Khoá giải đề đặc biệt – Thầy: Đặng Thành Nam Đề 50+6/2015 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0;1) Câu (1,0 điểm) π , cos(a − b) = Tính A = cos a.cosb 3 b) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + 2z + = , A,B điểm biểu diễn z1 , z2 mặt phẳng phức Tính độ dài đoạn thẳng AB a) Cho số thực a,b thoả mãn a + b = ⎛ ⎞ Câu (0,5 điểm) Giải phương trình x.log ⎜ x − ⎟ = ⎝ ⎠ π sin x − cos x dx 1+ sin 2x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ Câu (0,5 điểm) Cho tập E = {1,2, 3, 4,5,6} Gọi M tập hợp số tự nhiên có chữ số tạo thành từ số tập E Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác xuất để số chọn có tổng chữ số Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I(1;0;2) đường thẳng Δ có x y −1 z phương trình = Tìm điểm H thuộc Δ cho IH vuông góc với Δ Viết phương trình mặt = −1 cầu (S) tâm I, tiếp xúc với Δ Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC) Biết ! = 60 AB = AC = a, BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách SA = 2a,SAC hai đường thẳng SA,BC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC Gọi D,E,F chân đường cao hạ từ đỉnh A,B,C, điểm G tia đối tia DE thoả mãn DG = DF Viết phương trình đường thẳng AB, biết đỉnh C nằm đường thẳng Δ có phương trình 2x + y − = , điểm B(-4;-4), G(2;-6) Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x2 − x + 1 > ln(x − x) 2x − 2x + 2 1 −a − b + + = Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương a,b,c thoả mãn b + c2 + (1+ ab)2 a b 1− 2ab + 2 − Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + b + c + (1+ ab)2 x + x − 1+ x ( x − − x − 1) − -HẾT PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0;1) Học sinh tự giải Ta có hàm số cho liên tục có đạo hàm xác định đoạn [0;1], y' = 4x − 4mx Hàm số nghịch biến khoảng (0;1) y' ≤ 0,∀x ∈[ 0;1] ⇔ 4x − 4mx ≤ 0,∀x ∈[ 0;1] ⇔ 4x(m − x ) ≥ 0,∀x ∈[ 0;1] ⇔ m ≥ x ,∀x ∈[ 0;1] ⇔ m ≥ max x ⇔ m ≥ x∈[ 0;1] Câu (1,0 điểm) π , cos(a − b) = Tính A = cos a.cosb 3 b) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + 2z + = , A,B điểm biểu diễn z1 , z2 mặt phẳng phức Tính độ dài đoạn thẳng AB a) Cho số thực a,b thoả mãn a + b = 1 ⎡1 1⎤ cos(a + b) + cos(a − b)] = ⎢ + ⎥ = [ 2 ⎣ ⎦ 12 ⎡ z1 = −1− 2i b) Ta có: z + 2z + = ⇔ (z + 1)2 = −2 = ( 2i)2 ⇒ ⎢ ⎢⎣ z2 = −1+ 2i a) Ta có: A = Khi A(−1;− ), B(−1; ) ⇒ AB = (2 )2 = 2 ⎛ ⎞ Câu (0,5 điểm) Giải phương trình x.log ⎜ x − ⎟ = ⎝ ⎠ ⎧x ≠ ⎧⎪ x ≠ ⎪ Điều kiện: ⎨ ⇔ ⎨1 ⇔ < x < ⎪⎩ x − > ⎪⎩ x > Khi phương trình tương đương với: 1 1 ⎛ ⎞ log ⎜ x − ⎟ = ⇔ x − = x ⇔ (2 x + 1)(2 x − 2) = ⇔ x = ⇔ x = ⎝ ⎠ x Vậy nghiệm phương trình x = π sin x − cos x dx 1+ sin 2x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x)dx , I = −dt ∫ (1+ t) = = 2− t +1 Câu (0,5 điểm) Cho tập E = {1,2, 3, 4,5,6} Gọi M tập hợp số tự nhiên có chữ số tạo thành từ số tập E Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác xuất để số chọn có tổng chữ số Không gian mẫu số số thuộc M có n(Ω) = C61 C61 C61 = 216 Gọi A biến cố số chọn có tổng chữ số Để tính số kết thuận lợi cho A, ta tìm tất số thuộc M mà tổng chữ số Một số hoán vị ba số (a;b;c) thoả mãn a + b + c = 9;a,b,c ∈{1,2, 3, 4,5,6} Ta xét (1;2;6) hoán vị nó; (1;3;5) hoán vị nó; (1;4;4) hoán vị nó; (2;2;5) hoán vị nó; (2;3;4) hoán vị nó; (3;3;3) Vậy có tất + + + + + = 25 số thoả mãn, suy n(A) = C25 = 25 n(A) 25 = Xác suất cần tính P(A) = n(Ω) 216 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I(1;0;2) đường thẳng Δ có x y −1 z phương trình = Tìm điểm H thuộc Δ cho IH vuông góc với Δ Viết phương trình mặt = −1 cầu (S) tâm I, tiếp xúc với Δ !!" Vì H ∈Δ ⇒ H (t;1+ 2t;−t) ⇒ IH = (t − 1;1+ 2t;−t − 2) ! Đường thẳng Δ có véc tơ phương u = (1;2;−1) !!" " ⎛ 1⎞ Vì IH ⊥ Δ ⇒ IH u = ⇔ 6t + = ⇔ t = − ⇒ H ⎜ − ;0; ⎟ ⎝ 2⎠ Ta có bán kính mặt cầu (S), R = IH = Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC) Biết ! = 60 AB = AC = a, BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách SA = 2a,SAC hai đường thẳng SA,BC Vì (S) :(x − 1)2 + y + (z − 2)2 = Ta có: BC = AB + AC = 2a ⇒ ΔABC vuông cân A Vì vây, SABC = a , áp dụng định lý côsin cho tam giác SAC có: SC = SA + AC − 2SA.AC cos 60 = 3a ⇒ SA = AC + SC Do đó, tam giác SAC vuông C suy SC ⊥ AC Mặt khác (SAC) ⊥ (ABC) ⇒ SC ⊥ (ABC) a a2 a3 = Vậy VS.ABC = SC.SABC = (đvtt) 3 + Tính d(SA;BC) Dựng hình bình hành ABCD, ta có AD / /BC ⇒ d(BC;SA) = d(BC;(SAD)) = d(C;(SAD)) (1) ⎧ AM ⊥ BC ⎪ Gọi M,H trung điểm BC,AD ta có ⎨ AM / /CH ⇒ CH ⊥ AD ⎪ BC / /AD ⎩ Kẻ CK vuông góc với SH K CK ⊥ (SAD) ⇒ CK = d(C;(SAD)) (2) 1 1 a 21 = + = + = + ⇒ CK = (3) 2 2 CK CH SC AM SC a 3a a 21 Từ (1),(2),(3) suy d(SA; BC) = Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC Gọi D,E,F chân đường cao hạ từ đỉnh A,B,C, điểm G tia đối tia DE thoả mãn DG = DF Viết phương trình Tam giác vuông SCH có đường thẳng AB, biết đỉnh C nằm đường thẳng Δ có phương trình 2x + y − = , B(4;-4), G(2;-6) Gọi H trực tâm tam giác ABC, tứ giác BDHF nội tiếp nên ! = FBH ! = HCE ! ( phụ góc BAC ! ) FDH ! = HCE ! Mặt khác tứ giác DHEC nội tiếp nên EDH ! ! = EDH ! ⇒ AD phân giác góc EDF Từ suy FDH ! Ta có: BD ⊥ AD ⇒ BD phân giác góc FDG Lại có DG = DF nên F,G đối xứng với qua BC ! = BFC ! = 90 ⇒ BG ⊥ GC Do BGC !!!" Ta có BG = (6;−2) / /(3;−1) ⇒ GC : 3x − y − 12 = ⎧ 3x − y − 12 = Toạ độ điểm C nghiệm hệ ⎨ ⇒ C(4;0) ⎩2x + y − = Phương trình đường thẳng BC qua B,C x − 2y − = Vì F điểm đối xứng G qua BC nên toạ độ trung điểm I FG thoả mãn hệ ⎧ x − 2y − = ⇒ I(0;−2) ⎨ ⎩2x + y + = Vì I trung điểm FG nên F(-2;2) Phương trình đường thẳng AB qua B,F 3x − y + = Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x + x − 1+ x ( x − − x − 1) − 2 x2 − x + 1 > ln(x − x) 2x − 2x + 2 Điều kiện: x > Bất phương trình tương đương với: ⎡ x2 − x + ⎤ 2 2 −⎢ − x − x + ln(x − x) ⎥ + ( x − − x ) > (*) 2 ⎢⎣ 2x − 2x + ⎥⎦ Đặt t = x − x > , ta có: x2 − x + 1 t +1 2 − x − x + ln(x − x) = f (t) = − t + lnt 2x − 2x + 2t + t +1 Xét hàm số f (t) = − t + lnt khoảng (0;+∞) , ta có: 2t + f '(t) = 2− 2t + −1; f '(t) = ⇔ t = (2t + 2) 2t + t Từ đo suy f (t) ≤ f (1) = ⇒ VT(*) ≥ ⎧⎪t = ⎧x > 1+ Dấu xảy ⎨ ⇔⎨ ⇔x= ⎩x − x − = ⎩⎪ x − = x Vì (*) ⇔ VT > ⇔ x ≠ ⎧1+ ⎫ 1+ Kết hợp với điều kiện suy S = [1;+∞ ) \ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 1 −a − b + + = b2 + c2 + (1+ ab)2 a b 1− 2ab + 2 − Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + b + c + (1+ ab)2 Sử dụng bất đẳng thức AM –GM Cauchy –Schwarz ta có: a (a + 1)2 ⎛ a2 ⎞ ≤ ≤ + ⎟, 2 2 ⎜ a + b + a + 1+ b + ⎝ a + b + ⎠ Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương a,b,c thoả mãn b (b + 1)2 ⎛ b2 ⎞ ≤ ≤ + ⎟ 2 2 ⎜ b + c + b + 1+ c + ⎝ b + c + ⎠ Do a b ⎛ a2 b2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ + ≤ + + ⎜ + ⎟ 2 2 2 ⎜ ⎟ a + b + b + c + ⎝ a + b + 1⎠ ⎝ b + c + 1⎠ ⎛ 2a 2b + a + b ⎞ −a − b + = ⎜ + ⎝ (1+ a )(1+ b ) ⎟⎠ 4(1+ ab)2 2a 2b + a + b −a − b + a 2b + + = 4(1+ ab)2 4(1+ ab)2 2(1+ ab)2 t2 + 2t − + Đặt t = ab , ta có: P ≤ f (t) = 2(t + 1) (t + 1)2 1− t ; f '(t) = ⇔ t = ⇒ fmax = f (1) = Ta có, f '(t) = (t + 1) ≤ ... tập hợp số tự nhiên có chữ số tạo thành từ số tập E Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác xuất để số chọn có tổng chữ số Không gian mẫu số số thuộc M có n(Ω) = C61 C61 C61 = 216 Gọi A biến cố số chọn... C61 C61 C61 = 216 Gọi A biến cố số chọn có tổng chữ số Để tính số kết thuận lợi cho A, ta tìm tất số thuộc M mà tổng chữ số Một số hoán vị ba số (a;b;c) thoả mãn a + b + c = 9;a,b,c ∈{1,2, 3, 4,5,6}... (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0;1) Học sinh tự giải Ta có hàm số cho liên tục có