CHƯƠNG 5 CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM

PHN II NG HC VT RN ng hc nghiờn cu cỏc tớnh cht hỡnh hc ca chuyn ng cỏc vt khụng k n quỏn tớnh (khi lng) v cỏc lc tỏc dng lờn chỳng vt chuyn ng Nhng kt qu kho sỏt ng hc s lm c s cho vic ton din cỏc quy lut chuyn ng ca vt th phn ng lc hc Khi nghiờn cu ng hc ta cn chỳ ý cỏc im sau õy: - Mụ hỡnh vt th ca ng hc l ng hc im v vt rn chuyn ng ng hc im l im chuyn ng khụng gian, qua thi gian Vt rn chuyn ng l hp nhiu ng im m khong cỏch gia mi cp im u khụng i chuyn ng Khi kho sỏt cỏc vt thc cú kớch thc khụng ỏng k, cú th coi nh mụ hỡnh ng im - Chuyn ng xy khụng gian v theo thi gian Khụng gian c hc l khụng gian ba chiu n v o chiu di l (m), n v o thi gian l giõy (s) - xỏc nh v trớ ca vt (hoc im) ang chuyn ng ngi ta gn vi vt chun dựng kho sỏt chuyn ng mt h ta no ú m cựng vi nú to thnh h quy chiu H quy chiu c la chn tựy ý cho vic kho sỏt chuyn ng ca vt c thun tin Nu ta ca tt c cỏc im ca vt h quy chiu ó chn luụn khụng i ta núi vt ng yờn, cũn nu ta cỏc im thay i theo thi gian ta núi vt chuyn ng h quy chiu - Kho sỏt v mt chuyn ng ca mt im hay mt vt rn l tỡm cỏch xỏc nh v trớ ca im y i vi h quy chiu ó chn mi thi im, ng thi mụ t chuyn ng y theo thi gian Mt s khỏi nim: Thụng s xỏc nh v trớ ca im hay ca mt vt rn h quy chiu ó chn l thụng s nh v Thụng s nh v cú th l vộc t, l ta , l gúc Phng trỡnh chuyn ng ca im hay vt rn chuyn ng l nhng biu thc liờn h gia thụng s nh v núi trờn vi thi gian Trong phng trỡnh chuyn ng thỡ thi gian c coi l i s c lp Khi kh i s thi gian phng trỡnh chuyn ng ta c biu thc liờn h gia cỏc thụng s nh v gi l phng trỡnh qu o Vn tc chuyn ng l i lng biu th hng v tc chuyn ng ca im hay vt rn thi im ang xột Gia tc chuyn ng l i lng biu th tc thay i ca võn tc chuyn ng (phng chiu, ln) theo thi gian - ng hc c chia lm hai phn chớnh: ng hc im ng hc vt rn Chng CHUYN NG CA IM im chuyn ng - gi tt l ng im (ng im c coi l mt im hỡnh hc cú kớch thc khụng ỏng k) 5.1 Phng phỏp vộc t Phng phỏp vộc t l phng phỏp tng quỏt nht kho sỏt chuyn ng.Tớnh u vit ni bt ca phng phỏp ny l cỏc c trng ng hc c biu din n gin, d hiu v chớnh xỏc di dng vộc t Do ú phng phỏp ny thng xuyờn c s dng nghiờn cu v mt lý thuyt cho c chng cng nh cỏc chng sau 5.1.1 Phng trỡnh chuyn ng: Xột im M chuyn ng khụng gian Chn h qui chiu c nh Oxyz V trớ ca M c xỏc nh bi vộc t nh z v: r = OM Khi im M chuyn ng, vộc t r s bin M thiờn liờn tc theo thi gian c v hng v di Ta vit c: r = f (t ) r (5-1) y O Nu xỏc nh c hm vộc t ú, s bit c v trớ ca M khụng gian ti mi thi im Biu thc (5-1) gi l phng trỡnh x chuyn ng ca im dng vộc t u mỳt ca vộc t r quỏ trỡnh chuyn ng s vch nờn qu o ca im Phng trỡnh qu o ca M cng chớnh l biu thc (5-1) nhng vit di dng thụng s 5.1.2 Vn tc ca im Vộc t tc ca im l i lng ng hc c bn, c trng cho s bin i ca vộc t nh v r theo thi z gian Gi thit ti thi im t v trớ ca ng im xỏc nh bi vộc t M r Ti r(t) v r M1 O x r(t+ t) vtb y thi im t1 v trớ ca ng im l M xỏc nh bi vộct r1 , ta cú MM = r1 r = r r Gi t s l tc trung bỡnh ca ng im khong thi gian t t v ký hiu l vtb Khi t cng nh ngha l M1 cng gn M thỡ vtb tin ti tc tc thi ti thi im t v = lim t r dr = t dt (5.2) Vộc t tc bng o hm bc nht ca bỏn kớnh vộc t ca im theo thi gian biu din gn hn, ngi ta dựng du chm thay cho kớ hiu o hm dr v= =r dt - n v: m/s,km/h - Phng: Tip tuyn vi qu o; Chiu: theo chiu chuyn ng 5.1.3 Gia tc ca im: Gia tc ca im l i lng vộc t, c trng cho s thay i v tr s v hng ca tc ca im theo thi M gian Nu ti thi im t im cú tc v v ti thi im t1 im cú v v v1 v gi l gia tc v1 thỡ t s = t v(t) Wtb M1 v(t+t) W t tc trung bỡnh ca ng im thi gian t Gii hn t s ú t0 gi l gia tc tc thi w ca im, ta cú: v(t+t) v dv d2r w = lim = = =r t t dt dt (5.3) Vộc t gia tc ca im bng o hm bc nht theo thi gian ca vộc t tc ca im, bng o hm bc theo thi gian ca bỏn kớnh vộc t ca cht im ú - n v: m/s2, km/h2 - w luụn hng v b lừm ca ng cong qu o 5.2 Phng phỏp to cỏc Theo phng phỏp ny, ngi ta kho sỏt chuyn ng ca im M h to cỏc vuụng gúc Oxyz Tớnh u vit ni bt ca phng phỏp ny l d dng xỏc nh c cỏc c trng ng hc ca im M c v nh tớnh v nh lng nờn thng c s dng cho c nghiờn cu lý thuyt cng nh gii cỏc bi toỏn c th 5.2.1 Phng trỡnh chuyn ng Cho im M chuyn ng h ta Oxyz V trớ ca M s hon ton xỏc nh z nu bit ba to x, y, z Khi M thay v M i, ( x, y, z) thay i theo t xỏc nh qui lut chuyn ng ca im (v trớ ca im ) cn bit: x= f ( t ) y = f2 ( t ) z = f ( t) i (5.4) x r z k O w y j y x l phng trỡnh chuyn ng ca im dng ta cỏc L phng (5.4) trỡnh qu o dng thụng s t Khi kh t ta c phng trỡnh qu o di dng thụng thng 5.2.2 Vn tc Trong h ta Oxyz, vộc t nh v v vộc t tc c biu din nh sau: r = x.i + y j + z.k v= dy dr d dx dz = ( x.i + y j + z.k ) = i+ j + k = v X i + v y j + v z k dt dt dt dt dt Hỡnh chiu ca vộc t tc v lờn cỏc trc ta l vx, vy, vz vx = x = dx dy dz ; vy = y = ; vz = z = dt dt dt (5.5) Hỡnh chiu ca vộc t tc xung cỏc trc ta bng o hm bc nht theo t ca cỏc ta tng ng ca im Tr s: Phng, chiu: Cosin ch phng ca vộc t tc: v= 2 x +y +z = v x2 + v 2y + v z2 , , l gúc hp bi v vi Ox, Oy, Oz x cos = ; v y cos = ; v z cos = v 5.2.3 Gia tc Tng t nh i ci tc ta cú hỡnh chiu ca vộc t w lờn cỏc trc ta l wx, wy, wz c xỏc nh: w x = x ; v y = y ; vz = z (5.6) Tr s: Phng, chiu: Cosin ch phng ca vộc t gia tc: w= x +y +z = w x2 + w 2y + wz2 1, 1, l gúc hp bi w vi Ox, Oy, Oz x cos = ; w y cos = ; w cos = z w Vớ d 1: Cho im chuyn ng mt phng ta Oxy theo quy lut: x = a cos kt y = b sin kt Trong ú a, b, k l cỏc hng s dng Tỡm qu o, tc v gia tc im ú ti cỏc thi im t0 = 0; t1 = ; t2 = 2k 2k Bi gii: T quy lut chuyn ng, kh thi gian t ta c phng trỡnh qu o ca im ó cho: x2 y + =1 a b2 Qu o chuyn ng ca im l ng elip cú bỏn trc l a v b Hỡnh chiu ca vộc t tc lờn cỏc y v1 W1 M2 v2 vx = x&= ak sin kt v y = y&= bk cos kt Hỡnh chiu ca vộc t gia tc lờn cỏc trc l: wy = & y&= bk sin kt vo W0 W2 O trc ta l: wx = & x&= ak cos kt M1 M0 x Ti thi im t0= 0: x0 = a y = vx0 = vy0= ak wx0 = -ak2 wy0 = Giỏ tr tc v gia tc ti thi im u bng: v0 = ak; w0 = ak2 V cú phng, chiu nh hỡnh v Ti thi im t1 = : 2k x1= a y1= vx1= -ak vy1= wx1= wy1 = -ak2 Giỏ tr tc v gia tc ti thi im t1 bng: v1 = ak; w1 = ak2 V cú phng, chiu nh hỡnh v Ti thi im t2= : k x2= -a y2= vx2= vy2= -ak wx2= ak2 wy2 = Giỏ tr tc v gia tc ti thi im t2 bng: v2 = ak; w2 = ak2 V cú phng, chiu nh hỡnh v 5.3 Phng phỏp to cong (to t nhiờn) 5.3.1 Phng trỡnh chuyn ng Phng trỡnh biu din mi quan h gia v trớ ca cht im chuyn ng i vi thi gian c gi l phng trỡnh chuyn ng Gi s cú im M chuyn ng trờn qu o cong ( c ) cho trc Trờn qu o chn mt im O lm gc qui chiu, v trớ ca im M trờn qu o c xỏc nh bng quóng ng s tớnh t gc qui chiu O , s = OM (t) O M (c) S Quóng ng s l mt s i s Nu chiu t O n M trựng vi chiu dng ó chn thỡ quóng ng s l dng, ngc li thỡ quóng ng s õm ng vi mi thi im, im M cú v trớ hon ton xỏc nh trờn qu o Nh vy quóng ng s ca im M hon ton xỏc nh ph thuc vo thi gian s = s(t ) (5.7) ú l phng trỡnh chuyn ng ca im M trờn qu o cho trc 5.3.2 Vn tc Gi thit ti thi im t v trớ ca ng im l M xỏc nh bi ta cong s Ti thi im t1 v trớ ca ng im l M1 xỏc nh bi ta cong s1 Gi t s s s1 s = l tc trung bỡnh ca ng im khong thi gian t t t v ký hiu l vtb Khi t cng nh ngha l M1 cng gn M thỡ vtb tin ti tc tc thi ti thi im t v = lim t s ds = =s t dt (5.8) Trong chuyn ng cong tng quỏt, vộc t tc cú phng tip tuyn vi qu o ca im ti v trớ ang xột, cú chiu l chiu chuyn ng ca im, cú tr s l tc ca im ti thi im ú (t) M O (c) Vn tc ca im trng hp tng quỏt l mt i lng ph thuc vo r r thi gian v = v ( t ) Vn tc thc ca ng im ti mt thi im no ú bng o hm bc nht ca quóng ng s i vi thi gian cng ti thi im y n v tc: m km ; ; s h Chỳ ý: Vn tc cú th ( + ) hoc ( ) Vn tc l dng ng im chuyn ng theo chiu dng ó chn; tc l õm trng hp ngc li 5.3.3 Gia tc 5.3.3.1 Hệ trục toạ độ cong b - Mặt phẳng mật tiếp tạo tiếp tuuyến M1 song song với tiếp tuyến M2 s - Tại vị trí điểm M xác định hệ trục toạ đọ tự nhiên -O + M n hệ trục vuông góc có trục tiếp tuyến M có chiều hớng theo chiều (+) toạ độ cong, trục n m?t ph?ng m?t ti?p 10 pháp tuyến Mn nằm mặt phẳng mật tiếp, theo chiều lõm quỹ đạo trục Mb vuông góc với hai trục tạo với chúng thành tam diện thuận Mn gọi trục pháp tuyến Mb gọi trục trùng pháp tuyến - Ta thấy quỹ đạo cong tiếp tuyến đổi hớng nhanh ngời ta a khái niệm độ cong quỹ k tb đạo = s Đại lợng s s M đợc gọi độ cong trung bình quỹ n -O + s M d ds đạo ứng với cung MM1 n Độ cong quỹ đạo tạ điểm M k = lim s d = s ds = / k bán kính cong quỹ đạo điểm M 5.3.3.2 Gia tốc chuyển động Véc tơ vận tốc nằm trục tiếp tuyến M diễn nh biểu sau: v = v. Mà w= d v d (v. ) dv d = = + v dt dt dt dt 11 d d ds d = =v dt ds dt ds Mặt khác d n = ds Ngời ta chứng minh đợc w = dv n + v2 dt M W (c) W W n n M W W v (c) n M W v (c) Wn Vậy: gia tốc năm mặt phẳng mật tiếp Hình chiếu gia tốc xuống trục toạ độ tự nhiên w = v' wn = v2 / w = Kết luận : - Hình chiếu véctơ gia tốc lên trục tiếp tuyến đạo hàm bậc theo thời gian hình chiếu vận tốc lên 12 trục tiếp tuyến hay đạo hàm bậc hai toạ độ tự nhiên theo thời gian - Hình chiếu véctơ gia tốc lên trục pháp tuyến bình phơng vận tốc chia cho bán kính cong quỹ đạo điểm khảo sát Nh véctơ gia tốc đợc phân tích làm hai thành phần a) Thành phần gia tốc tiếp tuyến đặc trng cho biến đổi trị số vận tốc b) Thành phần gia tốc pháp tuyến ( hay gia tốc hớng tâm ) đặc trng cho biến đổi hớng vận tốc 5.4 Cỏc chuyn ng c bit Cỏc dng chuyn ng riờng ca im c phõn tớch trờn c s cỏc dng c bit ca ng cong qu o v cỏc giỏ tr c bit ca tc, gia tc m chỳng ta thng gp i sng v k thut 5.4.1 Chuyn ng thng L chuyn ng cú qu o l ng thng cú bỏn kớnh cong = Khi im chuyn ng thng, cú trng hp c bit thng gp l: 5.4.1.1 Chuyn ng thng u L chuyn ng thng cú vộc t tc l hng s v = const, w= Quóng ng i c xỏc nh: s = so + v.t so l to ban u t = 5.4.1.2 Chuyn ng thng bin i u L chuyn ng thng cú vộc t gia tc l hng s: w = const Vn tc v quóng ng i ti thi im t no ú c xỏc nh: v = vo + w.t 13 s= so + vo.t + w.t 2 so, vo l tc v quóng ng ti thi im ban u t = 5.4.2 Chuyn ng theo qu o cong L chuyn ng cú qu o l ng cong Cú dng chuyn ng cong thng gp l: 5.4.2.1 Chuyn ng cong u: L chuyn ng cong cú giỏ tr tc l hng s V = const Quóng ng i c tớnh theo cụng thc: s= so + v.t Gia tc: w = 0, wn = v2 : c trng cho s thay i phng v 5.4.2.2 Chuyn ng cong bin i u: L chuyn ng cong cú giỏ tr gia tc tip tuyn l hng s w = const Vn tc v quóng ng i ti thi im t no ú c tớnh theo cụng thc: v = vo + w.t w t s= so + vo.t + so, vo l tc v quóng ng ti thi im ban u t = Vớ d 2: Chic nhn M c lng vo s M mt vnh trũn c nh bỏn kớnh R Thanh thng OA lng vo chic nhn + Wn v v quay quanh trc c nh O cho gúc to bi vi phng thng A O O1 R ng bin i theo quy lut = kt (k=const > 0) Tỡm tc v gia tc ca chic nhn M n 14 Bi gii: Qu o ca im M l ng trũn Chn im O l gc ta t nhiờn vi quy c du nh hỡnh v Quy lut chuyn ng ca im M l: s = 2R =2Rkt Vn tc v gia tc ca im M h trc ta Mnt l: v (2Rk )2 = 4Rk ; v = s = 2Rk; w n = = R Vy im M chuyn ng trũn u, gia tc ch cú mt thnh phn gia tc phỏp tuyn (gia tc hng tõm) 15