Phương pháp phát hiện và chứng minh giả thiết quy nạp

MỤC LỤC Trang I MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài…………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………… 1.3.Đối tượng nghiên cứu ……………………………………… 1.4.Phương pháp nghiên cứu ………………………………… 1.5.Những điểm SKKN……………………………… II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ………………… 2.1.1 Phương pháp quy nạp…………………………………… 2.1.2 Nguyên lí quy nạp toán học …………………………… 2.1.1a) Tiên đề ……………………………………………… 2.1.1b) Định lí ………………………………………………… 2-3 2.1.3 Hai bước nguyên lí quy nạp toán học……………… 3-6 2.1.4 Giai đoạn quy nạp giả thiết quy nạp………………… Dạng 1: Bài toán tính tổng …………………………… 6-10 Dạng 2: Xác định công thức dãy số (un ) …………… 11-12 2.1.5 Bước quy nạp xác định P(k) ………………… 13 2.1.6 Bước quy nạp xác định P(k+1)……………… 13 2.1.7 Áp dụng dãy số vào toán thực tiễn……………… 14 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN……………… 15 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề…………… 15 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục…………… 15 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận …………………………………………………… 17 3.2 Kiến nghị …………………………………………………… 17 I MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài : Một phương pháp mạnh toán học dùng nghiên cứu chứng minh giả thuyết nguyên lý quy nạp toán học Có vô số ví dụ môn học chương trình phổ thông dùng nguyên lý để diễn tả mô tả Nhưng để hiểu thấu đáo kỹ thuật áp dụng học tập , sáng tạo sách bàn tới có đề cập đến nằm mức độ giản đơn Khi học môn giải tích lớp 11 phần lớn học sinh không nắm vững phương pháp chứng minh quy nạp nguyên lý toán quy nạp cách cặn kẽ dẫn đến làm toán với chủ đề không ý Một lớp toán tính tổng , toán xác định số hạng tổng quát dãy số hay nói khác toán tìm kiếm giả thiết quy nạp toán học Như thực tiễn đặt phải có cách nhìn nhận tiếp cận tốt toán chứng minh quy nạp toán học nói chung toán tìm giả thiết quy nạp nói riêng Thông qua việc trực tiếp giảng dạy dự đồng nghiệp nhận thấy kiến thức phương pháp quy nạp học sinh lớp 11 nhiều hạn chế , em lúng túng gặp nhiều khó khăn giải nhửng toán liên quan đến nguyên lý quy nạp , toán liên qua đến xây dụng giả thiết quy nạp Điều khiến phải suy nghĩ tìm tòi phương pháp phù hợp dễ hiểu trình độ kiến thức học sinh Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung , tính phức tạp hoá gây nên trở ngại cho học sinh trình tiếp cận với phương pháp quy nạp toán học Cùng với việc giúp đỡ học sinh học tập tốt vận dụng nội dung học toán cách hiệu với hy vọng giúp học sinh khắc phục yếu điểm kể , nắm vững phương pháp quy nạp , từ giúp học sinh giải toán phương pháp quy nạp toán học nói riêng đạt kết cao trình học tập mộn toán nói chung mạnh dạn đề xuất sáng kiến “Phương pháp phát chứng minh giả thiết quy nạp toán học ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Xuất phát từ tầm quan trọng phương pháp chứng minh quy nạp toán học , tính phức tạp việc áp dụng nguyên lý quy nạp toán học gây nên trở ngại cho học sinh trình tiếp cận Cùng với tích luỹ kinh nghiệm có thân qua năm giảng dạy Kết hợp với kiến thức mà lĩnh hội chương trình Đại học toán nên mạnh dạn chọ đề tài 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Khi học sinh học chủ đề “phương pháp quy nạp toán học” kiến thức sau học sinh thường thấy khó là: • Nguyên lí quy nạp toán học • Giai đoạn quy nạp giả thiết quy nạp • Phát giả thiết quy nạp • Hai bước nguyên lý quy nạp toán học 1.4.Phương pháp nghiên cứu: Xây dựng khung phương pháp chung cụ thể , rõ ràng Trên sở đưa toán liên quan đến áp dụng nguyên lý quy nạp toán học phù hợp với hoạt động lực , tư kĩ vận dụng kiến thức học sinh để giải triệt để vướng mắc học sinh gặp phải • Phương pháp phân tích ,tổng hợp • Phương pháp tổng kết kinh nghiệm II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp quy nạp hay dùng nghiên cứu khoa học trình học tập môn toán trường THPT Vì lí nên phải hiểu phương pháp quy nạp đặc biệt áp dụng để nhận điều chân lí toán học Với mục đích giúp cho học sinh thấy toán học gần gũi với sống xung quanh, hoàn toàn thực tế việc tiếp thu kiến thức toán nhà trường không để thi cử mà công cụ đắc lực để giúp em giải vấn đề, tình đơn giản thực tế 2.1.1 Phương pháp quy nạp Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * với n mà thử trực tiếp làm sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ (gọi giả thiết quy nạp ) , chứng minh với n = k + Đó phương pháp quy nạp toán học , hay gọi tắt phương pháp quy nạp [2] Người ta thường phân biệt hai hình thức suy luận , suy diễn quy nạp “ Suy diễn hay gọi phép suy diễn từ chung đến riêng , từ tổng quát đến cụ thể” , “còn quy nạp hay gọi phép quy nạp lại từ riêng đến chung , từ cụ thể đến tổng quát” [2] 2.1.2 Nguyên lí quy nạp toán học Để ngắn gọn ta kí hiệu khẳng định toán học P( x) , x biến số Người ta thường đưa dạng mệnh đề: “Với x (trong tập S ), P( x) ” Trong sáng kiến ta lấy x = n số tự nhiên S tập số tự nhiên ( bao gồm toàn số nguyên dương) Ta sử dụng tính chất quan trọng tập số tự nhiên , thường người ta công nhận tiên đề (được gọi tiên đề thứ tự ) 2.1.2a) Tiên đề: Trong tập hợp khác rỗng số tự nhiên có phần tử nhỏ Cho số tự nhiên n ứng với khẳng định P(n) Ví dụ , với ta cho tương ứng khẳng định P(1): “ Số số lẻ”, số cho tương ứng với P(2) :”Số là số chẵn”;…Bằng tương ứng tạo dãy khẳng định riêng P (1), P (2), , P(n), Nguyên lý quy nạp toán học cho ta phương pháp kiểm tra khẳng định P(n) sai với n Nguyên lý quy nạp toán học thể qua định lí sau [1] 2.1.2b) Định lí: Cho n0 số nguyên dương P(n) mệnh đề có nghĩa với số tự nhiên n ≥ n0 Nếu A) P (n0 ) B ) Nếu P (k ) , P (k + 1) với số tự nhiên k ≥ n0 , mệnh đề P(n) với số tự nhiên n ≥ n0 [1] Chứng minh: Ta chứng minh định lí phương pháp phản chứng Giả sử ngược lại , mệnh đề khẳng định định lí không với số tự nhiên n ≥ n0 Nghĩa tồn số tự nhiên m ≥ n0 , mà P(m) không Ta lấy số tự nhiên m nhỏ mà P(m) không (điều thực tiên đề thứ tự) Theo điều kiện A), ta có bất đẳng thức m > n0 , từ suy m −1 ≥ n0 Từ bất đẳng thức vừa lập cách chọn số tự nhiên m suy P(m −1) , không kéo theo P(m) cho số m = (m −1) + Điều trái với giả thiết B) Xuất phát từ mệnh đề khẳng định với trường hợp riêng , chẳng hạn số 1,2, nảy sinh giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên Sau để chứng minh giả thiết ta vừa xây dựng người ta lí luận theo nguyên lí quynạp toán học Theo định lí phương pháp gồm hai bước , thứ ta kiểm tra khẳng định tính chất với n = n0 , gọi bước sở ; sau chứng minh với k ≥ n0 , P(k ) thoả mãn tính chất biết , suy P(k + 1) có tính chất , gọi bước quy nạp Kết luận P(n) có tính chất cho với n ≥ n0 Cách chứng minh theo quy nạp toán học tránh cho ta phải kiểm tra vô hạn bước khẳng định mệnh đề 2.1.3 Hai bước nguyên lý quy nạp toán học Như ta biết nguyên lý quy nạp toán học gồm hai phần , việc kiểm tra hai cần sáng tỏ áp dụng nguyên lý Nếu ta bỏ hai điều kiện kiểm tra , ta nhận kết sai Thông qua ví dụ sau để minh hoạ hiểu thấu đáo điều Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên số tự nhiên liền sau [1] Lời giải: Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k , nghĩa k = k +1 Ta chứng minh đẳng thức sau k +1 = k + Thật , theo giả thiết quy nạp cộng hai vế đảng thức với , ta nhận k + = (k + 1) + = k + Như khẳng định với n = k với n = k + , mệnh đề toán với số tự nhiên n Hệ toán tất số tự nhiên Điều thật vô lí Vậy cách chứng minh sai đâu? Dễ dàng thấy chứng minh áp dụng nguyên lý quy nạp toán học bỏ qua kiểm tra n = Điều kiện A) B) định lí mục 2.1.1b) có ý nghĩa đặc biệt Điều kiện A) tạo sở để thực quy nạp Điều kiện B) đưa nguyên tắc cho việc mở rộng vô hạn sở điều kiện A) Nguyên tắc từ trường hợp riêng sang trường hợp riêng khác ; từ k đến k + Trong ví dụ ta không kiểm tra điều kiện A) định lí mục 2.1.1b), nên không tạo sở để thực quy nạp , nghĩa thực kiểm tra điều kiện B) định lí này, thực chất để mở rộng Ta xét thêm ví dụ sau: Ví dụ 2: Chứng minh với số tự nhiên n bất đẳng thức sau 3n > 3n + [2] Lời giải: Giả thiết bất đẳng thức với n = k , với k số tự nhiên , nghĩa ta có: 3k > 3k + (1.1) Ta chứng minh bất đẳng thức (1) với n = k + 3k +1 > 3(k + 1) + (1.2) Thật , 3k số không nhỏ với số tự nhiên k ≠ Ta cộng vế trái (1.1) với 3k cộng vế phải (1.1) với Ta nhận 3k + 3k > 3k + + Nghĩa 3k +1 > 3(k + 1) + Bài toán giải xong Tất nhiên ví dụ mắc sai lầm ví dụ trước không kiểm tra bước sở Thực chất cách chứng minh bất đẳng thức với n = k + , với n = k Điều không suy bất đẳng thức với giá trị n , chưa nói tới với số tự nhiên n Như ta thử với n = bất đẳng thức sai Với n ≥ bất đẳng thức Giá trị số tự nhiên nhỏ n = bất đẳng thức (1) (điều kiện A) với n0 = lặp lại cách chứng minh từ giả thiết (1) với n = k suy với n = k + ( điều kiện B) Vì theonguyên lý quy nạp toán học ta có kết luận bất đẳng thức với số tự nhiên n ≥ - với số tự nhiên n đề ra) Trong việc áp dụng phương pháp quy nạp toán học mà chứng minh điều kiện A) định lí mục 2.1.1 b) đưa bước sở để quy nạp nguyên tắc để mở rộng sở Để minh chứng cho điều ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Chứng minh nhứng giá trị hàm số f (n) = n2 − n + 41 với n = 0,1,2, số nguyên tố [1] Lời giải: Ta tính f (0) = 1, f (1) = 41, f (2) = 43, f (3) = 47, f (4) = 53, f (5) = 61, f (6) = 71, f (7) = 83, f (8) = 97, f (9) = 113 Ta tính toán tiếp tục giá trị f (n) n = 40 , tất giá trị số nguyên tố Nhưng với n = 41 ta có f (41) = 412 − 41 + 41 = 412 Kết f (41) số nguyên tố , nên kết luận toán không Như ta thấy mệnh đề với 40 trường hợp riêng , không với trường hợp nói chung [4] Ví dụ 4: Đa thức x n −1 , với n số tự nhiên dương Đa thức liên quan đến toán hình học chia đường tròn thành n phần bàng , nên đa thức nhiều lĩnh vực toán học nghiên cứu đề cập đến Đặc biệt nhà toán học quan tâm tới vấn đề phân tích đa thức thành thừa số đa thức với hệ số nguyên ±1 , liệu điều với n? [1] Lời giải: Bằng cách khai triển trường hợp riêng , nhà toán học nhận thấy tất cảc hệ số thừa số khai triển có giá trị tuyệt đối không Chẳng hạn: x −1 = x − x −1 = ( x −1)( x + 1) x3 −1 = ( x −1)( x + x + 1) x −1 = ( x −1)( x + 1)( x + 1) x5 −1 = ( x −1)( x4 + x3 + x2 + x + 1) x6 −1 = ( x −1)( x + 1)( x + x + 1)( x − x + 1) Những cố gắng chứng minh điều nghi ngờ với n nhà toán học không thành công Một thời gian sau , nhà toán học Nga V.Ivanov(năm 1941) với đa thức x n − , điều nghi ngờ với trường hợp nhỏ 105 Vì với n=105 , thừa số x105 − x 48 + x 47 + x 46 − x 43 − x 42 − x 41 − x 40 − x39 + x36 + + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 − x 28 − x26 − x24 − x22 − x 20 + + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 − x9 − x8 − x7 − x6 + x5 + x2 + x + Thừa số tính chất đa thức mà nhà toán học muốn Ví dụ 5: Chứng minh với số tự nhiên n mệnh đề sau :” Nếu a b số tự nhiên dương , mà max(a, b) = n a = bn [1] Lời giải:Bước sở: Với n kí hiệu An mệnh đề toán cho Rõ ràng A1 , max(a, b) = , hai số a b phải ( a b số tự nhiên dương) Bước quy nạp: Giả sử Ak Nếu a b số tự nhiên cho max(a, b) = k + Ta xét hai số a1 = a − 1, b1 = b − max(a1, b1) = k , từ suy a1 = b1 , giải thiết Ak , a = b , nghĩa Ak+1 Theo nguyên lý quy nạp toán học An với số tự nhiên n Hệ quả: Cho a b hai số tự nhiên Ta chứng minh max(a, b) = k , mà k số tự nhiên Theo ví dụ An với n , với Ak Từ suy a = b , nghĩa tất cảc số tự nhiên Thật vô lý! Trong ví dụ cách chứng minh sai đâu? Ta xem lại toàn cách chứng minh nguyên lý quy nạp toán học Bước quy nạp chứng minh không nhắc tới điều kiện k ≥ , bước quy nạp chuyển tiếp từ Ak sang Ak+1 Thực tế tính toán chứng minh không đảm bảo k ≥ Trên ví dụ minh chứng cho việc chứng minh phương pháp quy nạp phải tuân thủ nghiêm ngặt nguyên lý quy nạp toán học gồm hai phần việc kiểm tra hai cần thực đầy đủ 2.1.4 Giai đoạn quy nạp giả thiết quy nạp Phương pháp quy nạp toán học hay áp dụng nghiên cứu tìm tòi toán học , nghành khoa học Để hiểu cách áp dụng phương pháp quy nạp cho đầy đủ , ta xem xét số ví dụ sau phép “suy luận có lý” mà G.Polya đề cập Dạng 1: Bài toán tính tổng Phương pháp chung: Sử dụng phương pháp quy nạp việc thực bước : Bước 1: Viết vài tổng , từ dự đoán cho công thức Bước 2: Chứng minh công thức dự đoán phương pháp quy nạp Ví dụ 6: Cho trước số tự nhiên n Hãy tìm tổng số tự nhiên 1,2, , n Lời giải: Ta kí hiệu Sn tổng phải tìm , nghĩa Sn = + + + n Ta hy vọng tìm công thức ngắn gọn để tính tổng , công thức giúp ta tính nhanh , gọn phải thực phép cộng tổng Ta biết cấp số cộng , học sinh biết cấp số , ta có công thức tính tổng Nhưng ta muốn minh hoạ trình áp dụng nguyên lí quy nạp toán học nên điều biết cấp số cộng ta bỏ qua, coi chưa biết Ta tính tổng Sn với vài số tự nhiên liên tiếp , chẳng hạn bắt dầu từ 1.Những kết tính toán trường hợp riêng ta xếp vào bảng: n Sn 10 15 21 Mục đích ta tìm quy luật chung ( khẳng định chung), với bảng , số tự nhiên hàng bảng cho ta tương ứng với số hàng ; Tìm quy luật toán phụ thuộc vào nhiều yếu tố: khéo léo quan sát , nhạy dự đoán kiểm tra ta ; từ kinh nghiệm trải qua tính toán toán tương tự , từ khả liên hệ toán tương tự với điều kiện mới,… Trên bảng ta dễ thấy quy luật : Tích hai số liên tiếp hàng lần số tương ứng hàng Thật 1.2=2.1, 2.3=2.3 , 3.4=2.6 , 4.5=2.10, 5.6=2.15 Như giai đoạn quy nạp thành công – tìm quy luật với trường hợp riêng n = 1,2,3,4,5,6 Tiếp tục cách tự nhiên mở rộng quy luật cho bảng với số tự nhiên Ta đưa giả thiết thích hợ với quy luật vừa tìm Đặt n(n + 1) + + + n = (*) Một giả thiết ta làm gọi giải thiết quy nạp Nhưng câu hỏi đặt đẳng thức (*) có với n = 1,2, hay không? Rõ ràng (*)đúng với số tự nhiên cách thay n n + ta có đẳng thức : (n + 1)(n + 2) + + + n + (n + 1) = (**) Trái lại , giả thiết (*) với n = 1,2, Điều cách khác phải áp dụng nguyên lý quy nạp toán học Nghĩa ta phải kiểm tra điều kiện A) B) định lí - mục 2.1.1b) Bước sở: Với n =1 công thức (*) ( cho n = 2,3,4,5,6 ) Bước quy nạp: Bây chứng minh cho công thức (*)đúng cho điều kiện B) Với mục đích ta giả thiết công thức (*)đúng với số n = k ≥ chứng minh đẳng thức (*)đúng với n = k + Ta biến đổi: k (k + 1) (k + 1)(k + 2) + + + k + (k + 1) = + (k + 1) = 2 Kết (*)đúng với n = k + Theo nguyên lý quy nạp toán học công thức (*) với n = 1,2, Tóm lại , qua ví dụ đơn giản ta thấy bước trình tìm tòi chứng minh nguyên lý quy nạp toán học Ví dụ 7: Tính tổng 1 Sn = + + + với a(a + 1) ( a + 1) (a + 2)  a + (n − 1)  (a + n) a ≠ 0, −1, −2 ; n = 1,2, [1] Lời giải: Việc trước tiên ta phải tìm công thức giả thiết quy nạp cho tổng Ta tính : S = a(a + 1) 1 S =S + = + = (a + 1)(a + 2) a(a + 1) (a + 1)(a + 2) a(a + 2) S =S + = (a + 2)(a + 3) a(a + 3) S =S + = (a + 3)(a + 4) a(a + 4) Chúng ta đưa giả thiết n Sn = a(a + n) (2) Bước sở : Như kiểm tra Bước quy nạp: Gỉa thiết (1) với số tự nhiên n = k Khi k =S + = + k +1 k (a + k )(a + k + 1) a(a + k ) (a + k )(a + k + 1) k + (a + 1)k + a = a+k a(a + k + 1) k + (a + 1)k + a Nhưng k + (a + 1)k + a = (a + k )(k + 1) ,suy Sk+1 = a+k a(a + k + 1) S = k +1 a( a + k + 1) Từ kết vừa tính bước sở suy giả thiết quy nạp (2) với số tự nhiên n ≥ [4] Ví dụ 8: Tính tổng 2 2n Sn = + + + + n với n = 1,2, ; a ≠ [1] − a2 + a2 + a4 1+ a2 Lời giải: Ta phân tích : Số lượng số hạng tổng n + ; trừ số hạng , lại 2k k = 1,2, , n) số hạng khác đề có dạng k ( 1+ a Ta tính 2 S = + = 1 − a2 1+ a2 − a4 4 S =S + = + = 1 + a − a + a − a8 8 16 S =S + = + = + a8 − a8 + a8 − a16 Do = 22 ,8 = 23,16 = 24 từ biểu thức S1, S2 , S3 ta đưa giải thiết 2n+1 Sn = , (n = 1,2, ) (3) n+1 1− a Bước sở: Với n = , công thức (2) kiểm tra Bước quy nạp: Gỉa sử (3) với số tự nhiên n = k Khi k 2k +1 S = + + + + + k +1 k k +1 − a2 + a2 + a4 1+ a2 1+ a2 2k +1 2k +1 2k + + = = k +1 k +1 k +2 1− a2 1+ a2 1− a2 Đẳng thức (3) với n = k + Như từ nguyên lý quy nạp toán học đẳng thức (3) với n ≥ Ví dụ 9: Tính tổng n số lẻ tự nhiên [3] Lời giải: Ta kí hiệu tổng phải tìm Sn : Sn = + + + + (2n −1) Để xây dựng giả thiết quy nạp toán học ta tính tổng số giá trị liệt kê bảng sau: n Sn 16 25 36 Bây phụ thuộc vào quan sát ta kinh nghiệm kết riêng để dự đoán mệnh đề tổng quát chung Dễ thấy số hàng Sn số phương : S1 = 12 , S2 = 22 , S3 = 32 , S4 = 42 , S5 = 52 , S6 = 62 Như ta đươa giả thiết chung Sn = n2 (4) Ta chứng minh (4) với số tự nhiên n Bước sở: Với n = , tổng có số hạng Sn = ; biểu thức n = ,với n=1 , (4) Bước quy nạp: Gỉa sử (4) với n=k , ( Sk = k ) Ta chứng minh (4) với n = k + S k +1 = (k + 1) Thật S k +1 = S k + (2k + 1) = k + 2k + = (k + 1) Ví dụ 10: Tính tổng bình phương n số tự nhiên [2] Lời giải: Ta tiến hành tìm công thức cho giả thiết quy nạp Đặt Tn = 12 + 22 + + n Ta tìm số giá trị tổng cho n=1,2,3,4,5,6 n Tn 14 30 55 91 Nhìn vào bảng ta khó tìm quy luật chug cho Tn Với thông tin ỏi không cho kết gì, với kinh nghiệm ta liên hệ với ví dụ iải so sánh số ví dụ chìa khoá tìm quy luật chung cho bảng sau: n Tn 14 30 55 91 Sn 10 15 21 14 30 55 91 Tn 10 15 21 Sn Dòng cuối bảng ta viết lại : 10 14 30 55 11 91 13 = , , = , = , = , = Bây ta đưa giả thiết 3 10 15 21 Tn 2n + S = n Từ kết ví dụ , ta có: 2n + n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) Tn = (5) Vậy 12 + 22 + + n2 = Ta chứng minh (5) với số tự nhiên n phương pháp quy nạp toán học Bước sở: Bằng cách xây dựng ( 5) với n=1 Bước quy nạp: Gỉa sử (5) với số tự nhiên n = k Ta chứng minh với n = k + , nghĩa (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 12 + 22 + + k + (k + 1)2 = Thật vậy, k (k + 1)(2k + 1) T = T + (k + 1)2 = + (k + 1)2 k +1 k k (2k + 1) + 6(k + 1) (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = = (k + 1) 6 Như toán giải xong Bài tập tương tự: Tính tổng cách xây dựng giả thiết chứng minh phương pháp quy nạp toán học tổng sau: 1) Sn = 12 − 22 + + (−1)n−1n2 2) Sn = 13 + 23 + + n3 3) Sn = 1.1!+ 2.2!+ + n.n! 4) Sn = 12 + 32 + + (2n −1)2 [4] Dạng 2: Xác định công thức dãy số (un ) Phương pháp chung: Sử dụng phương pháp quy nạp việc thực bước : Bước 1: Viết vài số hạng đầu dãy , từ dự đoán cho công thức un Bước 2: Chứng minh công thức dự đoán phương pháp quy nạp Ví dụ 11: Cho dãy số (un ) xác định sau: u =   un = un−1 + 2, n ≥ Xãc định công thức tính un theo n [4] Lời giải: Ta có : 11 u = = 2.1 −1 u = + = = 2.2 −1 u = + = = 2.3 −1 u Dự đoán n = 2n −1 (6) Ta chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp toán học , thật vậy: u = 2.1 −1 = , tức công thức (6) với n = 1 Giả sử công thức (6) với n = k, tức uk = 2k −1 Ta chứng minh với n = k+1 Thật vậy: u = u + = 2k −1 + = 2(k + 1) −1 , tức (6) với n = k+1 k +1 k Vậy , ta có un = 2n −1 , n ∈ ¥ * dãy số ( Sn ) xác định Ví dụ 12: Cho dãy số (un ) với un = n + 4n + sau: S = u  1   Sn = Sn−1 + un , n ≥ Xác định công thức tính Sn [4] Lời giải: Bằng phân tích áp dụng phương pháp quy nạp ta có Sn = u1 + u2 + + un Mặt khác , ta có biểu diễn: un = n + 4n + = 1 = − (n + 1)(n + 3) n + n + Từ , ta nhận được: 1 u = − 1 u = − 1 u = − 1 un = − n +1 n + Cộng theo vế đẳng thức , ta được: Sn = u + u + + un = + − − = 5n + 13n 2 n + n + (n + 2)(n + 3) u =  Ví dụ 13: Cho dãy số (un ) xác định sau:  un = + un−1 , n ≥  Xác định công thức tính un [4] 12 Lời giải: Ta có: π π u = = = 2.cos = 2.cos 22 21+1 π π π π u = + 2cos = 2(1 + cos ) = 4cos2 = 2cos 22 22 23 22+1 π Từ đó, ta dự đoán un = 2cos n+1 (7) Ta chứng minh dự đoán phương pháp quynạp toán học , thật vậy: (7) với n = π Giả sử (7) với n = k , tức uk = 2cos k +1 Ta chứng minh π u = 2cos , thật vậy: k +1 2k +2 π π π = + u = + 2cos = 2(1 + cos ) = 2.2cos k +1 k k + k + 2 2k + u π π = 2cos 2k + 2k + π π π Do < k +2 < ⇒ cos k +2 > 2 π Vậy, ta có un = 2.cos k +2 Bài tập tương tự: 1)Cho dãy số (un ) xác định sau : u =   Xác định công thức tính un un = 3un−1 , n ≥ 2) Cho dãy số (un ) xác định sau: u =   Xác định công thức tính un u = u , n ≥  n n−1 3) Cho dãy số (un ) xác định sau: u =   Xác định công thức tính un u = u , n ≥  n n−1  4) Cho dãy số (un ) xác địnhnhư sau: u =   Xác định công thức tính un [4] u = , n ≥ n  u  n−1 2.1.5 Bước quy nạp xây dụng P(k) = cos 13 Trong chứng minh phương pháp quy nạp toán học , khó khăn bước quy nạp chuyển từ mệnh đề P(k ) sang mệnh đề P(k + 1) Ví dụ 14: Chứng minh 2n−1(a n + bn ) > (a + b)n a + b > 0, a ≠ b, n > (8) Lời giải: Bước sở: Với n = đẳng thức (8) có dạng 2(a2 +b2 )>(a+b)2 (8.1) Vì a ≠ b ta có bất đẳng thức (a − b)2 > , cộng hai vế bất đẳng thức với (a + b)2 , ta có (8.1) Bước quy nạp : Giả sử (8) với số n = k , tức là: 2k −1(a k + bk ) > (a + b)k Để chứng minh (8) với n = k+1 ta cần chứng minh 2k (a k +1 + b k +1 ) > (a + b) k +1 Sau biến đổi đơn giản hai vế ta bất đẳng thức tương đương với a k +1 + bk +1 > a k b + bk a , từ suy (a k − bk )(a − b) > (8.2) Xét hai trường hợp: • Nếu a > b điều kiện cho a > −b , suy a > b Vì a k > bk Do bất đẳng thức (8.2) • Nếu a < b , lí luận tương tự phần , ta có a k < bk , trường hợp (8.2) Tóm lại (8.2) với a ≠ b Do (8) với n = k+1 2.1.6.Bước quy nạp xây dụng P(k+1) Bước quy nạp nguyên lý quy nạp toán học cần khẳng định P(k +1) suy từ P(k ) Nhưng nhiều việc biến đổi trực tiếp từ P(k ) sang P(k+1) gặp nhiều khó khăn hướng xác Khi ta phải tìm ngược lại để biểu diễn P(k + 1) mệnh đề P(k) tiến hành quy nạp Phần phần trước liên quan mật thiết tương đương [1] Ví dụ 15: Chứng minh số zn = 32n+1 + 40n − 67 chia hết cho 64 với số n nguyên không âm [1] Lời giải: Bước sở: z0 = 31 + − 67 = −64 chia hết cho 64, mệnh đề với n=0 Bước quy nạp: Gỉa sử zn chia hết cho 64 , đó: z = 32n+3 + 40n − 27 = 9(32n+1 + 40n − 67) − 320 + 567 = zn − 64(5n − 9) n+1 Cũng chia hết cho 64 Bài toán với n 2.1.7 Áp dụng dãy số vào toán thực tiễn Ví dụ 16: Có kg chất phóng xạ độc hại Biết sau khoảng thời gian T = 24 000 năm nửa số chất phóng xạ bị phân rã thành chất khác không độc hai sức khỏe người ( T gọi chu kì bán rã) Gọi un khối lượng chất phóng xạ lại sau chu kì thứ n a) Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un ) 14 b) Chứng minh (un ) có giới hạn c) Từ kết câu b), chứng tỏ sau năm đố khối lượng chất phóng xạ cho ban đầu không độc hại người , cho biết chất phóng xạ không độc hại khối lượng chất phóng xạ lại bé 10−6 g [2] Lời giải: a) -Nhận xét: u1 = , u2 = 1 , u3 = Dự đoán un = n - Chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp: Với n = ⇒ u1 = Ta có công thức với n = Gỉa sử công thức với số tự nhiên n = k ≥ , tức uk = chứng minh công thức với n = k + Ta 2k uk 1 = k +1 Vậy công thức un = n với số tự nhiên n ∈ ¥ * 2 n 1 b) lim un = lim  ÷ = ( theo tính chất lim q n = q < 2 1 1 c) Ta có : (g) = (kg)= (kg) 10 10 10 10 Vì un → , nên un = n nhỏ số dương bé tùy ý , kể từ số hạng trở Như , un nhỏ kể từ chu kì n0 Nghĩa 10 Thật uk +1 = sau số năm ứng với chu kì , khối lượng chất phóng xạ không độc hại với người Cụ thể , muốn 1 < , ta cần chọn n0 cho 2n0 > 109 n 2 Chẳng hạn với n0 = 36 , 236 = ( 24 ) = 169 Nói cách khác sau chu kì thứ 36 ( nghĩa sau 36.24 000 = 864 000 ( năm)), không lo lắng độc hại khối lượng chất phóng xạ lại [6] Ví dụ 17: ( Đề mẫu THPTQG NĂM 2017) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng , với lãi suất 12% năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: Sau tháng kể từ ngày vay , ông bắt đầu hoàn nợ , hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng ,số tiền hoàn nở lần trả hết tiền nợ sau ba tháng kể từ ngày vay Hỏi theo cách số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng theo cách ? Biết lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ông A hoàn nợ [5] Lời giải: Lãi suất 12%/1 năm tương ứng với 1%/ tháng nên r = 0.01 ( vay ngắn hạn) Số tiền gốc sau tháng : T + T r − m = T (1 + r ) − m Số tiền gốc sau tháng là: T (1 + r )2 −m [ (1 + r ) + 1] 2 Số tiền gốc sau tháng là: T (1 + r )3 −m (1 + r ) + (1 + r ) + 1 =0 15 Do m = T (1 + r )3 1.013 = ( triệu đồng) (1 + r ) + (1 + r ) + 1.013 − 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiên kinh nghiệm Trước áp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm , học đến chương 3Dãy số , cấp số cộng, cấp số nhân nhận thấy học sinh khó khăn việc tìm số hạng tổng quát dãy số , toán liên quan đến chứng minh quy nạp học sinh khó tiếp cận nguyên lý quy nạp để chứng minh toán sử dụng phương pháp quy nạp toán học Học sinh gặp nhiều khó khăn việc kiến tạo tìm quy luật để từ phát giả thiết quy nạp Học sinh bị hạn chế việc tìm tòi toán tương tự Với lí , trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp phát chứng minh giả thiết quy nạp” kết học tập học sinh hai lớp 11B4 lớp 11B6 năm học 2016-2017 đạt làm toán liên quan đến tìm số hạng tổng quát dãy số cho bảng sau: Lớp Sĩ số Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm ≥5 7.8 10 11B4 45 12 13 24 11B6 45 10 12 14 23 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Đối với chương trình toán THPT nói chung phương pháp chứng minh quy nạp toán học nói riêng - đặc biệt toán liên quan đến việc phát giả thiết quy nạp cần đến kĩ thuật tinh tế khéo léo Điều bất cập sách giáo khoa giải tích lớp 11 không đề cập đến kĩ thuật tìm kiếm giả thiết quy nạp , tài liệu tham khảo với chủ đề nhiều hạn chế Trong hoàn cảnh thân dạy đến chủ đề đưa cho học sinh kĩ thuật tìm số hạng tổng quát hay nói khác tìm giả thiết quy nạp hình thức cục - tức phương pháp chung , cách làm đến chân lí toán chưa thực tinh tế , nhẹ nhàng Chủ yếu sử dụng giải pháp làm thủ công đơn lẻ - chưa liên kêtý thành chuỗi toán có liên quan , toán có nhóm nghiên cứu Thực trạng thân tìm vài giải pháp phân tích , tổng hợp chưa thực làm cho học sinh hứng thú tiếp cận kiến thức tốt học chủ đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục , với thân , đồng nghiệp nhà trường Sáng kiến kinh nghiệm “ Phương pháp phát chứng minh giả thiết quy nạp” trình bày giúp cho thân có giải pháp –phương pháp phù hợp vừa nhẹ nhàng , vừa tinh tế dạy đến chủ đề liên qua đến việc xác định giả thiết quy nạp : toán xác định tổng toán tính tổng, toán tìm số hạng tổng quát dãy số chương - Giải tích lớp 11 Đối với hoạt động giáo dục sáng kiến giúp học sinh say mê với việc khám phá từ riêng để đến chung Nhìn nhận vấn đề theo trật tự lôgíc Đặc biệt giúp học sinh phát triển số IQ tốt tiếp cận cách xác định giả thiết quy nạp mà sáng kiến đề cập đến 16 Bên cạnh sáng kiến giải vấn đề quan trọng mà đồng nghiệp quan tâm- Phương pháp cần thiết đường hình thành giả thiết quy nạp toán tính tổng tìm số hạng tổng quát dãy số Để từ định hướng cho học sinh toán liên quan dẫn dắt học sinh tìm giả thiết quy nạp tốt vào hai bào toán – góp phần vào kết học tập môn toán trường THPT nói chung phương pháp chứng minh quy nạp nói riêng.Sau cho học sinh áp dụng “Phương pháp phát chứng minh giả thiết quy nạp”thì kết đạt học sinh hai lớp 11B4 lớp 11B6 đạt làm toán liên quan đến tìm số hạng tổng quát dãy số cho bảng sau: Lớp Sĩ số Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm ≥5 7.8 10 11B4 45 11 16 28 11B6 45 12 15 26 So sánh kết hai lần khảo sát thấy tỉ lệ học sinh điểm có giảm , số học sinh đạt điểm trung bình tăng lên Đặc biệt nhờ có cách tiếp cận làm mà học sinh cảm thấy hứng thú môn học , em không thấy băn khoăn hay lúng túng gặp toán tính tổng toán tìm số hạng tổng quát dãy số III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm thân rút nhiều kinh nghiệm giảng dạy chủ đề tính tổng, toán xác định số hạng tổng quát dãy số nói riêng môn toán học trương THPT nói chung là: Trước chủ đề hay vấn đề toán học cần phải có phương pháp cụ thể , rõ ràng – làm cho học sinh tiếp cận kiến thức cách nhẹ nhàng tinh tế Và điều quan trọng tạo cho học sinh chủ động học tập để phát huy tính tích cực tư tiềm ẩn học sinh Sáng kiến kinh nghiệm “ Phương pháp phát chứng minh giả thiết quy nạp” trình bày giúp cho thân có giải pháp –phương pháp phù hợp vừa nhẹ nhàng , vừa tinh tế dạy đến chủ đề liên qua đến việc xác định giả thiết quy nạp : toán xác định tổng toán tính tổng, toán tìm số hạng tổng quát dãy số chương - Giải tích lớp 11 Đối với hoạt động giáo dục sáng kiến giúp học sinh say mê với việc khám phá từ riêng để đến chung Trong trình tìm tòi phát điều toán học – học sinh tìm mối quan hệ mật thiết toán học thực tiễn Với phần dãy số có nhiều toán , dạng toán hay thường áp dụng đời sống ngày toán lãi suất ngân hàng, toán phóng xạ…Qua học sinh thấy tầm quan trọng việc cần thiết phải học toán Qua số ví dụ áp dụng dãy số vào toán thực tiễn mà thân đưa nội dung sáng kiến đánh thức phần cho học sinh hứng thú việc học toán nói chung dãy số việc tìm tòi phát giả thiết quy nạp nói riêng 17 Do thời gian trình độ có hạn , dù cố gắng song nhiều thiếu sót mong nhận trao đổi , chia sẻ thầy cô giáo , đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện – góp phầp thúc đẩy công việc giảng dạy chủ đề mà sáng kiến đề cập nói riêng môn toán trường THPT nói chung 3.2 Kiến nghị: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm thân rút nhiều kinh nghiệm giảng dạy chủ đề tính tổng, toán xác định số hạng tổng quát dãy số nói riêng môn toán học trương THPT nói chung là: Trước chủ đề hay vấn đề toán học cần phải có phương pháp cụ thể , rõ ràng – làm cho học sinh tiếp cận kiến thức cách nhẹ nhàng tinh tế Và điều quan trọng tạo cho học sinh chủ động học tập để phát huy tính tích cực tư tiềm ẩn học sinh Sáng kiến kinh nghiệm “ Phương pháp phát chứng minh giả thiết quy nạp” trình bày giúp cho thân có giải pháp –phương pháp phù hợp vừa nhẹ nhàng , vừa tinh tế dạy đến chủ đề liên qua đến việc xác định giả thiết quy nạp : toán xác định tổng toán tính tổng, toán tìm số hạng tổng quát dãy số chương - Giải tích lớp 11 Đối với hoạt động giáo dục sáng kiến giúp học sinh say mê với việc khám phá từ riêng để đến chung Vậy nên sau sáng kiến công nhận mong đồng nghiệp tổ chuyên môn phát triển , áp dụng trình giảng dạy để học sinh không lúng túng làm toán tính tổng, tìm số hạng tổng quát dãy số toán áp dụng vào thực tiễn mà kiến thức dãy số mang lại XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 10 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết , không chép nội dung người khác Người thực Nguyễn Hồng Sơn 18 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Phương pháp quy nạp toán học , Nguyễn Hữu Điển -Nhà xuất giáo dục năm 2000 Đại số Giải tích 11 , Đoàn Quỳnh -Nhà xuất giáo dục năm 2007 Đại số Giải tích 11 nâng cao , Đoàn Quỳnh - Nhà xuất giáo dục năm 2007 Bài giảng chuyên sâu toán THPT Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn : Giải toán Đại số Giải tích 11- Nhà xuất Hà Nội năm 2007 Đề mẫu THPTQG lần năm 2016 Đại số Giải tích 11 sách giáo viên , Trần Văn Hạo -Nhà xuất giáo dục năm 2007 19 ... • Nguyên lí quy nạp toán học • Giai đoạn quy nạp giả thiết quy nạp • Phát giả thiết quy nạp • Hai bước nguyên lý quy nạp toán học 1.4 .Phương pháp nghiên cứu: Xây dựng khung phương pháp chung cụ... “ Phương pháp phát chứng minh giả thiết quy nạp trình bày giúp cho thân có giải pháp phương pháp phù hợp vừa nhẹ nhàng , vừa tinh tế dạy đến chủ đề liên qua đến việc xác định giả thiết quy nạp. .. tìm giả thiết quy nạp tốt vào hai bào toán – góp phần vào kết học tập môn toán trường THPT nói chung phương pháp chứng minh quy nạp nói riêng.Sau cho học sinh áp dụng Phương pháp phát chứng minh