Một số thủ thuật làm đơn giản bài toán tính tích phân từng phần

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng đề tài → 10 2.3 Hiệu đề tài 10 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 11 – MỞ ĐẦU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong Chương trình giáo dục THPT nay, tích phân với khái niệm khác góp phần quan trọng môn Giải tích toán học, sở để nghiên cứu Giải tích đại Muốn học sinh học tốt tích phân người Giáo viên truyền đạt, giảng giải theo tài liệu có sẵn Sách giáo khoa, sách hướng dẫn thiết kế giảng cách gập khuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập cách thụ động Nếu dạy học việc học tập học sinh diễn thật đơn điệu, tẻ nhạt kết học tập không cao Nó nguyên nhân gây cản trở việc đào tạo em thành người động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với đổi diễn hàng ngày Yêu cầu giáo dục đòi hỏi phải đổi phương pháp dạy học môn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Vì người giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách tinh giản kiến thức, thiết kế giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế Các kiến thức không mang nặng tính hàn lâm, phải phù hợp với việc nhận thức em Thông qua kiến thức mà người giáo viên tinh lọc, qua ứng dụng, thực hành em lĩnh hội tri thức toán học cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức cách vững chắc, tạo cho em niềm say mê, hứng thú học tập, việc làm Khi tinh lọc kiến thức cách gọn gàng, ứng dụng thực tế cách thường xuyên, khoa học chắn chất lượng dạy học môn toán ngày nâng cao Riêng phần tích phân không nằm quy luật Chính lý nêu mà chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số thủ thuật làm đơn giản toán tính tích phân phần” 1.2, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Góp phần đổi phương pháp dạy học môn toán nói chung môn Giải tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng - Góp phần gây hứng thú học tập phần tích phân cho học sinh, phần coi hóc búa,đòi hỏi tính tư cao giúp, giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học mà giúp em củng cố khắc sâu tri thức 1.3, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà Chương : Nguyên hàm,Tích phân chủ yếu số dạng toán tính tích phân phần 1.4, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : a Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo b Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung tích phân - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà 2.1 Cơ sở lí luận Phần toán tính tích phân phần quan trọng chương trình THPT; phần thiếu kỳ thi vào đại học, cao đẳng năm gần Để tích tích phân em thường dùng hai phương pháp là: Đổi biến số phương pháp tích phân phần.Trong phương pháp tích phân phần, tích phân tạo đơn giản, số toán tích phân khó khăn tích phân ban đầu giải kiến thức phổ thông Việc chọn hệ số điều chỉnh phù hợp làm cho tích phân trở nên đơn giản làm cho việc tính tích phân ban đầu nhanh gọn xác Mặt khác từ chuyên đề nhỏ với số kinh nghiệm mà tích lũy em mở rộng tư tiếp cận số toán khác Đặc biệt giúp em giải số tập liên quan đến phần dạng toán thi THCN, CĐ, ĐH 2.2 Thực trạng đề tài Qua thời gian giảng dạy trường THPT Tĩnh gia tiếp cận với học sinh, nắm khả học sinh qua việc đọc tài liệu, sách báo, tìm hiểu đề kì thi kinh nghiệm thân Tôi nghiên cứu sâu vào vấn đề để biên soạn hệ thống khối 12 Nhằm mục đích tạo điều kiện phù hợp với học sinh từ yếu đến trung bình, giỏi A.Đặt vấn đề Câu tính tích phân có mặt đề thi tốt nghiệp thi đại học – cao đẳng, đề thi THPT Quốc gia Là chủ đề mà nhiều học sinh quan tâm, nhiều học sinh tỏ lúng túng Bài viết phương pháp tích phân phần sau gợi ý để em ôn thi tích phân đạt kết tốt Tích phân phần phương pháp hay phương pháp tính tích phân tỏ hiệu sở công thức: b b ∫ f ( x )dx = ∫udv = u.v a b a a b −∫v.du a b b a a Như vậy, muốn tính tích phân ∫ udv ta đưa tính ∫ vdu Tuy nhiên có số dạng b toán phương pháp tách hàm khử ∫ vdu mà ta giải a cách thông thường phải tính tích phân phần nhiều lần Cũng chuyên đề việc chọn số C hàm số v(x) làm cho việc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà b tính tích phân ∫ vdu đơn giản nhiều làm giảm thời gian làm a đơn giản toán tính tích phân sinh B Cách giải vấn đề số toán vận dụng : Dạng : Cách tách hàm số tích phân Khi tính tích phân công thức tích phân phần ta chọn u,v cách b khéo léo việc tính tích phân ∫ vdu đơn giản Phần trao đổi với bạn a số kĩ tính tích phân phương pháp tích phân phần.Tách tích b phân thành phần , lấy phần phần cho phần lại khử ∫ vdu a 2x Ví dụ 1: Tính I = ∫ e ( x + x + 1) dx Khi gặp toán phần lớn học sinh làm : u = x + x + ⇒ du = ( x + ) dx  đặt :  phải tính lần tích phân phần 2x 2x  dv = e ⇒ v = e  kết Để tránh điều ta thêm bớt để thành phần vdu khử hết phần lại ( ) ( ) I = ∫ e x x + x + dx = ∫ e x x + 3x dx + ∫ e x ( x + 1) dx 0 Khi ta giải toán sau : u = x + x ⇒ du = ( x + 3) dx  Đặt :  2x 2x  dv = e ⇒ v = e  I = e x x + 3x ( Vậy : = e2 x x + 3x ( ) ) 2 − ∫ e x ( x + 3) dx + ∫ e x ( x + 1) dx 0 2 1 − ∫ e x dx = e x x + 3x 2 0 ( ) 2 2x 19e + − e = 4 0 Giáo viên cho học sinh làm tương tự : ( ) x Ví dụ : Tính J = ∫ e x + x + dx SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà u = x ⇒ du = x dx Tương tự ví dụ đặt  nên –vdu = -3x2exdx khử hết với x x  dv = e ⇒ v = e 3x2ex ta thêm vào u : x2 để phần lại 3x2 2 u = x + x ⇒ du = (3x + x)dx  nên vdu = du = (3x + x)e x dx khử hết 2xex x x  dv = e ⇒ v = e ta lại thêm vào u: -2x để phần lại 2x 1 x Giải : J = ∫ e ( x + x + 1) dx = ∫ e ( x + x − x ) dx + ∫ e ( 3x + x − 1) dx x x 0 u = x + x − x ⇒ du = (3x + x − 2)dx x x  dv = e ⇒ v = e 2 Đặt :  ( x => J = e x + x − x ) 1 ( ) ( ) − ∫ e x 3x + x − dx + ∫ e x 3x + x − dx = ∫ e x dx = e − 0 Trên sở ta đưa cách chọn hàm số u tích phân phần β ax + b n n −1 dạng : ∫ e ( an x + an −1 x + + a1 x + a0 ) dx sau : α bn −1 = an  Hệ số đa thức u :  ( k + ) bk +1 u = bn-1xn + bn-2xn-1 +…+b0x bk = ak +1 − a  Với nhận xét giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau : x Ví dụ 3: Tính M = ∫ e ( x + 3x + x − 1) dx Giáo viên gợi ý cho học sinh cách chọn u phân tích tích phân : Ta có : a = ; n= ; a4=1 ; a3=3 ;a2 =0 ; a1 = ; a0=-1 Tính : b3 = a4 = ; b2 = a3 - ( + ) b3 =-1 ; b1= a2 – 3b2 = ; b0 = a1-2b1 = -5 => u = x − x3 + 3x − x 1 x Từ : M = ∫ e ( x + 3x + x − 1) dx = ∫ e ( x − x + 3x − x ) dx + ∫ e ( x − 3x + x − 1) dx x x 0 Giải : u = x − x + 3x − x ⇒ du = (4 x − x + x − 5)dx Đặt :  x x  dv = e ⇒ v = e Vậy : SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ( M = e x − x + 3x − 5x x ) 1 ( Nguyễn Thị Thu Hà ) ( ) − ∫ e x − 3x + x − dx + ∫ e x x − 3x + x − dx x = −2e + ∫ 4e x dx = 2e − Dạng 2: Cách chọn số C: Đa số tập học sinh ngầm chọn C = Tuy nhiên, qua ví dụ phân tích sau cho thấy việc chọn C ≠ làm cho tích phân đơn giản nhiều Với toán tùy thuộc vào đặc điểm hàm số mà việc chọn C thay đổi theo Ví dụ 4: Tính N = ∫ x ln( x + 1)dx Đối với toán đại đa số học sinh giải theo cách thông thường : 2x  dx u = ln x + ⇒ du = x +1 Cách : đặt :   dv = xdx ⇒ v = x  1 x3 2 2 N = x ln x + − Do : ∫0 x + 1dx = x ln x + ( ) ( ) ( ) 1 − ∫ xdx + ∫ 0 2x dx x +1 Ta nhận thấy sau sử dụng công thức tích phân phải tính phức tạp , ta phải biến đổi sử dụng tích phân đổi biến số làm Tôi hướng dẫn học sinh cách chọn hệ số điều chỉnh cho tử v chứa x + để rút gọn Cách : 2x  dx u = ln x + ⇒ du = x +1 Đặt :   dv = xdx ⇒ v = x +  x x2 + 1 2 dx = x + ln x + => N = x + ln x + − ∫ x +1 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 − ∫ xdx = 2ln2 – b Như ta chọn C = việc tạo ∫ vdu đơn giản nên tính a Giáo viên cho học sinh làm tương tự : Ví dụ : K = ∫ (2 x + 3) ln( x + 2)dx Trước tiên cho học sinh lên giải theo cách giải thông thường tìm hàm số v SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà Giáo viên đặt câu hỏi chọn C = ? để v chứa nhân tử x +2 rút gọn x +2 mẫu du Tôi gọi học sinh nêu giá trị C giải thích cách chọn dx du x+2 dv = (2 x + 3)dx chọn v = x + x + c Hướng dẫn chọn c : Ta chọn c cho x + 3x + c chia hết x+2 dẫn tới:-2 nghiệm pt: x + 3x + c = suy c = 1 Vậy : K = ( x + 3x + 2) ln( x + 2) | - ∫ ( x + 1)dx = ln − ln – 0 Đặt u = ln( x + 2) du = Ví dụ : Tính Q = ∫ (2 x + 1) ln( x3 − 1) dx 3x 3x dx = dx x3 − ( x − 1)( x + x + 1) dv = (2 x + 1)dx chọn v = x + x + ( chọn c =1) mục đích khử nhân tử Đặt : u = ln( x3 − 1) du = ( ) ( ) Q = x + x + ln x3 − 3 −∫ 3 3x dx = 13ln 26 − ln − ∫ ( x + 3) dx − ∫ dx x −1 x −1 2  3x  21 = 13ln 26 − ln −  + x ÷ − 3ln x − = 13ln 26 − ln − − 3ln 2  2 π Ví dụ : Tính P = ∫ ln(s inx +2 cos x)dx cos x Tôi phân tích cách làm thông thường học sinh sau cos x − sin x u = ln(sin x + cos x)  dx   du = ⇒ sin x + cos x Đặt   dv = cos x dx v = tan x Do π π P = (tan x) ln ( s inx + cosx ) − ∫ tan x(cos x − sin x) dx Sau cho học sinh tính sin x + cos x P= π ∫ tan x(cos x − sin x) tích phân phức tạp dx sin x + cos x không quen thuộc Để tính ta phải dùng phương pháp đổi biến nhiều phức tạp tính toán Cũng tương tự ví dụ ta cần chọn hệ số điều chỉnh để tích phân sinh đơn giản Chọn C để rút gọn sinx + cosx mẫu du SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà Tôi hướng dẫn học sinh cách chọn đưa lời giải sau : Giải : cos x − s inx dx s inx + cos x Đặt u = ln(sin x + cos x) du = dx chọn v = tan x + cos x s inx + cos x Ta chọn c = tan x + = khử nhân tử s inx + cosx cos x dv = π π 0 π P = s inx + cosx ln(s inx + cosx) − ∫ cosx-sinx dx = ln − ∫ 1 − s inx ÷dx cosx π = ln − ( x − ln cos x ) 04 = ln − cosx  cos x  π Tương tự ta cho học sinh làm toán sau: π x) Ví dụ : Tính R = ∫ ln(2s inx-3cos dx sin x 2cosx+3sinx  u = ln ( 2sin x − 3cos x ) ⇒ du = 2sin x − 3cos x dx Đặt :   dv = ⇒ v = tanx- = 2sin x − 3cos x  sin x 2 cos x π π 0 Chọn c = − Vậy : R = 2sin x − 3cos x ln ( 2sin x − 3cos x ) − ∫ cos x + 3sin x dx ( tính ví dụ ) cos x cos x Từ ví dụ ví dụ ta tổng quát toán tích phân dạng : b ln(m sin x + n cos x) dx ∫a sin x b ; ln(m sin x + n cos x) dx cos x a ∫ với cách chọn c= − n n c = m m Qua ví dụ đánh giá vai trò việc chọn hệ số điều chỉnh đơn giản mang lại hiệu lớn việc tính tích phân sinh Có số tích phân không chọn hệ số điều chỉnh tích phân sinh phức tạp, để làm tích phân đòi hỏi biến đổi nhiều khó tính toán… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà Vậy để tính tích phân phần trước hết học sinh cần xác định dạng tích b phân, tách hàm số để khử ∫ vdu làm cho toán giảm bước so với a việc tính toán thông thường, ý cách chọn C để tích phân trở nên đơn giản tiết kiêm thời gian làm thi MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: e ln( x + x + x − 2) dx a, I = ∫ ( x + ) c, K = ∫e sin x x g, Q = ∫ e ( x − 3x − x + x + 1) dx (1 + x cos x)dx 0 e d, M = 3x f, P = ∫ e ( x − 3x + 1) dx J = ∫ ln( x − x)dx π e, N = ∫ (2 x − 1) ln( x + 1)dx b, ∫ ln ( 3cos x − 4sin x ) cos x dx π h, L = ∫ ln(s inx +2 cos x) dx sin x 2.4 HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI : Qua qúa trình giảng dạy tự chọn ôn luyện cho lớp có trình độ tương đương vào buổi chiều để so sánh thấy kết thực nghiệm tốt nhiều so với lớp đối chứng cụ thể tỉ lệ học sinh khá, giỏi nâng lên , học sinh yếu, trung bình giảm xuống Kếtquả Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp Đối chứng 15 17 Thực nghiệm 20 15 KẾT LUẬN , KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Việc giảng dạy cho học sinh theo hướng phát yếu tố toán để làm cho toán đơn giản cách cho học sinh hiểu rõ, hiểu sâu sắc phương pháp giải dạng toán tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh chủ động tư duy, tìm 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà tòi ứng dụng sáng tạo trình giải toán Đồng thời giúp học sinh có mối liên hệ qua lại dạng toán có liên quan Qua kinh nghiệm nhỏ muốn vận dụng phương pháp vào trình giảng dạy đặc biệt ôn luyện cho học sinh lớp 12 có kiến thức giải phần tích phân 3.2.KIẾN NGHỊ Với đề tài triển khai trình dạy học sinh lớp 12 ban KHTN lớp ban Cơ học theo khối mang lại hiệu tốt Vì hy vọng đề tài đóng góp vào việc giải toán nêu trên, đồng nghiệp khai thác mở rộng nữa, tài liệu tham khảo cho em học sinh lớp 12 trình học tập ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm Mặc dù cố gắng biên soạn chuyên đề tránh khỏi thiếu sót hạn chế mong góp ý quý bạn đọc thầy, cô giáo để chuyên đề hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nhà xuất giáo dục + Tài liệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục + Sách bồi dưỡng phương pháp tính tích phân – Hà Văn Chương + Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất giáo dục + Các đề thi đại học năm trước XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Nguyễn Thị Thu Hà 11 ... Hà b tính tích phân ∫ vdu đơn giản nhiều làm giảm thời gian làm a đơn giản toán tính tích phân sinh B Cách giải vấn đề số toán vận dụng : Dạng : Cách tách hàm số tích phân Khi tính tích phân. .. tích phân phần ta chọn u,v cách b khéo léo việc tính tích phân ∫ vdu đơn giản Phần trao đổi với bạn a số kĩ tính tích phân phương pháp tích phân phần. Tách tích b phân thành phần , lấy phần phần... phân phần. Trong phương pháp tích phân phần, tích phân tạo đơn giản, số toán tích phân khó khăn tích phân ban đầu giải kiến thức phổ thông Việc chọn hệ số điều chỉnh phù hợp làm cho tích phân