Bài tập xác suất thống kê

CHƯƠNG VII KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Khái niệm Giả thiết thống kê giả thiết nói đặc trưng, quy luật phân phối, tính độc lập đại lượng ngẫu nhiên Dùng thống kê từ mẫu để khẳng đònh hay bác bỏ giả thiết thống kê gọi kiểm đònh giả thiết thống kê Khi kiểm đònh giả thiết H, xảy hai loại sai lầm : - Loại : bác bỏ H lúc H ; - Loại hai : chấp nhận H lúc H sai Ta gọi xác suất xảy sai lầm loại kiểm đònh mức ý nghóa kiểm đònh, kí hiệu  Phương pháp kiểm đònh cho trước mức ý nghóa  (thường   10%) Nếu xác suất H không bé -  ta chấp nhận H, xác suất bé -  ta bác bỏ H Kiểm đònh tỉ lệ a) Kiểm đònh giả thiết tỉ lệ tổng thể Bài toán Giả sử tổng thể có tỉ lệ p chưa biết Ta cần kiểm đònh giả thiết H : “p = po” với mức ý nghóa  Phương pháp - Từ mẫu đònh tính kích thước n  30, ta tính tỉ lệ mẫu f 1  - Tra bảng hàm số Laplace để tìm số Z cho (Z) = f  po - Tính thống kê Zo = n p o (1  p o ) - So sánh Zo với Z : Nếu Zo  Z chấp nhận H ; Nếu Zo > Z bác bỏ H b) Kiểm đònh so sánh hai tỉ lệ Bài toán Giả sử tỉ lệ hai tổng thể p1, p2 chưa biết Cần kiểm đònh giả thiết H : “p1 = p 2” với mức ý nghóa  Phương pháp - Từ hai mẫu tương ứng kích thước n1, n2  30, ta tính tỉ lệ mẫu f1, f2 1  - Tra bảng hàm số Laplace để tìm Z cho (Z) = f1  f - Tính thống kê Zo = ,  1   p o (1  p o )   n1 n  po = n 1f1  n f n1  n - So sánh Zo với Z : 72 Nếu Zo  Z chấp nhận H ; Nếu Zo > Z bác bỏ H Kiểm đònh kì vọng a) Kiểm đònh giả thiết kì vọng tổng thể Bài toán Giả sử tổng thể có giá trò trung bình (kì vọng)  chưa biết Cần kiểm đònh giả thiết H : “= o” với mức ý nghóa  Phương pháp Từ mẫu đònh lượng kích thước n ta tính X , S (1) Trường hợp n  30 - Tra bảng hàm số Laplace tìm Z cho 1  (Z) = X  μo - Tính thống kê Zo = n S - So sánh Zo với Z : Nếu Zo  Z chấp nhận H ; Nếu Zo > Z bác bỏ H (2) Trường hợp n tùy ý, tổng thể có phân phối chuẩn, biết phương sai 2 Ta tiến hành kiểm đònh trường hợp (1) với X  μo Zo = n  (3) Trường hợp n < 30, tổng thể có phân phối chuẩn, chưa biết phương sai - Tra bảng phân phối Student dòng n –1, cột  ta tìm số T X  μo n - Tính thống kê Zo = S - So sánh Zo với T : Nếu Zo  T chấp nhận H ; Nếu Zo > T bác bỏ H b) Kiểm đònh so sánh hai kì vọng Bài toán Giả sử giá trò trung bình hai tổng thể 1, 2 Cần kiểm đònh giả thiết H : “1= 2” với mức ý nghóa  Phương pháp - Từ hai mẫu tương ứng kích thước n1, n2  30, ta tính X , S12 ; X , S 22 1  - Tra bảng ta tìm số Z cho ( Z) = X1  X - Tính thống kê Zo = S12 S 22  n1 n - So sánh Zo với Z : Nếu Zo  Z chấp nhận H ; 73 Nếu Zo > Z bác bỏ H Kiểm đònh phương sai Bài toán Giả sử tổng thể có phân phối chuẩn với phương sai 2 chưa biết Cần kiểm đònh giả thiết H : “2 = σ 2o ” với mức ý nghóa  Phương pháp - Từ mẫu đònh lượng kích thước n, ta tính phương sai mẫu hiệu chỉnh S2   - Tra bảng phân phối “khi bình phương” dòng n – 1, cột cột , ta tìm 2 2 hai số tương ứng  ,  - Tính thống kê  02  (n  1) S  o2 - So sánh  02 với  12 ,  22 Nếu  12   02   22 chấp nhận H ; Nếu  02 <  12  02 >  22 bác bỏ H B CÁC BÀI GIẢI MẪU Kiểm đònh giả thiết tỉ lệ tổng thể Bài Theo báo cáo, tỉ lệ hàng phế phẩm kho 10% Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm thấy có phế phẩm Hỏi báo cáo có đáng tin mức ý nghóa 5% không? Giải Gọi p tỉ lệ phế phẩm kho hàng, p chưa biết Ta giả thiết p = 10%, báo cáo, (ở tỉ lệ giả thiết po = 10%) Ta kiểm tra giả thiết H : “p = po” với  = 5% Ta có kích thước mẫu n = 100, tỉ lệ mẫu f  = 0,08 10 Tra bảng hàm số Laplace ta thấy 1 0,05 (1,96) = = 0,475 nên Z = 1,96 Tính thống kê, ta 0,08 - 0,10 Zo = 100 = 0,6667 0,10(1  0,10) Vì Zo < Z nên ta chấp nhận H, nghóa báo cáo đáng tin cậy Bài Trước tỉ lệ phế phẩm nhà máy 5% Năm người ta áp dụng biện pháp kó thuật để sản xuất Sau thời gian, kiểm tra 800 sản phẩm thấy có 24 phế phẩm Với mức ý nghóa 1%, đánh giá hiệu biện pháp kó thuật Giải Tỉ lệ phế phẩm nhà máy (xem tổng thể) trước đây, tức trước áp dụng biện pháp kó thuật mới, 5% Còn tỉ lệ phế phẩm sau áp dụng biện pháp kó thuật p chưa biết Ta giả thiết H : “p = 5%”, giống trước Rõ ràng, giả thiết biện pháp kó thuật không tác dụng đến tỉ lệ phế phẩm nhà máy Còn giả thiết sai biện pháp kó thuật làm thay đổi tỉ lệ phế phẩm Ta tiến hành kiểm tra giả thiết với  = 1% 74 Từ mẫu ta có 24 = 0,03 800 Tra bảng hàm số Laplace, ta tìm Z = 2,58 Tính thống kê, ta 0,03 - 0,05 Zo = 800 = 2,6 0,05(1  0,05) n = 800, f = Vì Zo > Z nên giả thiết p = 5% sai Do tỉ lệ phế phẩm nhà máy 5% trước Mặt khác, tỉ lệ mẫu f = 3% < 5% = po, nên tỉ lệ phế phẩm giảm so với trước Vậy, biện pháp kó thuật làm giảm tỉ lệ phế phẩm nhà máy Kiểm đònh so sánh hai tỉ lệ Bài Kiểm tra 100 sản phẩm kho hàng thứ thấy có phế phẩm Kiểm tra 150 sản phẩm kho hàng thứ hai thấy có 18 phế phẩm Với mức ý nghóa 0,05, cho chất lượng hàng hai kho khác không ? Giải Tỉ lệ phế phẩm hai kho hàng (xem hai tổng thể) p1, p2 chưa biết Ta giả thiết H : “p1 = p2” với  = 0,05 Nếu giả thiếtù chất lượng hàng hai kho trái lại Ta kiểm đònh giả thiết Từ mẫu thứ ta có n1 = 100, f1 = 0,08 ; từ mẫu thứ hai ta có n2 = 150, f2 = 0,12 Tra bảng hàm số Laplace ta có Z = 1,96 Ta tính 100.0,08  150.0,12 po = = 0,104 ; 100  150 Zo = 0,08 - 0,12 = 1,015   0,104(1  0,104)    100 150  Vì Zo < Z nên ta chấp nhận giả thiết H, tức chất lượng hai kho hàng không khác Kiểm đònh giả thiết giá trò trung bình tổng thể Bài Khối lượng quy đònh cho gói bánh đóng gói tự động 250 gam Kiểm tra ngẫu nhiên 81 gói thấy khối lượng trung bình 235 gam độ lệch mẫu hiệu chỉnh 36 gam Với mức ý nghóa 0,01 kết luận tình hình sản xuất Giải Khối lượng trung bình gói bánh thuộc tổng thể  chưa biết Ta giả thiết H : “ = 250 gam” đún g quy đònh Nếu giả thiết chấp nhận tình hình sản xuất bình thường Nếu giả thiết bò bác bỏ tình hình sản xuất có vấn đề Ta tiến hành kiểm đònh giả thiết với n = 81 > 30, X = 235g, S = 36 Vì  = 0,01 nên Z = 2,58 Ta có 75 Zo = 2,35 - 250 81 = 3,75 36 Suy Zo > Z nên giả thiết bò bác bỏ Mặt khác, khối lượng trung bình mẫu X = 235g bé khối lượng quy đònh nên việc đóng gói tự động chưa đạt yêu cầu khối lượng gói bánh Bài Một cửa hàng nhận thấy lâu trung bình khách hàng mua 15 ngàn đồng Tuần cửa hàng chọn ngẫu nhiên 16 khách hàng thấy trung bình người mua 14 ngàn đồng độ lệch mẫu hiệu chỉnh ngàn đồng Cho biết sức mua khách hàng có phân phối chuẩn Với mức ý nghóa 5%, xét xem sức mua khách hàng có giảm sút không ? Giải Gọi  sức mua trung bình nay, o = 15 ngàn đồng sức mua trung bình trước Ta giả thiết H : “ = o” Nếu giả thiết sức mua khách hàng không thay đổi, giả thiết sai sức mua thay đổi Ta kiểm đònh giả thiết Vì kích thước mẫu n = 16 < 30 nên tra bảng phân phối Student dòng 15 cột  ta T = 2,131 Tính thống kê 14 - 15 Zo = 16 = 2 Suy Zo < T , ta chấp nhận H Vậy, sức mua khách hàng không giảm sút Kiểm đònh so sánh hai giá trò trung bình Bài Chiều cao trung bình 100 học sinh nam trường trung học nội thành 1,68m, độ lệch mẫu hiệu chỉnh 6m Kiểm tra 120 em huyện ngoại thành thấy chiều cao trung bình 1,64m, độ lệch mẫu hiệu chỉnh 5cm Với mức ý nghóa 5%, kết luận học sinh nội thành phát triển thể lực tốt không? Giải Chiều cao trung bình học sinh nội thành ngoại thành 1, 2 chưa biết Ta giả thiết H : “1 = 2” với mức ý nghóa  = 0,05 Nếu giả thiết thể lực học sinh hai vùng nhau, giả thiết sai có khác biệt Ta tiến hành kiểm đònh giả thiết Ta có  = 0,05 nên Z = 1,96 n1 = 100, n2 = 120 > 30 ; X = 1,68, S12 = 36 ; X = 1,64, S 22 = 25 Suy Zo = 1,68 - 1,64 = 0,0531 36 25  100 120 Vì Zo < Z nên ta chấp nhận giả thiết Vậy kết luận thể lực học sinh nội thành tốt Kiểm đònh phương sai 76 Bài Đo đường kính 25 viên bi từ lô hàng, ta tính S = 0,3 mm Với mức ý nghóa 0,01, kiểm đònh giả thiết cho phương sai đường kính viên bi lô hàng 0,06 mm2, biết đường kính tuân theo quy luật phân phối chuẩn Giải Gọi 2 phương sai đường kính viên bi lô hàng 2 chưa biết Ta kiểm đònh giả thiết H : 2 = 0,06 mm2 với  = 0,01 Theo đề ta có n = 25, S2 = 0,09 Tra bảng phân phối “khi bình phương” dòng 24 cột 0,995 cột 0,005, ta  12 = 12,4 ;  22 = 39,4 Tìm thống kê 24.0,09 = 36  02 = 0,06 Vì  12 <  02 <  22 nên ta chấp nhận giả thiết C BÀI TẬP Theo quy đònh, lô hàng xem đạt tiêu chuẩn tỉ lệ phế phẩm lô hàng không 5% Tiến hành kiểm tra 100 sản phẩm lô hàng thấy có phế phẩm Với mức ý nghóa 5%, cho kết luận lô hàng Tỉ lệ người mắc bệnh tai mũi họng thành phố 6% Trong lần kiểm tra sức khoẻ ngẫu nhiên 300 người thấy có 24 người mắc bệnh tai mũi họng Với  = 0,01 cho tỉ lệ người mắc bệnh có xu hướng tăng lên không ? Khi điều trò thuốc A, tỉ lệ bệnh nhân khỏi bệnh 80% Đổi sang thuốc B để điều trò cho 110 người thấy có 920 người khỏi bệnh Với mức ý nghóa  = 0,02 cho thuốc B hiệu thuốc A hay không ? Một máy sản xuất tự động có tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn 20% Sau áp dụng phương pháp sản xuất mới, người ta lấy 40 thùng hàng, thùng có 10 sản phẩm để kiểm tra Kết cho bảng sau Số sản phẩm không đạt tiêu chuẩn Số thùng hàng 10 10 Với mức ý nghóa  = 0,05, đánh giá hiệu phương pháp sản xuất Theo dõi số tai nạn lao động hai xí nghiệp thời gian ta có số liệu sau Xí nghiệp thứ : 20 tai nạn /400 công nhân Xí nghiệp thứ hai : 28 tai nạn /500 công nhân Hỏi có khác đáng kể chất lượng công tác phòng hộ lao động hai xí nghiệp với  = 2% ? Theo phương pháp nuôi thứ ta có 12 gà bò bệnh đàn gà 200 Theo phương pháp nuôi thứ hai có bò bệnh đàn gà 100 Với  = 5%, kết luận tỉ lệ gà bò bệnh nuôi theo phương pháp thứ hai thấp không ? Khối lượng loại sản phẩm nhà máy sản xuất đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với khối lượng trung bình quy đònh 500 gam Nghi ngờ khối 77 lượng loại sản phẩm có xu hướng giảm sút, người ta cân thử số sản phẩm thu kết ghi bảng sau Khối lượng (g) 480 485 490 Số sản phẩm Với  = 3%, kết luận điều nghi ngờ 495 500 510 Kết đo chiều cao 24 trẻ em tuổi ghi bảng sau (đơn vò tính : cm) 84,4 89,9 89,0 87,0 78,5 84,1 86,3 80,0 81,3 86,8 83,4 89,8 85,4 80,6 82,5 80,7 84,3 85,4 85,0 85,5 81,6 80,6 85,0 81,9 Chiều cao chuẩn trẻ em tuổi 86,5 cm Hỏi với  = 0,01 có khác biệt đáng kể chiều cao nhóm trẻ so với chuẩn không ? Độ bền loại dây thép sản xuất theo công nghệ cũ 150 Sau cải tiến kó thuật người ta lấy 100 sợi dây thép để thử thấy độ bền trung bình 185 S = 25 Với  = 0,03 kết luận hiệu việc cải tiến kó thuật 10 Năn g suất lúa trung bình vụ trước 4,5 tấn/ha Vụ lúa năm người ta áp dụng biện pháp kó thuật cho toàn diện tích trồng lúa vùng Theo dõi 100 ta có bảng suất lúa sau Năn g suất Diện tích Năng suất Diện tích (tạ/ha) (ha) 30 – 35 50 – 55 20 35 – 40 12 55 – 60 40 – 45 18 60 – 65 45 – 50 27 65 – 70 Với  = 0,01 kết luận biện pháp kó thuật 11 Để nghiên cứu nhu cầu loại hàng, người ta khảo sát nhu cầu mặt hàng số hộ gia đình Kết cho bảng sau Nhu cầu Số hộ gia đình Nhu cầu Số hộ gia đình (kg/tháng) Z 0,4.0,6 Do ta bác bỏ H Vì tỉ lệ mẫu f > p o = 0,4 nên công nghệ sản xuất làm tăng tỉ lệ X  30 kg ĐỀ SỐ Câu I (3 điểm) Gọi C biến cố bóng bàn lấy lần thứ hai chưa sử dụng lần Gọi Si biến cố bóng lấy lần thứ có i sử dụng i = 0,3 Ta có So, S1, S2, S3 nhóm đầy đủ nên P(C) =  P(Si )P(C / Si ) i 0 Các xác suất P(Si) tính đònh nghóa Chẳng hạn, xem phép thử thứ lấy bóng từ 15 ; biến cố S o xảy ta lấy từ chưa sử dụng ; biến cố S1 xảy lấy từ sử dụng từ chưa sử dụng ; v.v… Khi C3 C1 C P(S0) = 39 ; P(S1) = , C15 C15 P(S2) = C 26 C19 C15 ; P(S4) = C36 C15 Ta tính P(C/Si), i = 0,3 - Khi So xảy ra, ta có “chưa sử dụng” biến thành “đã sử dụng” nên lại chưa sử dụng lần mà Suy C3 P(C/So) = 36 C 15 108 - Khi S1 xảy lại chưa sử dụng nên C3 P(C/S1) = 37 C 15 Tương tự, P(C/S2) = C 38 C 15 ; P(C/S3) = C 39 C15 Vậy P(C) = 3696 41405 Câu II (3 điểm) a) (1 điểm) Gọi S biến cố lấy 10 sản phẩm tốt Theo đònh nghóa C10 14 16 P(S) = 10 = 323 C 20 b) (2 điểm) Ta có X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trò : (ứng với số sản phẩm xấu tối đa 4), 7, 8, 9, 10 Ta tính P(X = k), k = 6,10 Tương tự câu a), theo đònh nghóa, ta tính C6 C4 C C3 14 80 P(X = 6) = 1610  ; P(X = 7) = 1610  ; 323 323 C 20 C 20 P(X = 8) = C16 C 24 P(X = 10) =  C10 20 C10 16 C10 20  C C1 135 80 ; P(X = 9) = 1610  ; 323 323 C 20 14 323 Vậy bảng phân phối xác suất X X 10 P 14 323 80 323 135 323 80 323 14 323 * Hàm phân phối xác suất   14 / 323   94 / 323 F(x) =  223 / 323 309 / 323   , x  - , 6 , x  6, 7 , x  7, 8 , x  8, 9 , x  9, 10 , x  (10,   ) * E(X) = ; E(X2) = 64,8418 ; 109 D(X) = 0,8418 = 16 ; (X) = 19 19  0,9175 Câu III (4 điểm) a) (2 điểm) Đây toán kiểm đònh Ta xem tổng thể toàn số gói đường có siêu thò Gọi  khối lượng trung bình tổng thể Ta giả thiết H : “ = kg”, quy đònh ghi bao bì Nếu giả thiết chấp nhận việc đóng gói đảm bảo yêu cầu ngược lại Ta tiến hành kiểm đònh với  = 0,05 Mẫu đònh lượng đề cho ta số liệu n = 100, X = 0,9702 (kg), S = 0,0206 Do Zo = 0,9702  100 0,0206 = 14,466 > Z Suy H bò bác bỏ Vì X < o = kg nên máy đóng gói không đảm bảo quy đònh khối lượng gói đường b) Đây toán ước lượng tỉ lệ tổng thể Gọi tỉ lệ gói đường có khối lượng mức quy đònh tổng thể p Ta cần ước lượng p với  = 0,9544 Từ mẫu đònh tính ta có n = 100, k = 19 + 30 + 32 + = 89 Do f = 0,89 ; độ xác  = 0,0626 Vậy p = 0,89  0,0626, hay 82,74%  p  95,26% ĐỀ SỐ Câu I (6 điểm) 1) (3 điểm) a) (1,5 điểm) Ta có T đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, T nhận giá trò 0, 1, 2, Ta tính P(T = k), k = 0,3 Gọi S biến cố xuất hai mặt sấp gieo đồng xu Ta có P(S) = ; P( S ) = 4 Rõ ràng, biến cố “T = k” phụ thuộc nhóm đầy đủ S, S  Do P(T = k) = P(S)P(T = k/S) + P( S )P(T = k/ S ) Ta tính xác suất P(T = k/S) P(T = k/ S ), k = 0,3 - Khi S xảy ra, để T = xảy phải lấy phế phẩm từ kiện thứ phế phẩm từ kiện thứ hai Do C1 C 12 P(T = 0/S) = 14 23 = ; 450 C10 C10 110 Tương tự, P(T = 0/ S ) = C 24 C10 C13 C110 = 18 450 - Đối với biến cố lại, ta tính tương tự kết C1 C1 C1 C1 C 102 P(T = 1/S) = 14 + 16 23  ; C10 C10 C10 C10 450 P(T = 1/ S ) = C16 C14 C13 C 24 C17 114 + = ; 2 450 C10 C10 C10 C10 P(T = 2/S) = C16 C17 C13 C14 C 27 210 + = ; 450 C10 C10 C10 C10 P(T = 2/ S ) = P(T = P(T = C 26 C13 C10 C110 C1 C 3/S) = 16 27 C10 C10 C C1 3/ S ) = 26 17 C10 C10 + C16 C14 C10  126 ; 450  105 450 C17 C110 = 213 ; 450 Vậy 22 148 283 147 ; P(T = 1) = ; P(T = 2) = ; P(T = 3) = 600 600 600 600 Suy bảng phân phối xác suất T T P(T = 0) = P 22 600 148 600 283 600 147 600 b) (0,5 điểm) Hàm phân phối xác suất , t  - , 0   22 / 600 , t  0, 1  F(t) = 170 / 600 , t  1, 2 453 / 600 , t  2, 3   , t  (3,   ) 1155 2603 c) (0,5 điểm) E(T) = ; E(T2) = 600 600 d) (0,5 điểm) D(X) = 0,6327 2) (3 điểm) a) (1,5 điểm) Gọi B biến cố sản phẩm lấy sau sản phẩm tốt Vì T  k , k  0,3 nhóm đầy đủ nên   P(B) =  P(T  k)P(B / T  k) k0 111 Ta tính P(B/T = k) đònh nghóa Chẳng hạn, T = kiện thứ ba có sản phẩm tốt phế phẩm Do phép thử lấy sản phẩm từ 10 sản phẩm B xảy ta lấy sản phẩm tốt từ sản phẩm tốt Như P(B/T = 0) = C 43 C103 Tương tự, P(B/T=1) = C 35 C 36 , P(B/T=2) = , 3 C10 C10 C 37 P(B/T=3) = , C10 12373 7200 b) (1,5 điểm) Theo đề bài, biến cố B xảy ra, ta cần tính P(T = 0/ B ) Áp dụng công thức Bayes, ta 22 (1  ) P(T  0)P(B / T  0) 600 2552 120 P(T = 0/ B ) =   12373 59627 P (B) 1 7200 Câu II (4 điểm) 1) (2 điểm) Từ mẫu ta tính Vậy P(B) =  n = 100 ; X = 130 ; S X = 50,9902 ;  Y = 56,6 ; S Y = 21,7357 ; XY = 8140 Từ ta có RXY = 0,7056 phương trình có dạng y = 0,3008x + 17,496 2) (1 điểm) Đây toán ước lượng giá trò trung bình tổng thể với n = 100 > 30  = 0,95 Do ta cần tính độ lệch mẫu hiệu chỉnh theo Y Sử dụng mẫu câu 1) ta có  100 S 2Y = 472,44 ; S2 = 472,44 = 477,2121 ; S = 21,8452 99 Suy 21,8452  = 1,96 = 4,2817 10 Vậy, công ty có lãi ròng trung bình hàng tháng  = Y   = 56,6  4,2817 (triệu đồng) 3) (1 điểm) Đây toán kiểm đònh Gọi p tỉ lệ tháng có lãi ròng cao 65 triệu công ty (ta xem công ty tổng thể) Ta có giả thiết H : “p = 70%” Ta cần kiểm đònh giả thiết với  = 0,01 Từ mẫu đònh tính ta có 112 n = 100, k = + 10 + 20 = 35 Do f = 0,35 0,35  0,70 Zo = 10 = 7,6 > Z = 2,58 0,7.0,3 Suy H bò bác bỏ Vậy, báo cáo không chấp nhận 113 CÁC BẢNG SỐ Bảng : GIÁ TRỊ CỦA HÀM a Pk(a)  a ke  a k! 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.904837 0.818731 0.740818 0,670320 0,606531 0,548812 0.090481 0.001521 0.163746 0.016375 0.222245 0.033337 0.268128 0,053626 0,303265 0,075817 0,329287 0,098786 0.000151 0.000004 0.001091 0.000055 0.033334 0.000250 0,007150 0,000715 0,012636 0,001580 0,019757 0,002964 0.000002 0.000015 0.000001 0,000057 0,000004 0,000158 0,000013 0,000356 0,000035 0.000001 0,000003 k a 0,7 0,8 0,9 1,0 2,0 3,0 0,496585 0,449329 0,406570 0,367877 0,135335 0,049787 0,347610 0,359463 0,365913 0,367879 0,270671 0,149361 0,121663 0,113785 0,164661 0,483940 0,270671 0,224042 0,028388 0,038343 0,049398 0,0611313 0,180447 0,224042 0,004968 0,007669 0,011115 0,015328 0,090224 0,168031 0,000695 0,001227 0,002001 0,003066 0,036089 0,100819 0,000081 0,000164 0,000300 0,000511 0,012030 0,050409 0,000008 0,000019 0,000039 0,000073 0,003137 0,021604 0,000002 0,000004 0,000009 0,000859 0,008101 0,000001 0,000191 0,002701 10 0,000038 0,000810 11 0,000007 0,000221 12 0,000001 0,000055 k 13 0,000013 14 0,000003 15 0,000001 114 a 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111 0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998 0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994 0,195367 0,175467 0,133853 0,091226 0,057252 0,033737 0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727 0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090 0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116 0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756 0,013231 0,036266 0,068838 0,101405 0,124077 0,131756 10 0,005292 0,018133 0,041303 0.070983 0,099262 0,118580 11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020 12 0,000642 0,003434 0,011262 0,026350 0,048127 0,072765 13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376 14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,016924 0,032384 15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431 16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930 17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786 18 0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893 19 0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370 20 0,000004 0,000030 0,000159 0,000617 21 0,000001 0,000010 0,000061 0,000264 22 0,000003 0,000022 0,000108 23 0,000001 0,000008 0,000042 24 0,000003 0,000016 25 0,000001 0,000006 k 26 0,000002 27 0,000001 115 Bảng : GIÁ TRỊ HÀM GAUSSE f (x)  2π e  x2 x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 x 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0031 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002 3989 3961 3894 3790 9653 3485 3292 3079 2850 2613 2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002 3986 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 0008 0006 0004 0003 0002 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0006 0004 0003 0002 3984 3945 3867 3752 3605 3929 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 1516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0388 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 116 Bảng : HÀM LAPLACE Φ(x)  2π  x e t2 dt x 0,0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0,00000 03983 07926 11791 15542 19146 22575 25804 28814 31594 00399 04380 08317 12172 15910 19497 22907 26115 29103 31859 00798 04776 08706 12556 16276 19847 23237 26424 29389 32121 01197 05172 09095 12930 16640 20194 23565 26730 29673 32881 01595 05567 09483 13307 17003 20194 23891 27035 29955 32639 01994 05962 09871 13683 17364 20884 24215 27337 30234 32894 02392 06356 10257 14058 17724 21226 24537 27637 30511 33147 02790 06749 10642 14431 18082 21566 24857 27935 30785 33398 03188 07142 11026 14803 18439 21904 25175 28230 31057 33646 03586 07535 11409 15173 18793 22240 25490 28524 31327 33891 1,0 1.1 1,2 1.3 1,4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 34143 36433 38493 40320 41924 43319 44520 45543 46407 47128 34375 36650 38686 40490 42073 43448 44630 45637 46485 47193 34614 36864 38877 40658 42220 43574 44738 45728 46562 47257 34850 37076 39065 40824 42364 43699 44815 45818 46638 47320 35083 37286 39251 40988 42507 43822 44950 45907 46712 47381 35314 37493 39435 41149 42647 43943 45053 45994 46784 47441 35543 37698 39617 41309 42786 44062 45154 46080 46856 47500 35769 37900 39796 41466 42922 44179 45254 46164 46926 47558 35993 38100 39973 41621 43056 44295 45352 46246 46995 47615 36214 38298 40147 41774 43189 44408 45449 46327 47062 47670 2,0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 47725 48214 48610 48928 49180 49379 49534 49653 49744 49813 47778 48257 48645 48956 49202 49396 49547 49664 49752 49819 47831 48300 48679 48983 49224 49413 49560 49674 49760 49825 47882 48341 48713 49010 49245 49430 49573 49683 49767 49831 47932 48382 48745 49036 49266 49446 49585 49693 49774 49836 47982 48422 48778 49061 49285 49261 49598 49702 49781 49841 48030 48461 48809 49086 49305 49477 49609 49711 49788 49846 48077 48500 48840 49111 49324 49492 49621 49720 49795 49851 48124 48537 48870 49134 49343 49506 49632 49728 49801 49856 48169 48574 48899 49158 49361 49520 49643 49763 49807 49861 3,0 3.5 4,0 4.5 0,49865 49977 499968 499997 4999999 3,1 3,6 48903 49984 3,2 3,7 49931 49989 3,3 3,8 49952 49993 3,4 3,9 49966 49995 5,0 117 Bảng : PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG 2, P(X > 2 (n, )) VỚI X  2 (n)  n 0,995 0,0000393 0,0100 0,0717 0,207 0,412 0,99 0,000157 0,0201 0,115 0,297 0,554 0,975 0,000982 0,0506 0,216 0,484 0,831 0,95 0,00393 0,103 0,352 0,711 1,145 0,05 3,841 5,991 7,815 9,488 11,071 0,025 5,024 7,378 9,348 11,143 12,833 0,01 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 0,005 7,879 10,597 12,838 14,860 16,749 10 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 12,592 14.067 15,507 16,919 18,307 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 18,548 20,278 21,955 13,590 25,188 11 12 13 14 15 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 21,920 23,337 24,736 26,119 27,489 24,725 26,217 27,688 29,142 30,578 26,758 28,299 29,820 31,320 32,801 16 17 18 19 20 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 28,845 30,191 31,526 32,853 34,170 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 34,268 35,717 37,156 38,581 39,997 21 22 23 24 25 8,034 8,643 9,260 9,886 10,520 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 11,591 12,338 13,091 13,848 14,611 32,671 33,926 35,172 36,415 37,652 35,479 36,781 38,075 39,364 40,646 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 41,400 42,796 44,184 45,559 46,930 26 27 28 29 30 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 12,198 12,878 13,565 14,256 14,953 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 41,924 43,195 44,461 45,722 46,979 45,643 46,963 48,278 49,588 50,892 48,290 49,647 50,994 52,338 53,673 118 Bảng : PHÂN PHỐI STUDENT t : P( X > t(n, )) =  VỚI X  t(n)  n 0,20 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 0,10 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 0,05 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 0,02 31,820 6,965 4,541 3,747 3,365 0,01 63,526 9,925 5,841 4,604 4,032 0,001 363,6 31,600 12,922 8,610 6,869 10 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 5,959 5,408 5,041 4,781 4,587 11 12 13 14 15 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 16 17 18 19 20 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 21 22 23 24 25 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 3,819 3,792 3,767 3,745 3,725 26 27 28 29 + 1,315 1,314 1,313 1,311 1,282 1,706 1,703 1,701 1,699 1,645 2,056 2,052 2,048 2,045 1,960 2,479 2,473 2,467 2,462 2,326 2,779 2,771 2,763 2,756 2,576 3,707 3,690 3,674 3,659 3,291 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp, Lê Thiên Hương Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Trường Đại học kó thuật công nghệ (Lưu hành nội bộ), 1998 Đinh Văn Gắn g Bài tập xác suất thống kê NXB Giáo dục, 2000 Đặng Hấn Bài tập xác suất thống kê Trường Đại học kinh tế TP.Hồ Chí Minh (Lưu hành nội bộ), 1994 Hoàng Ngọc Nhậm Bài tập xác suất thống kê NXB Thống kê, 1996 Đặng Hùng Thắng Bài tập xác suất NXB Giáo dục, 1998 Tống Đình Quỳ Hướng dẫn giải tập Xác suất Thống kê NXB Giáo dục, 1998 120