Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu

Sao bng lnh giá – V Khc Ngc 0985052510 vukhacngoc@gmail.com http://my.opera.com/saobanglanhgia CÂU 20 TRONG  THI KHI A NM 2008 MÃ 794 VÀ CÔNG THC TÍNH NHANH I. t vn đ K thi H đã qua đi đc 2 ngày đi vi các bn thí sinh khi A nhng d âm ca nó vn còn đeo đng c nhng thí sinh đã tri qua 2 ngày thi cng thng cng nh các thí sinh chun b bc vào đt thi th 2 sp ti. Nm nay, dù đã theo sát hn k thi H, nhng vì bn công tác nên có l tôi s không kp biên son đáp án cho khi B (chm mt khong 1 tun). i vi đáp án khi A đã công b, mc dù vn còn mt s sai sót, nhng nhìn chung các bn đu đánh giá cao các phng pháp mà tôi đã vn dng vào đ thi. Tuy nhiên, tôi vn thng xuyên “đc làm phin” bi các tin nhn, đin thoi và email ca các bn hi v nhng vn đ xung quanh đáp án. Trong s các câu hi tôi nhn đc, câu hi có nhiu bn thc mc nht là công thc tính nhanh mà tôi đã s dng trong câu 20 ca đ thi 794 khi A. ây là mt câu hi ht sc quen thuc, đã tng đc rt nhiu trng H s dng trong đ thi vào nhng nm 90 ca th k trc và tip tc gp phi trong đ thi TS H 2 nm gn đây. Bài vit di đây s cung cp nhng thông tin xung quanh công thc tính nhanh mà tôi đã s dng trong đ áp án đã công b. ng thi cng b sung nhanh các dng toán bin đi t bài tp này đ các bn khi B ch đng vi nó hn. Các dng toán này đu đã đc tôi luyn tp cho hc sinh  lp hc và rt có kh nng s còn tip tc ri vào đ thi nm nay và nhng nm sp ti. II. Phân tích và tho lun: 1, Trc tin xin nhc li câu hi mà đáp án tôi đã công b: Xin nhc li là đây là mt bài toán rt quen thuc, mà cách gii ca nó hin đã lên ti 15. Tuy nhiên, trong s các cách làm đã tìm ra, tôi la chn vic dùng công thc, vì nó cho phép gii bài toán này vi tc đ nhanh hn c. Các bn hoàn toàn có th tìm hiu thêm thông tin v Sao bng lnh giá – V Khc Ngc 0985052510 vukhacngoc@gmail.com http://my.opera.com/saobanglanhgia bài toán này ti Blog ca tôi trong các bài vit “Bài toán kinh đin ca Hóa hc – bài toán 9 cách gii” và “ánh giá đy đ hn ý ngha ca phng pháp ghép n s” 2, Công thc đó đc chng minh nh sau UCách 1:U Phng pháp ghép n s Hng dn gii: a, Phân tích bài toán Biu thc đã cho: mB hh B = 56x + 72y + 232z + 160t (1) nB e cho B = 3x + y + z (2) Biu thc cn tìm: ( ) 2t3zyx56 + + + =m (3) b, Bin đi các biu thc đã cho đ ghép n s t A và B là h s ca các phng trình (1) và (2) sao cho: ( ) ( ) ( ) 321 = + BA Tin hành đng nht h s, ta có h phng trình: :56 3 56 :72 56 0,7 : 232 56 5,6 :160 56 xAB yAB A zAB B tA += ⎧ ⎪ += = ⎧ ⎪ → ⎨⎨ += = ⎩ ⎪ ⎪ = ⎩ Và do đó, 0,7 5,6mAB=+ T kt qu ca bài toán, ta có th khái quát hóa thành mt công thc tính: 0,7 5,6 F ehhcho mme=+ (vi mB hh B là khi lng ca hn hp Fe và oxit) Cách 2: Phng pháp bo toàn electron Ta xem quá trình oxh – kh xy ra trong bài là 2 bc oxh ni tip: 3 2 3 (& ) HNO O F ehhFeoxit Fe + + ⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→ Áp dng đnh lut bo toàn electron cho 2 bc, ta có: 23 16 56 hh Fe Fe e mm m n − × += × Trong đó nB e B là s electron trao đi (eB cho B và cng bng eB nhn B)  bc oxh th 2. Bin đi biu thc trên, ta cng thu đc kt qu nh cách 1. Sao bng lnh giá – V Khc Ngc 0985052510 vukhacngoc@gmail.com http://my.opera.com/saobanglanhgia III. Kt lun Nh vy là vi nhng bin đi  cách chng minh 1 và 2, ta đã phn nào hiu đc vì sao li có công thc Thi thử MIỄN PHÍ tại: http://thiquocgia.vn TÍNH NHANH BÁN KÍNH MẶT CẦU TRONG VÀI TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT TRƯỜNG HỢP 1: Mặt cầu tâm I ( x , y , z)tiếp xúc với mặt phẳng - Tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) R  z (thiếu z z) - Tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxz) R  y (thiếu y y) - Tiếp xúc với mặt phẳng ( Oyz) R  x (thiếu x x) VD: Cho mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) Phương trình mặt cầu là? Vì tiếp xúc với (Oxy) nên R  3  Phương trình mặt cầu là: ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  TRƯỜNG HỢP 2: Mặt cầu tâm I ( x , y , z)tiếp xúc với trục tọa độ - Tiếp xúc với trục Ox R  y 2z - Tiếp xúc với trục Oy R  x 2z - Tiếp xúc với trục Oz R  x2y VD: Cho mặt cầu (S) tâm I (3; 2; 4) tiếp xúc với trục Oz Phương trình mặt cầu là? Vì tiếp xúc với Oz nên R  x Phương trình mặt cầu là: ( x  3) 2 y  2 2  13 2  ( y  2)  ( z  4) 13 GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Face : Hoàng Trọng Tấn Tel : 0909520755 , Page : Trắc Nghiệm Toán PP GIẢI NHANH BÀI TOÁN MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP HOÀNG TRỌNG TẤN 0909520755,TÂN PHÚ,TPHCM GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Face : Hoàng Trọng Tấn Tel : 0909520755 , Page : Trắc Nghiệm Toán PP tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp loại Loại : Hình chóp có đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh lại góc vuông Gọi d độ dài đoạn thẳng ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: R d Ví dụ : Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) SC=2a Tính diện tích thể tích mặt cầu tiếp hình chóp Giải : Dễ thấy tam giác SAC vuông A , tam giác SBC vuông B từ hình chóp loại nên R SC 2a a Ví dụ : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SC=2a Tính diện tích thể tích mặt cầu tiếp hình chóp Giải : Dễ thấy tam giác SAC vuông A , tam giác SBC vuông B giác SDC vuông D từ hình chóp loại nên : R Loại : Hình chóp SC 2a a GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Face : Hoàng Trọng Tấn Tel : 0909520755 , Page : Trắc Nghiệm Toán Gọi h độ cao hình chóp k chiều dài cạnh bên ta có bán kính mặt cầu : k2 2h R Ví dụ : Cho hình chóp tam giác S.ABC , có AB=a cạnh bên SA=2a , tính diện tích thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giải : gọi G trọng tâm tam giác ta có SG vuông góc với mặt phẳng (ABC) Thế SA k,SG h nên R mặt cầu : R SA2 2SG SA2 R SA2 AG SA2 R AB SA2 2 33 a 11 Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có AB=a cạnh bên SA=2a , tính diện tích thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giải : gọi O tâm hình vuông ABCD ta có SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Thế SA k,SO h nên R mặt cầu : R R SA2 2SO SA2 SA2 AO SA2 R SA2 AB 2 Loại : Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy 14 a GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Face : Hoàng Trọng Tấn Tel : 0909520755 , Page : Trắc Nghiệm Toán Gọi h chiều cao hình chóp Rd bán kính đáy bán kính mặt cầu : R Rd h 2 Ví dụ : cho hình chóp SABCD có cạnh SA vuông góc với đáy , ABCD hình chữ nhật có đường chéo dài a , SA=2a Tính diện tích thể tích mặt cầu ngoại tiếp SABCD Giải : Ta có : Rday AC SA=hÁp dụng công thức ta có : AC R a R 2 SA 2a a 2 a 21 Ví dụ : cho hình chóp SABC có cạnh SA vuông góc với đáy , ABC tam giác cạnh = a , SA dài 2a Tính diện tích thể tích mặt cầu ngoại tiếp SABCD Giải : Ta có Rday AM 3 AB 3 AB SA=h Áp dụng công thức ta có : AB R R SA 2 a 3 Ví dụ : cho hình chóp SABC có cạnh SA vuông góc với đáy , ABC tam giác vuông A BC=2a , SA dài 2a Tính diện tích thể tích mặt cầu ngoại tiếp SABCD Giải : Ta có Rday BC SA=h Áp dụng công thức ta có : R BC 2 SA 2 R a Ví dụ : cho hình chóp SABC có cạnh SA vuông góc với đáy , ABC tam giác cân A AB=a góc A =120 độ , SA dài 2a Tính diện tích thể tích mặt cầu ngoại tiếp SABC GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Face : Hoàng Trọng Tấn Giải : Ta có : Rday AB.BC CA 4S ABC Áp dụng công thức ta có : R Diện tích : S (a 2)2 a.a 3.a a SA=2a a.a 2 Rday Tel : 0909520755 , Page : Trắc Nghiệm Toán SA 2 a2 R (a 2)3 a , thể tích V a2 a a Loại 4: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy Đối với loại mặt bên vuông góc thường tam giác vuông , tam giác cân Gọi h chiều cao hình chóp Rb , Rd bán kính mặt bên , mặt đáy , GT độ dài giao tuyến mặt bên đáy bán kính mặt cầu : R Rb Rd GT Ví dụ : cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích mặt LUYỆN THI THPT 2017 – LỚP HỌC TOÁN THẦY TUẤN 0977.144.193 PHẠM TUẤN TÍNH NHANH BÁN KÍNH MẶT CẦU TRONG VÀI TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT TRƯỜNG HỢP 1: Mặt cầu tâm I ( x, y, z ) tiếp xúc với mặt phẳng - Tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy ) R  z (thiếu z z) - Tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz ) R  y (thiếu y y) - Tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz ) R  x (thiếu x x) VD: Cho mặt cầu (S) có tâm I (1;2; 3) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy ) Phương trình mặt cầu là? Vì tiếp xúc với (Oxy ) nên R  3  Phương trình mặt cầu là: ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  TRƯỜNG HỢP 2: Mặt cầu tâm I ( x, y, z ) tiếp xúc với trục tọa độ - Tiếp xúc với trục Ox R  y2  z2 - Tiếp xúc với trục Oy R  x2  z - Tiếp xúc với trục Oz R  x2  y VD: Cho mặt cầu (S) tâm I (3;2;4) tiếp xúc với trục Oz Phương trình mặt cầu là? Vì tiếp xúc với Oz nên R  x  y  32  22  13 Phương trình mặt cầu là: ( x  3)  ( y  2)  ( z  4)  13 2 Trần Lê Quyền Trần Lê Quyền1 — Casiotuduy Một số công thức tính bán kính mặt cầu 25–04–2017 Nhận xét Xét hình chóp S.ABC , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O bán kính Rd Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , ta có trường hợp sau: (1) Nếu SA⊥(ABC) SA2 + Rd2 R= (1) (2) Nếu SA = SB = SC R= SA2 2SO (3) Nếu (SAB)⊥(ABC) bán kính đường tròn ngoại tiếp R= d(O, AB)2 + Rb2 (2) SAB Rb (3) Chứng minh (1) (2) đơn giản (3) Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Ta có IO⊥(ABC) IK⊥(SAB) Xét tam giác IAK , ta có IA = Để ý OI IK + AK = d(O, AB)2 + Rb (SAB) nên IK = d(O, (SAB)) = d(O, AB) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a, BC = 2a √ Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy SA = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Để áp dụng (1), cần tính bán kính đáy Rd Vì đáy tam giác vuông B nên Rd = BC = √ a Vậy bán kính cần tìm SA2 √ + Rd2 = a Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có tất cạnh 2a Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Nhận luyện thi theo nhóm khu vực Q6, TP.HCM 01226678435 0122 667 8435 Trần Lê Quyền Giải Mặt cầu cho mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ABC , nên với A A⊥(ABC) ta áp dụng A A2 + Rd2 = R= a2 + 2a √ √ a 21 = 28πa2 Diện tích mặt cầu 4πR2 = Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc Biết OA = a, OB = b, OC = c, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Giải Ta có AO⊥(OBC) nên có áp dụng (1), OA2 + Rd2 = R= OA2 + OB + OC Công thức cho phép xây dựng số toán thú vị liên quan đến tứ diện vuông Chẳng hạn BT Cho tứ diện OABC có A, B, C thay đổi thỏa mãn OA, OB, OC đôi vuông góc 2OA + OB + OC = Giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABC √ 3 C √ B √ A D BT Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với Gọi C điểm cố định Oz , đặt OC = 1; điểm AB , thay đổi OxOy , cho OA + OB = OC Tìm giá trị bé bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC √ A B √ √ √ C D Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a √ Gọi D điểm đối xứng A qua BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD Giải Gọi H trọng tâm tam giác ABC , ta có SH⊥(ABC) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD AH = √a3 Trong ta có DH = 2AH , nên H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Vậy áp dụng (1), R= √ SH a 21 + Rd = Như vậy, ‘nới rộng’ điều kiện áp dụng (1), hình chiếu đỉnh S 0122 667 8435 Trần Lê Quyền ‘rơi’ đường tròn ngoại tiếp đáy Ví dụ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác có tất cạnh a Giải Xét hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Vì hình chóp S.ABCD S.ABC có mặt cầu ngoại tiếp nên với SA = SB = SC ta áp dụng (2) để có R= Ta có SO = √ SA2 − OA2 = thể tích khối cầu 43 πR3 = SA2 2SO a2 − a2 √ πa3 = √a suy R = √a Vậy Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh Hình chiếu đỉnh S lên mặt đáy trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 23 Tính thể tích khối chóp Giải Vì S cách A, B, C nên áp dụng (2) Ta có liên hệ   SA2 = SO + 2 SA   = 2SO Giải hệ thu SO = 1, thể tích khối chóp cho √ 12 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Đường thẳng BC tạo với (SAC) góc 30◦ Tính bán ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co công cầur o c o h t t p : / Một / wsố w wthức ttính a bán i l kính i e mặt up http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu Trần Lê Quyền Trần Lê Quyền1 — Casiotuduy 25–04–2017 Nhận xét Xét hình chóp S.ABC , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O bán kính Rd Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , ta có trường hợp sau: (1) Nếu SA⊥(ABC) SA2 + Rd2 R= (1) (2) Nếu SA = SB = SC R= SA2 2SO (3) Nếu (SAB)⊥(ABC) bán kính đường tròn ngoại tiếp R= d(O, AB)2 + Rb2 (2) SAB Rb (3) Chứng minh (1) (2) đơn giản (3) Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Ta có IO⊥(ABC) IK⊥(SAB) Xét tam giác IAK , ta có IA = Để ý OI IK + AK = d(O, AB)2 + Rb (SAB) nên IK = d(O, (SAB)) = d(O, AB) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a, BC = 2a √ Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy SA = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Để áp dụng (1), cần tính bán kính đáy Rd Vì đáy tam giác vuông B nên Rd = BC = √ a Vậy bán kính cần tìm SA2 √ + Rd2 = a Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có tất cạnh 2a Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Nhận luyện thi theo nhóm khu vực Q6, TP.HCM 01226678435 www.facebook.com/tailieupro 0122 667 8435 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu Trần Lê Quyền Giải Mặt cầu cho mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ABC , nên với A A⊥(ABC) ta áp dụng A A2 + Rd2 = R= a2 + 2a √ √ a 21 = 28πa2 Diện tích mặt cầu 4πR2 = Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc Biết OA = a, OB = b, OC = c, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Giải Ta có AO⊥(OBC) nên có áp dụng (1), OA2 + Rd2 = R= OA2 + OB + OC Công thức cho phép xây dựng số toán thú vị liên quan đến tứ diện vuông Chẳng hạn BT Cho tứ diện OABC có A, B, C thay đổi thỏa mãn OA, OB, OC đôi vuông góc 2OA + OB + OC = Giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABC √ A √ B √ 3 C D BT Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với Gọi C điểm cố định Oz , đặt OC = 1; điểm AB , thay đổi OxOy , cho OA + OB = OC Tìm giá trị bé bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC √ A B √ √ C √ D Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a √ Gọi D điểm đối xứng A qua BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD Giải Gọi H trọng tâm tam giác ABC , ta có SH⊥(ABC)