BĐT Cô Si

BÊt ®¼ng thøc C« Si vµ øng dông I. BÊt ®¼ng thøc C« Si 1. BÊt ®¼ng thøc C« Si víi 2 sè kh«ng ©m. Víi mäi 2 sè thùc kh«ng ©m a 1 ,a 2 ta cã : 1 2 1 2 2 .a a a a+ ≥ hay 2 1 2 1 2 . 2 a a a a +   ≤  ÷   DÊu b»ng x¶y ra  a 1 = a 2 2. BÊt ®¼ng thøc C« Si víi 3 sè kh«ng ©m. Víi mäi 3 sè thùc kh«ng ©m a 1 ,a 2 , a 3 ta cã : 3 1 2 3 1 2 3 3 . .a a a a a a+ + ≥ hay 3 1 2 3 1 2 3 . . 3 a a a a a a + +   ≤  ÷   DÊu b»ng x¶y ra  a 1 = a 2 = a 3. II. ứng dụng: ( Vận dụng bất đẳng thức Cô Si ) 1. Chứng minh bất đẳng thức : Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có : 3 3 ) 2. a b A ab b a + Đáp án : A)áp dụng bất đẳng thức Cô Si với 2 số thực dng: 3 a ; b 3 b ; a Ta có : 3 3 3 3 2. . 2 a b a b ab b a b a + = ) 3 a b c B b c a + + Dấu bằng xảy ra 3 a b = 3 b a b a <=> = Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có : Đáp án : B)áp dụng bất đẳng thức Cô Si với 3 số thực dng: ; a b ; b c ; c a Ta có : 3 3. . . 3 a b c a b c b c a b c a + + = ) 3 a b c B b c a + + Dấu bằng xảy ra a b = b c = c a a = b = c Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có : bc ca ab + + a + b + c a b c Đáp án áp dụng bất đẳng thức Cô Si với 2 số dương bc ; a ca b Ta có : 2. . 2 2 bc ca bc ca bc ca c c a b a b a b + = + (1) Tương tự : 2 ca ab a b c + (2); 2 ab bc b c a + (3); Cộng (1), (2) và (3) được : 2.( ) 2( ) bc ca ab a b c a b c + + + + bc ca ab a b c a b c <=> + + + + 2.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ( nhá nhÊt ) cña mét biÓu thøc. a) C¸c b­íc t×m gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN) cña mét biÓu thøc A(x) víi x thuéc D: * Chøng minh ( ) , .A x M x D≤ ∀ ∈ * Chøng minh tån t¹i 0 : ( )x D A x M∈ = * KÕt luËn GTLN cña A(x) lµ M. b) C¸c b­íc t×m gi¸ trÞ lín nhÊt (GTNN) cña mét biÓu thøc A(x) víi x thuéc D: * Chøng minh ( ) , .A x m x D≥ ∀ ∈ * Chøng minh tån t¹i 0 : ( )x D A x m∈ = * KÕt luËn GTNN cña A(x) lµ m. Bài 3 : Tìm GTNN của biểu thức : 2 2 1 a)f(x) = x + , x Với x > 0 2 2 b)f(x) = x + , x Với x > 0 Đáp án : a) áp dụng bất đẳng thức Cô Si với 2 số dương : 4 1 1x x= <=> = <=> = 2 2 1 x x Ta có : 2 2 1 2. . 2x x = 2 2 1 f(x) = x + x Dấu bằng xảy ra Vậy GTNN của f(x) là 2 ; 2 2 1 x , x 2 2 b)f(x) = x + , x Với x > 0 2 2 3 2 1 1 1 1 3. . . 3x x x x x x = + + = 2 f(x) = x + x áp dụng bất đẳng thức Cô Si với 3 số dương : 2 1 1 ; ;x x x Ta có : Dấu bằng xảy ra 2 2 1 1 1 1x x x x x x = = <=> = <=> = Vậy GTNN của f(x) là 3 Bµi 3 : T×m GTLN cña biÓu thøc : 2 ) ( ) (1 2 ).a f x x x= − , víi 0 < x < 1/2 2 ) ( ) (1 )b f x x x= − , víi 0 < x < 1 Bài 3 : Tìm GTLN của biểu thức : 2 ) ( ) (1 2 ).a f x x x= , với 0 < x < 1/2 Đáp án : a) áp dụng bất đẳng thức Cô Si với 3 số dương 1-2x;x;x ta có : ữ 3 2 1- 2x + x + x 1 (1- 2x).x = (1 - 2x).x.x = 3 27 Dấu bằng xảy ra 1-2x = x =x 1-2x = x x=1/3. Vậy GTLN của f(x) là 1/27 [...]... ra x=x=2-2x x = 2-2x x=2/3 Vậy GTLN của f(x) là 4/27 Một số kĩ năng cần rèn luyện qua bài học : - Vận dụng được bất đẳng thức Cô Si để chứng minh bất đẳng thức, biết cách chọn các số thực một cách linh hoạt tuỳ vào tứng bài tập cụ thể - Vận dụng được bất đẳng thức Cô Si để tìm GTLN và GTNN thông qua đó làm quen với 2 khái niệm này Bài tập : Cho x,y,z >0 chứng minh : 2 2 2 x y z x y z + 2+ 2 + + . thức Cô Si để chứng minh bất đẳng thức, biết cách chọn các số thực một cách linh hoạt tuỳ vào tứng bài tập cụ thể. - Vận dụng được bất đẳng thức Cô Si để. BÊt ®¼ng thøc C« Si vµ øng dông I. BÊt ®¼ng thøc C« Si 1. BÊt ®¼ng thøc C« Si víi 2 sè kh«ng ©m. Víi mäi 2 sè thùc kh«ng ©m