Tài liệu ôn thi thpt quốc gia toán có đáp án Đề số 008

Khoá giải đề đặc biệt – Thầy: Đặng Thành Nam Đề 50+8/2015 3x − x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số cho Tìm điểm M đồ thị (H) cho M cách đường tiệm cận (H) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình sin 2x + cos(π − 2x) = b) Cho số phức z = (1+ i)2 + (1+ i)3 Tính môđun số phức z Câu (0,5 điểm) Giải phương trình x+1 − + x+1 = x+1 1+ 3ln x dx x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ Câu (0,5 điểm) Viết ngẫu nhiên hai số tự nhiên số gồm chữ số đôi khác chia hết cho 10 Tính xác suất để hai số viết khác số có tổng chữ số số lẻ Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I(1;2;3), mặt phẳng (P) có phương trình 2x − 2y − z − = Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, SC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD gọi K trung điểm AD, tính khoảng cách hai đường thẳng SD,CK Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có tâm gốc toạ độ O, từ điểm P đường thẳng y − = kẻ hai tiếp tuyến PA,PB đến (C) Gọi I điểm đoạn AB, qua I kẻ đường thẳng vuông góc với OI cắt (C) C,D Tiếp tuyến đường tròn (C) C,D cắt điểm Q(2;-1) Tìm toạ độ điểm P,A,B biết PA = , điểm A có hoành độ dương Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị thực tham số m để tồn cặp số thực (x;y) thoả mãn hệ điều kiện: ⎧⎪2x − 4y + 16y − 17 = m(y − − −x + 3x − )3 ⎨ (x − 1) x − + = y − 6y + 12y ⎩⎪ Câu 10 (1,0 điểm) Cho a,b hai số thực dương thoả mãn a + b − 2(a + b ) > Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 + b2 2(a + b ) P= 2 − − 12 ln ⎡⎣ a + b − 2(a + b ) ⎤⎦ 2 ab ab 1− a − b -HẾT - PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN 3x − Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số cho Tìm điểm M đồ thị (H) cho M cách đường tiệm cận (H) Học sinh tự giải 3m − Giả sử điểm cần tìm M (m; ), m ≠ −1 m +1 Ta có (H) có tiệm cận đứng Δ1 : x + = ; tiệm cận ngang Δ : y − = Theo giả thiết ta có: 3m − −3 m +1 m +1 d(M; Δ1 ) = d(M; Δ ) ⇔ = 1 ⎡m = ⎡ M (1;2) ⇔ m +1 = ⇔ (m + 1)2 = ⇔ ⎢ ⇒⎢ m +1 ⎣ m = −3 ⎣ M (−3;5) Vậy có hai điểm cần tìm M(1;2) M(-3;5) Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình sin 2x + cos(π − 2x) = b) Cho số phức z = (1+ i)2 + (1+ i)3 Tính môđun số phức z a) Phương trình tương đương với: 3 π sin 2x − cos 2x = ⇔ sin 2x − cos 2x = ⇔ sin(2x − ) = 2 π π π ⎡ ⎡ 2x − = + k2 π x = + kπ ⎢ ⎢ 3 ⇔⎢ ⇔⎢ , k ∈! π π π ⎢ 2x − = ⎢ x = + kπ + k2π ⎢⎣ ⎢⎣ 3 b) Ta có: z = (1+ i)2 (1+ 1+ i) = 2i(2 + i) = −2 + 4i ⇒ z = z = (−2)2 + = 20 Câu (0,5 điểm) Giải phương trình ⎛ 9⎞ Phương trình tương đương với: ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎛ 3⎞ Đặt t = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ x+1 x+1 − + x+1 = x+1 ⎛ 3⎞ − 5⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ x+1 +2= x+1 > , phương trình trở thành: ⎡⎛ ⎞ x+1 ⎢⎜⎝ ⎟⎠ = ⎡t = ⎡x +1 = ⎡ x = −1 ⎢ 3t − 5t + = ⇔ ⇔⎢ ⇔⎢ 2⇔⎢ x+1 ⎢⎛ ⎞ ⎢t = ⎣ x + = −1 ⎣ x = −2 ⎣ ⎢⎜ ⎟ = ⎣⎝ ⎠ 1+ 3ln x dx x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 2 2 dx ln x ln x 3ln 2 Ta có: I = ∫ + 3∫ dx = ln x + 3∫ ln xd(ln x) = ln + = ln + x x 2 1 Câu (0,5 điểm) Viết ngẫu nhiên hai số tự nhiên số gồm chữ số đôi khác chia hết cho 10 Tính xác suất để hai số viết khác số có tổng chữ số số lẻ Số số tự nhiên có chữ số đôi khác chia hết cho 10, có 1.A93 = 504 số Không gian mẫu số cách viết ngẫu nhiên hai số, có n(Ω) = 504.504 Gọi A biến cố hai số viết khác nhau, số viết có tổng chữ số số lẻ Số có dạng: abc0 Vì tổng chữ số số lẻ nên ba chữ số a,b,c có lẻ có lẻ TH1: Trong ba số a,b,c có lẻ chẵn có C51 C42 3! = 180 số TH2: Trong ba số a,b,c có lẻ có A53 = 60 Vậy có tất 180+60=240 số, n(A) = C240 n(A) C240 1195 = = ≈ 11,2% n(Ω) 504 10584 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I(1;2;3), mặt phẳng (P) có phương trình 2x − 2y − z − = Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng (P) Xác suất cần tính P(A) = Ta có: d(I;(P)) = 2.1− 2.2 − − = 2 + (−2)2 + (−1)2 Vì (S) tiếp xúc với (P) nên có bán kính R = Vậy (S) :(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, SC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD gọi K trung điểm AD, tính khoảng cách hai đường thẳng SD,CK Ta có: SABCD = a Tam giác SBC có SC = SB + BC = 2a ⇒ ΔSBC vuông B Do BC ⊥ SB , mặt khác BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ (ABCD) ⊥ (SAB) Gọi H trung điểm AB, ta có: SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) a a3 a = Vì vậy, VS.ABCD = SH SABCD = 6 + Tính d(SD;CK) Dựng hình bình hành DKCE, ta có CK / /DE ⇒ CK / /(SDE) ⇒ d(CK;SD) = d(CK;(SDE)) (1) Gọi I giao điểm HE CD, ta có: HE BE = = ⇒ d(CK;(SDE)) = d(I;(SDE)) = d(H;(SDE)) (2) IE CE a a 10 , HE = ⇒ HE = HD + DE ⇒ ΔHDE vuông D 2 Kẻ HK vuông góc với SD K HK ⊥ (SDE) ⇒ HK = d(H;(SDE)) (3) Ta có, HD = CK = DE = Trong tam giác vuông SHD, có: 1 4 32 15 = + = 2+ 2= ⇒ HK = a (4) 2 2 HK SH HD 3a 5a 15a 32 Từ (1),(2),(3),(4) suy ra: d(CK;SD) = a 30 24 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có tâm gốc toạ độ O, từ điểm P đường thẳng y − = kẻ hai tiếp tuyến PA,PB đến (C) Gọi I điểm đoạn AB, qua I kẻ đường thẳng vuông góc với OI cắt (C) C,D Tiếp tuyến đường tròn (C) C,D cắt điểm Q(2;-1) Tìm toạ độ điểm P,A,B biết PA = , điểm A có hoành độ dương Ta chứng minh PQ ⊥ OQ Ta có PAOB nội tiếp đường tròn đường kính OP (*) QCOD nội tiếp đường tròn đường kính OQ, nên IO.IQ = IC.ID (1) Mặt khác ACBD nội tiếp đường tròn, nên IA.IB = IC.ID (2) Từ (1),(2) suy IA.IB = IO.IQ ⇒ QAOB nội tiếp (**) Từ (*) (**) suy điểm P,Q,O,A,B thuộc đường tròn đường kính OP ! = 90 ⇒ PQ ⊥ OQ Do PQO !!!" Ta có OQ = (2;−1) ⇒ PQ : 2x − y − = ⎧y − = Toạ độ điểm P nghiệm hệ ⎨ ⇒ P(4; 3) ⎩2x − y − = Ta có R = OA = OP − PA = 25 − 20 = Vậy (C) : x + y = ⎡ x = 2, y = −1 ⎧⎪ x + y = Toạ độ điểm A,B nghiệm hệ ⎨ ⇔⎢ 11 2 ⎢x = − , y = ⎪⎩(x − 4) + (y − 3) = 20 ⎣ 5 11 Đối chiếu A có hoành độ dương suy A(2;−1), B(− ; ) 5 Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị thực tham số m để tồn cặp số thực (x;y) thoả mãn hệ điều kiện: ⎧⎪2x − 4y + 16y − 17 = m(y − − −x + 3x − )3 ⎨ (x − 1) x − + = y − 6y + 12y ⎩⎪ Điều kiện: ≤ x ≤ Phương trình thứ hai hệ tương đương với: y − 6y + 12y − = (x − 1)3 ⇔ (y − 2)3 = (x − 1)3 ⇔ y − = x − Thay vào phương trình thứ hệ ta được: 2x − 4(x − 1) − = m ( x − − −x + 3x − ) ⇔ 2(x − 1)2 + = m( x − − −x + 3x − )3 ⇔ ⎡⎣ 2(x − 1) + 1⎤⎦ ( x − + −x + 3x − ) = m(x − 1− (−x + 3x − 2)) 2 ⇔ ⎡⎣ 2(x − 1)2 + 1⎤⎦ ( x − + −x + 3x − )3 = m(x − 1)6 Nhận thấy x = không nghiệm phương trình, xét với x ∈(1;2 ] , đặt t = x − ∈( 0;1] Phương trình cuối trở thành: ⎛2 1⎞ (2t + 1)( t + t − t )3 = mt ⇔ m = ⎜ + ⎟ ( + − 1)3 (*) ⎝t t ⎠ t t ⎛2 1⎞ + 3⎟( + − 1)3 với t ∈( 0;1] , ta có: ⎝t t ⎠ t t Xét hàm số f (t) = ⎜ ⎞ 1 ⎛ 1 ⎛ 3⎞ f '(t) = ⎜ − − ⎟ ( + − 1)3 + 3( + − 1)2 ( + ) ⎜ − − < 0,∀t ∈( 01;] ⎝ t t ⎠ t t t t t t ⎝ t t − t ⎟⎠ Vì hàm số f(t) nghịch biến nửa khoảng ( 0;1] Do phương trình (*) có nghiệm t nghiệm ⎧⎪ x = t + , tức x, y ⎩⎪ y = x − + = t + , đó: ⎨ Vì vậy, để hệ cho có cặp số (x;y) thoả mãn phương trình (*) có nghiệm t ∈( 0;1] Ta có: f (t) ≥ f (1) = ⇒ m ≥ Vậy m ≥ giá trị cần tìm Câu 10 (1,0 điểm) Cho a,b hai số thực dương thoả mãn a + b < , a + b − 2(a + b ) > 1 2(a + b ) + − − 12 ln ⎡⎣ a + b − 2(a + b ) ⎤⎦ a b ab 1− a − b 1− a b + (1− a − b ) b 1− a − b − = = = 2+ , a2 a2 a2 a a2 a 1− a − b −1 = + , b2 b b2 a2 + b2 a2 b2 − = = + 1− a − b 1− a − b 1− a − b 1− a − b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Do kết hợp sử dụng bất đẳng thức AM –GM ta có: 1 b 1− a − b a 1− a − b a2 b2 + + − = + + + + + a b 1− a − b a2 a2 b2 b2 1− a − b 1− a − b 2 1 ⎞ ⎞ 1− a − b 2⎛ 2⎛ =a ⎜ + +b ⎜ + + (a + b ) 2⎟ 2⎟ 2 ⎝ b 1− a − b ⎠ ⎝ a 1− a − b ⎠ ab 2(1− a − b ) ≥ + + ab b 1− a − b a 1− a − b 3 2 2(a + b ) 2(1− a − b ) 2(a + b ) 4(1− a − b ) = + ≥ + ab a2 + b2 ab 1− a − b ab 1− a − b 2a 2b 4(1− a − b ) − + − 12 ln(a + b − (a + b )2 ) Vì vậy, P ≥ 2 2 a +b 1− a − b 4(1− t) Đặt t = a + b ,t ∈(0;1) , ta có: P ≥ − + − 12 ln(t − t ) t 1− t ⎡ ⎢t = −24t + 31t − 4t − Ta có, f '(t) = ; f '(t) = ⇔ ⎢ t (1− t)2 ⎢t = ± 89 ⎢⎣ 16 ⎛ 2⎞ Suy ra: P ≥ f (t) ≥ f ⎜ ⎟ = 12 ln − ⎝ 3⎠ Dấu xảy a = b = Vậy giá trị nhỏ P 12 ln − 3 ... nhiên hai số tự nhiên số gồm chữ số đôi khác chia hết cho 10 Tính xác suất để hai số viết khác số có tổng chữ số số lẻ Số số tự nhiên có chữ số đôi khác chia hết cho 10, có 1.A93 = 504 số Không... Không gian mẫu số cách viết ngẫu nhiên hai số, có n(Ω) = 504.504 Gọi A biến cố hai số viết khác nhau, số viết có tổng chữ số số lẻ Số có dạng: abc0 Vì tổng chữ số số lẻ nên ba chữ số a,b,c có... ba chữ số a,b,c có lẻ có lẻ TH1: Trong ba số a,b,c có lẻ chẵn có C51 C42 3! = 180 số TH2: Trong ba số a,b,c có lẻ có A53 = 60 Vậy có tất 180+60=240 số, n(A) = C240 n(A) C240 1195 = = ≈ 11,2%