Một số tích phân thường gặp trong đề thi

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI DẠNG1: Đổi biến ( ; ; ;2 ) 4 2 x a t a π π π π = − = Ví dụ: Tính các tích phân sau 4 2 4 4 4 0 0 2 2 3 2 0 0 sin ) ) ln(1 tan ) sin os sin ) ) os 1 os x a I dx b I x dx x c x x x c I dx d I xc xdx c x π π π π = = + + = = + ∫ ∫ ∫ ∫ Hướng dẫn: 0 4 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 0 0 2 0 2 0 2 ) 2 os os os os sin os sin os sin x t x t a x t c t c t c x dx dt I dt dt dx c t t c t t c x x π π π π π π = ⇒ = = ⇒ = = − = − ⇒ = − = = + + + ∫ ∫ ∫ Kết hợp với tích phân ban đầu ta có 4 4 2 2 4 4 0 0 sin os 2 os sin 2 4 x c x I dx dx I c x x π π π π + = = = ⇒ = + ∫ ∫ 4 0 4 4 4 4 0 0 0 0 0 4 ) 4 ln 1 tan( ) 4 1 tan 2 ln 1 ln ln 2 2 ln 2 1 tan 1 tan 4 ln 2 8 x t x t b x t dx dt I t dt t dt dt dt I I t t I π π π π π π π π π π = ⇒ = = ⇒ = = −   = − ⇒ = − + −  ÷   −     = + = = − ⇒ =  ÷  ÷ + +     ⇒ = ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 0 2 2 0 1 2 2 2 2 0 0 1 2 0 0 ) sin( ) sin 1 os ( ) 1 os ost ost 2 1 os 1 os 1 2 4 x t x t c x t t t dx dt I t dt t dt c t c t dc dc dx I I c t c t x I π π π π π π π π π π π π π π π π − = ⇒ = = ⇒ = = − − = − ⇒ = − − = − + − + = − − ⇒ = − = = + + + ⇒ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 3 3 2 0 2 2 3 2 0 0 3 0 0 2 2 0 2 ) 2 2 os (2 ) 2 os 2 os 2 2 1 sin sin sin 2 sin 3 0 x t x t d x t dx dt I t c t dt t c tdt c tdt I I t d t t t I π π π π π π π π π π π π π π = ⇒ = = ⇒ = = − = − ⇒ = − − − = − = − ⇒ = − =   −  ÷   ⇒ = ∫ ∫ ∫ ∫ Bài tập tương tự: 3 0 2 0 1 2 0 3 2 3 3 0 3 1) sin KQ: 4 2) sin os KQ: 3 ln( 1) 3) KQ: ln 2 1 8 sin 4) KQ: sin os 4 x xdx x xc xdx x dx x x dx x c x π π π π π π π + + + ∫ ∫ ∫ ∫ DẠNG2: Đổi biến x t = − Ví dụ: 1 4 2 1 1 2 1 7 5 3 4 2 4 sin ) ) 2 1 3 1 sinx ) 1 3 5 7 1 ) os x x x x a I dx b I dx c I dx x x x x x d I dx c x π π π π − − − − = = + + = + + + + + = ∫ ∫ ∫ ∫ Hướng dẫn: 1 1 1 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 ) , 2 . 2 . 2 1 2 1 2 1 t x t t x x t x t a x t dx dt t t x I dt dt dx − − − − = ⇒ =− =− ⇒ = = − = − = − = = + + + ∫ ∫ ∫ Kết hợp với tích phân ban đầu, ta có: 1 5 4 1 1 1 2 1 2 5 5 5 x I x dx I − − = = = ⇒ = ∫ 2 2 2 ) , sin 3 .sin 3 .sin 3 1 3 1 3 1 t x t t x x t x t a x t dx dt t t x I dt dt dx π π π π π π π π π π − − − − =− ⇒ = = ⇒ =− = − = − = − = = + + + ∫ ∫ ∫ Kết hợp với tích phân ban đầu ta có 2 1 1 sin 2 2 sin (1 os2x) 2 2 2 2 x I xdx c dx x I π π π π π π π − − −   = = − = −  ÷   ⇒ = ∫ ∫ 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 ) , sin(-t) sin(t) 0 1 1 x t x t c x t dx dt I dt dt I I t t − − = ⇒ =− =− ⇒ = = − = − = − = − = − ⇒ = + + ∫ ∫ 7 5 3 7 5 3 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ) , 3 5 7 1 3 5 7 1 os os 2 2 2 tan 4 2 os x t x t d x t dx dt t t t t t t t t I dt dt c t c t I dt I t I c t π π π π π π π π π π π π − − − = ⇒ =− =− ⇒ = − = − = − − − − − + + + + − = − = − = − + ⇒ = = ⇒ = ∫ ∫ ∫ Bài tập tương tự 1 4 2 1 1 2 1 7 6 sinx 4 1) KQ: x 1 2 3 1 2) KQ: 2 1 4 sin . os KQ:0 3) x x I dx x I dx x c xdx I π π π π − − − + = − + − = + = ∫ ∫ ∫ . MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI DẠNG1: Đổi biến ( ; ; ;2 ) 4 2 x a t a π π π π = − = Ví dụ: Tính các tích phân sau 4 2 4 4. t c x x π π π π π π = ⇒ = = ⇒ = = − = − ⇒ = − = = + + + ∫ ∫ ∫ Kết hợp với tích phân ban đầu ta có 4 4 2 2 4 4 0 0 sin os 2 os sin 2 4 x c x I dx dx I c