02 BDT co si p3 BG

Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] DẠNG KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI Điểm rơi bất đẳng thức giá trị đạt biến dấu “=” bất đẳng thức xảy Trong bất đẳng thức dấu “=” thường xảy trường hợp sau: Các biến có giá trị Khi ta gọi toán có cực trị đạt tâm Khi biến có giá trị biên Khi ta gọi toán có cực trị đạt biên Căn vào điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức ta xét kỹ thuật chọn điểm rơi trường hợp Ví dụ 1: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh rằng: a + 2b + b + 2c + c + 2a ≤ 33 Lời giải: Phân tích: Do biểu thức cho biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy khi: a + 2b =  a = b = c = ⇒ b + 2c = c + 2a =  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 (a + 2b ) + + + a + 2b = (1) a + 2b = 3 (a + 2b ).3.3 ≤ 3 9 33 + b + 2c (2) b + 2c ≤ 33 + c + 2a (3) c + 2a ≤ 33 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 18 + 3(a + b + c ) a + 2b + b + 2c + c + 2a ≤ = 33 (đpcm) 3 Ví dụ 2: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = (*) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a + b + c Lời giải: Phân tích: Sự chênh lệch số mũ biểu thức a + b + c a + b + c gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc a + b + c Nhưng ta cần áp dụng cho số số nào? Căn vào bậc biến số a, b, c biểu thức (số bậc giảm lần) ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a , b c với số dương tương ứng khác để làm xuất a, b c Do a, b, c dương có vai trò nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ a = b = c , từ (*) ta có a = b = c = Mặt khác dấu “=” bất đẳng thức Cauchy xảy khi số tham gia Khi ta có lời giải sau: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: a ta có: Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 1 ≥ a = a (1) Dấu “=” xảy ⇔ a = ⇔ a = 9 Tương tự: b2 + ≥ b (2) Dấu “=” xảy ⇔ b = 3 c2 + ≥ c (3) Dấu “=” xảy ⇔ c = 3 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 2 a + b + c + ≥ (a + b + c ) = ⇒ a + b + c ≥ 3 3 Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c = Vậy GTNN A Ví dụ 3: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa ab + bc + ca = CMR: a + b + c ≥ Lời giải: a2 + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a + b + ≥ 33 a 3b = 3ab (1) ; b + c + ≥ 3bc (2) ; c + a + ≥ 3ca (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a + b + c + ≥ 3(ab + bc + ca ) ( ( ) ) ⇔ a + b + c + ≥ 3.3 3 ⇔ a + b + c ≥ (đpcm) Ví dụ 4: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c a2 b2 c2 a+b+c Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ 2b + c 2c + a 2a + b Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 2b + c a 2b + c 2a + ≥2 = (1) ; 2b + c 2b + c b2 2c + a 2b c2 a + b 2c + ≥ (2) ; + ≥ (3) 2c + a 2a + b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a2 b2 c2 3(a + b + c ) 2(a + b + c ) + + + ≥ 2b + c 2c + a 2a + b 2 a b c a+b+c ⇒ + + ≥ (đpcm) 2b + c 2c + a 2a + b Lưu ý: Trong toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp Ví dụ: Đối với bất đẳng thức cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy a = b = c a a 1 Khi = = , ta chọn a a b a Đối với bất đẳng thức cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy a = b = c a2 a2 a 2b + c = = , muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để làm mẫu ta cộng thêm Khi 2b + c 2a + a 2b + c 2a + a a Chọn mẫu số = = 9 Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 5: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c ab bc ca 11 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥  + +  c (a + b ) a (b + c ) b (c + a )  a b c  Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ab a+b ab a+b + ≥2 = (1) c c (a + b ) 4ab c (a + b ) 4ab bc b+c ca c+a + ≥ (2) ; + ≥ (3) 2 a (b + c ) 4bc a b (c + a ) 4ca b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: ab bc ca a+b b+c c+a 1 + + + + + ≥ + + 4bc 4ca a b c c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) 4ab ab bc ca 1 1 1 1 ⇔ + + + + + + + + ≥ + + c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) 4b 4a 4c 4b 4a 4c a b c ab bc ca 11 1 ⇒ + + ≥  + +  (đpcm) c (a + b ) a (b + c ) b (c + a )  a b c  Ví dụ 6: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa abc = a3 b3 c3 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ (1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 1+ b 1+ c a3 1+ b 1+ c + + ≥ 33 = a (1) ; (1 + b )(1 + c ) (1 + b )(1 + c ) 8 b3 1+ c 1+ a + + ≥ b (2) ; (1 + c )(1 + a ) c 1+ a 1+ b + + ≥ c (3) (1 + a )(1 + b ) 8 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a3 b3 c3 3 + + + (a + b + c ) + ≥ (a + b + c ) (1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) 4 a3 b3 c3 3 3 + + ≥ (a + b + c ) − ≥ abc − = (1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) 4 (đpcm) ⇒ Ví dụ 7: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c a + b3 b3 + c3 c3 + a Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ 2(a + b + c ) ab bc ca Lời giải: a + b3 b3 + c3 c3 + a a b b c c a + + = + + + + + ab bc ca b a c b a c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Ta có: a2 a2 b2 b2 +b ≥ b = 2a (1); + a ≥ 2b (2) ; + c ≥ 2b (3) ; b b a c Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 c2 c2 a2 + b ≥ 2c (4) ; + a ≥ 2c (5) ; + c ≥ 2a (6) b a c Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được: a b2 b2 c2 c2 a2 + + + + + + 2(a + b + c ) ≥ 4(a + b + c ) b a c b a c a2 b2 b2 c2 c2 a ⇒ + + + + + ≥ 2(a + b + c ) b a c b a c a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 + + ≥ 2(a + b + c ) (đpcm) ⇒ ab bc ca Ví dụ 8: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c a b2 c2 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ + + a b c b c a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 1 a2 1 b2 1 c2 1 3 + + ≥ = (1) ; + + ≥ (2); + + ≥ (3) c3 b b c a3 c c a b3 a a b3 a a b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a2 b2 c2  1 1  1 1 + + + 2 + +  ≥ 3 + +  b c a a b c a b c 2 a b c 1 ⇒ + + ≥ + + (đpcm) a b c b c a Ví dụ 9: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c a3 b3 c3 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ a2 + b2 + c2 b c a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 a3 a3 a3 + + b ≥ 33 b = 3a (1) ; b b b b 3 b b c3 c3 + + c ≥ 3b (2) ; + + a ≥ 3c (3) c c a a Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1), (2) (3) ta được:  a b3 c3  2 + +  + a + b + c ≥ a + b + c c a  b ( ⇒ ) ( ) a3 b3 c3 + + ≥ a + b + c (đpcm) b c a Ví dụ 10: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c a4 b4 c4 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ a+b+c bc ca ab Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a4 a4 + b + c + c ≥ b.c.c = 4a (1) bc bc b4 + c + a + a ≥ 4b (2) ca Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 c4 + a + b + b ≥ 4c (3) ab Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a4 b4 c4 + + + 3(a + b + c ) ≥ 4(a + b + c ) bc ca ab a4 b4 c4 ⇒ + + ≥ a + b + c (đpcm) bc ca ab Ví dụ 11: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = a3 b3 c3 Chứng minh rằng: + + ≥ b+c c+a a+b Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 a (b + c ) a a (b + c ) + ≥2 = a (1) ; b+c b+c b3 b(c + a ) c3 c (a + b ) + ≥ b (2) ; + ≥ c (3) c+a a+ b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: ab + bc + ca a3 b3 c3 + + + ≥ a + b + c (1' ) b+c c+a a+b Mặt khác ta có: a m + n + b m + n + c m + n ≥ a m b n + b m c n + c m a n m = ta được: Chọn  n =  a + b + c ≥ ab + bc + ca a + b + c ab + bc + ca ≥ (2' ) 2 Cộng theo vế bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được: a3 b3 c3 ab + bc + ca a + b + c ab + bc + ca ⇒ + + + + ≥ a2 + b2 + c2 + b+c c+a a+b 2 3 2 a b c a +b +c ⇒ + + ≥ = (đpcm) b+c c+a a+b 2 ⇒ Ví dụ 12: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c a5 b5 c5 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ a + b + c b c a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a5 a5 + ab ≥ ab = 2a (1) ; 2 b b b c5 + bc ≥ 2b (2) ; + ca ≥ 2c (3) c2 a2 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a5 b5 c5 + + + ab + bc + ca ≥ a + b + c (1' ) b c a Mặt khác ta có: a m + n + b m + n + c m + n ≥ a m b n + b m c n + c m a n ( ) Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 m = ta được: Chọn  n = a + b + c ≥ ab + bc + ca (2' ) Cộng theo vế bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được: a5 b5 c5 + + + ab + bc + ca + a + b + c ≥ a + b + c + ab + bc + ca 2 b c a 5 a b c5 ⇒ + + ≥ a + b + c (đpcm) b c a ( ) Ví dụ 13: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c a3 b3 c3 + + ≥ a2 + b2 + c2 Chứng minh bất đẳng thức sau: a + 2b b + 2c c + 2a Lời giải: ( ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 a (a + 2b ) a a (a + 2b ) 2 + ≥2 = a (1) ; a + 2b a + 2b 3 b c b(b + 2c ) 2 c(c + 2b ) 2 + ≥ b (2) ; + ≥ c (3) b + 2c c + 2b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a3 b3 c3 2 + + + a + b + c + (ab + bc + ca ) ≥ a + b + c a + 2b b + 2c c + 2a 9 3 3 a b c + (ab + bc + ca ) ≥ a + b + c (1' ) ⇔ + + a + 2b b + 2c c + 2a 9 Mặt khác ta có: a m + n + b m + n + c m + n ≥ a m b n + b m c n + c m a n m = Chọn  ta được: n = ( ) ( ( ) ) a + b + c ≥ ab + bc + ca 2 ⇒ a + b + c ≥ (ab + bc + ca ) (2' ) 9 Cộng theo vế bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được: a3 b3 c3 2 + + + (ab + bc + ca ) + a + b + c ≥ a + b + c + (ab + bc + ca ) a + 2b b + 2c c + 2a 9 9 3 a b c ⇒ + + ≥ a + b + c (đpcm) a + 2b b + 2c c + 2a ( ) ( ( ) ( ) ) Ví dụ 14: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c b+c c+a a+b 2 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ + + a b c a2 b c Lời giải: b+c b+c 4 + ≥2 = (1) ; 2 b+c a a b+c a c+a 4 a+b 4 Hoàn toàn tương tự ta có: + ≥ (2) ; + ≥ (3) 2 c+a b a+b c b c Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: b+c c+a a+b 4 4 4 + + + + + ≥ + + (1' ) a+b b+c c+a a b c a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 1 4 + ≥2 = ≥ (2' ) ; a b a b ab a + b 1 1 + ≥ (3' ) ; + ≥ (4' ) b c b+c c a c+a Cộng theo vế bất đẳng thức (1’), (2’), (3’) (4’) ta được: b+c c+a a+b 4 2 4 4 4 + + + + + + + + ≥ + + + + + a+b b+c c+a a b c a b c a+b b+c c+a a b c b+c c+a a+b 2 ⇒ + + ≥ + + (đpcm) a b c a b c Mà ta có: Ví dụ 15: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c a b 4c Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ a + 3b b c a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 a2 b2 4c +b ≥ b = 2a (1); + 4c ≥ 4b (2) ; + a ≥ 4c (3) b b c a Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1), (2) (3) ta được: a b 4c + + + a + b + 4c ≥ 2a + 4b + 4c b c a a b 4c ⇒ + + ≥ a + 3b (đpcm) b c a Dấu “=” bất đẳng thức xảy a = b = 2c Ví dụ 16: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c a2 b2 16c Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ (64c − a − b ) b+c c+a a+b Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 4(b + c ) 4a b2 4(c + a ) 4b 16c + ≥ (1); + ≥ (2) ; + (a + b ) ≥ 8c (3) b+c c+a a+b Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1), (2) (3) ta được: a2 b2 16c 13 + + + (a + b ) + c ≥ (a + b ) + 8c b+c c+a a+b 9 2 a b 16c ⇒ + + ≥ (64c − a − b ) (đpcm) b+c c+a a+b Ví dụ 17: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c a b c 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ + + b c a a b c Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a a b c + ≥ 2 = (1) ; + ≥ (2); + ≥ (3) 2 b a b a b c b c a2 c a Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a b c 1 2 + + + + + ≥ + + a b c a b c b c a Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a b c 1 + + ≥ + + (đpcm) b c a a b c Ví dụ 18: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = CMR: a + b + c ≥ Lời giải: ⇒ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: số a số 1, ta có: 3a + ≥ 55 a 15 1.1 = 5a (1) Tương tự: 3b + ≥ 5b (2) ; 3c + ≥ 5c (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: ( a + b5 + c ) + ≥ ( a + b3 + c ) ⇔ ( a + b5 + c5 ) + ≥ 5.3 ⇔ a + b + c ≥ (đpcm) Ví dụ 19: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa a b + b c + c a = CMR: a + b + c ≥ Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: số a , số b số 1, ta có: 3a + 3b + ≥ 77 a 21 b 211 = 7a 3b (1) Tương tự: 3b + 3c + ≥ 7b c (2) ; 3c + 3a + ≥ 7c a (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: ( a + b + c ) + ≥ ( a 3b3 + b3c3 + c3 a ) ⇔ ( a + b + c ) + ≥ 7.3 ⇔ a + b + c ≥ (đpcm) Ví dụ 20: [ĐVH] Cho số thực dương a, b CMR: a + b + ≥ 2a + 2b + ab Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a + ≥ a = a (1); b + ≥ 4b (2) ; a + b ≥ 2ab (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 2a + 2b + ≥ 4a + 4b + 2ab ⇔ a + b + ≥ 2a + 2b + ab (đpcm) Ví dụ 21: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c CMR: a + b + c ≥ a bc + b ca + c ab Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: số a ,1 số b số c ta có: 4a + b + c ≥ 66 a 12 b c = 6a bc (1) Tương tự: 4b + c + a ≥ 6b ca (2) ; 4c + a + b ≥ 6c ab (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 6(a + b + c ) ≥ a bc + b ca + c ab ( ⇔ a +b +c ≥ a 3 bc + b ) ca + c ab (đpcm) Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia!