BÀI TẬP CHƯƠNG 3 PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT

Sử dụng phơng pháp điểm góc để tính ứng suất tại M do tải trọng phân bố đều trên 2 hình chữ nhật gây nên, ứng suất tổng cộng tại điểm M sẽ là tổng ứng suất các hình chữ nhật thành phân g

chơng 3

phân bố ứng suất trong đất

ví dụ minh hoạ

Bài tập 1

Các lớp đất tại một công trờng gồm có:

04m cát chứa cuội m cát chứa cuội (bh = 20kN/m3;  = 19.2kN/m3)

4m cát chứa cuội 9m đất sét ( = 18.0kN/m3)

Vẽ sơ đồ ứng suất hiệu quả; ứng suất tổng từ 09m , khi mặt nớc ngầm ở trên đỉnh lớp sét 1m

Bài giải:

Lớp cát chứa cuội ở dới mực nớc ngầm là

bão hoà và có trọng lợng đơn vị tự nhiên là

20kN/m3, cho nên độ tăng ứng suất tổng

theo độ sâu là:

z = bhz = 20*z (kN/m2)

Trên mặt nớc ngầm, đất không bão hoà có

trọng lợng đơn vị là 19.2kN/m3 và

z = z = 19.2*z (kN/m2)

Trong lớp sét, vì có tính thấm nhỏ kết hợp

với độ hút ẩm cao nên luôn tạo ra sự bão hoà

ở trên mặt nớ ngầm

ứng suất hiệu quả tại độ sâu đã cho:

’Z =  Z– u Z

Biểu đồ ứng suất tổng, ứng suất có hiệu và

áp lực nớc lỗ rỗng thể hiện trên hình VD23 Z

X 0

3 4

z

' z ; u z (kN/m 3 )

 z

Hình VD23

Các tính toán đợc xếp vào trong bảng dới đây:

Độ sâu

(m)

ứng suất (kN/m2)

0

3

4m cát chứa cuội

9

0 19.2x3 = 57.6 20.0x1 = 20.0 18.0x5 = 90.0

0 57.6 77.6 167.6

0 0 9.81x1 = 9.8 9.81x6 = 58.8

0 57.6 67.8 108.8

(Tính ứng suất trong nền đất có bão hoà bằng nớc mao dẫn) Tại một công trờng, lớp cát bụi trên mặt dày 5m nằm trên lớp bùn sét dày 4m cát chứa cuội m, phía dới là đá không thấm Hãy vẽ sơ đồ ứng suất hiệu quả, ứng suất tổng cho các điều kiện sau đây, biết trọng lợng đơn vị của cát bụi là 18.5kN/m3; của sét là 17.7kN/m3;

a) Mực nớc ngầm bằng mặt đất

b) Mực nớc ngầm ở độ sâu 2.5m, lớp cát bụi ở trên nớc ngầm đợc bão hoà bằng nớc mao dẫn

Bài giải:

a) Khi mặt nớc ngầm bằng mặt đất

Toàn bộ đất bị ngập nớc, khi đó trọng lợng đơn vị = bh và áp lực nớc lỗ rỗng u = n.z

Kết quả tính toán đợc xếp thành bảng dới đây:

Độ sâu

(m)

ứng suất (kN/m2)

quả

0

5

9

0 18.5x5 = 92.5 17.7x4m cát chứa cuội = 70.8

0 92.5 163.3

0 9.81x5 = 4m cát chứa cuội 9.1 9.81x9 = 88.3

0 43.4 75.0

b) Khi mặt nớc ngầm ở độ sâu 2.5m

Lớp đất nằm trên mực nớc ngầm đã bão hoà và áp lực nớc lỗ rỗng sẽ âm Dới mực nớc ngầm,

áp lực nớc lỗ rỗng sẽ dơng: uz = n (z - 2.5) Các tính toán đợc xếp trong bảng dới đây:

Độ sâu

(m)

ứng suất (kN/m2)

quả

0

2.5

5

9

0 18.5x2.5 = 4m cát chứa cuội 6.25 18.5x2.5 = 4m cát chứa cuội 6.25 17.7x4m cát chứa cuội = 70.8

0 46.25 92.5 163.3

-9.81x2.5 = -24m cát chứa cuội 5

0 9.81x2.5 = 24m cát chứa cuội 5 9.81x6.5 = 63.7

-24.5 46.25 68.0 99.6

Đồ thị biểu diễn các ứng suất đợc thể hiện trên hình VD24m cát chứa cuội

 ' z

u z

(kN/m 3 )

 ' z ; u z

mực nuớc ngầm

92.5 49.1

163.3 88.3

9

z

5

0

X

X

0 -24.5

5 z

46.3 mực nuớc ngầm

 ' z ; u z (kN/m 3 )

 ' z

u z

Bài tập 3

Tính ứng suất z tại M, N do tải trọng tập trung thẳng đứng trên bề mặt đất (Hình vẽ VD23).

Có thể dùng bảng tra hoặc công thức trực tiếp

Bài giải:

1 Tính trực tiếp theo công thức

* Tại điểm M:

 2 2 25

3 5

3

2

3

2

3

z y x

z P

R

z

P M

Z















3

14 3

* 2

500

* 3

5 2 2 2

3









M

Z

Z

X

Y

P = 500 kN

0

(0, 0, Z ) 0 (X , Y , Z ) 0 0 0

X = 2 m 0

Y = 2 m 0 0

Z = 3 m

Hình VD23

* Tại điểm N:

3

14 3

* 2

500

* 3

5 2 2 2

3









ZN

2 Tính theo bảng tra

* Tại điểm M:

1 5 3

500

* 09735 0

2

ZM

Z

P K

875 21 3

500

* 47755 0

2



N

N ZN

Z

P K

Tra từ bảng 3-1 đợc KN = 0.4m cát chứa cuội 7755 với tỷ lệ 0

3

0

02 2 2

2











z

y x z r

Bài tập 4

Xác định ứng suất z tại điểm M nằm dới trọng tâm của tam giác đều ABC do các lực tập

trung thẳng đứng tác dụng tại các đỉnh của tam giác (hình VD24m cát chứa cuội ) Điểm M nằm ở độ sâu zM

= 2m

Bài giải :

Ta nhận thấy rằng khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đều đến 3 đỉnh của nó là bằng nhau, điều này có nghĩa là khoảng cách từ trục đi qua các lực đến điểm M đều bằng nhau (r1

= r2 = r3), do đó ứng suất tại M có thể đợc tính nh sau:

 2 2

2 3 2 1

/ 578 23

2

500 200 100

* 11789 0

m kN

Z

P P P K

ZM

ZM

ZM





















Tra từ bảng 3-1 đợc K=0.11789, với tỷ lệ

866 0 2

3 / 3

2

3

/





a

z

r

P 1

2

P

P 3

M A

B

C

AB = AB = BC = 2 m

Z = 2 m M 1

P = 100kN

2

P = 200kN

P = 300kN 3

Bài tập 5

Dùng phơng pháp điểm góc xác định ứng

suất z tại điểm M (với chiều sâu của

điểm M là ZM = 2m) do tải trọng phân bố

đều trên hai móng hình chữ nhật gây ra

(Hình vẽ VD25)

M 2m

4m 2m

p1 = 100kN/m 2

p 2 = 200kN/m 2

Nhận xét thấy rằng, điểm M đã cho nằm tại trung điểm cạch BC Sử dụng phơng pháp điểm góc để tính ứng suất tại M do tải trọng phân bố đều trên 2 hình chữ nhật gây nên, ứng suất tổng cộng tại điểm M sẽ là tổng ứng suất các hình chữ nhật thành phân gây nên Để tiện tính toán, đặt tên các điểm nh hình vẽ (hình VD25)

A B F G

C

2m

2m

Hình VD25

1 ứng suất tại M do hình chữ nhật ABCD

Do M nằm trên cạnh BC nên qua M kẻ đờng thẳng // AB cắt AD tại N Lúc này M nằm tại góc của hai hình chữ nhật thành phần ABMN và CDNM, chú ý tới tính chất đối xứng của tải trọng có thể tính ứng suất tại M nh sau:

)



Để tra Kg(ABMN) phải dựa vào các tỷ lệ của hình ABMN nh sau: 3

2

6





B

L

2

2





B

Tra bảng 3-3 với các tỷ lệ trên đợc KM(ABMN) = 0.20355 Vậy ứng suất tại M do hình ABCD sẽ là:

ABCD 2*KgABMN*p1 2*0.20355*10040.71

M

2 ứng suất tại M do hình chữ nhật EFGH

Do M nằm ngoài hình EFGH nên tởng tợng tải trọng hình này kéo dài tới M (chú ý tải trọng

ảo thể hiện bằng nét đứt) Bây giờ M sẽ nằm trên cạnh BC nên qua M kẻ đờng thẳng // FG cắt EF tại I và GH tại K Lúc này M nằm tại góc của hai hình chữ nhật thành phần MBGK và MCHK Nhng do có phần tải trọng ảo nên phải trừ đi ứng suất của hai hình MBFI và MCEI, chú ý tới tính chất đối xứng của tải trọng có thể tính ứng suất tại M nh sau:

)

(EFGH M MBGK M MCHK M MBFI M MCEI 2.Kg MBGK Kg MBFI p



Để tra Kg(MBGK) phải dựa vào các tỷ lệ của hình MBGK nh sau: 3

2

6





B

L

2

2





B

Tra bảng 3-3 với các tỷ lệ trên đợc Kg(MBGK) = 0.20355

Để tra Kg(MBFI) phải dựa vào các tỷ lệ của hình MBFI nh sau: 1

2

2





B

L

2

2





B

Z M

Tra bảng 3-3 với các tỷ lệ trên đợc Kg(MBFI) = 0.1752

Vậy ứng suất tại M do hình EFGH sẽ là:

)

(EFGH  Kg MBGK  Kg MBFI p   

M

Bài tập 6

Hãy tính ứng suất z tại điểm M (với chiều sâu

của điểm M là ZM = 1m) do tải trọng phân bố đều

trên hình đa giác ABFCD gây ra (Hình vẽ) Biết

c-ờng độ tải trọng p = 25 kN/m2

Bài giải:

Để tiện tính toán, đặt tên các điểm nh hình VD26

Chia tải trọng phân bố trên hình đa giác ABFCD

thành hai hình: hình chữ nhật ABCD và hình tam

giác BFC

* Với hình chữ nhật ABCD

Nhận thấy điểm M nằm tại trung điểm cạch BC

Từ M kẻ đờng thẳng // AB cắt AD tại G Lúc này

M nằm tại góc của hai hình chữ nhật nhỏ là

ABMG và CMGD Bằng phơng pháp điểm góc và

chú ý đến tính chất đối xứng của tải trọng có thể

tính ứng suất tại M nh sau:

ABMG MCMGD KgABMGp

M

ABCD



Để tra Kg(ABMG) phải dựa vào các tỷ lệ của hình

ABMG nh sau: 2

5 2

5





B

L

5 2

1





B

Z M

p = 25

a=5m A

M B

F

C D

45°

45°

A

F M

E

90°

90°

b=

3.5 3m

Hình VD26

Tra bảng 3-3 với các tỷ lệ trên đợc Kg(ABMG) = 0.0979

Vậy ứng suất tại M do hình ABCD sẽ là:

  2*0.0979*25 4.9 2

)

M

* Với hình tam giác BFC

Nếu tởng tợng có một hình tam giác BEC đối xứng qua BC thì lúc này ta nhận thấy điểm M

sẽ nằm tại tâm của hình vuông BECF Nh vậy có thể tính ứng suất tại M khi M nằm tại trục tâm của hình vuông này, chú ý tải trọng BEC là ảo còn BFC là thật, và do tính chất đối xứng của tải trọng thì ứng suất tại M có thể tính nh sau:

Ko BECF BFC

2

` 1

)



Để tra Ko(BECF) phải dựa vào các tỷ lệ của hình BECF với cạnh b a 2 3.53m

1



B

L

và 0.2833

53 3

1





B

Z M

Tra bảng 3-2 với các tỷ lệ trên và nội suy tuyến tính đ ợc

Ko(BECF) = 0.8711

Vậy ứng suất tại M do hình BFC sẽ là:

2

1

*

* 2

` 1

)

M

* Tổng ứng suất tại M do hình chữ nhật ABCD và hình tam giác BFC sẽ là

8 15 9 10 9 4

) ( )

Ví dụ minh hoạ

Bài tập 7

Xác định ứng suất z tại M, N do tải trọng

phân bố hình thang nh hình vẽ bên

p1

=50kN/m 2

p2

=120kN/m 2

b = 8m

M(0,3)

N(5,2)

x

O

Bài giải:

Trớc hết chia tải trọng thành hai bài toán cơ bản: tải trọng hình băng phân bố đều và hình băng phân bố tam giác (hình VD27) Sau đó tính ứng suất tại M và N do riêng từng tải trọng sinh ra, cuối cùng sử dụng phơng pháp cộng ứng suất để tính tổng ứng suất tại M và N

1

2 1 1

M

N

M

N

M

N

0

Z Z

+

=

Hình VD27

1 Tính ứng suất tại điểm M

ứng suất tại M do hai loại tải trọng gây ra (hình VD27), ta có công thức tính nh sau:



Để tra K1(M) phải dựa vào các tỷ lệ của hình băng rải đều nh sau: 0

8

0





b x

và

Để tra K1t(M) phải dựa vào các tỷ lệ của hình băng tam giác nh sau: 0.5

8

4





b

x

và

375

0

8

3





b

z M

Tra bảng 3-6 với các tỷ lệ trên đợc K 1(M) = 0.445

Vậy ứng suất tại M sẽ là:

8 76 ) 50 120 (

* 445 0 50

* 92



zM

2 Tính ứng suất tại điểm N

Tơng tự nh tính ứng suất điểm M, ta có công thức tính ứng suất cho điểm N nh sau:

  1 1   2 1



Để tra K1(N) phải dựa vào các tỷ lệ của hình băng rải đều nh sau: 0.5

8

4





b

x

và 25

.

0

8

2





b

zN

Tra bảng 3-5 với các tỷ lệ trên đợc K 1(N) = 0.5

Để tra K1t(N) phải dựa vào các tỷ lệ của hình băng tam giác nh sau: 1

8

8





b

x

và

25

0

8

2





b

z N

Tra bảng 3-6 với các tỷ lệ trên đợc K 1(N) = 0.223

Vậy ứng suất tại M sẽ là:

61 40 ) 50 120 (

* 223 0 50

* 5



zM

Bài tập 8

Xác định ứng suất z đối với điểm M1 và M2 (hình VD28) do tải trọng hình thang gây nên.

M

k

l

n

m

2

b'

Hình VD28: Ví dụ tính toán với tải trọng phân bố dạng hình thang

Bài giải

(a) Tính ứng suất tại điểm M 1 ( z1 )

- Khi tải trọng tác dụng từ phía trái:

1 2

2







z

a z

a t

và 0.5

2

1

1







z

b z

b t

 I t = 0.397

- Khi tải trọng tác dụng từ phía phải:

1 2

2







z

a z

ap

và 1.5

2

3



z

b z

b p

 I p = 0.478

- Nh vậy:

p p

p I

I t p

z1 (  ) (0.3970.478) 0.875



(b) Tính ứng suất tại điểm M2 (z2)

Để xác định ứng suất nén z2 (hình 3-27), chúng ta đặt vào tải trọng ảo (klmn)

- Tính với tải trọng toàn phần (kể cả phần ảo klmn)

1 2

2







z

a z

ap

2

8

'







z

b z

b p

 I p = 0.499

- Tính phần tải trọng ảo:

1 2

2







z

a z

ap

2

2

''







z

b z

b p

 I’ p = 0.455

- Thay các giá trị và xét đến tính ảo của tải trọng ta đợc:

p p

p I

z ( ' ) (0.499 0.455) 0.044



Bài tập 9

Hãy tính và vẽ biểu đồ phân bố ứng suất dới đáy móng nông sau Biết N0 = 3000kN; HX0 = 50kN; MY0 = 200kN.m; ex = 0.3m

Bài giải:

* Xác định trục trọng tâm của móng nh nh trên hình VD29

* Chuyển tải trọng về trọng tâm:

H M e N M

kN H

H

kN N

x Y X Y

X X

550 5

2 5 0

* 50 200 3 0

* 3000

50 3000

0 0

0

























* Tính ứng suất dới đáy móng:

N

M

e Y 0.183

3000

550





 < , nên công thức tính ứng suất nh sau:

2 2

y min

2 2

y max

/ 156 6

5

* 3

550 5

* 3

3000 W

/ 244 6

5

* 3

550 5

* 3

3000 W

m kN

M F N

m kN

M F N

Y Y

























m

0

N

X

N

5m e M

x 0

0 y

H X0

Y0

X H

0

M Y

2.5m

Hình VD29: Bố trí móng và phân bố ứng suất dới đáy móng