Một hướng giải nhanh trắc nghiệm về tích phân

1 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong năm học qua, năm thi đại học toán trắc nghiệm Đối với câu hỏi nguyên hàm tích phân, có nhiều câu hỏi liên quan đến việc vận dụng công thức phương pháp đổi biến số phương pháp tích phân phần mà học sinh sử dụng máy tính để kiểm tra kết Thực tế nhiều em phản ứng không nhanh dạng câu hỏi Để giúp em tự tin, tiếp cận nâng cao lực giải toán trắc nghiệm tích phân, nghiên cứu viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “ Một hướng giải nhanh trắc nghiệm tích phân” Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh nhận dạng, giải nhanh số dạng tích phân phép biến đổi vi phân, kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh sử dụng phương pháp tích phân phần Bồi dưỡng cho học sinh kĩ toán học, nâng cao lực tư duy, sáng tạo thân học toán nói chung nâng cao khả giải toán tích phân đề thi THPT Quốc gia nói riêng Đối tượng nghiên cứu Các toán tìm nguyên hàm, tích phân phương pháp sử dụng phép biến đổi vi phân, phương pháp tích phân phần, ứng dụng tích phân vào toán thực tế Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu viết đề tài, sử dụng phương pháp sau: Phương pháp điều tra khảo sát thực tế thu thập thông tin, đàm thoại, vấn đáp ( nghiên cứu phân phối chương trình, lấy ý kiến giáo viên học sinh thông qua trao đổi trực tiếp) Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết ( nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, chuyên môn liên quan đến đề tài.) Phương pháp thống kê xử lí số liệu ( tiến hành thực đề tài số lớp giảng dạy, phân tích đánh giá kết đề tài qua việc thống kê xử lí số liệu kiểm tra) NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Toàn nghành giáo dục thực nhiệm vụ học tập giảng dạy với phương pháp dạy học tích cực lấy người học trung tâm Các em học sinh tiếp thu tri thức, phát triển thân trở thành chủ thể tích cực, sáng tạo Các em biết vượt qua khó khăn, thiếu tự tin( sợ sai), hứng thú tiếp cận tri thức, biết dựa kiến thức biết, tìm hiểu, khai thác, sáng tạo tìm vấn đề Các em có khả tự học, tự nghiên cứu tìm kiến thức dựa kĩ toán học đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa, 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm -Đặc điểm tình hình nhà trường Trường THPT Bỉm Sơn trường có bề dày kinh nghiệm, thành tích công tác giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia ôn thi đại học với mạnh môn tự nhiên Trường có đội ngũ giáo viện giỏi, nhiệt tình, tâm huyết với công tác chuyên môn, Các em học sinh đa phần ngoan, chịu khó, thông minh với khả tư tốt Thực trạng vấn đề “ Một hường giải nhanh trắc nghiệm tích phân” trường THPT Bỉm Sơn là: Về kiến thức: Học sinh chưa nắm vứng chất phép biến đổi vi phân, kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh sử dung phương pháp tích phân phần Về kỹ năng: Học sinh chưa biết cách tính nhanh toán tích phân, thay vào lại lạm dụng máy tính dẫn đến thiếu sáng tạo trình giải Cụ thể: đề kiểm tra kiến thức nguyên hàm tích phân hai lớp 12 A1 ;12 A2 ( THPT Bỉm Sơn, năm học 2013-2014) có toán: Đề 1: Câu 1: Cho ∫ f ( x)dx = 27 Tính I = ∫ f (3x)dx ln Câu 2: Tính tích phân ∫ e (e x x + 1) dx Đề 2: 2 Câu 1: Tính tích phân ∫ 2.x x − 1dx π Câu 2: Tính tích phân ∫ cosx.ln ( s inx ) dx π Qua khảo sát 86 học sinh lớp có kết sau: Số Không làm Làm Chỉ làm Chỉ làm Đề Đề 42 46 câu 25 (59,52%) 27 (58,70%) câu (21,43%) 11 (23,91%) câu (16,67%) (13,04%) câu (2,38%) (4,35%) Qua kết làm thời gian giải tập em, bộc lộ nhược điểm sau: b * Chưa nhận dạng: ∫ f ( x)dx = F ( x) b a có quy tắc tương ứng a b ∫ f (u( x))d (u ( x)) = F (u( x)) b a a * Chưa nhận biết u'( x)d ( x) = d (u( x) + c) , với u'( x) thường hàm dễ tìm nguyên hàm, xuất bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp * Chưa áp dụng công thức tích phân phần Để giúp em có kỹ giải tính nhanh tập nguyên hàm tích phân, mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu vấn đề “ Một hướng giải nhanh trắc nghiệm tích phân” 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp tổ chức thực - Bổ sung, hệ thống kiến thức bản, liên quan mà học sinh cần sử dụng - Yêu cầu học sinh nhận diện dạng toán thông qua ví dụ, phân tích hình thành phương pháp giải - Đưa toán để học sinh củng cố kiến thức kĩ Học sinh phân tích, trình bày lời giải Hướng dẫn em hình thành, sáng tạo toán tương tự - Áp dụng kĩ đặc biệt hóa, hướng dẫn em sáng tạo toán Thực nghiên cứu ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy chia nội dung thành ba phần dạy cho học sinh vào ba buổi, buổi ba tiết 2.3.2 Hệ thống kiến thức a) Phép tính vi phân Nếu hàm số f có đạo hàm f’ tích f '( x)∆ x gọi vi phân hàm số y = f ( x) Kí hiệu d ( f ( x)) = f'(x) dx hay dy = y ' dx b) Sự tồn nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C ∫ 0du = C ∫ du = u + C α ∫ x dx = α ∫ u du = xα +1 + C ( α ≠ −1) α +1 uα +1 + C ( α ≠ −1) α +1 1 ∫ x dx = ln x + C ∫ e dx = e + C x ∫ u du = ln u + C ∫ e du = e + C x u ax + C , (a ≠ 1; a > 0) ln a ∫ cosxdx = sinx + C u au + C , (a ≠ 1; a > 0) ln a ∫ cos udu = sin u + C x ∫ a dx = u ∫ a du = ∫ sinxdx = −cosx + C ∫ cos x dx = tanx + C ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos u du = tan u + C 2 1 ∫ sin x dx = −cotx + C ∫ sin u du = − cot u + C 2 c) Một số phương pháp tính tích phân * Phương pháp đổi biến số: Cơ sở phương pháp đổi biến số công thức sau đây: u (b ) b ∫ f (u ( x)).u '( x )dx = a ∫ f (u )du , hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục K, u(a) hàm số y = f (u ) liên tục cho hàm hợp f (u ( x)) xác định K; a b hai số thuộc K * Phương pháp tích phân phần Cơ sở phương pháp công thức sau: b b ∫ u( x).v '( x)dx = ∫ u ( x).d ( v( x) ) =(u( x).v( x)) a a b b a − ∫ u '( x ).v ( x )dx , hàm số u, v a có đạo hàm liên tục K a, b hai số thuộc K 2.3.3 Sử dụng phép biến đổi vi phân để tính tích phân có dạng b ∫ f (u ( x)).u '( x)dx a * Để học sinh vận dụng thành thạo công thức: b u (b ) a u (a) ∫ f (u ( x)).u '( x)dx = ∫ f (u )du , tác giả không đưa ví dụ minh họa Trước cho em luyện tập, cần hướng dẫn kỹ sau: a) Viết lại hàm số cần tìm nguyên hàm dạng f (u ( x)).u '( x) , nhận dạng hàm số u '( x) ( u '( x) thường hàm số dễ tìm nguyên hàm, xuất bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp) Ví dụ: Tính tích phân sau: 1) π tan x ∫ cos x dx Ta có tan x 1 = tan x , hai hàm tan x hàm 2 cos x cos x cos x 1 số dễ tìm nguyên hàm Vậy u '( x) = 2 cos x cos x 2) 4x ∫ 4x dx Ta có π x +1 = x , hai hàm x hàm x +1 x2 + số x dễ tìm nguyên hàm Vậy u '( x) = x 1 2 3) ∫ ( ln x ) dx Ta có ( ln x ) = ( ln x ) , hai hàm ( ln x ) hàm x x x x 1 dễ tìm nguyên hàm Vậy u '( x) = x x b) Kỹ biến đổi u '( x)dx = d (u ( x)) = d (u ( x) + C) x2 + 2 π Vídụ: ∫ tan2x dx = ∫ tan xd ( tan x ) cos x 0 ∫ dx = x +1 3 4x ∫ x ( ln x ) x +1 2 ∫ d( x2 +1 )= ∫ x +1 d ( x + 1) dx = ∫ ( ln x ) d (ln x) c) Kỹ chuyển đổi nguyên hàm hàm số sơ cấp sang nguyên hàm hàm số hợp Ví dụ : ∫ π π ( tan x ) tan x dx = tan xd tan x = ( ) ∫0 cos x ∫0 4x x +1 dx = ∫ x2 +1 d( )= x2 + x +1 = ∫ ( ln x ) 2 ∫1 x ( ln x ) dx = ∫1 ( ln x ) d (ln x) = 3 π 3 1 d ( x2 ( ln 3) = (x + 1) = 2 + 1) 2 =1 3 d) Bài tập minh họa ∫ Bài 1: Cho f ( x)dx = 27 Tính I = ∫ f (3 x)dx A I = B I = C I = 27 1 D I = 18 Hướng dẫn: I = ∫ f (3x)dx = ∫ f (3x)d (3x) = ∫ f (u)d (u) = Đáp án A 0 ln Bài : Cho A S = ( e x + 1) B S = ln Hướng dẫn: e ∫ ∫ e (e x x dx = a + b C S = dx = ∫ (e Tính S = a + b D S = ln x + 1) x + 1) − d ( e x + 1) (e = x + 1) − − ln = − Đáp án A 2 Bài 3: Tính tích phân ∫ 2.x x − 1dx cách đặt u = x − , mệnh đề đúng: 3 A I = 2∫ udu C I = ∫ udu B I = ∫ udu 0 2 D I = ∫ udu 21 Hướng dẫn: ∫ 2.x x − 1dx = ∫ x − 1d ( x − 1) = ∫ udu Đáp án C 2 1 a Bài 4: Cho ∫ x ( + x ) dx = b Tính a − b bằng? A B -1 Hướng dẫn: ∫ x3 ( + x Bài 5: Cho π ) C D -2 (1+ x dx = ∫ ( + x ) d (1 + x ) = 40 16 cosx ∫ + sin xdx = a + b Tính a + b ) 4 = 15 Đáp án B 16 bằng? A ln B - ln Hướng dẫn: C π D π cosx ∫0 + sin xdx = ∫0 + sin xd (sin x + 1) = ln ( sin x + 1) π = ln Đáp án A ln(2 − x) a2 dx = Bài 6: Cho ∫ − x Khi a bằng? b A B -2 C ln2 D –ln2 ln(2 − x) ln (2 − x) dx = − ln(2 − x ) d(ln(2 − x )) = Hướng dẫn: ∫ ∫0 2− x ( ln ) = 2 Đáp án A a−b 3x Bài 7: Cho ∫ x e dx = c A B -1 Khi b bằng? C 1 x3 x3 Hướng dẫn: ∫ x e dx = ∫ e d (3x ) = 9e 0 x3 D -9 = e3 − Đáp án B Nhận xét: Các tập minh họa khó tìm đáp án máy tính, em giải phương pháp đặt u = u ( x) giải thời gian đổi cận, tính du tích phân 2.3.4 Phương pháp tích phân phần *Để học sinh vận dụng thành b b ∫ u( x).v '( x)dx = ∫ u ( x).d ( v( x) ) =(u( x).v( x)) a thạo công thức: b b a a − ∫ u '( x ).v ( x )dx ,(**) tác giả không đưa a ví dụ minh họa Trước luyện tập, cần lưu ý em: a) Phương pháp tích phân phần tỏ hiệu giải số tích phân mà hàm số dấu tích phân tích hai hàm khác v '( x) thường hàm số dễ tìm nguyên hàm, đặc biệt tác giả khuyến khích em trực tiếp vận dụng công thức (**) Ví dụ: Tính tích phân sau: π 2 A = ∫ x.e dx B = ∫ x.ln xdx x C = ∫ x.sinxdx 1 1 x x x x Giải : A = ∫ x.e dx = ∫ xd (e ) = x.e − ∫ e dx = e − (e − 1) = 2 2 x x B = ∫ x.ln xdx = ∫ ln xd ( ) = ( ln x ) 2 1 π π 0 C = ∫ x.sinxdx = ∫ xd ( sinx ) = x.sinx π 2 π − ∫ sinxdx = b) Dấu hiệu nhận biết hàm v '( x) Dạng tích phân b ∫ p( x).q( x)dx 1) x2 − ∫ dx = 2.ln − x , p( x) π −1 Hàm v '( x) 1) Ta có v '( x) = q(x) a đa thức, q ( x ) hàm số lượng giác b ∫ p( x).q(e )dx x 2) , p( x) 2) Ta có v '( x) = q(x) a đa thức b ∫ p( x).q(e )dx x 3) x , p( x) 3) Ta có v '( x) = q(e ) v '( x) = p (x) a hàm số lượng giác b v '( x) = p (x) k 4) ∫ p( x).ln q ( x)dx , p( x) 4) Ta có a đa thức, hàm số lượng giác c) Vì v '( x)dx = d (v( x) + c) , công thức (**) viết lại sau : b b b a a a b ∫ u( x).v '( x)dx = ∫ u ( x).d ( v( x) + c ) =(u ( x).v( x)) a − ∫ u '( x).(v( x) + c)dx , với c số theo “ thói quen” ta thường chọn c = Nhưng việc b chọn c = lại làm cho ∫ u '( x).(v( x) + c)dx khó tính toán Vì c số a nên vào toán cụ thể, ta có cách xác định số c cho b ∫ u '( x).(v( x) + c)dx đơn giản dễ tính a ln x dx ( Báo toán học tuổi trẻ, đặc san số 10) ( x + 10) Ví dụ 1: Tính H = ∫ Nếu biến đổi 1 ∫ x x + 10 dx ln x dx = ∫ ln xd (− ) ( x + 10) x + 10 1 H =∫ làm xuất hiên ( giải thời gian hơn) Vì vậy, tác giả hướng dẫn em theo cách : 3 3 ln x 1 x x ln x 1 dx = ∫ ln xd (− + ) = ∫ ln xd ( )= dx − ∫ ( x + 10) x + 10 10 10 x + 10 10 x + 10 10 x + 10 1 297 = ln 10 13 H =∫ π Ví dụ 2: Tính N = ∫ cosx ln(1 + sin x)dx Ta có : π π 0 N = ∫ cosx ln(1 + sin x )dx = ∫ ln(1 + sin x)d ( sinx + 1) =( sinx + 1) ln(1 + sin x) π π − ∫ cosxdx = ln − d) Bài tập minh họa π Bài1 : Cho ∫ x.co sxdx = π − Khi a.b a A -32 B b C π π 0 D 32 π π Hướng dẫn : ∫ x.co sxdx = ∫ x d(sinx) =x.sinx − ∫ sinxdx = π − Đáp án B π Bài 2: Biết P = 2m + n A P = x ∫ sin π x dx = mπ + n.ln ( m, n ∈ R ) , tính giá trị biểu thức B P = 0, 75 C P = 0, 25 D P = (Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-ĐT Quảng Nam) π x ∫ sin Hướng dẫn: π π 2 x dx = ∫ x.d (− cot x) = x.(− cot x) π = π + ln ( sin x ) π π = π π π + ∫ cot xdx = π π π +∫ d (sin x ) π sin x π + ln Vậy đáp án A Bìa : Xét mệnh đề sau : 1 ∫ − x dx = − ln x − + C (II) ∫ x ln( x + 2)dx = ( x − ) ln( x + 2) − ∫ ( x − 2)dx cot x dx = − +C (III) ∫ sin x (I) 2 Số mệnh đề : A B C D (Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-Bắc Ninh) 1 1 ∫ − x dx = − ∫ − x d (1 − x) = − ln − x + C ∫ x ln( x + 2)dx = ∫ ln( x + 2)d ( x − 4) = ( x − ) ln( x + 2) − ∫ ( x − 2)dx 1 cot x ∫ sin xdx = ∫ sin x d (2 x) = − + C Hướng dẫn : 2 2 Vậy đáp án A Bài 4: Tính tích phân E = ∫ ln( x + 1)dx A E = ln + B E = ln + C E = ln − D E = ln − (Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-Quảng Ninh) 1 Hướng dẫn : E = ∫ ln( x + 1)dx = ∫ ln( x + 1)d ( x + 1) = ( x + 1) ln( x + 1) − ∫ dx = 2.ln − 1 0 0 Vậy đáp án D π Bài 5: Biết ∫ ( + x ) cos xdx = + π Giá trị tích a.b bằng: a b A 32 B C D 12 (Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-lần 3, THPT Quảng Xương IThanh Hóa) Hướng dẫn: π π 0 ∫ ( + x ) cos2 xdx = ∫ ( + x ) d ( sin x sin x ) = (1+ x) 2 π π sin x π dx = + Vậy đáp −∫ án A ln x dx x Bài : Tính tích phân I = ∫ A I = + ln 16 B I = − ln 16 C I = + ln 16 D I = − ln 16 (Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD TPHCM) Hướng dẫn : ln x x −− x −2 − ln dx = ln xd ( ) = ln x 12 + ∫ dx = Vậy đáp án D ∫ x −2 −2 2x 16 1 2 I =∫ Nhận xét : Đề tiết kiệm thời gian nâng cao lực giải toán em phải nắm vứng chất phép biến đổi vi phân, kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh sử dung phương pháp tích phân phần 2.3.5 Ứng dụng toán tích phân qua toán thực tê * Đề toán tính tích phân ‘gần gũi’ thưc tế , môn học khác Tác giả hướng dẫn em lại toán sau : Bài : Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian v = f (t ) Khi quãng đường mà vật khoảng thòi gian từ thời điểm a đến b thời điểm b ∫ f (t )dt a Bài : Một vật thể ℘ giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành hai điểm có hoành độ x = a; x = b(a ≤ b) S ( x ) diện tích thiết diện ℘ , vuông góc với trục Ox x ∈ [ a; b ] Thể tích V vật thể ℘ cho b công thức V = ∫ S ( x)dx a * Bài tập minh họa Bài 1.Vận tốc trung bình xe máy thành phố vào khoảng 30 km/h đến 40 km/h Khi nhìn thấy chướng ngại vật, để đảm bảo an toàn, người điều khiển xe máy phải phanh để xe chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = 10 − 5t ( m / s ) dừng lại hẳn gặp chướng ngại vật Hỏi người điều khiển xe máy phải bắt đầu phanh cách chướng ngại vật khoảng mét A 10m B 15m C 20m D 5m Hướng dẫn: Ta có: v ( t ) = 10 − 5t = ⇔ t = Từ lúc người điều khiển xe máy phanh đến dừng hẳn di chuyển khoảng thời gian t = đến t = Quãng đường xe khoảng thời gian là: 5t S = ∫ (10 − 5t)dt = (10t − ) = 10 2 Do đó, cần phanh trước cách chướng ngại vật 10m Đáp án A Bài : Ông An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 Ông muốn trồng hoa mảnh đất rộng 8m, nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa : 100.đồng /1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa mảnh đất ?( số tiền làm tròn đến hàng nghìn) (Đề minh họa –lần 2-Bộ Giáo Dục Đào tạo) 10 A 7.862.000 đồng C 7.128.000 đồng B 7.653.000 đồng D 7.826.000 đồng Hướng dẫn: Chọn câu B Xét hệ trục Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình (E): x2 x2 y2 + = Khi số tiền cần dùng bằng: 100 × ∫ − dx = 64 64 25 −4 7.653.000 đồng ( Để tính số tiền em dùng máy tính nhanh hơn, giải chi tiết tự luận) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Thông qua tiến hành nghiên cứu lóp 12 năm học thu số kết đa số em có tư toán học linh hoạt, sáng tạo giải nhanh toán trắc nghiệm tích phân Có thể nói rằng, em hoàn toàn chủ động, tích cực hoạt động học tập trung tâm trình giảng dạy thầy, cô Với cách thực này, em bước chinh phục đỉnh cao kiến thức toán học Sau áp dụng ‘ Một hướng giải nhanh trắc nghiệm tích phân’ đánh giá kết học tập học sinh điểm số Tôi chọn lớp 12A2 làm lớp dạy thực nghiệm lớp 12A1 làm lớp dạy học đối chứng Kết sau kiểm tra thống kê qua bảng sau : Kết Lớp Sĩ Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 12A2 48 13 27 17 35.4 15 31,3 6,3 0 12A1 40 12,5 22,5 19 47,5 17,5 0 Như vậy, qua trình dạy học thực nghiệm kết thống kê cho thấy đề tài nghiên cứu có tính khả thi áp dụng rộng rãi việc dạy học chủ đề ‘Nguyên hàm - tích phân’ Thông qua cách áp dụng đề tài vào giảng dạy , thầy cô phát huy tính sáng tạo học trò mình, nâng cao lực chuyên môn làm nhiều thêm kho tài liệu kiến thức Nhà trường 11 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Thông qua việc tìm hiểu phân tích kết việc ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm ‘ Một hướng giải nhanh trắc nghiệm tích phân’ năm 20162017 nhận thấy : - Đối với giáo viên, tài liệu tham khảo tốt công tác dạy ôn thi đại học - Đối với học sinh khá, giỏi, sáng kiến kinh nghiệm giúp cho em kỹ tư duy, suy luận lôgíc để chủ động, tự tin vào thân việc giải tập hay toán mà em gặp sống Từ kết nghiên cứu, thân rút học kinh nghiệm sau: - Đối với giáo viên phải không ngừng tìm tòi, sáng tạo để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ sư phạm cho thân, phải ý việc phát triển tư cho học sinh thông qua giảng lí thuyết, thông qua giải tập từ đơn giản đến phức tạp Từ tập cho em cách phân tích, tổng hợp, xử lí thông tin để hiểu sâu hơn, ham mê môn học ứng dụng môn học vào sống Tất nhiên cần lựa chọn đối tượng để áp dụng cho hợp lí, tránh ôm đồm - Đối với học sinh muốn trở thành học sinh giỏi thật khả thân cần phải ý giảng tưởng đơn giản Thầy cô Bởi cách giúp em nghe để làm, để phát triển, để học cách phân tích, xử lí tình khác, nghĩa học để làm mười Kiến nghị Sở Giáo dục Đào tạo cần tập hợp sáng kiến kinh nghiệm hay thành tâp san phổ biến tới trường học để giáo viên với tổ chuyên môn thảo luận, học tập kinh nghiệm áp dụng linh hoạt vào thực tiễn trường Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Kí ghi rõ họ tên) Lê Thị Thu Hà 12 Tài liệu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh (chủ biên) – Giải tích 12 nâng cao [2] Tạp chí toán học Tuổi trẻ- đặc san số 10 [3] Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-ĐT Quảng Nam Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-Bắc Ninh Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD-Quảng Ninh Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-lần 3, THPT Quảng Xương IThanh Hóa Đề thi khảo sát chất lượng khối 12-2017-Sở GD TPHCM Đề minh họa –lần 2-Bộ Giáo Dục Đào tạo 13 ... thức tích phân phần Để giúp em có kỹ giải tính nhanh tập nguyên hàm tích phân, mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu vấn đề “ Một hướng giải nhanh trắc nghiệm tích phân 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải. .. “ Một hường giải nhanh trắc nghiệm tích phân trường THPT Bỉm Sơn là: Về kiến thức: Học sinh chưa nắm vứng chất phép biến đổi vi phân, kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh sử dung phương pháp tích phân. .. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Thông qua việc tìm hiểu phân tích kết việc ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm ‘ Một hướng giải nhanh trắc nghiệm tích phân năm 20162017 nhận thấy : - Đối với giáo viên,