Bài giảng Chuyên đề BĐT Cô-si

I. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân VD1: CMR: (a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) 8a 2 b 2 c 2 a,b,c Bài toán nay thờng gặp sai lầm sau: Sử dung kết quả: x 2 +y 2 2xy. Do đó: a 2 + b 2 2ab b 2 + c 2 2bc c 2 + a 2 2ac suy ra (a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) 8a 2 b 2 c 2 Lời giải đúng : a 2 + b 2 2ab b 2 + c 2 2bc c 2 + a 2 2ac suy ra (a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) 8a 2 b 2 c 2 =8 a 2 b 2 c 2 . VD2: CMR: Giải Ta có: (ĐPCM) VD3: Cho a,b,c,d 0 và a+b+c+d=1 CMR: 81 1 abcd Giải Từ gt ta suy ra: = Tơng tự ta có: + + + + + + dcba 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )( )( ) 3 111 3 111 dcb bcd d d c c b b +++ + + + + + +++ + +++ + +++ + +++ + 3 3 3 3 )1)(1)(1( 3 1 1 )1)(1)(1( 3 1 1 )1)(1)(1( 3 1 1 )1)(1)(1( 3 1 1 cba abc d dba abd c dca acd b dcb bcd a 28 )(64)( baabba ++ ( ) ( ) [ ] 2224 4 4 4 2 8 )(64)(2.2 )2).((22 )( baabbaab abbaabba baba +=+= +++= = +=+ Nh©n vÕ theo vÕ ta ®îc: Suy ra: (§PCM) Chóng ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n trªn: VD4: Cho CMR: Vd5: Cho: CMR: Gi¶i Ta cã: VT= (§PCM) Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t: VD6: Cho CMR: VD7: CMR: ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) dcba abcd dcba ++++ ≥ ++++ 1111 81 1111 1 81 1 ≥ abcd n n n n aaa n aaa aaa )1( 1 . 1 1 1 . 1 1 1 1 0, .,, 21 21 221 − ≤      −≥ + ++ + + + > 8 111 1 0,, ≥       −       −       −    =++ > c c b b a a cba cba 8 2 . 2 . 2 1 . 1 . 1 =≥ +++ = −−− c ab b ca a bc c ba b ac a cb c c b b a a ( ) n n n n n na a a a a a aaa aaa 1 1 . 11 1 . 0, .,, 2 2 2 1 21 21 −≥         −         −         −    =+++ > ( ) 0,,8)1()1)(1(1 3 1 3 3 3 ≥∀≥+≥+++≥       ++ + cbaabcabccba cba 03 )1)(( 4 2 > + + ba bba a II.Kỹ thuật tách nghịch đảo Kỹ thuật tách nghịch đảo đó là kỹ thuật tách nghịch đảo phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TB nhân thì các phần chứa biến bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số. VD1: CMR: Giải Vì nên a và b cùng dấu. Do đó: VD2: CMR: Giải VD3: CMR: Giải Ta có: (ĐPCM) VD4: CMR: Giải Ta có: (PCM) VD5: CMR: 02 + ab a b b a 1. = a b b a 2.2 =+=+ a b b a a b b a a b b a 2 1 2 2 2 + + a a 2 1 1 12 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + ++= + ++ = + + a a a a a a a a = > + 1 22 22 ab ba ba ba 03 )( 1 >> + ba bab a 3 )( 1 .).(3 )( 1 )( )( 1 3 = ++= + bab bba bab bba bab a = += += + = + 22 2 ).(2 2 )( 2 )( 2)( 222 ba ba ba ba ba ab ba ba abba ba ba == + ++ + + + + + += + + 3141 )1)(( 4 ) 2 1 )( 2 1 )((4 1 )1)(( 4 2 1 2 1 )( )1)(( 4 4 2 22 bba bb ba bba bb ba bba a Giải Ta có: (ĐPCM) Ta có thể tổng quát bài toán này: VD6: Cho CMR: Giải Ta có: VT= (ĐPCM) III. kỹ thuật đánh giá từ tb nhân sang tb cộng VD1: CMR: (1) Giải Ta có: (1) Theo BĐT Cô si ta có: 2)1( )1( 13221 1 21 2)1( ) .()()( 1 10 . + + + >>>> kn kn nn kk n n k kn aaaaaaa a Zkaaa [ ] 2)1( )1( 2)1( )1( )( 13221 113232 2121 13221 13221 2)1( 1 2)(1( ) .()()( 1 )) .()(( 1 )( .)()( + + + = + + ++ ++ ++ + ++ += +++++ kn kn kn kn siCo k nn kk n hangsok nnnn hangsokhangsok n nnn nnn k kn k kn aaaaaaa k aa k aa k aa k aa k aa k aa a aaaaaaa aaaaaaa ))(( dbcacdab +++ 1 ))(())(( ++ + ++ dcba cd dbca ab 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + = + + + + + + + db db ca ca db d ca b db c ca a VT 3 3 )1)(1)(1(1 ++++ cbaabc VD2: CMR: (1) Gi¶i Ta cã: (1) Theo B§T C« si ta cã: (§PCM) Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n nµy: VD3:CMR: (1) Gi¶i Ta cã: (1) Theo B§T C« si ta cã: (§PCM) VD4: CMR: Gi¶i Ta cã: Theo B§T C« si ta cã: 1 )1)(1)(1( 1.1.1 )1)(1)(1( )1)(1)(1(1.1.1 33 3 33 ≤ +++ + +++ ⇔ +++≤+⇔ cbacba abc cbaabc ⇒=       + + + + + + + + =       + + + + + +       + + + + + ≤ 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1113 1 c c b b a a cbac c b b a a VT 0, .,,,, .,,)) .()(( 212122112121 ≥∀+++≤+ nn n nn n n n n bbbaaababababbbaaa 1 )) .()(( . )) .()(( . 2211 21 2211 21 ≤ +++ + +++ ⇔ n nn n n nn n bababa bbb bababa aaa 1. 1 . 1 . 1 . 1 22 22 11 11 22 2 11 121 ==         + + ++ + + + + + =         + ++ + + + +       + ++ + + + ≤ n nba ba ba ba ba ba n ba b ba b ba b nba a ba a ba a n VT nn nn nn nn Nn nn nn ∈≤∀≤+ −− 31 1 ! 1 11 1 11 . 3 2 3 1 2 1 2 1 1 1 1 . 4 3 3 2 2 1 1 11 . 3 1 2 1 1 1 1 1 . 4 3 . 3 2 . 2 11 3 1 . 2 1 1 1 ! 1 1 1 ! 1 11 11 11 =             − +++       ++       + − = =       − ++++ − +       +++ − ≤ ≤ − +⇔ ≤+⇔≤+ −− −− −− n n nn n n nnn VT n n n nn nn nn nn nn IV.kỹ thuật thêm hằng số Để sử dụng đợc BĐT Cô si từ TB nhân sang TB cộng ta cân nhân thêm các hằng số để làm mất dấu căn thức, hoặc để khử biến số. VD1: CMR: Giải Ta có: Cộng vế theo vế ta đợc: (ĐPCM) VD2: Cho CMR Giải + VD3: Cho x,y > 0. Tìm: Giải Ta có: 1,11 + baababba 22 1)1( .1).1(1 22 1)1( .1).1(1 aba babab abb ababa = + = = + = 222 11 ababab abba =++ 6 1 0,, +++++ =++ accbba cba cba ++ +=+ ++ +=+ ++ +=+ 2 3 2 )( . 2 3 3 2 ).( 2 3 2 3 2 )( 2 3 3 2 ).( 2 3 2 3 2 )( . 2 3 3 2 ).( 2 3 ac acac cb cbcb ba baba 63. 2 3 2 2)(2 . 2 3 == +++ +++++ cba accbba 2 3 )( ),inf( xy yx yxM + = 4 27 ),inf( 4 27 )( 27 4 )()( ),( )( 27 4 )( 3 4 16 1 3 224 16 1 )2)(2)(4( 16 1 3 3 2 3 3 33 2 = = + + + = += += ++ = yxM yx yx xy yx yxfraSuy yxyx yyx yyxxy Dấu bằng xảy ra khi và chi khi 4x=2y=2y hay y=2x. VD4: Cho x,y,z > 0. Tìm Giải Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 6x=3y=2z Tổng quát ta có bài toán sau: Cho x 1 ,x 2 ,x n > 0. Tìm VD5: CMR: Giải Với n=1,2 ta thấy BĐT (1) đúng. Với n 3 ta có: (ĐPCM) Ta có bài toán tơng tự: VD6: CMR: Giải Với n=1,2,3,4 ta thấy (1) đúng Với n > 4 ta có: 32 6 )( ),,inf( zxy zyx zyxM ++ = n n n n n xxx xxx xxxM . ) .( ), .,,inf( 2 21 21 22 21 +++ +++ = 432),,inf( 4323.2.6 )( ),,( )( 3.2.6 1 6 222336 3.2.6 1 )2)(2)(2)(3)(3)(6.( 2.3.6 1 23 32 6 6 23 32 6 33 32 32 = = ++ = ++ +++++ = zyxM zxy zyx zyxfraSuy zyxzxy zzzyyx zzzyyxzxy Nnn n n n >+< ,0)1( 2 1 += + < + +++++ = n n nn n nn n n nn nnn n son n son n 2 1 2)2(2 1 .11 1 1.1 12 12 Nnn n n n >+< ,0)1( 1 1 n n nn nn n son n son n 1 1 1 .1122 22 1 .1.1.2.2. 2 . 2 14 14 += +++++++ = VD7: CMR: Giải Ta có: Măt khác: Ta thấy đẳng thức không thể xảy ra nên ta có đpcm. V. kỹ thuật ghép đối xứng Các kỹ thuật thờng dùng: zxyzxyxyz zxyzxyzyx xzzyyx zyx xzzyyxzyx ))()(( 222 )()()()(2 222 = = + + + + + =++ +++++=++ VD1: CMR: 0 2 2 2 2 2 2 ++++ abc b c a b c a a c c b b a Giải Theo BĐT Cô si ta có: = + = + = + b c b c b a a c b a a c a b a b a c c b a c c b c a c a c b b a c b b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 1 . 2 1 . 2 1 nmnm n mnm 1 1 1 1 1 1 1 1 +< + +< + nn mn m m n mmm mmmm n mn m n m 1 1 )( 1 1 1 .11 1 1 . 1 1 1 1 1 .1.1. 1 1 . 1 1. 1 1 1 1 += + + = = ++++ +++ ++ + + + += + Cộng vế theo vế ta có: b c a b c a a c c b b a ++++ 2 2 2 2 2 2 VD2: CMR: 0,, 222333 ++=++ cbaabccabbcacba Giải Ta có: a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 +b 2 -ab) (a+b)(2ab-ab)=(a+b)ab Tơng tự ta có: b 3 +c 3 (b+c)bc c 3 +a 3 (c+a)ca Do đó: 2(a 3 +b 3 +c 3 ) (a+b)ab+(b+c)bc+(c+a)ca 2(a 3 +b 3 +c 3 ) a 2 b+c)+b 2 (c+a)+c 2 (a+b) abccabbca 222 222 ++ Suy ra abccabbcacba 222333 ++=++ VD3: Mọi tam giác ABC ta đều có: ++ + + cbacpbpap 111 2 111 Giải Ta có: 0 2 > + = acb ap , tơng tự ta có p-b > 0, p-c > 0. áp dung BĐT Cô si ta đợc: b apcp apcp apcp a cpbp cpbp cpbp c bpap bpap bpap 2 2 1 ))(( 111 2 1 2 2 1 ))(( 111 2 1 2 2 1 ))(( 111 2 1 = + + = + + = + + Cộng vế theo vế ta đợc ++ + + cbacpbpap 111 2 111 VI.kỹ thuật cặp nghịch đảo 3 số: Ta sử dung kết quả sau: 0,,9 111 )( > ++++ cba cba cba VD1: CMR: Mọi tam giác ABC ta đều có: rhhh cba 9 ++ Giải Ta có: 9 111 )(9 111 2 9 222 9 ++++ ++ ++++ cba cba cba p p S c S b S a S rhhh cba Điều nay đúng, vậy ta có điều phải chứng minh. VD2: CMR: 0,, 2 222 > ++ + + + + + cba cba ba c ac b cb a Giải Ta có: 2 3 )( 2 3 )( )( 2 3 111 )( 2 3 2 222 222 + + + + + ++ + + + + + ++ ++ + ++ + ++ + + ++ + ++ + ++ + + ++ + + + + + ba c ac b cb a cba ba c ac b cb a cba cba ba c c ac b b cb a a cba ba c c ac b b cb a a cba ba c ac b cb a ( ) ( ) ( ) [ ] 9 111 2 9 111 + + + + + +++++ + ++ + ++ + + accbba accbba ba c ac b cb a Theo VD1 ta thấy BĐT này đúng, do đó ta có (đpcm). VD3: CMR: 1,0,, 9 2 > ++ + + + + + mcba cbaba m ac m cb m baaccb Giải [...]... nào cho ta đợc một số kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si để chứng minh BĐT Từ những ví dụ đó học sinh sẽ có đợc một số đinh hớng khi chứng minh BĐT Đây là lần đầu tiên em viết một chuyên đề nên không thể tránh đợc sai sót, kính mong các thầy cô góp ý giúp em hoàn thiện hơn Tài liệu tham khảo: -Một số phơng pháp và kỹ thuật chứng minh BĐT (Trần Phơng)-NXB TP Hồ Chí Minh -Bộ đề tuyển sinh năm 1991-NXB Giáo dục . dụng BĐT Cô si để chứng minh BĐT. Từ những ví dụ đó học sinh sẽ có đợc một số đinh h- ớng khi chứng minh BĐT. Đây là lần đầu tiên em viết một chuyên đề nên. Tổng quát ta có bài toán sau: Cho x 1 ,x 2 ,x n > 0. Tìm VD5: CMR: Giải Với n=1,2 ta thấy BĐT (1) đúng. Với n 3 ta có: (ĐPCM) Ta có bài toán tơng tự: