Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép vào cộng giải bài tập

A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI NÓI ĐẦU Toán học – Môn học thiếu lĩnh vực Song dạy học toán trình Làm để học sinh yêu thích môn toán ngày nhiều học sinh giỏi toán, lại toán khó đặt cho giáo viên dạy toán Trong trình giảng dạy nhận thấy, việc rèn luyện cho học sinh biết sử dụng linh hoạt tính chất phép toán cần thiết Đặc biệt tính chất phân phối phép nhân phép cộng, tính chất mà học sinh sử dụng nhiều dạng tập, giải toán nhanh Vì giải toán giáo viên phải ý phương pháp dạy để học sinh nắm vững nội dung tính chất mà biết vận dụng linh hoạt tính toán, giải tập khó từ làm sở để học phép biến đổi : Giải phương trình, đặt thừa số chung, thu gọn đa thức… chương trình đại số lớp Qua thực tế giảng dạy năm học trước, với đối tượng học sinh khác nhau, thân đúc rút số kinh nghiệm phương pháp giảng dạy, hướng dẫn học sinh nắm, vận dụng tính chất phân phối phép nhân đối vứi phép cộng từ áp dụng tính chất vào giải toán gây hứng thú học tập cho học sinh II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1- Thực trạng: Mặc dù tính chất phân phối phép nhân phép cộng học sinh học từ cấp I, Nhưng việc vận dụng tính chất vào giải toán nhiều lúng túng Bên cạnh lớp học trình độ học sinh không đồng Đồng thời em chưa có thói quen độc lập suy nghĩ, suy nghĩ sáng tạo Vì gặp toán phải qua phép biến đổi áp dụng tính chất học sinh gặp khó khăn 1 2- Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên: * Phần đông em học sinh áp dụng kiến thức học cách máy móc mà chưa xác, chưa có sáng tạo linh hoạt * Ở lứa tuổi phần đông em hiếu động, ham chơi, nên việc bị rơi vãi kiến thức cũ điều dễ hiểu * Ý thức tự học, tự nghiên cứu chưa cứu chưa cao Đặc biệt mà máy tính cầm tay đồng hành với em nên phần lớn em sử dụng cách tùy tiện không chịu suy nghĩ, áp dụng tính chất phép toán để tìm cách giải thích hợp Do lên lớp 8; phải biến đổi biểu thức đại số học sinh gặp nhiều khó khăn Từ thực trạng để kết giảng dạy tốt đồng thời giúp học sinh luôn tự tin vào đứng trước toán khó cần có cách giải linh hoạt sáng tạo Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy kết hợp với nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, tài liệu tham khảo năm học áp dụng cách làm vào thực tế giảng dạy cho kết cụ thể B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Dạy học sinh nắm tính chất phân phối phép nhân phép cộng: A.(B ± C) = AB ± AC Áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng vào giải dạng toán II CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN Phương pháp chung: * Bước 1: Từ toán cụ thể phân tích, biến đổi, tìm thừa số chung tích, tích tổng từ xây dựng tính chất phân phối phép nhân phép cộng 2 Thực tính chất phân phối phép nhân phép cộng em học lớp ( nhân số với tổng, hiệu), song qua kiểm tra phần đông em thực thiếu xác Ví dụ: Tính: 9.(a + 2) + 9.( – a) phần lớn em có kết là: 9.(a + 2) + 9.( – a) = 9.a + + 9.5 – a ( bỏ qua không nhân với số hạng thứ 2) Do dạy tính chất giáo viên phải nhấn mạnh cho học sinh thừa số phải nhân với số hạng tổng (a + 2) (5 – a) Ta có phép tính đúng: 9.(a + 2) + 9.( – a) = 9.a + 9.2 + 9.5 – 9.a = ( 9.a – 9.a) + 18 + 45 = 63 Hoặc: 9.(a + 2) + 9.( – a) = 9.( a + + - a) = 9.7 = 63 Để hình thành tính chất phân phối phép nhân phép cộng giáo viên phải đưa số toán cụ thể học sinh tính, rút nhận xét hình thành tính chất Ví dụ : Tính so sánh kết quả: a ( + 6).7 3.7 + 6.7 b ( – 3).5 7.5 – 3.5 Sau học sinh làm toán giáo viên cho học sinh nhận xét hai biểu thức : a.(b ± c) a.b ± a.c Từ rút công thức : a.(b ± c) = a.b ± a.c Phát biểu tính chất thành lời * Bước 2: Áp dụng tính chất phân phối đưa dạng tổng tích số nhân với tổng Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân phép vào cộng giải tập Việc dạy học sinh nắm tính chất điều đơn giản song làm để học sinh vận dụng vào giải toán có hiệu lại không đơn giản chút Bởi em vận dụng để giải toán cách nhanh chóng tạo cho em hứng thú học tập, yêu thích môn toán nhiều 3 Vì sau dạy xong tính chất giáo viên phải đưa số dạng tập vận dụng tính chất để em làm quen khắc sâu Cụ thể phân dạng sau: Dạng 1: Tính nhẩm, tính nhanh • Ví dụ 1: Tính nhanh: a) 27.38 + 27.62 b) 57 99 c) 425 – 170 60 d) 29 74 – 58 37 Đây dạng toán áp dụng đơn giản song đưa tập số em làm câu a,b mà không vận dụng tính chất để tính nhanh câu c,d Sau giáo viên hướng dẫn em giải: *Lời giải sơ lược: a) 27.38 + 27.62 = 27.( 38 + 62) = 27.100 = 2700 b) 57 99 = 57(100 – 1) = 5700 – 57 = 5643 c) 425 – 170 60 = 1700 – 1700 = 1700(7 – 6) = 1700 d) Cách 1: 29 74 – 58 37 = 29 37 – 58 37 = 37( 58 – 58) = Cách 2: 29 74 – 58 37 = 29 74 – 29 37 = 74 (29 – 29) = 4 * Sai lầm học sinh thường mắc phải giải dạng toán là: - Không biết chọn thừa số để tách thích hợp - Bấm máy tính đưa kết cuối * Cánh khắc phục: Không cho học sinh dùng máy tính, yêu cầu trình bày lời giải chi tiết đồng thời giáo viên hướng dẫn mẫu để em học tập cho tập dạng để em vận dụng đa số em làm tốt thích thú • Ví dụ 2: Tính cách hợp lý: a 54.113 + 45.113 + 113 b 14 + 12 17 + 19 c 1.5.6 + 2.10.12 + 4.20.24 + 9.45.54 1.2.3 + 2.6.10 + 4.12.20 + 9.27.45 1 1 + − + 0, 25 − 0, 13 + d 2 + − + 0,875 − 0.7 7 13 Nhận dạng đưa định hướng giải: Giáo viên cho học sinh nhận dạng học sinh làm câu a,b song với câu c,d nhiều em lúng túng Sau giáo viên dẫn dắt để học học sinh tự tìm cách giải nhanh * Lời giải sơ lược: a 54.113 + 45.113 + 113 = 113.( 54 + 45 + 1) = 113.100 = 11300 b 14 + 12 17 + 19 = 24 14 + 24 17 + 24 19 = 24 ( 14 + 17 + 19) = 24 50 = 24 100 : = 1200 5 1.5.6 + 2.10.12 + 4.20.24 + 9.45.54 1.2.3 + 2.6.10 + 4.12.20 + 9.27.45 c 1.5.6.(1 + 2.2.2 + 4.4.4 + 9.9.9) = 1.3.5.(1 + 2.2.2 + 4.4.4 + 9.9.9) = 1.5.6 =2 1.3.5 1 1 + − − 0, 25 + 0, 13 + 2 + − − 0,875 + 0.7 7 13 d 1 1 1 + − − + 13 + = 2.( + − ) − + 7 13 10 1 2.( − + 10) = 1 + 7.( − + ) 10 = 6 + = + =1 7 7 * Sai lầm thường gặp học sinh là: Ở câu a em tách số 113 = 113.1; câu b, c chọn thừa số thích hợp nhân để xuất thừa số chung; câu d quy đồng phân số rối tính *Cách khắc phục: Không cho dùng máy tính, gợi ý cách làm, áp dụng giải hệ thống tập tương tự có nâng cao dần kiểm tra em đặc biệt số em chưa thành thạo • Ví dụ 3: Cho biểu thức: M = x3 + x2y - xy2 - y3 + x2 - y2 + 2x + 2y + Tính giá trị M biết : x + y +1 = * Nhận dạng: Đây toán tính giá trị biểu thức học sinh lớp 6;7 giải nắm vững tính chất phép toán Giáo viên gợi ý cho học sinh biến đổi để xuất tổng x + y + cách giải xuất x + y cách giải 6 * Lời giải sơ lược: Cách 1: M = x3 + x2y - xy2 - y3 + x2 - y2 + 2x + 2y + M =( x3 + x2y + x2) - (xy2 + y3 + y2) + (2x + 2y + 2) +1 M = x2.( x + y + 1) - y2.( x + y + 1) + 2.(x + y + 1) +1 M = x2 - y2 + 2.0 +1 M=1 Cách 2: M = x3 + x2y - xy2 - y3 + x2 - y2 + 2x + 2y + M =( x3 + x2y) - (xy2 + y3) + x2 - y2 + (2x + 2y) + M = x2.( x + y) - y2 ( x + y) + x2 - y2 + 2.( x + y) +3 Vì x + y +1 = suy ra: x + y = -1 Do M = x2 (-1) - y2 (-1) + x2 - y2 + (-1) M = - x2 + y2 + x2 - y2 - + +3 M=1 • Ví dụ 4: Tìm x thuộc Q biết: a x+5 x+5 x+5 x+5 x+5 + + = + 10 11 12 13 14 b x+5 x+4 x+3 x+2 + = + 2010 2011 2012 2013 c x + x + x + x + x + x + 2064 + + + + + =0 2014 2013 2012 2011 2010 * Lời giải sơ lược: a x+5 x+5 x+5 x+5 x+5 + + = + 10 11 12 13 14 (x+5) ( Vì 1 1 + + − − )=0 10 11 12 13 14 1 1 1 1 1 > > > > , nên: + + − − ≠ 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14 Suy ra: x+5 = x = -5 7 b Yêu cầu học sinh nhận xét tử số mẫu số phân số sau biến đổi đưa dạng câu a x+5 x+4 x+3 x+2 + = + 2010 2011 2012 2013 ( x+5 x+4 x+3 x+2 + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) 2010 2011 2012 2013 x + 2015 x + 2015 x + 2015 2015 + = + 2010 2011 2012 2013 x + 2015 x + 2015 x + 2015 x + 2015 + − − =0 2010 2011 2012 2013 ( x + 2015).( 1 1 + − − )= 2010 2011 2012 2013 Tương tự câu a, suy x = - 2015 c x + x + x + x + x + x + 2064 + + + + + =0 2014 2013 2012 2011 2010 ( x+5 x+6 x+7 x+8 x+9 x + 2064 + 1) + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) + ( − 5) = 2014 2013 2012 2011 2010 x + 2019 x + 2019 x + 2019 x + 2019 x + 2019 x + 2019 + + + + =0 2014 2013 2012 2011 2010 Tương tự câu a học sinh tìm x = - 2019 *Sai lầm thường gặp học sinh là: Học sinh nhận xét tử số thỏa mãn câu a mà không biến đổi dẫn đến không làm câu b c *Dạng 2: So sánh: • Ví dụ 5: So sánh: A = 1995 1995 v B = 1991 1999 Để làm tập đa phần em thực phép nhân thông thường so sánh A với B kết luận mà có em nghĩ đến việc áp dụng tính chất phân phối để tính cho nhanh Khi giáo viên hướng dẫn tách 1995 = 1991 + v 1999 = 1995 + tách 1995 = 1999 – v 1991 = 1995 – học sinh thấy thích thú • Lời giải sơ lược: Cách 1: Ta c ó A = 1995 ( 1991 + 4) = 1995.1991 + 4.1995 B = 1991 (1995 + 4) = 1991.1995 + 1991 8 V ì 1995 > 1991 n ên 4.1995 > 4.1991 Suy A > B Cách 2: Ta c ó A = 1995 ( 1999 – 4) = 1995.1999 – 1995 B = ( 1995 – 4) 1999 = 1995 1999 - 1999.4 V ì 1995 < 1999 n ên 1995.4 < 1999.4 Suy A > B • Ví dụ 6: So sánh : A = 74 147 – 73 v B = 73 147 + 74 Thực tập dạng với ví dụ nên học sinh làm dễ dàng Lời giải sơ lược : A = ( 73 + 1).147 – 73 A = 73 147 + 147 – 73 A = 73 147 - 74 = B • Ví dụ 7: Cho P(x) = x8 - 2011x7 + 2011x6 - 2011x5 + …+ 2011x2 - 2011x + 4022 So sánh P(2010) với 2011( Không dùng máy tính, trình bày cách tính cụ thể) * Lời giải sơ lược: P(x) = x8 - 2011x7 + 2011x6 - 2011x5 + …+ 2011x2 - 2011x + 4022 P(x) = x8 - (2010+ 1)x7 + (2010 + 1)x6 - (2010 + 1)x5 + …+ (2010 + 1)x2 - (2010 + 1)x + 4022 P( 2010) = 20108 - 20108 - 20107 + 20107 + 20106 - 20106 - 20105 + + 20103 + 20102 - 20102 - 2010 +4022 P( 2010) = 2012 > 2011 * Sai lầm thường gặp học sinh là: Đọc không kỹ đề dẫn đến phân tích để vận dụng tính chất Phân tích thực phép nhân bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước thường sai dấu Khi nhân số với tổng nhân A với B mà không nhân A với C: A.(B+C) = A.B + C 9 • Cách khắc phục: Gợi ý: Cho học sinh nhận xét: 2011 = 2010 + sau thay vào biểu thức vận dụng phép toán Đặc biệt trọng đến dấu phép toán cách thực phép toán • Ví dụ 8: Cho E = 3 3 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 So sánh E với Khi gặp toán học sinh thường lúng túng tìm cách quy đồng mẫu A nên khó khăn có em gặp dạng lại không ý đến khoảng cách hai thừa số mẫu Do giáo viên gỡ rối cho em cách phân tích để tìm lời giải ngắn gọn * Lời giải sơ lược: Ta có : = 1− ; 1.3 1 = − … 3.5 E= 2 2 ( + + + + ) 1.3 3.5 5.7 99.101 E= 1 1 1 (1 − + − + − + + − ) 3 5 99 100 E= 99 100 E= 297 >1 200 Dạng 3: Các toán lũy thừa: *Phương Pháp giải: Vận dụng công thức lũy thừa biến đổi làm xuất thừa số chung để vận dụng tính chất phân phối • Ví dụ 9: Chứng minh rằng: a, S = + 52 + 53 + … + 599 + 5100 chia hết cho b, ( 165 + 215 ) chia hết cho 33 c, 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10 ( với n ∈ N* ) * Lời giải sơ lược: a, S = ( + ) + 53( + ) + … + 599( + ) S = ( + 53 + … + 599 ) M6 10 10 165 + 215 = (24)5 + 215 = 220 + 215 b, = 215 ( 25 + ) = 215 33 M33 Vậy ( 165 + 215 ) chia hết cho 33 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n c, = 3n ( 32 +1 ) - 2n ( 22 + ) = 3n 10 - 2n = 3n 10 – 2n-1 10 = 10 ( 3n – 2n-1 ) chia hết cho 10 • Ví dụ 10: Tìm x thuộc N biết a, 5x + 5x+2 = 650 b, 3x-1 + 3x-1 = 162 * Lời giải sơ lược: a, 5x + 5x+2 = 650 5x ( + 52 ) = 650 5x 26 = 650 5x = 25 = 52 x = b, 3x-1 + 3x-1 = 162 3x-1 ( + ) = 162 3x-1 = 27 = 33 x–1 =3 x=4 • Ví dụ 11: Đố: Biết : 12 + 22 + 33 + … + 102 = 385 Đố em tính nhanh tổng: a, S = 22 + + 62 + … + 202 ( Bài tập 47 - Trang 23 – Toán – tập ) b, P = 0,52 + 12 + 1,52 + … + 52 11 11 * Lời giải sơ lược: S = 22 + + 62 + … + 202 S = ( )2 + ( )2 + ( )2 + … + ( 10 )2 S = 22 ( 12 + 22 + + … + 102 ) S = 385 S = 1540 b, P = 0,52 + 12 + 1,52 + … + 52 2 10 P = ( )2 + ( ) + ( ) + + ( ) P= (1 + 22 + 32 + + 102 ) P= 385 P = 96,25 * Sai lầm thường gặp học sinh dạng toán là: Không nhớ công thức lũy thừa nên có số cộng, trừ lũy thừa lũy thừa cộng, trừ số * Cách khắc phục: Ôn lại tính chất lũy thừa tính chất chia hết III CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1, Tính nhanh: a, 101 999 b, -50 27 c, ( 18.423 + 9.936.2 + 3.5310.6) : 162 5.9 − 2.6 d, 10 8 + 20 2, Thực phép tính 1 + − 11 + a, 4 + − 11 3 + − 25 125 4 + − 25 125 12 12 3 + 11 12 + 1,5 + − 0, 75 b, 5 −0, 625 + 0,5 − − 2,5 + − 1, 25 11 12 0,375 − 0,3 + 2 0, − + −1 + 0,875 − 0, 11 ) c, 2011 : ( 7 1 1, − + − 0, 25 + 11 3, Tính cách hợp lý: 3 3 − − − 24.47 − 23 11 2011 13 a, 9 9 24 + 47.23 − − − +9 2011 13 11 3+ 2.4 + 2.4.8 + 4.8.16 + 8.16.32 3.4 + 2.6.8 + 4.12.16 + 8.24.32 b, c, 5 5 + + + + 1.3 3.5 5.7 2011.2013 d, 32 32 32 32 + + + + 2.5 5.8 8.11 38.41 4, Chứng minh rằng: a, + 22 + 23 + … + 299 + 2100 chia hết cho 31 b, ( 817 – 279 – 913 ) chia hết cho 405 c, ( 3n+3 + 3n+1 + 2n+ + n+ ) chia hết cho 5, Tìm x biết: a, 2x + x + = 144 b, 81x + 34x + = 324 6, Đố: a, Biết: 12 + 22 + 32 + … + 102 = 385 Tính 0,252 + 0,52 + 0,752 + … + 2,52 b, Biết: 13 + 23 + 33 + … + 103 = 3025 Tính: 23 + 43 + 63 + … + 203 c, Biết: 14 + 24 + 34 + … + 104 = 25333 Tính 24 + 44 + 64 + … + 204 13 13 7, Tìm x biết: x +1 x + x + x + + = + 65 63 61 59 315 − x 313 − x 311 − x 309 − x b + + + = −4 2011 2013 2015 2017 a 8, Phân tích tổng sau thừa số: a95 + a94 + a93 + … + a2 + a + 9, Tìm n ∈ N biết : ( n - 7)x+1 = ( n - 7)x+11 ( Đề thi học sinh giỏi toán năm học 2010 - 2011 phòng GD&ĐT Nga Sơn) C-KẾT LUẬN Trong chương trình lớp 6;7 nói riêng chương trình toán học phổ thông nói chung , giáo viên biết đào sâu tìm phương pháp giảng dạy phù hợp đạt hiệu cao việc truyền thụ , khắc sâu kiến thức, phát huy trí tuệ hứng thú học tập cho học sinh Năm học 2010 – 2011 phân công giảng dạy lớp với tổng số 40 học sinh Ban đầu gặp toán dạng em gặp nhiều khó khăn, đặc biệt toán phải có biến đổi Để giúp em có kiến thức giải loại toán này, bồi dưỡng cho em theo hệ thống tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp với đủ dạng bài, đồng thời không cho sử dụng máy tính cầm tay Sau thời gian nhận thấy em có tiến rõ rệt Cụ thể đánh giá qua kiểm tra trình học sau: Lần kiểm tra Lần Lần Lần Lần Giỏi Số lượng 13 18 % 12,5 17,5 32,5 45 Kết Khá Trung bình Số % Số % lượng 20 21 17 17 50 52,5 42,5 42,5 lượng 11 10 27,5 25 22,5 12,5 Yếu Số % lượng 10 2,5 14 14 Qua cách làm nhận thấy giảng dạy giáo viên nhiệt tình, kiên trì rèn luyện học sinh biết áp dụng tính chất phép toán theo hướng tư tích cực kết đạt đáng kể Trên cách làm để rèn luyện cho học sinh sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng Trong trình giảng dạy cố gắng, động viên học sinh tìm cách giải đơn giản, ngắn gọn, dễ hiểu thông qua tính chất phép toán nhận thấy tinh thần kết học tập học sinh nâng lên đặc biệt áp dụng tính chất vào giải toán lớp lớp Một kết đo đếm giúp học sinh ý thức đứng trước toán điều phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, dễ hiểu, từ biết ứng dụng phương pháp giải toán vào thực tế sống Rất mong góp ý đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn Nga sơn ngày 03 tháng năm 2011 Ng ười thực : Mai Th ị Cúc 15 15 ... biểu tính chất thành lời * Bước 2: Áp dụng tính chất phân phối đưa dạng tổng tích số nhân với tổng Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân phép vào cộng giải tập Việc dạy học sinh nắm tính chất. .. thể B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Dạy học sinh nắm tính chất phân phối phép nhân phép cộng: A.(B ± C) = AB ± AC Áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng vào giải dạng... Phương pháp chung: * Bước 1: Từ toán cụ thể phân tích, biến đổi, tìm thừa số chung tích, tích tổng từ xây dựng tính chất phân phối phép nhân phép cộng 2 Thực tính chất phân phối phép nhân phép cộng