Tài liệu dạy thêm đại 11 chương 1

Tài liệu này được dùng để dạy cho các lớp học thêm khối 11 Các bài tập được phân dạng và có kiến thức cơ bản mỗi bài . ..........................................................................................................................................................................................................................................................

Chương I : Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đỗ Tiến Tuấn Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác §1 : Hàm số lượng giác A- Kiến thức I Định nghĩa Hàm số sin hàm số côsin - Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sin x sin : R → R x → y = sin x gọi hàm số sin, kí hiệu y = sin x Tập xác định hàm số sin R - Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực cos x cos x : R → R x → y = cos x gọi hàm số côsin, kí hiệu : y = cos x Tập xác định hàm số côsin R Hàm số tang hàm số côtang - Hàm số tang hàm số xác định công thức : y = sin x (cos x = 0) cos x Kí hiệu y = tan x π Tập xác định hàm số y = tan x D = R \ + kπ, k ∈ Z - Hàm số côtang hàm số xác định công thức : y = cos x (sin x = 0) sin x Kí hiệu y = cot x Tập xác định hàm số y = cot x D = R \ {kπ, k ∈ Z} - Nhận xét: Hàm số y = sin x hàm số lẻ, hàm số y = cos x hàm số chẵn, hàm số y = tan x, y = cot x hàm số lẻ II Tính tuần hoàn hàm số lượng giác - T = 2π số dương nhỏ thỏa mãn : sin(x + T ) = sin x, ∀x ∈ R Hàm số y = sin x thỏa mãn đẳng thức gọi hàm số tuần hoàn với chu kì 2π - Tương tự hàm số y = cos x hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, hàm số y = tan x, y = cot x hàm số tuần hoàn với chu kì π III Sự biến thiên đồ thị hàm số lượng giác Hàm số y = sin x π π π 3π - Đồng biến khoảng − + k2π; + k2π , nghịch biến khoảng + k2π; + k2π 2 2 - Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π nhận gốc O làm tâm đối xứng - Tập giá trị hàm số y = sin x [−1; 1] tức −1 ≤ sin x ≤ ∀x ∈ R - Bảng biến thiên đoạn [−π; π] - Hàm số y = sin x nhận giá trị đặc biệt : • sin x = x = kπ, k ∈ Z π • sin x = x = + k2π, k ∈ Z π • sin x = −1 x = − + k2π, k ∈ Z - Vẽ đồ thị Hàm số y = cos x - Nghịch biến khoảng (k2π; π + k2π), đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) Trang: Chương I : Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đỗ Tiến Tuấn Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π nhận trục Oy làm trục đối xứng Tập giá trị hàm số y = cos x [−1; 1] tức −1 ≤ cos x ≤ ∀x ∈ R Bảng biến thiên đoạn [−π; π] Hàm số y = cos x nhận giá trị đặc biệt : π • cos x = x = + kπ, k ∈ Z • cos x = x = k2π, k ∈ Z • cos x = −1 x = π + k2π, k ∈ Z - Vẽ đồ thị - Nhận xét : Đồ thị hàm số y = cos x nhận cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vectơ π v = − ;0 Hàm số y = tan x π π - Đồng biến khoảng − + kπ; + kπ 2 - Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T = π nhận tâm O làm tâm đối xứng - Tập giá trị hàm số y = tan x R - Hàm số y = tan x nhận giá trị đặc biệt : • tan x = x = kπ, k ∈ Z π • tan x = x = + kπ, k ∈ Z π • tan x = −1 x = − + kπ, k ∈ Z - Vẽ đồ thị Hàm số y = cot x - Nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ) - Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì T = π nhận tâm O làm tâm đối xứng - Tập giá trị hàm số y = cot x R - Hàm số y = cot x nhận giá trị đặc biệt : π • cot x = x = + kπ, k ∈ Z π • cot x = x = + kπ, k ∈ Z π • cot x = −1 x = − + kπ, k ∈ Z - Vẽ đồ thị B-Các dạng tập Dạng : Tìm tập xác định hàm số, xác định tính chẵn lẽ hàm số - Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: π 2π a) y = tan x − b) y = cot2 − 3x tan 5x − sin 2x d) y = e) y = sin 4x − cos 3x cos 3x − tan 2x π + cot 3x + sin x + + cot x f) y = − sin 3x c) y = Ví dụ Xác định tính chẵn lẻ hàm số + cos x a) y = x cos 3x b) y = − cos x x3 − sin x c) y = x3 sin 2x d) y = cos 2x Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhỏ Ví dụ Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau : Trang: Chương I : Hàm số lượng giác phương trình lượng giác a) y = sin x − c) y = − sin2 2x e) y = (4 sin x − cos x)2 − 4(4 sin x − cos x) + Đỗ Tiến Tuấn b) y = sin x cos x + d) y = cos2 x + cos2 2x Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau nhận giá trị dương : y = (3 sin x − cos x)2 − sin x + cos x + 2m − Ví dụ Tìm m để hàm số y = sin2 x + sin x cos x − (3 + 2m) cos2 x + xác định với x Ví dụ Cho góc nhọn x, y thỏa mãn sin2 x + sin2 y = sin(x + y) Chứng minh x + y = π Ví dụ Tìm giá trị lớn nhỏ hàm : sin x + cos x + a) y = sin x + cos x + b) y = sin x + cos x + Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số lượng giác Ví dụ Hãy vẽ đồ thị hàm số y = sin x Ví dụ Hãy vẽ đồ thị hàm số y = tan 2x Ví dụ 10 Hãy vẽ đồ thị hàm số y = cos x − π x Ví dụ 11 a) Chứng minh cos (x + 4kπ) = cos với số nguyên k Từ vẽ đồ thị hàm số 2 x y = cos x x b) Dựa vào đồ thị hàm số y = cos , vẽ đồ thị hàm số y = cos 2 §2: Phương trình lượng giác A-Kiến thức Phương trình sin x = m • |m| > : Phương trình sin x = m vô nghiệm • |m| < : Phương trình sin x = m có nghiệm tính công thức : sin x = m ⇔ x = α + k2π (k ∈ Z) x = π − α + k2π với α nghiệm phương trình nghĩa sin α = m x = α + k2π - Phương trình sin x = sin α có nghiệm (k ∈ Z) x = π − α + k2π f (x) = g(x) + k2π - Tổng quát : sin f (x) = sin g(x) ⇔ (k ∈ Z) f (x) = π − g(x) + k2π x = α0 + k3600 - Nếu ta muốn tìm x theo đơn vị độ sin x = m ⇔ (k ∈ Z) với sin α0 = m x = 1800 − α0 + k3600 - Một số trường hợp đặc biệt : π + sin x = ⇔ x = + k2π π + sin x = −1 ⇔ x = − + k2π + sin x = ⇔ x = kπ Trang: Chương I : Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đỗ Tiến Tuấn π π - Với m cho trước mà |m| ≤ phương trình sin x = m có nghiệm nằm đoạn − ; 2 Người ta kí hiệu nghiệm arcsin m Khi : sin x = m ⇔ x = arcsin m + k2π (k ∈ Z) x = π − arcsin m + k2π - Nếu α, β hai số thực sin β = sin α có số nguyên k để β = α + k2π β = π − α + k2π, k ∈ Z - Chú ý : công thức nghiệm phương trình lượng giác không dùng đồng thời hai đơn vị đo độ rađian Phương trình cos x = m • |m| > : Phương trình cos x = m vô nghiệm • |m| < : Phương trình cos x = m có nghiệm tính công thức : cos x = m ⇔ x = α + k2π (k ∈ Z) x = −α + k2π với α nghiệm phương trình nghĩa cos α = m x = α + k2π - Phương trình cos x = cos α có nghiệm (k ∈ Z) x = −α + k2π f (x) = g(x) + k2π - Tổng quát : cos f (x) = cos g(x) ⇔ (k ∈ Z) f (x) = −g(x) + k2π x = α0 + k3600 (k ∈ Z) với cos α0 = m - Nếu ta muốn tìm x theo đơn vị độ cos x = m ⇔ x = −α0 + k3600 - Một số trường hợp đặc biệt : + cos x = ⇔ x = k2π + cos x = −1 ⇔ x = π + k2π π + cos x = ⇔ x = k - Với m cho trước mà |m| ≤ phương trình cos x = m có nghiệm nằm đoạn [0; π] Người ta kí hiệu nghiệm arccos m Khi : cos x = m ⇔ x = arccos m + k2π (k ∈ Z) x = − arccos m + k2π - Nếu α, β hai số thực cos β = cos α có số nguyên k để β = α + k2π β = π − α + k2π, k ∈ Z Phương trình tan x = m π - Điều kiện phương trình x = + kπ, k ∈ Z - Công thức nghiệm: Nếu α nghiệm phương trình nghĩa tan α = m : tan x = m ⇔ x = α + kπ(k ∈ Z) - Phương trình tan x = tan α có nghiệm x = α + kπ(k ∈ Z) - Tổng quát : tan f (x) = tan g(x) ⇔ f (x) = g(x) + kπ(k ∈ Z) π π - Với m cho trước, phương trình tan x = m có nghiệm nằm khoảng − ; Người 2 ta kí hiệu nghiệm arctan m Khi : tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ, k ∈ Z - Nếu α, β hai số thực mà tan α, tan β xác định tan β = tan α có số nguyên k để β = α + kπ, k ∈ Z Trang: Chương I : Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đỗ Tiến Tuấn Phương trình cot x = m - Điều kiện phương trình x = kπ, k ∈ Z - Công thức nghiệm: Nếu α nghiệm phương trình nghĩa cot α = m : cot x = m ⇔ x = α + kπ(k ∈ Z) - Phương trình cot x = cot α có nghiệm x = α + kπ(k ∈ Z) - Tổng quát : cot f (x) = cot g(x) ⇔ f (x) = g(x) + kπ(k ∈ Z) - Với m cho trước, phương trình cot x = m có nghiệm nằm khoảng (0; π) Người ta kí hiệu nghiệm arccot m Khi : cot x = m ⇔ x = arccot m + kπ, k ∈ Z - Nếu α, β hai số thực mà cot α, cot β xác định cot β = cot α có số nguyên k để β = α + kπ, k ∈ Z B- Các dạng tập Dạng : Giải phương trình lượng giác Ví dụ 12 Giải phương trình sau : √ √ π a) sin x = − b) sin x = sin c) cos x = π e) tan x = −1 f) tan x = tan g) cot x = − Ví dụ 13 Giải phương trình sau : π x+π a) sin 4x = sin b) sin = 5 3π f) tan(x − 15 ) = e) tan 3x = tan 2π 2π h) cot x = cot d) cos x = cos √ x π = cos = d) cos x + 18 √ x 2π g) cot + 20 = − h) cot 3x = tan c) cos Ví dụ 14 Giải phương trình sau : √ a) sin x − cos 2x = b) cos2 x − sin 2x = c) sin(2x − 350 ) = π d) sin(2x + 1) + cos(3x − 1) = e) sin2 3x = f) sin 2x cos x − =0 Dạng : Tìm nghiệm phương trình khoảng cho trước Ví dụ 15 Tìm nghiệm phương trình khoảng (−π, π) : sin 3x + π = cos 2x − π Dạng 3: Phương pháp loại nghiệm kết hợp nghiệm giải phương trình lượng giác Phương pháp : Biểu diễn nghiệm điều kiện lên đường tròn lượng giác Sau loại điểm biểu diễn nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn điều kiện, điểm biểu diễn nghiệm trùng lấy Ví dụ 16 Giải phương trình sau : cot 3x = cot x Ví dụ 17 Giải phương trình sau : sin 2x − sin x = Trang: Chương I : Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đỗ Tiến Tuấn §3: Phương trình lượng giác thường gặp Phương trình bậc nhất, bậc cao hàm số lượng giác - Phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình có dạng : at + b = a, b số (a = 0) t hàm số lượng giác Ví dụ 18 sin x − = √ Ví dụ 19 tan x − = - Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng : at2 + bt + c = 0, a, b, c số (a = 0) t hàm số lượng giác Ví dụ 20 cos2 x − cos x + = √ Ví dụ 21 tan2 x − tan x + = - Phương trình bậc cao hàm số lượng giác ta đặt hàm số lượng giác phương trình ẩn t phương trình trở thành phương trình bậc cao với ẩn t Ví dụ 22 sin3 x + sin x − = Phương trình đưa phương trình bậc nhất, bậc cao hàm số lượng giác - Là loại phương trình mà sau biến đổi (sử dụng công thức lượng giác biến đổi tương đương) ta đưa phương trình ban đầu dạng phương trình bậc bậc cao hàm số lượng giác Ví dụ 23 cos x − sin 2x = Ví dụ 24 sin x cos x cos 2x = −1 Ví dụ 25 cos2 x + sin x − = √ √ Ví dụ 26 tan x − cot x + − = Ví dụ 27 cos 3x − cos 2x + cos x = Phương trình bậc sin x cos x - Với a2 + b2 = ta có : 2 √ a b a b a sin x + b cos x = a2 + b2 √ sin x + √ Do √ + √ =1 a2 + b a2 + b2 cos x a2 + b a2 + b a b nên tồn góc lượng giác α cho √ = cos α, √ = sin α + b2 + b2 a a √ √ Khi a sin x + b cos x = a2 + b2 (sin x cos α + cos x sin α) = a2 + b2 sin(x + α) √ a b = cos α, √ = sin α - Vậy a sin x + b cos x = a2 + b2 sin(x + α) với α cho √ a2 + b a2 + b - Phương trình dạng a sin x + b cos x = c a, b, c số cho với a = b = gọi phương trình bậc sin √ x cos x Cách giải: Biến đổi phương trình thành a2 + b2 sin(x + α) = c √ Ví dụ 28 Giải phương trình sin x − cos x = √ Ví dụ 29 Giải phương trình sin 3x + cos 3x = −3 Trang: Chương I : Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đỗ Tiến Tuấn - Điều kiện có nghiệm phương trình a sin x + b cos x = c c Ta có a sin x + b cos x = c ⇔ sin(x + α) = √ a2 + b c2 Từ suy để phương trình có nghiệm ≤ ⇔ c ≤ a2 + b a + b2 Áp dụng : Ví dụ 30 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm : sin x + cos x + a) y = sin x + cos x + b) y = sin x + cos x + Phương trình bậc hai,bậc cao sin x cos x - Phương trình bậc hai sin x cos x có dạng a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = a, b, c số cho ,a = b = c = Cách giải: Xét cos x = 0, xem x thỏa mãn cos x = có nghiệm phương trình không Xét cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos2 x ta đưa phương trình ban đầu thành phương trình bậc hai tan x Chú ý: Phương trình có dạng : a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x + d = Với dạng ta thay d = d(cos2 x + sin2 x) vào phương trình ta phương trình bậc hai nêu Ví dụ 31 Giải phương trình : sin2 x − sin x cos x − cos2 x = Ví dụ 32 Giải phương trình : sin2 x − sin x cos x − cos2 x = −2 Phương trình lượng giác đưa phương trình tích - Bằng cách đặt nhân tử chung, ta đưa phương trình ban đầu phương trình dạng tích Ở thừa số tích phương trình học √ Ví dụ 33 Giải phương trình : sin 2x + sin 4x = Ví dụ 34 Giải phương trình : sin x − 1 = sin2 x − sin x sin2 x Đặt ẩn phụ x 2t - Với t = cos = ta có sin x = , + t2 − t2 cos x = , + t2 tan x = 2t − t2 Ví dụ 35 (1 − tan x)(1 + sin 2x) = + tan x Ví dụ 36 tan2 x + tan x + cot2 x + cot x + = Ví dụ 37 cos3 x + π = cos 3x Phương trình đối xứng phản đối xứng sin x cos x - Là phương trình có dạng a(sin x + b cos x) + b sin x cosx + c = t2 −  √ π sin x cos x = - Cách giải: Đặt t = sin x + cos x = sin x + ⇒ t ∈ [−√2, √2] - Phương trình phản đối xứng có dạng: a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c = − t2  √ π sin x cos x = - Cách giải: Đặt t = sin x − cos x = sin x − ⇒ t ∈ [−√2, √2] Trang: Chương I : Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đỗ Tiến Tuấn Ví dụ 38 sin x cos x − (sin x + cos x) + = Ví dụ 39 sin 2x + 4(sin x − cos x) = Ví dụ 40 + sin3 x + cos3 x = sin x cos x Ví dụ 41 | sin x − cos x| + sin 2x = Ví dụ 42 sin 2x − √ sin x + π +1=0 Sử dụng bất đẳng thức tính chất hàm số lượng giác Ví dụ 43 cos7 x + sin4 x = §4: Phương trình lượng giác chứa tham số A-Kiến thức Phương trình sin x = m • |m| > : Phương trình sin x = m vô nghiệm • |m| ≤ : Phương trình sin x = m có nghiệm Phương trình cos x = m • |m| > : Phương trình cos x = m vô nghiệm • |m| ≤ : Phương trình cos x = m có nghiệm Phương trình tan x = m π - Với m phương trình tan x = m có nghiệm thỏa mãn :x = + kπ, k ∈ Z Phương trình cot x = m - Với m phương trình tan x = m có nghiệm thỏa mãn : x = kπ, k ∈ Z Phương trình a sin x + b cos x = c - Xét a, b đồng thời Nếu c = phương trình vô số nghiệm, c = phương trình vô nghiệm - Xét a2 + b2 = 0, phương trình có nghiệm c2 ≤ a2 + b2 Ngược lại c2 > a2 + b2 vô nghiệm Phương trình a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = - Nếu a2 + b2 + c2 = 0(hay a, b, c đồng thời 0) phương trình có nghiệm - Nếu a2 + b2 + c2 = 0, + Ta xét cos x = 0, a = x thỏa mãn cos x = nghiệm pt, a = x thỏa mãn cos x = không nghiệm pt + Xét cos = 0, chia vế pt cho cos2 x ta : a tan2 x + b tan x + c = c • Nếu a = 0, b = phương trình vô nghiệm, a = 0, b = phương trình có nghiệm x = arctan − + b kπ, k ∈ Z • Nếu a = 0, ∆ = b2 − 4ac < phương trình vô nghiệm, a = 0, ∆ = b2 − 4ac ≥ phương trình có √ −b ± ∆ + kπ, k ∈ Z nghiệm x = arctan 2a B-Các ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình : sin x + π = 2m + 10 Giải π 2m + Phương trình đương đương với sin x + = 10 Trang: Chương I : Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đỗ Tiến Tuấn 2m + 1 > ⇔ m > m < − phương trình vô nghiệm 2 2m + - Với > ⇔ − ≤ m ≤ phương trình có nghiệm : 2  π 2m + x = − + arcsin + k2π  10  (k ∈ Z)  2m + 9π − arcsin + k2π x= 10 - Với Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình m cos 2x = m − - Với m = thay trực tiếp vào phương trình = − vô lí Phương trình nghiệm m−1 - Với m = 0, Phương trình ⇔ cos 2x = Ta xét hai trường hợp m m−1 Trường hợp 1: > ⇔ m < , m = phương trình vô nghiệm m m−1 1 m−1 Trường hợp 2: ≤ ⇔ m ≥ phương trình có nghiệm x = ± arccos + k2π, k ∈ Z m 2 m 1 m−1 Kết luận : m ≥ phương trình có nghiệm x = ± arccos + k2π, k ∈ Z 2 m m < phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình (m − 1) tan 2x = m π π + k ,k ∈ Z - Với m = phương trình vô nghiệm m - Với m = 1, phương trình có nghiệm x = arctan + kπ, k ∈ Z m−1 Kết luận: Với m = phương trình vô nghiệm m π π Với m = phương trình có nghiệm x = arctan + kπ, k ∈ Z với x = + k , k ∈ Z m−1 Phương trình bậc sin x, cos x Ví dụ 4: Biện luận (m − 1) cos x + sin x = m + - Với (m + 3)2 ≤ (m − 1)2 + ⇔ m ≤ − phương trình có nghiệm :  m+3 x = −α + arcsin + k2π  (m − 1)2 +  (k ∈ Z)  m+3 x = π − α − arcsin + k2π (m − 1)2 + - Với m > − , pt vô nghiệm Ví dụ 5: Tìm m để phương trình : (m + 1) cos x + (m − 1) sin x = 2m + có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn π : |x1 − x2 | = m−1 2m + m+1 Giải: Phương trình ⇔ cos(x+α) = cos β Ở cos α = √ , sin α = √ , cos β = √ 2 2m + 2m + 2m2 + ⇔ x = β ± α + k2π, k ∈ Z Suy x1 = β + α + k2π, x2 = β − α + l2π(k, l ∈ Z) (Nếu x1 , x2 thuộc họ nghiệm x1 − x2 = k1 2π) π π π |x1 − x2 | = ⇔ |2α + (k1 − k2 )2π| = ⇔ 2α = ± ± (k2 − k1 )2π ⇔ cos 2α = 3 - Điều kiện cos 2x = ⇔ x = Trang: Chương I : Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đỗ Tiến Tuấn m+1 (m + 1)2 ⇔ m2 − 4m = = ⇔ m = Mà cos 2α = cos2 α − ⇒ = √ −1 ⇔ = 2+2 2 2m 2m = √ ± √ √ √ 2m + −6 + 22 −6 − 22 Để phương trình có nghiệm √ ≤m≤ Tuy nhiên m = 2± ≤1⇔ 2 2m2 + không thỏa mãn Vậy không tồn m thỏa mãn yêu cầu toán.! Ví dụ 6: Tìm m để phương trình : a) cos 2x + cos2 x + sin x + 2m = có nghiệm b) cos 2x − (2m + 1) cos x + m + = có nghiệm π ;π Giải: a) Phương trình ⇔ sin2 x − sin x = 2m + Đặt t = sin x, t ∈ [−1; 1] Ta đưa phương trình : 3t2 − 3t = 2m + Xét hàm số f (t) = 3t2 − 3t, t ∈ [−1; 1] Bảng biến thiên : t −1 f (t) Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm ⇔ ≤ 2m + ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ b) Phương trình ⇔ cos2 x − (2m + 1) cos x + m = cos x − = cos x = ⇔ (2 cos x − 1)(cos x − m) = ⇔ ⇔ cos x − m = cos x = m π ; π ⇒ −1 ≤ cos x ≤ Ta có x ∈ π Từ suy phương trình có nghiệm x ∈ ; π ⇔ −1 ≤ m ≤ Ví dụ 7: Tìm m để phương trình : m cos 2x + sin x = cos x cot x có nghiệm thuộc (0; 2π) Giải: Phương trình ⇔ sin x = cos 2x(m sin x − 1) = π 3π 5π 7π , , , ⇒ m = thỏa mãn yêu cầu toán 4 4 - Với m = 0, phương trình có nghiệm (0; 2π) nên yêu cầu toán ⇔ m sin x − = vô nghiệm có nghiệm m=0         > m = Suy  m  √  ⇔ |m| <     √    = m = ± m   m = giá trị cần tìm Vậy |m| <  √  m=± - Với m = ⇒ phương trình ⇔ cos 2x = ⇔ x = Trang: 10 Chương I : Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đỗ Tiến Tuấn + + 3m = có nhiều nghiệm thuộc Ví dụ 8: Tìm m để phương trình : (1 − m) tan2 x − cos x π 0; 1−m Giải: Phương trình ⇔ − + 4m = cos x cos x Đặt t = ⇒ t > 1∀x ∈ (1; +∞) cos x Ta có : (1 − m)t2 − 2t + 4m = ( ) Yêu cầu toán ⇔ ( ) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 >     − m =   m = 1, m =       ∆ = + 4m2 − 4m >  m = 1, m = Vi-ét − > ⇔ ⇐⇒ ⇔ t1 + t2 − >    1−m t + t2 >         t1 t2 − (t1 + t2 ) + >  4m − + > (t1 − 1)(t2 − 1) > 1−m 1−m       m = 1, m =   m = 1, m =     m =  2m 2 >0 ⇔ 0 (t1 − 1) (t2 − 1) > 1 m 1 m       m = 1, m =   m = 1, m =     m =  2m 2 >0 ⇔ 0