02 BDT co si p2 BG

Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] DẠNG KĨ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNG Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: a+b b+c c+a  + + a + b + c = Phép cộng:  2 2(a + b + c ) = (a + b ) + (b + c ) + (c + a ) abc = ab bc ca , Phép nhân:  2 a b c = (ab )(bc )(ca ) (a, b, c ≥ 0) Ví dụ 1: [ĐVH] Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bc ca ab + + ≥ a+b+c a b c Hướng dẫn giải: Ta có: bc ca ab  bc ca   ca ab   ab bc  + + =  + +  + +  +  a b c b  2 b c  2 c a 2 a bc ca ca ab ab bc + = a+b+c + a b b c c a Ví dụ 2: [ĐVH] Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = b+c c+a a+b Chứng minh + + ≥ a + b + c +3 a b c Hướng dẫn giải: ≥  bc b + c c + a a + b bc ca ab ca ab   + + ≥ + + = 2 + + b c  a b c a b c  a  bc ca   ca ab   ab bc  + +  =  + + +     b   b c   c a   a ≥2 ( bc ca +2 a b ca ab +2 b c ) ( =2 a+ b+ c = ab bc c a ) ( a+ b+ c + a+ b+ c ) ≥ a + b + c + 33 a b c = a + b + c + b+c c+a a+b Vậ y + + ≥ a + b + c +3 a b c a+b+c Ví dụ 3: [ĐVH] Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p = Chứng minh a) ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ abc 1  1 1 b) + + ≥ 2 + +  p−a p−b p−c a b c Hướng dẫn giải: a) Ta có: Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ( p − a )( p − b )( p − c ) = ( p − a )( p − b ) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a ) ( p − a ) + ( p − b) ( p − b) + ( p − c ) ( p − c ) + ( p − a ) ≤ 2 p − (a + b ) p − (b + c ) p − (c + a ) ≤ = 2 2 abc b) Ta có: 1 1 1  1 1  1 1   +   +   + + =  + + + p − a p − b p − c  p − a p − b   p − b p − c   p − c p − a  ≥ ( p − a )( p − b ) + ( p − b )( p − c ) + ( p − c )( p − a ) 1 + + ( p − a) + ( p − b) ( p − b) + ( p − c) ( p − c) + ( p − a ) 2  1 1 ≥ 2 + +  a b c ≥ DẠNG KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ Ví dụ 1: [ĐVH] Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b a b c Chứng minh + + ≥3 (1) b+c−a c+a−b a+b−c Hướng dẫn giải: y+z  a = b + c − a = x >  z+x   Đặt: c + a − b = y > ⇔ b = a + b − c = z >   x + y  c =  Khi vế trái bất đẳng thức (1) trở thành y+z z+x x+ y + + 2x 2y 2z Ta có: y+ z z+ x x+ y 1 y x 1 z + + =  +  +  + 2x 2y 2z 2 x y 2 x ≥ 2 y x + x y x 1 z y +  +  z   y z  z x + x z z y =3 y z a b c + + ≥ (đpcm) b+c−a c+a−b a+b−c Ví dụ 2: [ĐVH] Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b Hay Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c (1) b+c−a c+a−b a+b−c Hướng dẫn giải: Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 y+z  a = b + c − a = x >  z+x   Đặt: c + a − b = y > ⇔ b = a + b − c = z >   x+ y  c =  Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: ( y + z )2 + ( z + x )2 + ( x + y )2 ≥ x + y + z 4x 4y 4z Ta có: ( y + z) 4x ( z + x) + 4y ( x + y) + 4z ≥ yz zx xy  yz zx   zx xy   xy yz  + + =  + +  + +  +  x y z 2 x y  2 y z  2 z x  yz zx zx xy xy yz + + = z+x+ y x y y z z x ≥ Hay a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c (đpcm) b+c−a c+a−b a+b−c a+b+c p ≥ ( p − a )( p − b )( p − c ) Ví dụ 3: [ĐVH] Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p = Chứng minh ( p − a) + ( p − b) + ( p − c )2 (1) Hướng dẫn giải: Ta có: p − a = b+c−a >0 Tương tự: p − b > 0; p − c > Đặt: p − a = x >  p −b = y > ⇒ p = x + y + z p − c = z >  Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau Ta có 1 1 1  1 1 + + =  +  +  + 2 2 x x y z y  2 y z 1 x+ y+z + + ≥ xyz x y z  1 1   +  +  x   2 z 1 1 1 1 x+ y+ z = + + = + + 2 2 xy yz zx xyz x y y z z x 1 p + + ≥ (đpcm) 2 ( p − b ) ( p − c ) ( p − a )( p − b )( p − c ) ≥ Hay ( p − a )2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP x x x  12   15   20  Bài 1: [ĐVH] Chứng minh với x ∈ ℝ   +   +   ≥ 3x + x + x (ĐH khôi A-2005)  5  4   Bài 2: [ĐVH] Cho a, b, c số thực thoả a + b + c = Chứng minh 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c Bài 3: [ĐVH] Cho ba số thực dương a, b, c Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Chứng minh a2 3a2 + 8b2 +14ab b2 + 3b2 + 8c2 +14bc + Facebook: LyHung95 c2 ≥ (a + b + c) 3c2 + 8a2 +14ca Bài 4: [ĐVH] Cho a, b, c >0 thoả mãn: ab + bc + ca = Chứng minh a + a2 + b + b2 c + + c2 ≤ Bài 5: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương thay đổi thoả mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 b2 c2 + + b + c + bc a + c + ac a + b + ab Bài 6: [ĐVH] Cho ba số x, y, z > thoả x + y + z = xyz Tìm GTLN biểu thức A = x y z + + x + yz y + xz z + xy Bài 7: [ĐVH] Cho a, b, c >0, abc = Tìm GTLN biểu thức P = 1 + + 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + Bài 8: [ĐVH] Cho a ,b, c > a + b + c = Chứng minh ab + 2c2 + 2c + cb + 2a2 + Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c > thỏa mãn + ac + 2b2 + 2b ≥ ab + bc + ac 1 + + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c Chứng minh abc ≤ Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia!