Phương pháp liên hợp Giải PT vô lỉ

Sáng kiến kinh nghiệm về Toán casio là tài liệu thiết thực cho mỗi thầy cô giáo cũng như học sinh tiếp cận nhanh phương pháp giải các dạng bài tập nâng cao một cách nhanh chóng và chính xác. Đây cũng là tài liệu bồi dưỡng HS giỏi Toán THCS và THPT

CHUYÊN ĐỀ MÁY TÍNH BỎ TÚI PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỦ ĐỀ 1: NHÂN LIÊN HỢP NGHIỆM HỮU TỶ ĐƠN BÀI Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm F ( x)  x   x  3x  5x   dò nghiệm để biết liên hợp cần tạo cho phương trình: +) Cho nghiệm x=  x    x   +) Kiểm tra liên hợp:  => liên hợp cần tạo:  x     x   Bài giải: +) ĐK: x  +) pt  ( x   2)  (2  x  1)  x2  3x   x 1 5( x  1)    ( x  1)(2 x  5)  3  x  ( x  9)  x  9.2      x  1    (2 x  5)    ( x  9)2  x  9.2   x     Ta chứng minh    (2 x  5)     (*)  ( x  9)2  x  9.2   x   5 Đến đây, trở ngại  , ta tìm max a tạo thành 5x   5x     a    5x     Mode nhập F(x) = với Star 0,2 End Step 0,2 ta GTLN 2,5 5x     Ta có    (2 x  5)   3  ( x  9)  x  9.2   x    5  5       (2 x  )   ( x  9)2  x  9.2   2  x    Do 5 5   x  ;    x  ; (2 x  )  x    2  5x   5 ( x  9)2  x  9.2    Nên    (2 x  5)      ( x  9)2  x  9.2   x   Vậy phương trình có nghiệm x= A A  A  ta tìm Max    a thiết lập  a   B B B  A  A A   Chú ý : Có  ta tìm Min    a thiết lập   a  B B B  BÀI  Chú ý: Có  Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm F ( x)  5x3  22 x  22 x   x  dò nghiệm để biết liên hợp cần tạo cho phương trình: +) Cho nghiệm x=1 x= => đa thức x2 -4x +3 +) Kiểm tra liên hợp:   x   x  x   x => liên hợp cần tạo: 4x   x Bài giải: +) pt  5x3  22 x2  22 x   x   +) ĐK: x   (5x3  22 x2  23x  6)  (x  x  3)  x2  x  0 x  4x     (x  x  3) 5 x    (**) x  x     (x  x  3)(5 x  2)    Ta chứng minh 5 x    0, x   x  4x    Ta tìm max : Dò bảng có max = 1,3333333333 = 4/3 4x   1 10  4   Ta có x      x     3 x  4x   x  4x     (4 x  3)  4 x    10  =    5x   3  3( x  x  3)    (4 x  3)  4 x    10  Do    0, x  ;  x    0, x   3  3( x  x  3)  Nên (**)  x2 – 4x + =  x= 1, x= Vậy phương trình có nghiệm x= x = BÀI Giải bất phương trình Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm F ( x)  x  x   x  2( x  1)  dò nghiệm để biết liên hợp cần tạo cho phương trình: +) Cho nghiệm x=1 +) Kiểm tra liên hợp: x2  x   0, 2( x  1)  => liên hợp cần tạo: x  x   2( x  1) Bài giải: +) ĐK: x  +) Bpt    x2  x   x  2( x  1)    x  x   2( x  1)   x  1    x2  x     x  1   x  x   2( x  1)      x  ( x  1)    x  1    x  x   2( x  1)      x  x- >0    x  1   0, x   x  x   2( x  1)    Vậy tập nghiệm bất phương trình T  (1; ) Giải bất phương trình BÀI Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm F ( x)  x  x   21x  17  x  x dò nghiệm để biết liên hợp cần tạo cho phương trình: +) Cho nghiệm x=2 +) Kiểm tra liên hợp: x  x   3; Bài giải: 17 +) ĐK: x  21 +) Bpt    x  x   3, 21x  17  => liên hợp cần tạo: 21x  17  x2  x   21x  17  x  x     x  x     21x  17   x  x     x  x    42  21x       x   ( x  1)   x  x      21x  17   ( x  2)(2 x  3)   x2    2     x   ( x  1)   x  x      21x  17    (2 x  3)   x  2    ( x  1)    x  x    21x  17   (2 x  3)  2    x  2     ( x  )     x  x    5  21x  17  Với x  (2 x  3) 17 21  0; 2   0; x   5  21x  17 x2  x    (2 x  3)  17 2  Do     ( x  )   x     21  x  x    5  21x  17  Nên x    x  Tập nghiệm bất phương trình T  [2; ) BÀI Giải phương trình Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm F ( x)  x  x   x  20 x   x dò nghiệm để biết liên hợp cần tạo cho phương trình: +) Cho nghiệm x = x = => đa thức x2 – 3x + +) Tìm liên hợp cách:  a   x  x   ax  b a  b  Tại x=1 x=    2a  b  b    x  x   ax  b   a   x  20 x   ax  b a  b    Tại x=1 x=  2a  b  10 b    x  20 x   ax  b  x  20 x   5x => liên hợp cần tạo: x4  x   x; Bài giải: +) ĐK:Do VT không âm nên VP = x   x  +) Bpt =>  x4  x2   x  20 x   x          x4  x2   x   x  20 x   x     x4  5x2   0    x  x   x   x  20 x   x        1    x  x      4  x  x   x   x  20 x   x     x4  5x2          x  5x   Vì    x 1  x  1    x   x  2       x4  x2   x         0       0, x  x  20 x   x   Đối chiếu điều kiện, suy phương trình có nghiệm x= x=  BÀI Giải phương trình Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm F ( x)  5x3  30 x  54 x  30  5x  dò nghiệm để biết liên hợp cần tạo cho phương trình: +) Cho nghiệm x = x = => đa thức x2 -5x + +) Tìm liên hợp cách giải hệ :  5x    x2  5x   x2  5x   x => liên hợp   x   x Bài giải: +) Bpt => 5x3  30 x2  54 x  30  5x   +) ĐK: x    x3  30 x  55 x  30     5x   x   x2  5x   x  x  x       0 x   x        x  x    x        (**)  5x   x    1   Vì  x  5      (5 x  6)   5x   x  5x   x   5x   ( x  )  5x   x  5  0, x   (5 x  6)   (5 x  6)  5x   x 5x   x x  Nên (**)  x  x     x  Đối chiếu điều kiện suy phương trình có nghiệm x= x=  Chú ý: Bài có dạng A B  C , không giải theo cách không tìm số   f(  ) nguyên BÀI Giải phương trình Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm F ( x)  x3  19 x  14 x   3x   5x  dò nghiệm để biết liên hợp cần tạo cho phương trình: +) Cho nghiệm x = x = => đa thức x2 -3x +  3x  2  x  3x   x   3x   x +) Tìm liên hợp:  =>  2   x  1  x  3x    x  1  x    x  1 Bài giải: 3 PT  x  19 x2  14 x   3x   5x   +) ĐK: x    x3  19 x  15x        3x   x  x   x    x  3x    x  3x     x  1  x  3x      0 x   x x   x             x  3x   (6 x  1)      x   x x   x              x  3x   (6 x  4)       x   x x   x         3x   (3x  2)      x  3x   (6 x  4)      x   x x   x          3x   (3x  2)      x  3x    (6 x  4)      x  3x   x     x   x   x 1  Vậy phương trình có nghiệm x = x = x   BÀI Giải phương trình Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm  x3  3x2  10 x  26  3x    x dò nghiệm để biết liên hợp cần tạo cho phương trình: +) Cho nghiệm x =   3x     3x   +) Kiểm tra      2x     2x   Bài giải: +) ĐK: 1  x  +) PT  x  3x2  10 x  26  3x    x   ( x3  3x  10 x  24)  (3  3x  3)  (  x  1)  3( x  2) 2( x  2)  0  ( x  4)( x  2)( x  3)   3x   2x     ( x  2) ( x  x  12)   0  3x   x       ( x  2) ( x  x  15)   2 0  3x   x    BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 2: NHÂN LIÊN HỢP NGHIỆM VÔ TỶ ĐƠN I/ PHƯƠNG PHÁP: B1/ Dùng Mode dò nghiệm ( ý F(X) đổi dấu ) B2/ Shift Calc tìm nghiệm vô tỷ B3/ Kiểm tra giá trị để biết mối quan hệ với nghiệm ban đầu B4/ Áp dụng liên hợp để giải II/ BÀI TẬP ÁP DỤNG: BÀI Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm x2  x   ( x  1) 8x   x  dò nghiệm Ta biết PT có nghiệm vô tỷ đơn khoảng (4; 4.5) Nhập hàm x2  x   ( x  1) 8x   x  tìm nghiệm (Shift Calc) cho x  4,236067977 Lưu vào biến A ( Shift Sto A)    A   6,236067977  8x   x  +) Kiểm tra       A   5,236067977  6x   x  Bài giải: 1 +) ĐK: x  +) PT  ( x  1)    x   ( x  2)   x   ( x  1)    x2  x     x2  4x    ( x  1)   0 x   ( x  2) x   ( x  1)         x 1  ( x  x  1)    0  x   ( x  2)   x   ( x  1)           x 1 1  ( x  x  1)      0x       x   ( x  2)    x   ( x  1)    x     x   BÀI Thao tác máy tính bỏ túi: Biến đổi phương trình : nhờ x=     x2  x   x     x 1 1   x 1  x   , mà   x    x nên (*) x x2  x   x2  x  x   x  Dùng chức TABLE nhập hàm x2  x   x2  x  x   x dò nghiệm từ đến bước nhảy 0,1 Ta biết PT có nghiệm x=0 nghiệm vô tỷ đơn khoảng (0.3; 0.4) Nhập hàm x2  x   x2  x  x   x tìm nghiệm (Shift Calc nhập 0,35) cho x  0,3819660113 Lưu vào biến A ( Shift Sto A)  A2  A   0,726542528  2    2x  2x   x  x +) Kiểm tra  A  A  0,726542528      x 1 x A  0,6180339887   Bài giải: x2  x   x2  x  x   x    x  x   x  x  x  (1  x)    x  3x  x  3x   0  2 x  (1  x )  2x  2x   x  x     1   x  3x  1       x2  x   x2  x  x  (1  x )     x  3x   (1)   x  x   x  x  x  (1  x)  (2)  3 x  (1)    3 x   2   x  x   x  x  x  (1  x)  (2)   => 2   x  x   x  x  x  (1  x)  3 Thử lại có nghiệm x= x  2 x2  x    x  x  BÀI Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm x  x2  5x   8x   3x  dò nghiệm từ đến bước nhảy 0,5 Ta biết PT có nghiệm vô tỷ đơn khoảng (1.5; 2) Nhập hàm x  x2  5x   8x   3x  tìm nghiệm (Shift Calc nhập 1,7) cho x  1,866025404 Lưu vào biến A ( Shift Sto A)  A2  A   2,568672072   x  x   3x  +) Kiểm tra  A   3,732050808    x   x  A   2,5686572072  Bài giải: ĐK : x  x  x  x   x   3x    ( x2  5x   3x  1)  (2 x  x  1)      x2  8x  x2  8x  ( )( )0 2 x  x  x  x   3x    1 )( )   x2  8x  1  ( 2 x  8x    x  x   3x    1 )( )   x2  8x  1   ( 2 x  8x    x  x   3x   2 x    2 x   BÀI Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm 5x2  5x   x   x  x  dò nghiệm từ đến bước nhảy 0,5 Ta biết PT có nghiệm vô tỷ đơn khoảng (1.2; 1.5) Nhập hàm 5x2  5x   x   x  x  tìm nghiệm (Shift Calc nhập 1,7) cho x  0,3596117968 Lưu vào biến A ( Shift Sto A) 2    A  A   1,359611797  5x  5x   x    +) Kiểm tra  A   0,7192235936   7x   2x   Bài giải: ĐK: x  5x2  5x   x   x2  x        x  x   ( x  1)  x  x   x  x      4x2  x   x2  x     x2  x      x  x   ( x  1)   x  x        1     x2  x  2     1     x  x   ( x  1)   x  x          1     x  x        1  x      x  x   ( x  1)   x  x         17  x   BÀI Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm x2  x   15x  x  dò nghiệm từ đến bước nhảy 0,5 Ta biết PT có nghiệm vô tỷ đơn khoảng (0.5; 1) Nhập hàm x2  x   15x  x  tìm nghiệm (Shift Calc nhập 0,7) cho x  0,7675918792 Lưu vào biến A ( Shift Sto A) +) Kiểm tra Giải: A2  A   1,535183758  x  x   x x2  x   15x2  x   2   x  x   x  15 x  x    3x  x    2   3x  x  1    x  x   2x       3x  x  1   5 0  x  x   x           3x  x  1   5 0  x  x   x       3x  x    3x  x    2   25( x  x  1)   40 x  100 x    x2  x     x   2   x     13   13 x  x  6  Thử lại PT có nghiệm    1  29 1  29 x   x  10 10   BÀI Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm  x  x  x  x  dò nghiệm từ đến bước nhảy 0,2 Ta biết PT có nghiệm vô tỷ đơn khoảng (2.6; 2.8) Nhập hàm  x  x  x  x  tìm nghiệm (Shift Calc nhập 2,7) cho x  2,618033989 Lưu vào biến A ( Shift Sto A)     A  0,6180339887  3 x  x 2 +) Kiểm tra       A  1,618033989  x  x 1 Giải: ĐK:  x  3  x  x  x2  x        x  ( x  2)   x  ( x  1)  x  3x     x  3x     x  3x       x  3x    x  ( x  2) x  ( x  1)          1    x  3x  1       1    x  ( x  2) x  ( x  1)        x  3x    x  3 BÀI TẬP TỰ GIẢI CHỦ ĐỀ 3: NHÂN LIÊN HỢP VỚI NGHIỆM HỮU TỈ KÉP BÀI Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm x2  x   x dò nghiệm từ đến bước nhảy 0.5 Ta biết PT có nghiệm hữu tỷ kép x=1 a  b    ax  b  x  Ta tìm a, b cho  x= 1=>   a  b    a  (ax  b)'  ( x )' Liên hợp cần tìm x   x Giải: ĐK x  x2  x   x   x2  x   ( x  1)  x  ( x  x  1)  ( x  1)  0 ( x  1)  x    ( x  1)2 1     x= ( x  1)  x   BÀI Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm x  x   x  dò nghiệm từ đến bước nhảy 0.5 Ta biết PT có nghiệm hữu tỷ kép x=1 a  b    ax  b  x  Ta tìm a, b cho  x= 1=>   a  b    a  (ax  b)'  ( x )' Liên hợp cần tìm x   x  a  b  a  ax  b  x  Ta tìm a, b cho  x= 1=>    a  ( ax  b )'  ( x  1)'  b    Liên hợp cần tìm x  x  1 Giải: ĐK x  2 x  2x   2x    x  ( x  1)  x   x   x2  x   x2  x    0 x  ( x  1) 2x   x   1    x  x  1      x= x  ( x  1) x   x   BÀI Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm x   3x   x2  dò nghiệm từ đến bước nhảy 0.5 Ta biết PT có nghiệm hữu tỷ kép x=1  a  b  a  ax  b  x  Ta tìm a, b cho  x= 1=>    a   b   (ax  b)'  ( x  1)' Liên hợp cần tìm x  x   ax  b  3x  Ta tìm a, b cho  x= 1=>  (ax  b)'  ( 3x  2)' Liên hợp cần tìm x  3x  Giải: ĐK x  2 x   3x   x   a  b  a     a   b  x   x  3x   x  x  x    x2  x   x3  3x     x2  x   x   x  3x  2  3x  2.x  x    x2     x  x  1   1   x= 2  x   x  3x    3x  2.x  x    BÀI Thao tác máy tính bỏ túi: Dùng chức TABLE nhập hàm x2  3x   3 x  dò nghiệm từ đến bước nhảy 0.5 Ta biết PT có nghiệm hữu tỷ kép x=1  a  b  a  / ax  b  x  Ta tìm a, b cho  x= 1=>    a  / b  /  (ax  b)'  ( x  4)' Liên hợp cần tìm x   3 x  Giải: x  3x   3 x    x2  x   ( x  5)  3 x    2( x2  x  1)  ( x  5)  3 x   ( x  1)2 ( x  17)  2( x  x  1)  0 ( x  5)2  ( x  5)3 x   9( x  4)   ( x  17)  ( x  x  1)      x= ( x  5)2  ( x  5)3 x   9( x  4)   ... nghiệm để biết liên hợp cần tạo cho phương trình: +) Cho nghiệm x=1 x= => đa thức x2 -4x +3 +) Kiểm tra liên hợp:   x   x  x   x => liên hợp cần tạo: 4x   x Bài giải: +) pt  5x3  22... Cho nghiệm x = x = => đa thức x2 -5x + +) Tìm liên hợp cách giải hệ :  5x    x2  5x   x2  5x   x => liên hợp   x   x Bài giải: +) Bpt => 5x3  30 x2  54 x  30  5x   +) ĐK:... NHÂN LIÊN HỢP NGHIỆM VÔ TỶ ĐƠN I/ PHƯƠNG PHÁP: B1/ Dùng Mode dò nghiệm ( ý F(X) đổi dấu ) B2/ Shift Calc tìm nghiệm vô tỷ B3/ Kiểm tra giá trị để biết mối quan hệ với nghiệm ban đầu B4/ Áp dụng liên