđ = 0,1kg; mn= 0,2 kg Nhiệt dung riêng:cđ= 0,128.10 3J/kg.K Nhiệt dung riêng nớc: cn= 4,19.10 3J/kg.K Nhiệt độ đầu: t1 = 200C

Nhiệt độ cuối: t = ? Nhiệt lợng nhận:

Qnhận= (mđ.cđ+ mn..cn).( t - 30)

1 Phơng trình cân bằng nhiệt

Qnhờng= Qnhận

 mN.cN.(100- t) = (mđ.cđ+ mn..cn).( t - 20) thay số ta có

0,05.0,88.103.(100- t) = (0,1.0,128.103 + 0,2.4,19.103).(t-30)

 t = 60,5 0C

7

2 Lập tổng đại số

Nhiệt lợng nhờng là:

Qnhờng= mN.cN.(t- 100)

= 0,88.103 0,05(t – 100)

Nhiệt lợng nhận là:

Qnhận=(mđ.cđ+ mn..cn).( t - 30) =(0,1.0,128.103+0,2.4,19.103).(t-30)

áp dụng phơng pháp tổng đại số ta có:

Qnhờng + Qnhận = 0  0,88.103 0,05(t – 100) + =(0,1.0,128.103+0,2.4,19.103).(t-30) = 0

 t = 60,5 0C

Ví dụ 2: Một chủ nhà pha cà phê cho khách đã rót nớc cà phê ở nhiệt độ 1000C vào những cái tách bằng sứ ở nhiệt độ 200C Nếu mỗi cái tách có khối lợng 0,3 kg và ngời chủ rót vào mỗi tách 0,1kg nớc cà phê thì khi đạt đến trạng thái cân bằng nhiệt thì nhiệt độ cân bằng sẽ là bao nhiêu, biết rằng nhiệt dung riêng của sứ là

1900J/kg.độ và coi nh nớc cà phê cũng có nhiệt dung riêng nh nớc?

Giải:

Ta sẽ lần lợt sử dụng cả phơng trình cân bằng nhiệt và dạng tổng đại số Để tránh

sự lẫn lộn ta sẽ tách riêng việc tính toán các nhiệt lợng nhờng và nhận thành hai cột:

Nớc cà phê

Khối lợng: mN = 0,1kg

Nhiệt dung riêng: cN = 4200J/kg.K

Nhiệt độ đầu: t1 = 1000C

Nhiệt độ cuối: t = ?(t< 1000C)

Nhiệt lợng nhờng:

 C t

m c

Q1 N. N 1000 

Tách bằng sứ

Khối lợng: mT = 0,3kg Nhiệt dung riêng: cT = 1900J/kg.K Nhiệt độ đầu: t2 = 200C

Nhiệt độ cuối: t = ? (t >200 C) Nhiệt lợng nhận:

t C

m c

2   20

Cách 1: Phơng trình cân bằng nhiệt là:

Q1= Q2

 CN.mN.(100 – t) = cT.mT.(t – 20)

4200.0,1.(100 – t) = 1900.0,3.(t – 20)

42000 – 420t = 570t – 11400

 t = 53,940C

8

- Nếu lập tổng đại số các nhiệt lợng nhờng và nhận thì nhiệt độ cuối cho cả hai vật đều là t, còn nhiệt độ đầu của nớc cà phê là 1000C và của tách bằng sứ là 200C Do đó:

Nhiệt lợng nhờng là:

Q1 c N.m N.t 100

= 4200.0,1(t – 100)

Nhiệt lợng nhận là:

Q2 c T.m T.t 20

= 1900.0,3(t – 20) Cách 2: Lập tổng đại số và viết phơng trình cân bằng nhiệt, ta có:

Q1 + Q2 = 0

4200.0,1(t – 100) + 1900.0,3(t – 20) = 0

420t – 42000 + 570t – 11400 = 0

t = 53,940C

Cả hai cách viết phơng trình cân bằng nhiệt đều cho cùng một kết quả Có thể thấy ngay cách viết tổng đại số đã đơn giản hóa việc ghi biểu thức (t2 – t1) cho cả vật nh-ờng nhiệt và vật nhận nhiệt, nó luôn là hiệu số giữa nhiệt độ cuối và nhiệt độ đầu (kí hiệu chung là t)

F Kết luận:

Qua việc hình thành cho học sinh có phơng pháp giải chung đã giúp cho học sinh

có đợc phơng pháp nhận dạng, kỹ năng giải từng dạng bài toán Từ chỗ nắm bắt đợc kiến thức, học sinh đã say mê hơn trong học tập, tin tởng vào bản thân và có sáng tạo trong giải những giải toán cụ thể

1 Kết quả khảo sát:

- Khi học sinh cha nắm đợc phơng pháp giải thờng mắc sai lầm trong vận dụng, phải mò mẫm trong kiến thức và cách giải không có tính tổng quát Cách nhìn nhận bài toán cha xoáy sâu vào trọng tâm Kết quả chỉ có từ 10-15% học sinh có đợc kết quả

đúng song cách giải còn dài dòng

- Khi nắm đợc phơng pháp giải, kết hợp với kiến thức đã có, vận dụng nghiên cứu, đến nay 100% học sinh yêu thích môn vật lí và có thái độ học tập nghiêm túc đẵ giải đợc bài toán theo thời gian ấn định cho phép

2 Cụ thể

Khi áp dụng đề tài này vào lớp 10A11 có mức độ học của học sinh tơng đơng lớp 10 A7 của trờng THPT Chúc Động năm học 2009-2010 và khi cho hai lớp cùng giải bài toán dạng cân bằng nhiệt thì thu đợc kết quả cụ thể sau:

Lớp 10 A11 có áp dụng đề tài Lớp 10A7 không áp dụng đề tài

Sĩ số 47:

Giỏi 20

Khá 15

TB 12

Yếu 0

Sĩ số:42 Giỏi 5 Khá 10

TB 15 Yếu 10

9

Kém 0 Kém 2

-Trên đây là một số kiến thức mà bản thân tôi đã vận dụng trong giảng dạy Chắc chắn đề tài còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận đợc sự góp ý của đồng nghiệp để bản thân tôi tiến bộ hơn, góp phần đợc nhiều hơn cho sự nghiệp giáo dục

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Đánh giá xếp loại của cơ quan Chơng Mỹ, ngày 25 tháng 04 năm 2010

Tác giả sáng kiến

Nguyễn Tiến Thiệp

10