Tài liệu ôn thi thpt quốc gia toán có đáp án Đề số 005

Khoá giải đề đặc biệt – Thầy: Đặng Thành Nam Đề 050 +5/2015 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + − m (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Gọi A giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục tung, tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A qua điểm M(2;5) Câu (1,0 điểm) ⎛ π ⎞ a) Cho biết sin a − cos a = 2, ⎜ − < a < ⎟ Tính A = sin a 1+ tan a − cos a 1+ cot a ⎝ ⎠ b) Cho số phức z thoả mãn (1− i).z = + 4i Tính môđun số phức w = z − z Câu (0,5 điểm) Giải phương trình (x − x).log (2x + 1) = 2(x − x ) Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x(1+ ln(3x + 1))dx Câu (0,5 điểm) Khánh Sơn hai thí sinh nam tham gia kỳ thi, hai bạn xếp vào phòng thi với 18 thí sinh khác (gồm nữ 10 nam) Biết phòng thi gồm dãy bàn dọc, dãy bàn, thí sinh xếp vào bàn Tính xác suất ( làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) để Khánh Sơn ngồi khác dãy, dãy bàn dọc gồm thí sinh nữ Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm hai điểm A(1;-2;3), B(3;2;-1) mặt phẳng (P) có phương trình x − 2y − z + = Gọi C trung điểm AB, viết phương trình đường thẳng Δ qua C vuông góc với mặt phẳng (P) Viết mặt cầu (S) tâm C, cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường tròn bán kính Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt a đáy (ABCD) Trong tam giác SAB, kẻ đường cao AH, biết AH = Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (AHC) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh C(3; ) trực tâm H, phương trình đường cao AH 2x − y + = , đường thẳng d qua H cắt đường thẳng AB,AC P Q (P,Q khác A) thoả mãn HP = 3HQ có phương trình 5x − 9y + 22 = Tìm toạ độ đỉnh A B Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình ( 5x + ) 3x + 1− x +5 ≥ 6x + x+4 x+4 Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương x,y,z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy(x + y) yz(y + z) y (3 + y )2 + − + z3 + x3 (xz + y )6 -HẾT Thầy Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + − m (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Gọi A giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục tung, tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A qua điểm M(2;5) Học sinh tự giải Ta có, A(0;4-m) y' = 3x − 6x ⇒ y'(0) = Phương trình tiếp tuyến Δ đồ thị hàm số (1) A y = − m Vì điểm M (2;5) ∈Δ ⇒ − m = ⇔ m = −1 Câu (1,0 điểm) ⎛ π ⎞ a) Cho biết sin a − cos a = 2, ⎜ − < a < ⎟ Tính A = sin a 1+ tan a − cos a 1+ cot a ⎝ ⎠ b) Cho số phức z thoả mãn (1− i).z = + 4i Tính môđun số phức w = z − z π a) Ta có: − < a < ⇒ sin a < 0,cos a > ⇒ sin a − cos a = − π π π π ⇔ sin(a − ) = − ⇔ a − = − + k2π ⇔ x = − + k2π , k ∈! 4 π π 2 1+ 12 − 1+ 12 = −2 Do − < a < ⇒ a = − ⇒ A = − 2 + 4i 2(1+ 2i)(1+ i) b) z = = = −1+ 3i ⇒ w = (−1+ 3i)2 − (−1− 3i) = −7 − 3i 1− i Do đó, w = + (−3)2 = 58 Câu (0,5 điểm) Giải phương trình (x − x).log (2x + 1) = 2(x − x ) Điều kiện: x > − Phương trình tương đương với: ⎡ ⎢x = ⎡ x2 − x = ⎢ (x − x)[ log (2x + 1) + ] = ⇔ ⎢ ⇔ ⎢x = ⎣ log (2x + 1) + = ⎢ ⎢x = − ⎣ 4⎫ ⎧ Vậy nghiệm phương trình x ∈ ⎨0;1;− ⎬ 9⎭ ⎩ Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x(1+ ln(3x + 1))dx ⎧ du = dx ⎪ u = 1+ ln(3x + 1) ⎧ ⎪ 3x + Đặt ⎨ ⇒⎨ ⎩dv = xdx ⎪v = x ⎪⎩ Suy ra: Thầy Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com x2 x2 I = (1+ ln(3x + 1)) − ∫ dx 3x + ⎞ 1+ ln ⎛ 1 1+ ln ⎛ x x ⎞ = − ⎜ − + ln 3x + ⎟ = − ⎜ + ln ⎟ = + ln ⎝ 12 ⎠ 12 2 ⎝ 18 ⎠0 Câu (0,5 điểm) Khánh Sơn hai thí sinh nam tham gia kỳ thi, hai bạn xếp vào phòng thi với 18 thí sinh khác (gồm nữ 10 nam) Biết phòng thi gồm dãy bàn dọc, dãy bàn, thí sinh xếp vào bàn Tính xác suất ( làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) để Khánh Sơn ngồi khác dãy, dãy bàn dọc gồm thí sinh nữ Không gian mẫu số cách xếp 20 bạn vào 20 bàn học bàn học sinh có n(Ω) = 20! Gọi A biến cố dãy bàn dọc gồm thí sinh nữ, Khánh Sơn ngồi khác dãy Để tính số kết thuận lợi cho A ta mô tả xếp thoả mãn + Xếp nữ vào dãy bàn dọc, dãy thí sinh có C82 A52 C62 A52 C42 A52 C22 A52 = 403200000 cách + Xếp bạn Khánh Sơn vào dãy bàn dọc khác có C42 C31 C31 2! = 108 cách + Xếp 10 bạn nam lại có 10! cách Vậy có tất 403200000.108.10! cách xếp thoả mãn, n(A) = 403200000.108.10! n(A) 403200000.108.10! 3000 = = ≈ 0,064950 Xác suất cần tính P(A) = n(Ω) 20! 46189 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm hai điểm A(1;-2;3), B(3;2;-1) mặt phẳng (P) có phương trình x − 2y − z + = Gọi C trung điểm AB, viết phương trình đường thẳng Δ qua C vuông góc với mặt phẳng (P) Viết mặt cầu (S) tâm C, cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường tròn bán kính Vì C trung điểm AB nên C(2;0;1), Δ vuông góc với (P) nên Δ nhận véc tơ pháp tuyến (P) làm !" ! véc tơ phương, uΔ = (1;−2;−1) x − y z −1 Suy ra, Δ : = = −2 −1 Gọi R bán kính (S), r bán kính đường tròn giao tuyến − 2.0 − 1+ 2 2 Ta có: d(C;(P)) = , R = d (C;(P)) + r = + = = 6 + (−2)2 + (−1)2 Vậy (S) :(x − 2)2 + y + (z − 1)2 = Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt a đáy (ABCD) Trong tam giác SAB, kẻ đường cao AH, biết AH = Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (AHC) Thầy Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com Ta có: SABCD = a Tam giác vuông SAB có, 1 1 a = 2+ ⇒ = − ⇒ SA = 2 AH SA AB SA a a a a3 a = Vì vậy, VS.ABCD = SA.SABC = (đvtt) 9 + Tính d(S;(AHC)) d(S;(AHC)) SH SH SB SA a / = = = = = (1) Ta có d(B;(AHC)) BH BH BS BA a d(B;(AHC)) BA BS = = = (2) Kẻ HK//SA (K thuộc AB), ta có d(K;(AHC)) KA SH Kẻ KI//AC (I thuộc AC), Kẻ KT vuông góc với HI T, ta có KT ⊥ (AHC) ⇒ KT = d(K;(AHC)) (3) KI AK BO a HK BK 3SA a = = ⇒ KI = = = = ⇒ HK = = , BO AB 4 SA BA 4 1 32 16 = + = + ⇒ KT = a (4) Tam giác vuông HKI có, 2 KT HK KI a 3a 112 a 21 Từ (1),(2),(3),(4) suy d(S;(AHC)) = 21 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh C(3; ) trực tâm H, phương trình đường cao AH 2x − y + = , đường thẳng d qua H cắt đường thẳng AB,AC P Q (khác điểm A) thoả mãn HP = 3HQ có phương trình 5x − 9y + 22 = Tìm toạ độ đỉnh A B Gọi M điểm thuộc cạnh BC thoả mãn BM = 3MC , ta chứng minh HM ⊥ PQ Qua C kẻ đường thẳng song song với d cắt AB N, AH K Do CN//PQ, HP = 3HQ nên NK=3CK suy CM CK = = ⇒ MK / /BN ⇒ MK ⊥ CH CB CN Ta có, Lại có MC ⊥ HK , M trực tâm tam giác HKC Suy HM ⊥ KC ⇒ HM ⊥ PQ ⎧2x − y + = ⎧x = Toạ độ điểm H nghiệm hệ ⎨ ⇔⎨ ⇒ H (1; 3) ⎩5x − 9y + 22 = ⎩y = Phương trình đường thẳng BC qua C vuông góc AH x + 2y − = Phương trình đường thẳng HM qua H vuông góc PQ 9x + 5y − 24 = ⎧9x + 5y − 24 = 15 Toạ độ điểm M nghiệm hệ ⎨ ⇒ M( ; ) ⎩ x + 2y − = Thầy Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com !!!!" !!!" Vì BM = 3MC nên B(0;3) Phương trình đường thẳng AC qua C vuông góc BH x − = ⎧x − = Toạ độ điểm A nghiệm hệ ⎨ ⇒ A(3; 7) ⎩2x − y + = Vậy A(3;7) B(0;3) Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình ( 5x + ) 3x + 1− x +5 ≥ 6x + x+4 x+4 Điều kiện: − ≤ x ≤ Đặt a = 3x + 1,b = 1− x,c = x + 4, ( a,b ≥ 0,c > ) Bất phương trình trở thành: a ( a + 2c ) + b ( b + c ) ≥ c ( 2a + b + c ) ⇔ a + b − c + 2ac − 2ca + bc − b c ≥ ⇔ ( a + b ) − c − 3ab ( a + b ) + 2ac − 2ca + bc − b c ≥ ⇔ ( a + b − c ) ( (a + b)2 + c(a + b) + c ) − 3ab ( a + b − c ) +2ac(c − a − b) + bc(c − a − b) ≥ ⇔ ( a + b − c ) ( a + b + c − ab − ac ) ≥ ⇔ a+b−c≥0 Vì 3x + + 1− x ≥ x + ⇔ −3x + 2x + ≥ − x ⇔ ≤ x ≤ 12 13 ⎡ 12 ⎤ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ⎢ 0; ⎥ ⎣ 13 ⎦ Cách 2: ⎡ ⎤ Với x ∈ ⎢ − ;1⎥ ⇒ 6x + > , bất phương trình tương đương với: ⎣ ⎦ 5x + 3x + 1− x + ≥ 6x + x + 6x + x + ⎧ 5x + a2 + = ⎪⎪ 6x + 2a + b + 3x + 1− x ,b = (a,b ≥ 0) ⇒ ⎨ Đặt a = x+4 x+4 b + ⎪ = ⎪⎩ 6x + 2a + b + Bất phương trình trở thành: a2 + b2 + a + b ≥ 2a + b + 2a + b + ⇔ a + 2a + b + b ≥ 2a + b + ⇔ a + b + (−2a + 2a + b − b − 1) ≥ ⇔ (a + b − 1)(a + b − ab − a + 1) ≥ ⎡⎛ a⎞ 3a − 4a + ⎤ 3x + 1− x ⇔ (a + b − 1) ⎢⎜ b − ⎟ + ≥ ⇔ a + b −1 ≥ ⇔ + ≥1 ⎥ ⎝ ⎠ x + x + ⎣ ⎦ 12 ⇔ 3x + + 1− x ≥ x + ⇔ x ≤ 13 Cách 3: Thầy Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com Vì phương trình có hai nghiệm đẹp x1 = 0; x2 = 12 nên ta khử bớt thức bình phương sau 13 liên hợp: ⎡ ⎤ Lời giải: Với x ∈ ⎢ − ;1⎥ hai vế bất phương trình không âm nên bình phương hai vế đưa bất ⎣ ⎦ phương trình tương đương với: 3x + 1− x (3x + 1)(1− x) (5x + 9)2 + 25 + 10(5x + 9) ≥ (6x + 7)2 x+4 x+4 (x + 4) ⇔ 39x + 67x − 77x − 90 + 10(5x + 9) (3x + 1)(1− x) ≥ Ta tìm biểu thức liên hợp sau: (3x + 1)(1− x) − −x + Vậy bất phương trình tương đương với: 3(x + 2)(13x − 12x) + 5(5x + 9) ⎡⎣ (3x + 1)(1− x) − (−x + 2) ⎤⎦ ≥ ⇔ 3(x + 2)(13x − 12x) + 5(5x + 9)(12x − 13x ) ≥0 (3x + 1)(1− x) − x + ⎡ ⎤ 5(5x + 9) ⇔ (12x − 13x ) ⎢ −3(x + 2) + ⎥≥0 (3x + 1)(1− x) − x + ⎦ ⎣ ⇔ (12x − 13x ) ⎡⎣ 3x + 25x + 33 − 6(x + 2) (3x + 1)(1− x) ⎤⎦ ≥ ⇔ (12x − 13x ) ⎡⎣(x + − (3x + 1)(1− x))2 + 29x + 3x + 20 ⎤⎦ ≥ ⇔ 12x − 13x ≥ ⇔ ≤ x ≤ 12 13 Bình luận: Cả cách 2, tương tự nhau, ý tưởng đưa phương trình đẳng cấp biến a,b,c với thức, sau giảm biến phân tích nhân tử Để phân tích nhân tử: a + b + (−2a + 2a + b − b − 1) ≥ ⇔ (a + b − 1)(a + b − ab − a + 1) ≥ Ta sử dụng máy tính cầm tay Bước Nhập vào phương trình, đâu có b ta thay 100 Bước Nhấn shift +Calc với a = , có nghiệm -99, tức a=1-b hay a+b-1=0, ta có nhân tử (a+b1), lúc chia đa thức ta có nhân tử Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương x,y,z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy(x + y) yz(y + z) y (3 + y )2 + − + z3 + x3 (xz + y )6 Với số thực dương x,y,a,b ta có: a b (a + b)3 + ≥ x y 2(x + y) Khi đó, ta có: Thầy Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com xy(x + y) yz(y + z) (x + y)3 (y + z)3 (x + y)3 (y + z)3 + ≤ + = + + z3 + x3 4(3 + z ) 4(3 + x ) 4(x + z + y + z ) 4(y + x + z + x ) ≤ x3 y3 y3 z3 + + + 2(x + z ) 2(y + z ) 2(y + x ) 2(z + x ) = y3 ⎛ 1 ⎞ y3 + y3 + ⎜ + = + 2 ⎝ x + y y + z ⎟⎠ 2 (x + y )(z + y ) xy(x + y) yz(y + z) y (3 + y ) + ≤ + Mặt khác, (1+ 1)(x + y )(z + y ) ≥ (xz + y ) , đó: + z3 + x3 (xz + y )3 3 3 ⎛ y (3 + y ) ⎞ y (3 + y ) y (3 + y )6 3 Vì vậy, P ≤ + − = − − ⎟ + ≤ ⎜ (xz + y ) (xz + y ) 4 ⎝ (xz + y ) ⎠ Nhận thấy x = y = z = , P 3/4 Vậy giá trị lớn P 3/4 Thầy Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com ... (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + − m (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Gọi A giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục tung, tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A qua điểm... đồ thị hàm số (1) A y = − m Vì điểm M (2;5) ∈Δ ⇒ − m = ⇔ m = −1 Câu (1,0 điểm) ⎛ π ⎞ a) Cho biết sin a − cos a = 2, ⎜ − < a < ⎟ Tính A = sin a 1+ tan a − cos a 1+ cot a ⎝ ⎠ b) Cho số phức z... sinh xếp vào bàn Tính xác suất ( làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) để Khánh Sơn ngồi khác dãy, dãy bàn dọc gồm thí sinh nữ Không gian mẫu số cách xếp 20 bạn vào 20 bàn học bàn học sinh