Thông tin tài liệu
LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ 2005 MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU Trang CHƯƠNG I ĐẠI SỐ TỔ HP A.Tóm tắt lý thuyết B Các giải mẫu C Bài tập 10 CHƯƠNG II XÁC SUẤT A Tóm tắt lí thuyết 11 B Các giải mẫu 15 C Bài tập 26 CHƯƠNG III ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN A Tóm tắt lí thuyết 29 B Các giải mẫu 32 C Bài tập 41 CHƯƠNG IV CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI A Tóm tắt lí thuyết 44 B Các giải mẫu 48 C Bài tập 53 CHƯƠNG V LÝ THUYẾT MẪU A Tóm tắt lí thuyết 55 B Các giải mẫu 56 C Bài tập 59 CHƯƠNG V LÝ THUYẾT ƯỚC LƯNG A Tóm tắt lí thuyết 61 B Các giải mẫu 62 C Bài tập 69 CHƯƠNG VII KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ A Tóm tắt lí thuyết 72 B Các giải mẫu 74 C Bài tập 77 CHƯƠNG VIII TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY A Tóm tắt lí thuyết 80 B Các giải mẫu 82 C Bài tập 89 MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO 93 Đáp án thang điểm 99 CÁC BẢNG SỐ 114 TÀI LIỆU THAM KHẢO 120 CÁC KÍ HIỆU i = 1, k i nhận giá trò 1, 2, …, k A kn Số chỉnh hợp chập k n phần tử k An Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử C nk Số tổ hợp chập k n phần tử Pn Số hoán vò n phần tử P(A) Xác suất biến cố A A Biến cố đối lập biến cố A P(A/B) Xác suất biến cố A với điều kiện B Pn(k) = Pn(k ; p) Xác suất để biến cố xuất k lần n phép thử (p xác suất thành công) X, Y Các đại lượng ngẫu nhiên f(x) Hàm mật độ xác suất F(x) Hàm phân phối xác suất E(X) Kì vọng X D(X) Phương sai X (X) Độ lệch X X B(n ,p) X có phân phối nhò thức X H (N, M, n) X có phân phối siêu bội X P(a) X có phân phối Poisson X N(, 2) X có phân phối chuẩn X N(0 ; 1) X có phân phối chuẩn chuẩn tắc X2 (n) X có phân phối bình phương n bậc tự X T(n) X có phân phối Student f Tỉ lệ mẫu X Trung bình mẫu S Phương sai mẫu S2 Phương sai mẫu hiệu chỉnh S Độ lệch mẫu hiệu chỉnh Độ xác ước lượng =1- Độ tin cậy ước lượng Mức ý nghóa kiểm đònh RXY Hệ số tương quan X, Y rXY Hệ số tương quan tuyến tính mẫu LỜI NÓI ĐẦU Các bạn sinh viên thân mến, Lới nói đầu xin dành riêng cho bạn – đối tượng phục vụ Bài tập Xác suất – Thống kê mà bạn có tay Trong sách bạn tìm thấy nội dung sau đây: Phần đầu sách trình bày cách giải tập theo chương thuộc lónh vực xác suất thống kê toán học Mỗi chương gồm mục Mục A nêu tóm tắt khái niệm, đònh lý công thức sử dụng để giải tập Muốn hiểu nắm vững lý thuyết, bạn cần tham khảo thêm sách lí thuyết xác suất thống kê khác Mục B, “Các giải mẫu”, trọng tâm sá ch Trong mục này, tập phân loại theo dạng, phù hợp với thứ tự trình bày lí thuyết Một số dạng tập có tổng kết thành phương pháp giải chung Để giúp sinh viên tự đọc làm tập, sách Bài tập Xác suất – Thống kê cố gắng trình bày lời giải tỉ mỉ, đặc biệt tập chương II Mỗi lời giải trọng đến việc phân tích yêu cầu đề mục đích lời giải Các kết tập xác suất thường viết dạng phân số (tức số đúng) Còn tập thống kê có kết số gần với bốn chữ số thập phân Do đó, sai số bé nên bỏ qua Mục C giới thiệu tập tương tự để bạn tự giải Trong sách Bài tập Xác suất – Thống kê có đề thi học kỳ môn xác suất thống kê năm học gần Mỗi đề thi có thời gian làm 90 phút Các bạn tự giải đề thi thời gian qui đònh Sau thử chấm điểm theo đáp án thang điểm kèm theo để tự đánh giá lực Đề thi học kỳ thường có tính chất tổng hợp, có câu khó dành cho sinh viên giỏi Các bạn xem cách phân tích lập luận cách chi tiết đáp án để hiểu lời giải Phần phụ lục cuối sách g thống kê, dành cho việc tra cứu số liệu giá trò hàm phân phối xác suất, cần cho việc giải tập Sau cùng, tác giả chân thành cảm ơn TS Lê Anh Vũ Th.S Nguyễn Duy Thanh đọc góp ý sửa chữa thảo Xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Dân lập Kỹ thuật Công nghệ TP Hồ Chí Minh, Phòng Quản lý khoa học, Phòng Kế hoạch – Tài chính, Ban Khoa học tập thể giảng viên Bộ môn Toán động viên, giúp đỡ để sách đến tay bạn đọc Hi vọng Bài tập Xác suất – Thống kê giúp bạn sinh viên hiểu rõ môn học vừa thú vò, vừa có nhiều ứng dụng thực tế Chúc bạn thành công TP Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng năm 2005 Tác giả CHƯƠNG I ĐẠI SỐ TỔ HP A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc đếm a) Quy tắc cộng Giả sử công việc V tiến hành theo hai phương án A B Phương án A thực m cách, phương án B thực n cách Mỗi cách thực A không trùng với cách thực B Khi công việc V thực m + n cách b) Quy tắc nhân Giả sử côn g việc V bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A làm theo m cách, công đoạn B làm theo n cách Mỗi cách thực A có n cách thực B Khi công việc V thực theo m.n cách Chỉnh hợp, hoán vò, tổ hợp a) Chỉnh hợp Giả sử A tập hợp gồm n phần tử k số tự nhiên (1 k n) Kết việc lấy k phần tử khác thuộc A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu A Kn Ta có : n! A kn (1 k n) (n k )! với quy ước : ! = 1, n ! = 1.2.3 n (n N*) b) Chỉnh hợp lặp Kết việc lấy k phần tử, không cần khác nhau, từ n phần tử cho xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử k Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử kí hiệu A n Ta có : k A n = nk (n N* , k N) c) Hoán vò Kết xếp n phần tử khác theo thứ tự gọi hoán vò n phần tử Số hoán vò n phần tử kí hiệu Pn Ta có Pn A nn n! (n N*) d) Tổ hợp Mỗi tập gồm k phần tử khác tập hợp A có n phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu C Kn Ta có : C Kn A Kn k! n! k!(n k)! (n N *, k n) B CÁC BÀI GIẢI MẪU Quy tắc cộng Bài Từ tỉnh X đến tỉnh Y ôtô tàu hỏa Mỗi ngày có 10 chuyến ôtô, chuyến tàu hỏa từ X đến Y Hỏi có lựa chọn để từ X đến Y ? Giải Ta xem công việc V từ X đến Y Có hai phương án thực : - A ôtô, có 10 cách chọn - B tàu hỏa, có cách chọn Mỗi cách chọn A không trùng với cách chọn B Theo quy tắc cộng, số cách lựa chọn để từ X đến Y : 10 + = 15 Bài Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác ? Giải Ta có ba phương án lập số : - A : Lập số có chữ số, có số, số 1, 2, - B : Lập số có hai chữ số, có số, số : 12, 13, 21, 23, 31, 32 - C : Lập số có ba chữ số, có số, số : 123, 132, 213, 231, 312, 321 Các cách lập đôi không trùng Vậy, theo quy tắc cộng, ta lập : + + = 15 số có chữ số khác từ ba chữ số cho Quy tắc nhân Bài Một thiết bò lắp ráp từ hai loại linh kiện Linh kiện loại có 10 chiếc, linh kiện loại hai có Hỏi có cách lắp thiết bò ? Giải Ta xem công việc V lắp thiết bò, bao gồm hai công đoạn : - A : Lắp linh kiện loại một, có 10 cách chọn ; - B : lắp linh kiện loại hai, có cách chọn Mỗi cách chọn linh kiện loại có cách chọn linh kiện loại hai Theo quy tắc nhân, số cách lắp thiết bò : 10 = 80 Bài Nếu không kể mã số vùng biển số xe máy có kí tự Kí tự vò trí chữ bảng 24 chữ cái, vò trí thứ hai chữ số thuộc tập hợp 1, 2, , 9 Bốn vò trí bốn chữ số thuộc tập hợp 0, 1, 2, , 9 Hỏi làm biển số xe máy khác nhau, không kể mã số vùng ? Giải Ta có 24 cách chọn chữ để xếp vò trí Tương tự có cách chọn chữ số cho vò trí thứ hai có 10 cách chọn chữ số cho vò trí bốn vò trí lại Theo quy tắc nhân, số biển số xe máy làm 24 10 10 10 10 = 160 000 Chỉnh hợp, hoán vò, tổ hợp Bài Một lớp học có 60 sinh viên Hỏi có cách chọn Ban cán gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó đời sống ? Giải Cách thứ Mỗi cách chọn chỉnh hợp chập 60 phần tử Do đó, số cách chọn A 330 = 60 59 58 = 205 320 Cách thứ hai Ta xem V công việc chọn Ban cán lớp, bao gồm ba công đoạn : - Thứ nhất, chọn lớp trưởng từ 60 sinh viên, có 60 cách - Thứ hai, chọn lớp phó học tập từ 59 sinh viên lại, có 59 cách - Thứ ba, chọn lớp phó đời sống, tương tự có 58 cách Theo quy tắc nhân, số cách chọn Ban cán lớp 60 59 58 = 205 320 Bài Trong trận chung kết bóng đá phải phân đònh thắng thua đá luân lưu 11 mét Huấn luyện viên đội cần trình với trọng tài danh sách thứ tự cầu thủ số 11 cầu thủ để đá luân lưu Hỏi huấn luyện viên đội có cách chọn? Giải Mỗi danh sách chỉnh hợp chập 11 phần tử Vậy, số cách chọn huấn luyện viên đội : = 55 440 A11 Bài Có người lên đoàn tàu gồm toa Hỏi có cách lên tàu cách tùy ý? Giải Cách thứ Mỗi cách lên tàu chỉnh hợp lặp chập phần tử Vậy , số cách lên tàu A = 58 = 390 625 Cách thứ hai ta xem công việc V người lên tàu, bao gồm công đoạn : - Người thứ lên tàu, có cách chọn toa - Người thứ hai lên tàu, có cách chọn toa - v.v Tương tự, người thứ tám có cách chọn toa Theo quy tắc nhân, số cách lên tàu người : = 390 625 Bài Trong học môn Giáo dục quốc phòng, tiểu đội 10 sinh viên xếp thành hàng ngang Hỏi có cách xếp ? Giải Mỗi cách xếp hoán vò 10 người Vậy số cách : P10 = 10 ! = 628 800 Bài Một lớp học có 50 sinh viên, buổi học cần chọn sinh viên làm trực nhật lớp Hỏi có cách chọn ? Giải Mỗi cách chọn sinh viên làm trực nhật lớp tổ hợp chập 50 phần tử Vậy số cách chọn C 350 = 19 600 Bài tập tổng hợp Bài 10 Một chi đoàn có 30 sinh viên nam 15 sinh viên nữ Cần chọn nhóm gồm sinh viên để tham gia chiến dòch “Mùa hè xanh” Thành Đoàn Hỏi có cách chọn cho nhóm có a) sinh viên chi đoàn ? b) sinh viên nữ ? c) nhiều sinh viên nữ ? d) sinh viên nữ ? Giải a) Mỗi cách chọn tổ hợp chập 45 đoàn viên, số cách C845 = 215 553 195 b) Việc chọn sinh viên theo yêu cầu đề bao gồm hai công đoạn : - Chọn sinh viên nữ số 15 sinh viên nữ, có C15 cách - Chọn sinh viên nam số 30 sinh viên nam, có C 530 cách Theo quy tắc nhân , số cách chọn nhóm C15 C 530 = 64 840 230 c) Việc thành lập nhóm theo yêu cầu đề có hai phương án thực : - Nhóm có sinh viên nữ sinh viên nam, tương tự câu b), số cách C15 C 30 ; - Nhóm có sinh viên nam, số cách C 830 Theo quy tắc cộng, số cách thành lập nhóm để có nhiều sinh viên nữ C115 C 730 + C 830 = 36 389 925 d) Cách thứ Việc lập nhóm gồm sinh viên chi đoàn thực theo hai phương án : - Nhóm gồm sinh viên nam (không có sinh viên nữ), số cách C 830 , - Nhóm có sinh viên nữ, số cách n Theo câu a), số cách lập nhóm gồm sinh viên C 845 Theo quy tắc cộng, ta có : C 830 + n = C 845 Suy ra, số cách lập nhóm để có sinh viên nữ : n = C 845 - C 830 = 209 700 270 Cách thứ hai Việc lập nhóm để có sinh viên nữ có phương án thực : - Nhóm có sinh viên nữ sinh viên nam, theo câu c), số cách C115 C 30 ; - Nhóm có sinh viên nữ sinh viên nam, tương tự, có C15 cách ; C 30 - v.v , nhóm có nữ nam, số cách lập C15 C130 ; - Nhóm có sinh viên nữ, số cách lập C15 Theo quy tắc cộng, số cách lập nhóm để có sinh viên nữ : 7 C115 C 30 C 630 + …… + C15 C130 + C15 + C15 = 209 700 270 C BÀI TẬP Một tòa nhà có 10 tầng, người vào thang máy xuất phát từ tầng Hỏi có cách cho a) người tầng khác ? b) người tầng tùy ý ? c) có hai người tầng, người lại tầng khác ? Một đội công nhân có 15 người, gồm nam nữ Có cách thành lập tổ công tác gồm a) người ? b) nam nữ ? c) nam nữ anh A chò B không ? Một lô hàng có 100 sản phẩm, có phế phẩm Chọn 12 sản phẩm để kiểm tra Hỏi có cách chọn a) sản phẩm ? b) cho số sản phẩm có không phế phẩm ? c) cho chọn phế phẩm ? Người ta lấy viên bi từ hộp đựng viên vi đỏ, viên bi xanh, viên bi vàng Hỏi có cách lấy a) viên bi tùy ý ? b) viên bi đỏ, viên bi xanh ? c) viên bi có mầu khác ? d) viên màu đỏ ? e) nhiều viên màu đỏ ? f) viên màu đỏ ? Một có 52 với chất khác nhau, chất rô có màu đỏ, chất pic chuồn có màu đen Chọn từ Hỏi có cách lấy a) màu đỏ ? b) ? c) át K ? d) rô màu đen ? e) không màu đỏ ? f) màu đen ? g) át ? 10 Bài Trước kì bầu cử, người ta vấn 1575 cử tri thấy có 1212 người trả lời ủng hộ ứng cử viên A Tính tỉ lệ mẫu ủng hộ ứng cử viên Giải Ta có tổng thể toàn số cử tri, mẫu nhóm cử tri vấn, tính chất “ủn g hộ ứng cử viên A” Do - Số phần tử mẫu : n = 1575 - Số phần tử có tính chất mẫu : k = 1212 Vậy tỉ lệ mẫu ủng hộ ứng cử viên A k 1212 f= 0,7695 n 1575 Bài Người ta bắt 1200 cá, đánh dấu thả lại vào hồ Sau thời gian bắt lại 250 thấy có 32 bò đánh dấu Tìm tỉ lệ mẫu bò đánh dấu Giải Tổng thể toàn số cá hồ, mẫu bắt lên , tính chất “bò đánh dấu” Ta có - Số phần tử mẫu : n = 250 - Số phần tử có tính chất mẫu : k = 32 Vậy , tỉ lệ mẫu bò đánh dấu k 32 f= 0,128 n 250 Tính đặc trưng mẫu đònh lượng - Lập bảng mẫu thu gọn (nếu cần) - Lập bảng tính x i n i , x 2i n i (nếu cần ) - Tính X 1 x i n i , X2 n n x 2i n i S = X ( X) S2 = n 2 S , n 1 S= S2 Bài Điểm thi môn Toán sinh viên lớp ghi bảng sau 5 4 Hãy tính đặc trưng mẫu 7 6 5 Giải Ta lập mẫu thu gọn X Tần số 12 n = + + 12 + + 11 + + = 48 57 7 11 7 8 7 6 (3.3 + 4.7 + 5.12 + 6.9 + 7.11 + 8.5 + 9.1) = 5,7708 ; 48 (3 + 42.7 + 52.12 + 62.9 + 72.11 + 82.5 + 92.1) = 35,4792 ; X2 48 X S = 35,4792 – 5,77082 = 2,1771 ; 48 S2 = 2,1771 = 2,2234 ; 47 S = 2,2234 = 1,4911 Bài Điều tra suất lúa vùng, ta có bảng số liệu sau Năng suất lúa (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Diện tích có suất lúa tương ứng (ha) 10 20 30 15 10 10 Hãy tính đặc trưng mẫu Giải Ta lập bảng tính số liệu cần thiết xi ni xini 41 44 45 46 48 52 54 10 20 30 15 10 10 n = 100 410 880 1350 690 480 520 270 4600 x 2i n i 16810 38720 60750 31740 23040 27040 14580 212680 Do X 4600 212680 = 46 ; X 2126,8 ; 100 100 S = 2126,8 – 462 = 10,8 ; 100 S2 = 10,8 = 10,9091 ; S = 3,3029 99 Bài Để nghiên cứu nhu cầu mua gạo thành phố, người ta tiến hành điều tra số gia đình ghi kết bảng sau Nhu cầu Số gia đình Nhu cầu (kg/tháng) 30 – 35 45 55 – 60 35 – 40 68 60 – 65 40 – 45 103 65 – 70 45 – 50 179 70 – 75 50 - 55 208 75 - 80 a) Hãy tính đặc trưng mẫu b) Tính tỉ lệ mẫu có nhu cầu 60kg/tháng 58 Số gia đình 182 151 115 94 55 Giải a) Ta lập bảng giá trò mẫu xi ni xini 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 45 68 103 179 208 182 151 115 94 55 1200 1462,5 2550 4377,5 8502,5 10920 10465 9437,5 7762,5 6815 4262,5 66555 X x 2i n i 47531,25 95625 186043,75 403868,75 573300 601737,5 589843,75 523968,75 494087,5 330343,75 3846350 66555 3846350 = 55,4625 ; X 3205,2917 ; 1200 1200 S = 129,2028 ; S2 = 129,3105 ; S = 11,3715 b) Xem mẫu cho mẫu đònh tính có kích thước n = 1200 ; xem tính chất có nhu cầu 60 kg/tháng số phần tử có tính chất mẫu k = 151 + 115 + 94 + 55 = 415 Vậy tỉ lệ mẫu cần tìm k 415 f= = = 0,3458 n 1200 C BÀI TẬP Số liệu sau số kó sư đến thực tập công ty vòng năm xí nghiệp khác 59 68 45 70 73 70 61 59 79 45 79 45 70 68 61 73 68 73 45 59 45 70 68 61 45 70 69 73 59 68 68 59 61 79 73 Hãy tính đặc trưng mẫu 59 61 73 45 59 68 69 45 68 45 59 59 70 73 79 61 73 79 45 68 70 45 73 59 61 70 Đo chiều cao số niên lứa tuổi 18 – 20 tỉnh Tiền Giang, ta thu bảng sau Số người có chiều cao tương ứng Chiều cao (cm) 154 – 158 10 158 – 162 14 162 – 166 26 166 – 170 28 170 – 174 12 174 – 178 178 - 182 a) Hãy tính đặc trưng mẫu b) Tính tỉ lệ mẫu có chiều cao 1,7m Điểm kiểm tra môn xác suất thống kê số sinh viên cho bảng sau Điểm 10 Số sinh viên 10 20 48 35 22 10 a) Tính điểm kiểm tra trung bình phương sai mẫu hiệu chỉnh mẫu b) Tìm tỉ lệ mẫu có điểm kiểm tra trung bình Để nghiên cứu tuổi thọ loại bóng đèn, người ta thắp thử 100 bóng có số liệu sau Tuổi thọ (giờ) 1010 – 1030 1030 – 1050 1050 – 1070 1070 – 1090 1090 – 1110 1110 – 1130 1130 – 1150 1150 – 1170 1170 – 1190 1190 – 1210 Số bóng tương ứng 13 25 20 12 10 Sau cải tiến kó thuật, người ta lại thắp thử 100 bóng, kết Tuổi thọ (giờ) Số bóng 1150 10 1160 1170 1180 1190 1200 15 20 30 15 10 Hãy so sánh tuổi thọ trung bình độ lệch mẫu hiệu chỉnh bóng đèn trước sau cải tiến kó thuật 60 CHƯƠNG VI LÝ THUYẾT ƯỚC LƯNG A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Ước lượng điểm Cho X = (x1, x2,…, xn) mẫu kích thước n từ tổng thể có kì vọng phương sai ˆ ˆ Số θ = θ (x1, x2,…, xn) gọi ước lượng điểm đặc trưng tổng thể ta coi giá trò gần a) Ước lượng không chệch ˆ ˆ Ước lượng θ gọi không chệch E( θ ) = Với mẫu bất kì, ta có (1) f ước lượng không chệch p ; (2) X ước lượng không chệch ; (3) S2 ước lượng không chệch 2 b) Ước lượng hợp lí cực đại Giả sử tổng thể biết phân phối chưa biết tham số Khi đó, hàm mật độ xác suất có dạng f(x, ) Từ mẫu ta có hàm L() = L(x1, x2,…, xn, ) = f(x1, ).f(x2, ) … f(xn, ) gọi hàm hợp lí ˆ ˆ Số θ = θ ( x1, x2,…, xn) gọi ước lượng hợp lí cực đại , ứng với giá trò hàm hợp lí đạt cực đại Nếu tổng thể có phân phối Poisson mẫu X = (x1, x2,…, xn) ước lượng hợp lí cực đại tham số tổng thể X Nếu tổng thể có phân phối chuẩn mẫu X = (x1, x2,…, xn) ước lượng hợp lí cực ˆ đại kì vọng tổng thể X , phương sai tổng thể S Ước lượng khoảng a) Khái niệm ˆ Giả sử θ ước lượng điểm không chệch ˆ ˆ Khoảng ( θ - , θ + ) gọi khoảng ước lượng với độ tin cậy , ˆ ˆ ˆ P( θ - < < θ + ) = P( θ - < ) Số > gọi độ xác ước lượng Thông thường ta cần tìm khoảng ước lượng với 95% cho trước b) Ước lượng khoảng tỉ lệ Bài toán Giả sử tổng thể gồm phần tử có tính chất tính chất Cần ước lượng tỉ lệ p phần tử có tính chất tổng thể với độ tin cậy cho trước Phương pháp - Với mẫu đònh tính kích thước n 30, ta tìm tỉ lệ f phần tử có tính chất mẫu 61 - Tra bảng hàm số Laplace tìm số z cho (Z γ ) γ - Tìm độ xác ước lượng f (1 f ) = Zγ n - Khi p = f c) Ước lượng khoảng kì vọng Bài toán Tìm khoảng ước lượng kì vọng tổng thể với độ tin cậy cho trước .Phương pháp * Trường hợp n 30 - Với mẫu đònh lượng kích thước n ta tìm X , S - Tra g hàm số Laplace tìm số Z cho (Z) = Tìm độ xác s Z n - Khi = X * Trường hợp n tùy ý, tổng thể có phân phối chuẩn, biết phương sai 2 - σ ; = X n * Trường hợp n < 30, tổng thể có phân phối chuẩn, chưa biết phương sai - Tra g phân phối Student dòng n – 1, cột 1-, ta tìm số T s Khi ε Tγ = X n c) Ước lượng khoảng phương sai Bài toán Tìm khoảng ước lượng phương sai 2 tổng thể với độ tin cậy cho trước, biết tổng thể có phân phối chuẩn .Phương pháp - Với mẫu đònh lượng kích thước n ta tìm S2 - Tra bảng phân phối “khi bình phương” dòng n-1, cột 1-, ta hai số tương ứng 1, 2 Khi ε Z γ Khi đó, khoảng ước lượng 2 với độ tin cậy (n 1) S (n - 1)S2 , 1 2 B CÁC BÀI GIẢI MẪU Ước lượng tỉ lệ Bài Trước ngày bầu cử tổng thống, người ta vấn ngẫu nhiên 1800 cử tri thấy có 1180 người ủng hộ ứng cử viên A Với độ tin cậy 95%, hỏi ứng cử viên thu tối thiểu phần trăm số phiếu bầu ? - 62 Giải Tổng thể toàn số cử tri nước, phần tử tổng thể gồm hai loại : ủng hộ không ủng hộ ứng cử viên A Ta ước lượng tỉ lệ p phần tử ủng hộ ứng cử viên A tổng thể với độ tin cậy 95% Ta có mẫu gồm 1800 phần tử, có 1180 phần tử ủng hộ ứng cử viên A nên tỉ lệ mẫu 1180 f= = 0,6556 1800 Tra bảng hàm số Laplace ta thấy 0,95 (1,96) = 0,475 nên Z = 1,96 Độ xác ước lượng 0,6556(1 0,6556) = 1,96 = 0,0220 1800 Do tỉ lệ tổng thể ủng hộ ứng cử viên A P = 0,6556 0,0220, hay 0,6336 p 0,6776 Vậy , tối thiểu ứng cử viên A thu 63,36% số phiếu bầu Bài Người ta bắt 1500 thú, đánh dấu thả lại vào rừng Sau thời gian bắt lại 360 thấy có 27 bò đánh dấu Hãy ước lượng số thú rừng với độ tin cậy 99% Giải Tổng thể toàn thú rừng Số phần tử tổng thể N chưa biết chia thành hai loại : bò đánh dấu không bò đánh dấu Số phần tử bò đánh dấu tổng thể M = 1500 biết Do để tìm N, ta ước lượng tỉ lệ p phần tử bò đánh dấu tổng thể với độ tin cậy 99% Ta có số phần tử mẫu n = 360, số phần tử bò đánh dấu k = 27 Suy tỉ lệ mẫu 27 f= = 0,075 360 Tra bảng hàm số Laplace ta thấy 0,99 (2,58) = = 0,495 nên Z = 2,58 Độ xác ước lượng 0,075(1 0,075) = 2,58 = 0,0358 360 Do đó, tỉ lệ phần tử bò đánh dấu tổng thể p = 0,075 0,0358 , hay 0,0392 p 0,1108 Ta lại có p= M M nên N = p N 63 Vậy 1500 1500 N , 0,1108 0,0392 hay 13538 N 38265 Như vậy, số thú có rừng từ 13538 đến 38265 con, với độ tin cậy 99% Xác đònh kích thước mẫu đònh tính Từ công thức tính độ xác f (1 f ) = Z n suy số phần tử mẫu Z 2 f (1 f ) n= + 1, f tỉ lệ mẫu ban đầu Bài Ở vùng, khám bệnh cho bệnh nhân, người ta thấy tỉ lệ mắc bệnh tai mũi họng 15% Để ước lượng xác suất mắc bệnh tai mũi họng vùng với độ tin cậy 95% sai số không vượt 2% cần khám tối thiểu người ? Giải Theo đề ta có - tỉ lệ mắc bệnh mẫu ban đầu f = 0,15 ; - độ tin cậy = 95% nên Z = 1,96 ; - sai số ước lượng, hay độ xác 0,02 Vậy mẫu cần tìm phải có số phần tử 1,96 0,15 (1 0,15) n + = 1225 0,02 Do đó, tối thiểu cần khám cho 1225 người Bài Lô trái chủ hàng đóng thành sọt, sọt 100 trái Kiểm tra 50 sọt người ta thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn a) Hãy ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn lô hàng với độ tin cậy 95% b) Muốn ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ xác 0,5% độ tin cậy đạt ? c) Muốn ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% độ xác 1% cần kiểm tra sọt ? 64 Giải a) Tổng thể toàn trái lô hàng Gọi p tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn tổng thể Ta cần ước lượng p với độ tin cậy 95% Ta có kích thước mẫu n = 50 100 = 5000, tỉ lệ mẫu không đạt tiêu chuẩn f= 450 = 0,09 5000 Với độ tin cậy = 0,95, tra bảng hàm số Laplace, ta tìm Z = 1,96 Từ đó, sai số ước lượng = 1,96 0,09.(1 0,09) = 0,0079 5000 Vậy, tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn lô hàng P = 0,09 0,0079, hay 8,21% p 9,97% b) Theo đề bài, ta cần tìm độ tin cậy biết độ xác = 0,005 n = 5000, f = 0,09 Từ công thức = Z f (1 f ) n suy Z = Mà (Z) = n = 0,005 f (1 f ) 5000 = 1,24 0,09.0,91 , nên = (Z) = (1,24) = 0,3925 = 0,785 Vậy, độ tin cậy đạt 78,5% c) Ta cần tìm kích thước mẫu biết độ tin cậy = 99%, độ xác = 1% tỉ lệ mẫu ban đầu f = 0,09 Khi Z = 2,58 Do 2,58 2.0,09.0,91 n= + = 5452 0,012 Số trái cần kiểm tra 5452, sọt có 100 trái nên số sọt cần kiểm tra 5452 100 + = 55 65 Ước lượng giá trò trung bình Bài Ở cửa hàng chế biến thủy sản, theo dõi lượng nước mắm bán số ngày, người ta ghi bảng số liệu sau Số lượng bán (lít) Số ngày 20 – 30 30 – 40 40 – 50 30 50 – 60 45 60 – 70 20 70 – 80 25 80 – 90 17 90 – 100 > 100 Hãy ước lượng số lít nước mắm bán trung bình ngày với độ tin cậy 99% hai trường hợp a) biết phương sai 2 = 132,25; b) chưa biết phương sai Giải Ta lập bảng tính đặc trưng mẫu đònh lượng xi ni xini x 2i n i 25 75 1875 35 280 9800 45 30 1350 60750 55 45 2475 136125 65 20 1300 84500 75 25 1875 140625 85 17 1445 122825 95 855 81225 105 420 44100 161 10075 681825 Với = 99% ta có Z = 2,58 66 X 10075 = 62, 5776 ; 161 X2 681825 = 4234,9379 ; 161 ^2 S = 318,9819 ; S2 = 320,9755 ; S = 17,9158 a) Theo đề bài, phương sai tổng thể biết 2 = 132,65 nên = 11,5174 Do = Z σ n = 2,58 11,5174 161 = 2,3419 Vậy, số lít nước mắm bán trung bình ngày cửa hàng = X = 62,5776 2,3419 hay 60,2357 64,9195 (lít) b) Phương sai tổng thể chưa biết, n 30 nên độ xác = Z Vậy S n = 2,58 17,9158 161 = 3,6429 = 62,5776 3,6429 (lít) Bài Đo đường kính 20 trục máy máy tiện tự động sản xuất ra, ta kết sau (tính mm) 250 ; 249 ; 251 ; 253 ; 248 ; 250 ; 250 ; 252 ; 257 ; 245 ; 248 ; 247 ; 249 ; 249 ; 250 ; 280 ; 250 ; 247 ; 253 ; 256 Giả sử đường kính trục máy đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Hãy ước lượng đường kính trung bình trục máy máy tiện sản xuất với độ tin cậy 95% Giải Tổng thể toàn trục máy máy tiện sản xuất Ta cần ước lượng đường kính trung bình tổng thể với độ tin cậy 95% kích thước mẫu n < 30, chưa biết phương sai Từ mẫu đònh lượng cho, ta tính X = 251,7 ; S = 7,2670 Tra bảng phân phối Student dòng 19, cột 0,05, ta T = 2,093 Suy 7,267 = 2,093 = 3,4010 20 Vậy = 251,7 3,401 (mm) Xác đònh kích thước mẫu đònh lượng Từ công thức tính độ xác suy công thức tìm số phần tử mẫu với S tính từ mẫu ban đầu Z 2 S Chẳng hạn, n = + 67 Bài Sai số đo loại dụng cụ đo có phân phối chuẩn với độ lệch 20 Cần phải tiến hành phép đo độc lập để sai số phạm phải không vượt với độ tin cậy 90%? Giải Đây toán tìm kích thước mẫu đònh lượng biết độ tin cậy = 0,9, độ xác = 5, độ lệch chuẩn tổng thể = 20 biết Theo công thức tính độ xác, ta có = Z σ n Suy Z n = + Tra g hàm số Laplace, ta thấy (1,65) = 0,9 = 0,45 Do Z = 1,65 Vậy, 1,65.20 n = + = 44 Cần tiến hành 44 phép đo độc lập Ước lượng phương sai Bài Theo dõi số hàng bán ngày cửa hàng, ta kết ghi bảng sau Số hàng bán (kg) Số ngày 1900 – 1950 1950 – 2000 10 2000 – 2050 2050 - 2100 Hãy ước lượng phương sai lượng hàng bán ngày với độ tin cậy 95% Giải Từ mẫu đònh lượng cho, ta tính n = 25, S2 = 2058,3333 Tra g phân phối “khi bình phương” dòng 24, cột 0,05 cột 0,95, ta 1 = 36,415 , 2 = 13,848 Suy (n 1) S (n 1)S = 1356,5838 ; = 3567,3021 1 χ2 Vậy, khoảng ước lượng phương sai tổng thể 1356,5838 < 2 < 3567,3021 68 C BÀI TẬP Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm nhà máy thấy có 360 sản phẩm loại Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại tối thiểu nhà máy với độ tin cậy 95% Lấy ngẫu nhiên 400 hộp từ kho đồ hộp để kiểm tra thấy có 20 hộp bò hỏng Từ kết kiểm tra đó, ước lượng tỉ lệ phế phẩm kho hàng với độ tin cậy 95,45% Tại khu rừng nguyên sinh, người ta đeo vòng vào chân 1200 chim Sau thời gian bắt lại 250 thấy 40 có đeo vòng Hãy ước lượng số chim khu rừng với độ tin cậy 99% Muốn biết số cá có hồ lớn, người ta bắt lên 2000 con, đánh dấu xong lại thả chúng xuống hồ Sau người ta bắt lên 400 thấy có 55 bò đánh dấu Với độ tin cậy 0,95 ước lượng số cá hồ Cho biết cá có khối lượng trung bình 800 gam kilôg am cá bán 22000đ Tính doanh thu tối thiểu bán hết số cá hồ Biết tỉ lệ nảy mầm loại hạt giống 0,9 Với độ tin cậy 0,99, muốn độ dài khoảng ước lượng tỉ lệ nảy mầm không vượt 0,02 cần phải gieo hạt? Để xác đònh đònh mức thời gian gia công chi tiết máy, người ta tiến hành thử nghiệm gia công 25 chi tiết Kết tập mẫu thu sau Thời gian trung bình X = 20 phút, độ lệch mẫu hiệu chỉnh S = 2,02 phút Với độ tin cậy 90%, xác đònh thời gian gia công trung bình tối đa loại chi tiết đó, giả sử thời gian gia công tuân theo quy luật phân phối chuẩn Cân thử khối lượng số gia cầm trại chăn nuôi, ta kết sau (tính kilôgam) 3,25 ; 2,5 ; ; 3,75 ; 3,8 ; 3,9 ; 4,02 ; 3,8 ; 3,2 ; 3,82 ; 3,4 ; 3,6 ; 3,75 ; ; 3,5 Giả sử khối lượng gia cầm tuân theo quy luật phân phối chuẩn với phương sai 0,01 Hãy ước lượng khối lượng trung bình gia cầm với độ tin cậy 99% Nghiên cứu điểm trung bình môn Toán 50 sinh viên ta có kết : X = 6,1 ; S = 1,0 Tìm khoảng ước lượng cho điểm trung bình với độ tin cậy 95% Nếu khoảng ước lượng có độ dài độ tin cậy đạt ? Người ta đo chiều sâu biển, sai lệch ngẫu nhiên giả thiết phân phối theo quy luật chuẩn với độ lệch 30m Cần đo lần để xác đònh chiều sâu biển với sai lệch không 12m độ tin cậy đạt 99,73% 10 Quan sát suất 100 công nhân xí nghiệp, người ta tính suất trung bình công nhân X = 12 sản phẩm / ngày S2 = 25 a) Hãy ước lượng suất trung bình công nhân xí nghiệp với độ tin cậy 99% b) Muốn ước lượng suất trung bình công nhân xí nghiệp với độ tin cậy 98,36% độ xác đạt ? 69 c) Muốn ước lượng suất trung bình công nhân xí nghiệp với độ tin cậy 99,73% độ xác = cần quan sát suất công nhân ? 11 Đường kính trục loại sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Kiểm tra trục chọn ngẫu nhiên ta có kết (tính centimet) 7,1 ; 6,6 ; 9,7 ; 10,6 ; 7,5 ; 9,1 a) Tìm ước lượng không chệch cho phương sai đường kính trục b) Tìm khoảng ước lượng cho phương sai với độ tin cậy 0,95 12 Kiểm tra ngẫu nhiên 28 sản phẩm loại máy sản xuất, ta thu kết Khối lượng sản phẩm (kg) Số sản phẩm 3,94 3,97 4,00 4,03 4,06 10 a) Với độ tin cậy 0,95, tìm khoảng ước lượng khối lượng trung bình sản phẩm máy sản xuất b) Hãy ước lượng phương sai khối lượng sản phẩm máy sản xuất với độ tin cậy 0,95, biết khối lượng sản phẩm có phân phối chuẩn 13 Đo áp lực X (tính kg/cm2) số thùng chứa, ta bảng kết sau Áp lực 200 210 220 230 240 250 Số 10 26 56 64 30 14 thùng Biết áp lực đại lượng có phân phối chuẩn a) Với = 0,99, tìm khoảng ước lượng áp lực trung bình b) Tìm khoảng ước lượng phương sai áp lực với độ tin cậy 0,95 14 Cân thử 100 trái nông trường, ta có kết sau Khối lượng (g) 35 – 55 55 – 75 75 – 95 95 – 115 115 – 135 135 – 155 155 - 175 Số trái a) Tìm ước lượng không chệch cho khối lượng trung bình trái nông trường b) Tìm ước lượng không chệch cho phương sai khối lượng trái nông trường c) Xem trái có khối lượng không 95gam trái loại hai 10 25 35 20 Tìm ước lượng không chệch cho tỉ lệ trái loại hai nông trường 70 15 Đo đường kính số chi tiết máy sản xuất, ta có số liệu sau: Đường kính (mm) 19,80 – 19,85 19,85 – 19,90 19,90 – 19,95 19,95 – 20,00 20,00 – 20,05 20,05 – 20,10 20,10 – 20,15 20,15 – 20,20 Số chi tiết 16 28 23 14 Quy đònh chi tiết có đường kính từ 19,9 mm đến 20,1 mm chi tiết đạt tiêu chuẩn a) Ước lượng đường kính trung bình chi tiết máy sản xuất với độ tin cậy 95% b) Ước lượng tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95,45% c) Ước lượng đường kính trung bình chi tiết đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 96% d) Khi ước lượng đường kính trung bình chi tiết đạt tiêu chuẩn, muốn độ xác đạt 0,02mm độ tin cậy 99% cần đo thêm chi tiết ? e) Nếu muốn độ xác ước lượng tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn 5% với độ tin cậy 99% cần đo chi tiết ? 71
Ngày đăng: 20/09/2017, 22:54
Xem thêm:
