Tổng hợp 35 bộ đề thi HSG toán THPT tỉnh Đăk La8k, Đây là tài liệu hay và bổ ích đùng cho các thầy cô giá, các em học sinh và phụ huynh. Mỗi đề có cách giải chi tiết, đầy đủ, dùng làm tài liệu tham khảo bổ ích.
A1A A10 Bài (4 điểm) Trong mặt phẳng cho thập giác B1B2B3 tam giác Ci đường thẳng d thay đổi mặt phẳng Gọi Một Dj Ai hình chiếu điểm d Bj uuuuu r A i Ci hình chiếu điểm d Biết đường thẳng d thay đổi cho tổng 10 vectơ uuuuu r B jD j 2017 lần tổng vectơ Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định xác định vị trí điểm Đáp án: Lời giải A1A A10 Điểm B1B2B3 Gọi A, B tâm thập giác tam giác Gọi uC, chiếu A, uuuD ur hình uuu uuuur u uurB d A1C1 + + A10C10 = 10AC Có uuuuur uuuuur uuur B1D1 + + B3D3 = 3BD Có uuuuur uuuuuuur uuuuu r uuuuur uuur 3.2017 uuur A1C1 + + A10C10 = 2017(B1D1 + + B3D3 ) ⇔ AC = BD 10 Do đó: 2đ 1đ 1đ uuur 3.2017 uuur AO = BO 10 Gọi O giao AB với d ta có nên O cố định Vậy đường thẳng d qua điểm cố định O có vị trí xác định đẳng thức Bài (3 điểm) Giải phương trình: x + x3 − x + x3 − x = x + x + 3 + x + + x+ 3 Đáp án: Lời giải Điểm x3 > x + x + Nếu x > x + x + 3 x − x > x + ⇒ VT > VP 3 x −x >3 x + x3 > x + x + Tương tự Vậy pt 1đ VT < VP ⇔ x3 = x + x + 2đ ⇔ x3 = ( x + 1)3 ⇔ x = x + ⇔ x = −1 x+ y+ z =3 Bài (4 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn Chứng minh rằng: x3 + y y3 + 2z3 z3 + 2x3 + + ≥3 x( y + z ) y ( z + x ) z ( x + y ) Đáp án: Lời giải x + y3 3y2 x3 + y + y ≥ xy ⇒ ≥ x( y + z ) y + z Điểm Có: x3 + y y + z 3y2 y + 2z 3y2 y + 2z ⇒ + ≥ + ≥2 = 2y x( y + z ) y + 2z y + 2z Vậy ta có: x3 + y y + z + ≥ 2y x ( y + z ) y + z z + x + ≥ z ⇒ VT + x + y + z ≥ 2( x + y + z ) y ( z + x) z + x3 x + y + ≥ 2x z ( x + y ) 1đ 1đ 1đ VT ≥ x + y + z ≥ Do đó: f :Z → Z Bài (3 điểm) Tìm tất hàm thỏa mãn: f (2 x + y ) ≥ f ( x + y ) + x + y; ∀x, y ∈ Z Đáp án: Lời giải f (2 x + y ) ≥ f ( x + y ) + x + y; ∀x, y ∈ Z Điểm a, b ∈ Z Với x = 3b − a f (a ) ≥ f (b) + a − b ⇒ f (a ) − a ≥ f (b) − b y = a − 2b Thay x = 3a − b f (b) ≥ f (a ) + b − a ⇒ f (b) − b ≥ f (a ) − a y = b − 2a Thay f (a ) − a = f (b) − b; ∀a, b ∈ Z Do đó: f ( x) − x = C Vậy f ( x) = x + C C∈Z Thử lại: hàm dạng với thỏa đề 1đ 1đ 1đ Bài (4 điểm) ( x, y , z , t ) Tìm tất số tự nhiên thỏa mãn: x + y + z = 32t+1 Đáp án: Lời giải x y z +2 +2 =3 2t+1 Vì lẻ nên x , y , 2z Điểm t+1 1đ x y ,2 ,2 z lẻ có số lẻ ( x, y, z, t ) = (0, 0, 0, 0) Nếu lẻ ta thu thỏa đề x y z ,2 ,2 2z Nếu số có số lẻ, chẳng hạn lẻ 1đ 1đ x ≥ 1; y ≥ x y 2t +1 −1 + = Nếu x, y lớn (vô lý) 1đ x + y M4 32t +1 − = 3.9t − chia dư 2 x = 32t+1 − 3M3 Nếu hai số x, y có số 1, chẳng hạn y =1 lý) ( x, y, z, t ) = (0, 0, 0, 0) Vậy có số thỏa đề (vô Bài (3 điểm) Trong hình vuông có độ dài cạnh , đặt 10 điểm phân biệt cho ba điểm thẳng hàng Chứng ming chọn điểm 10 điểm tạo thành đỉnh tam giác có diện tích không Đáp án: Lời giải Chia hình vuông thành hình vuông nhỏ có diện tích Nếu hình vuông nhỏ chứa không điểm ta đặt không điểm Vậy phải có hình vuông nhỏ chứa điểm Chọn điểm ta tam giác có diện tích không nửa hình vuông nhỏ (đpcm) Điểm 1đ 1đ 1đ ... = f (b) − b; ∀a, b ∈ Z Do đó: f ( x) − x = C Vậy f ( x) = x + C C∈Z Thử lại: hàm dạng với thỏa đề 1đ 1đ 1đ Bài (4 điểm) ( x, y , z , t ) Tìm tất số tự nhiên thỏa mãn: x + y + z = 32t+1 Đáp án:... x , y , 2z Điểm t+1 1đ x y ,2 ,2 z lẻ có số lẻ ( x, y, z, t ) = (0, 0, 0, 0) Nếu lẻ ta thu thỏa đề x y z ,2 ,2 2z Nếu số có số lẻ, chẳng hạn lẻ 1đ 1đ x ≥ 1; y ≥ x y 2t +1 −1 + = Nếu x,... − 3M3 Nếu hai số x, y có số 1, chẳng hạn y =1 lý) ( x, y, z, t ) = (0, 0, 0, 0) Vậy có số thỏa đề (vô Bài (3 điểm) Trong hình vuông có độ dài cạnh , đặt 10 điểm phân biệt cho ba điểm thẳng hàng