40 bài toán tối ưu thực tế có lời giải chi tiết ( nguyễn minh đức )

40 BÀI TOÁN TỐI ƯU THỰC TẾ  TÀI LIỆU LUYỆN THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN  BÀI TẬP GIẢI CHI TIẾT PHẦN I: ĐỀ BÀI Câu 1: Cho nhôm hình vuông cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhôm bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x (cm), gập nhôm lại hình vẽ để hộp không nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn Đề Minh Họa Môn Toán - THPTQG 2017 A x = B x = C x = D x = Câu 2: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích toàn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ dm diện tích toàn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy hình trụ phải bao nhiêu? A dm π B dm 2π C dm 2π D dm π Câu 3: Khi nuôi cá thí nghiệm hồ, nhà sinh học thấy rằng: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ có cân nặng P = 960 - 20n (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? A 23 B 24 C 25 Câu 4: Cho nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm AB có độ dài không đổi Ta gập nhôm theo cạnh MN PQ vào phía đến AB DC trùng hình vẽ bên để hình lăng trụ khuyết đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ tạo thành lớn nhất? A x = 20 B x = 25 C x = 10 D x = 30 Câu 5: Bên phòng hình lập phương, ký hiệu sau ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh 4(cm) Người ta tiến hành trang trí nhà cách gắn dây lụa điểm M N theo thứ tự AC ( ) A ' B cho AM = A ' N = t ≤ t ≤ 2cm Biết dây lụa nhập từ nước nên đắt Gia chủ muốn chiều dài dây ngắn Hỏi độ dài ngắn sợi dây mà gia chủ dùng bao nhiêu? A x = B x = C x = 2 D x = D 26 Câu 6: Công ty mỹ phẩm cho mẫu sản phẩm dưỡng trắng da chống lão hóa mang tên Sakura với thiết kế khối cầu viên bi khổng lồ, bên khối trụ nằm phần để đựng kem dưỡng da (như hình vẽ) Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính R = (cm) Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn (nhằm thu hút khách hàng) A 16 2π cm3 B 48 2π cm3 C 32 2π cm3 D 24 2π cm3 Câu 7: Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2016, trường THPT Lê Quảng Chí có tổ chức cho học sinh lớp tham quan dã ngoại trời, số có lớp 12A Để có chỗ nghỉ ngơi trình tham quan dã ngoại, lớp 12A dựng mặt đất phẳng lều bạt từ bạt hình chữ nhật có chiều dài 12m chiều rộng 6m cách: Gập đôi bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh chiều rộng bạt cho hai mép chiều dài lại bạt sát đất cách x m (xem hình vẽ) Tìm x để khoảng không gian phía lều lớn nhất? A x = B x = 3 C x = D x = Câu 8: Cho hai vị trí A, B cách 615m, nằm phía bờ sông hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người là: A 569,5 m B 671,4 m C 779,8 m D 741,2 m Câu 9: Trong thực hành môn huấn luyện quân có tình chiến sĩ phải bơi qua sông để công mục tiêu phía bờ bên sông Biết lòng sông rộng 100m vận tốc bơi chiến sĩ nửa vận tốc chạy Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi mét để đến mục tiếu nhanh nhất, dòng sông thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ km theo đường chim bay chiến sĩ cách bờ bên sông 100m A 200 B 100 C 100 101 D 200 500 m Đáy hồ hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây hồ 500.000 đồng/m Hãy xác định kích thước hồ nước cho chi phí thuê nhân công thấp Chi phí là? Câu 10: Người ta cần xây hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp tích A 74 triệu đồng B 75 triệu đồng C 76 triệu đồng D 77 triệu đồng Câu 11: Một công ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2.000.000 đồng tháng hộ có người thuê tăng thêm giá cho thuê hộ 100.000 đồng tháng có hộ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao công ty phải cho thuê hộ với giá tháng A 2.225.000 B 2.100.000 C 2.200.000 D 2.250.000 Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng có đáy tam giác Thể tích hình lăng trụ V Để diện tích toàn phần hình lăng trụ nhỏ cạnh đáy lăng trụ là: A 4V B V C 2V D 6V Câu 13: Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích 3(m 3) Tỉ số chiều cao hố (h) chiều rộng đáy (y) Biết hố ga có mặt bên mặt đáy (tức mặt trên) Chiều dài đáy (x) gần với giá trị để người thợ tốn nguyên vật liệu để xây hố ga A B 1,5 C D 2,5 Câu 14: Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến đảo C Khoảng cách ngắn từ C đến B km Khoảng cách từ B đến A Mỗi km dây điện đặt nước 5000 USD, đặt đất 3000 USD Hỏi điểm S bờ cách A để mắc dây điện từ A qua S đến C tốn A 15 km B 13 km C 10 D 19 Câu 15: Khi kim loại làm nóng đến 600°C, độ bền kéo giảm 50% Sau kim loại vượt qua ngưỡng 600°C, nhiệt độ kim loại tăng thêm 5°C độ bền kéo giảm 35% có Biết kim loại có độ bền kéo 280MPa 600°C sử dụng việc xây dựng lò công nghiệp Nếu mức an toàn tối thiểu độ bền kéo vật liệu 38MPa, nhiệt độ an toàn tối đa lò công nghiệp bao nhiêu, tính theo độ Celsius? A 620 B 615 C 605 Câu 16: Có hai cọc cao 10m 30m đặt hai vị trí A, B Biết khoảng cách hai cọc 24m Người ta chọn chốt vị trí M mặt đất nằm hai chân cột để giăng dây nối đến hai đỉnh C D cọc (như hình vẽ) Hỏi ta phải đặt chốt vị trí mặt đất để tổng độ dài hai sợi dây ngắn A AM = 6m, BM = 18m B AM = 7m, BM = 17m C AM = 4m, BM = 20m D AM = 12m, BM = 12m D 610 Câu 17: Một học sinh vẽ hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn đường kính d, có cạnh trùng với đường kính hình tròn (như hình vẽ) Gọi x độ dài cạnh hình chữ nhật không trùng với đường kính Tính diện tích nửa hình tròn theo x, biết diện tích hình chữ nhật cho lớn A πx B π x C πx D 2π x Câu 18: Một kĩ sư thiết kế sân tập thể thao dạng hình chữ nhật ABCD diện tích 961m2 mở rộng thêm phần đất cho tạo thành đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm O giao điểm hai đường chéo AC BD Tính diện tích nhỏ (có thể đạt được) phần đất mở rộng (Xem hình vẽ bên) A 961π − 961 m B 1892π − 946 m C 1922π − 961 m D 480,5π − 961 m Câu 19: Tính chiều dài bé thang đơn vị m, để tựa vào tường mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4m, song song cách tường 0,5m kể từ tâm cột đỡ (xem hình vẽ, kết lấy đến chữ số thập phân) A 5,49m B 5,69m C 5,59m D 5,79m Câu 20: Một hạt ngọc trai hình cầu (S) bán kính R không đổi, bọc hộp trang sức dạng hình nón (N) ngoại tiếp mặt cầu (S) Khi chiều cao h bán kính đáy r hình nón (N) để hộp trang sức tích nhỏ nhất?  h = R A   r = R h = 3R B  r = R  h = R C   r = R  h = R D   r = R Câu 21: Trong thi, thử thách đặt là: BTC cấp cho bạn xe máy, có đoạn dốc tạo nên từ mặt phẳng thay đổi độ nghiêng từ gốc Một cảm biến quang học đặt sẵn độ cao định so với mặt đất hoạt động xe máy bạn đạt đến độ cao Biết xe máy lên dốc có độ nghiêng 30° đạt vận tốc 20 km/h nâng độ nghiêng thêm 4° vận tốc xe máy giảm 5km/h Hỏi để đạt đến độ cao đề sớm ta nên đặt mặt phẳng ban đầu có độ nghiêng bao nhiêu? A 30° B 45° C 60° D 90° Câu 22: Một miếng giấy hình chữ nhật ABCD với AB = x, BC = 2x đường thẳng Δ nằm mặt phẳng (ABCD), Δ song song với AD cách AD khoảng a, Δ điểm chung với hình chữ nhật ABCD khoảng cách từ A đến Δ lớn khoảng cách từ B đến Δ.Tìm thể tích lớn có khối tròn xoay tạo nên quay hình chữ nhật ABCD quanh Δ A 64π a 27 B 64π a C 63π a 27 D 64π 27 Câu 23: Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trước (m) thẳng hàng rào Ở người ta vận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào Diện tích lớn mảnh đất rào bao nhiêu? A 16 B 12 C D Câu 24: Một lọ nước hoa thương hiệu BOURJOIS thiết kế vỏ dạng nón tích V không đổi, phần chứa dung dịch nước hoa hình trụ nội tiếp hình nón Hỏi để chứa nhiều nước hoa tỷ số khoảng cách từ đỉnh hình nón đến mặt hình trụ chứa nước hoa với chiều cao hình nón bao nhiêu? A B C D Câu 25: Một bác nông dân có 60 000 000 đồng để làm rào hình chữ E dọc theo sông (như hình vẽ) để làm khu đất có hai phần để trồng cà chua Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông chi phí nguyên vật liệu 50 000 đồng mét, ba mặt hàng rào song song với chi phí nguyên vật liệu 40 000 đồng mét Tìm diện tích lớn đất rào được? A 120000m2 B 150000m2 C 100000m2 D 90000m2 Câu 26: Một học sinh giao thiết kế hộp thỏa mãn: Tổng chiều dài chiều rộng 12cm; tổng chiều rộng chiều cao 24cm Giáo viên yêu cầu học sinh phải thiết kế cho thể tích hộp lớn nhất, giá trị thể tích lớn bao nhiêu? A 600 B 843 C 384 D 348 Câu 27: Một công ty mỹ phẩm Pháp vừa cho mắt sản phẩm thỏi son mang tên BOURJOIS có dạng hình trụ có chiều cao h (cm), bán kính đáy r (cm), thể tích yêu cầu thỏi 20, 25π (cm3) Biết chi phí sản xuất cho thỏi son xác định theo công thức: T = 60000r2 + 20000rh (đồng) Để chi phí sản xuất thấp tổng (r + h) cm? A 9,5 B 10,5 C 11,4 D 10,2 Câu 28: Một bạn học sinh cắt lấy tờ giấy hình tròn (có bán kính R) cắt phần giấy có dạng hình quạt Sau bạn lấy phần giấy làm thành nón (như hình vẽ) Gọi x chiều dài dây cung tròn phần giấy xết thành nón hề, h r chiều cao bán kính của nón Nếu x = k.R giá trị k xấp xỉ để thể tích hình nón lớn A 3,15 B 4,67 C 5,13 D 6,35 Câu 29: Một nắp bình chứa rượu gồm phần dạng hình trụ, phần lại có dạng nón (như hình vẽ) Phần hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h, đường sinh 1,25m Phần hình trụ có bán kính đáy bán kính hình nón, h Kết (r + h ) xấp xỉ cm để diện tích toàn phần nắp lớn chiều cao A 427 B 381 C 166 D 289 Câu 30: Một mũ vải nhà ảo thuật gia gồm phần dạng hình trụ (có tổng diện tích vải S1 ) phần dạng hình vành khăn (có tổng diện tích vải S2 ) với kích thước hình vẽ Tính tổng (r + d) cho biểu thức P = 3S − S1 đạt giá trị lớn (không kể viền, mép, phần thừa) A 28,2 B 26,2 C 30,8 D 28,2 Câu 31: Một người lấy kim loại hình chữ nhật làm thành máng có tiết diện hình thang cân (như hình vẽ dưới) Hỏi góc tạo mặt bên mặt đáy nhỏ máng để tiết diện máng có diện tích cực đại A 150° B 135° C 120° D 145° Câu 32: Một kiến trúc sư muốn thiết kế mương dẫn nước dạng "Thủy động học" Diện tích tiết diện ngang mương dạng hình chữ nhật 40,5m Gọi a độ dài đường biên giới hạn tiết diện Hỏi người kiến trúc sư phải thiết kế mương dẫn nước có kích thước để a nhỏ nhất? A Chiều rộng 9m, chiều cao 4,5m B Chiều rộng 10m, chiều cao 4,05m C Chiều rộng 8,1m, chiều cao 5m D Chiều rộng 10,8m, chiều cao 3,75m Câu 33: Một người thợ mộc cần làm cổng nhà mà phía hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật Biết cổng có chu vi 1,9π + 8,8 (m) Bán kính hình bán nguyệt để diện tích cổng lớn A 2,5π + 5, ( m) π +4 B 1,9π + 8,8 ( m) π +4 C 1,5π + 9, ( m) π +4 D 2,1π + 5,1 ( m) π +4 Câu 34: Một bạn cắt bìa carton phẳng cứng đặt kích thước hình vẽ Sau bạn gấp theo đường nét đứt thành hộp hình hộp chữ nhật Hình hộp có đáy hình vuông cạnh a (cm), chiều cao h (cm) diện tích bìa 3m Tổng a + h để thể tích hộp lớn A 2 B 2 C 46,3 D Câu 35: Trong thi làm đồ dùng học tập trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác cách lấy mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh 5cm, cắt mảnh tôn theo tam giác cân AEB; BFC; CGD DHA; saư gò tam giác AEH; BEF; CFG; DGH cho đỉnh A; B; C; D trùng tạo thành khối tứ diện Thể tích lớn khối tứ diện tạo thành là: A 10 B 10 C 10 D 10 Câu 36: Một cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 400 km tới nơi sinh sản Vận tốc dòng nước km/h Giả sử vận tốc bơi cá nước đứng yên v km/h lượng tiêu hao cá t cho công thức E(v) = cv3t Trong c số cho trước; E tính Jun Vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng cá tiêu hao A km/h B km/h C 10 km/h D 12 km/h Câu 37: Người ta muốn làm cánh diều hình quạt cho với chu vi 8(dm) để diện tích hình quạt cực đại bán kính hình quạt dm? A B C D Câu 38: Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ mảnh tông hình tròn bán kính R dán hai bán kính OA OB hình quạt tròn lại với để phễu có dạng hình nón Gọi x góc tâm quạt tròn dùng làm phễu < x < π Tìm x để hình nón tích lớn A x = π B x = 2 π C x = π D x = π Câu 39: Cần phải đặt điện phía bàn hình tròn có bán kính 2(m) Hỏi phải treo độ cao h m để mép bàn nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C biểu sin α (α góc nghiêng tia sáng mép bàn; r khoảng cách từ đèn đến mép bàn r2 k số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng) thị công thức C = k A B C Câu 40: Một hành lang hai nhà có hình dạng lăng trụ đứng Hai mặt bên ABB ' A ' ACC ' A ' hai kính hình chữ nhật dài 20m rộng 5m Gọi x (m) độ dài cạnh BC Tìm x cho hình lăng trụ tích lớn A x = B x = 2 C x = D x = D PHẦN II: LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: + Gọi x (0 < x < 6) độ dài cạnh hình vuông bị cắt + Thể tích khối hộp tạo thành V = x ( 12 − x ) ( cm ) + Áp dụng BĐT AM-GM (Cauchy) cho số dương ta có: x ( 12 − x ) = 2.2 x ( − x ) ( − x ) ( 2x + − x + − x) ≤ 27 = 128 ( cm3 ) Dấu xảy x = − x ⇔ x = Chọn C Câu 2: + Đặt bán kính đáy, chiều cao lon sữa bò hình trụ r, h (đơn vị dm) + Theo đề ta có: hπ r = ⇔ h = (dm) π r2 + Diện tích toàn phần hình trụ nhỏ khi: S = 2π r + 2π rh nhỏ + Ta có: S = 2π r + 1 = 2π r + + ≥ 2π r = 3 2π r r r r Dấu "=" xảy khi: 2π r = 1 ⇔r= (dm) r 2π Chọn B Câu 3: + Cân nặng bầy cá sau vụ thu hoạch là: N = P.n = (960 – 20n)n (gam) + Để sau vụ thu hoạch nhiều cá ⇔ Ta cần tìm giá trị n cho N đạt giá trị lớn + Áp dụng BĐT AM - GM (Cauchy) cho số dương ta có: N = ( 960 − 20n ) n = 20n ( 48 − n ) ( n + 48 − n ) ≤ 20 = 11520 ( g ) Dấu "=" xảy n = 48 − n ⇔ n = 24 Chọn B Câu 4: + Ta có: AN = PD = x (cm, < x < 30) ⇒ NP = 60 – 2x (cm) + Thể tích hình lăng trụ tạo thành bằng: V = AB.S NPA  NP  = AB PA2 −  ÷ NP   = AB  60 − x  x2 −  ÷ ( 60 − x ) = 15 AB ( 30 − x ) x − 15 ( cm )   + Trong AB không đổi nên ta cần tìm x cho f ( x ) = ( 30 − x ) x − 15 đạt giá trị lớn f ( x ) = f ( 20 ) = 10 ⇒ x = 20 + Xét hàm số f ( x ) (15;30) ta max ( 15;30 ) (Hoặc thay trực tiếp đáp án A,B,C,D chọn giá trị x làm cho f(x) lớn nhất) Chọn A Câu 5: + Ta đưa phòng vào hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz cho O trùng B ' , trục Ox chứa A ' , trục Oy chứa C ' trục Oz chứa B + Khi đó, ta có: A(4;0;4); C(0;4;4); A ' (4;0;0); B(0;0;4) t t t t     M 4− ; ; ÷; N  − ;0; ÷ 2   2  2  t   t  − ÷ = t − 2t + 16 + Ta có: MN =  ÷ +  2   2 + Xét hàm số f ( t ) = t − 2t + 16 0;  ; Ta có: f ' ( t ) = 2t − 2; f ' ( t ) = ⇔ t = 2 ∈ 0;  ( ) ( ) f ( t) = + Tính được: f ( ) = 16; f 2 = 8; f = 16 ⇒ min 0;4  Vậy độ dài nhỏ MN   8=2 Chọn C Câu 6: + Các ký hiệu hình vẽ bên + Ta có: r = R − h = 24 − h 2 + Thể tích khối trụ bằng: V = π r h = π ( 24 − h ) h + Để thể tích V lớn ⇔ f ( h ) = ( 24 − h ) h lớn + Ta có: 2 1 ( 24 − h + 24 − h + 2h ) 2 f ( h) = ( 24 − h ) ( 24 − h ) 2h ≤ = 32 (Áp dụng BĐT Cauchy) 2 27 Dấu “=” xảy 24 − h = 2h ⇔ h = 2 + Từ suy ra: V ≥ 32 2π ( cm ) Chọn C Câu 7: + Xem khoảng không gian hình lăng trụ đứng + Khi thể tích hình lăng trụ tính bởi: x + 36 − x  x 2 V = 12 .x −  ÷ = 3x 36 − x ≤ = 54 2 2 Dấu "=" xảy ⇔ x = 36 − x ⇔ Chọn D Câu 8: + Gọi S điểm bờ sông DC + Tính được: DC = 6152 − ( 487 − 118 ) = 492 (m) + Đặt SD = x ( m ) ⇒ SC = 492 − x ( m ) với < x < 492 ( m ) + Đoạn đường người cần để hoàn thành công việc là: f ( x ) = 1182 + x + 487 + ( 492 − x ) + Áp dụng đánh giá a + b2 + c2 + d ≥ ( a + c) +(b+d) 2 với a, b, c, d ≥ Dấu "=" xảy a b = (quy ước mẫu tử 0) c d + Khi đó: f ( x ) ≥ ( 118 + 487 ) Dấu "=" xảy 118 x = ⇔ x ≈ 95,96 ( m ) 487 492 − x + ( x + 492 − x ) ≈ 779,8m + Vậy đoạn đường ngắn mà người 779,8m Chọn C Bình luận: Có thể xét hàm số f ( x ) để tìm GTNN f ( x ) với kết hợp máy tính cầm tay: Cụ thể: f ' ( x ) = x 118 + x 2 + − ( 492 − x ) 487 + ( 492 − x ) f ' ( x ) = ⇔ x ≈ 95,96 ⇒ f ( 95,96 ) ≈ 779,8 ( m ) , chức SOLVE nhẩm được: Câu 9: + Ký hiệu hình vẽ A,B vị trí người chiến sĩ (CS) mục tiêu tân công; H, K nằm hai bờ cho AHBK hình chữ nhật; M bờ HB để người CS cần bơi đến để bắt đầu chạy + Ta có: HB = AB − AH = 10002 − 1002 = 300 11 ( m ) ( ( )) + Đặt HM = x ( m ) x ∈ 0;300 11 ; Gọi v (m/s) vận tốc chạy người CS + Khi đó: - Người CS phải bơi đoạn AM = AH + HM = 1002 + x ( m ) ⇒ Thời gian người CS bơi là: tb = AM 1002 + x = ( s) vb v - Sau bơi, người CS cần chạy đoạn MB = HM − HM = 300 11 − x ( m ) MB 300 11 − x = ( s) vc v ⇒ Thời gian người CS chạy là: tc = + Tổng thời gian người CS công mục tiêu là: T = t1 + t = ( ) ( 300 11 1002 + x − x + v v ) + Đặt f ( x ) = 1002 + x − x với x ∈ 0;300 11 ⇒ Để T nhỏ f ( x ) phải nhỏ + Ta có: f ' ( x ) = 2x 1002 + x − 1; f ' ( x ) = ⇔ 1002 + x = x ⇔ x = 100 ( m)  100  Từ suy được: f ( x ) ≥ f  ÷  3 2 + Vậy người CS phải bơi đoạn AM = 100 + x = 200 ( m ) để đến mục tiêu nhanh Chọn A Câu 10: + Đặt chiều dài, chiều rộng, chiều cao hình hộp chữ nhật 2x; x; h (đơn vị m) + Theo đề ta có: x h = 500 250 ⇔ h = ( m) 3x + Để chi phí nhỏ diện tích xung quanh (khối hộp chữ nhật không nắp) phải nhỏ nhất, hay S = x + xh nhỏ + Ta có: 500 250 250  250  S = 2x + = 2x2 + + ≥ 3 2x2. ÷ = 150 ( m ) x x x x   + Vậy chi phí thuê nhân công thấp 150.500000 = 75000000đồng = 75 triệu đồng Chọn B Câu 11: + Gọi x (đồng) số tiền tăng thêm ⇒ Số hộ bị bỏ trống 2x (căn) 100000 + Số thu nhập tháng là: 2x  1 ( 2500000 + 2000000 )  T =  50 − ( 2500000 − x ) ( 2000000 + x ) ≤ ÷( 2000000 + x ) = 100000  50000 50000  Dấu "=" xảy 2500000 − x = 2000000 + x ⇔ x = 250000 + Vậy muốn có thu nhập cao công ty phải cho thuê hộ với giá 2250000 (đồng) Chọn D Câu 12: + Gọi a, h cạnh đáy, chiều cao lăng trụ + Ta có: V = h a2 4V ⇔h= a + Diện tích toàn phần hình lăng trụ S = + Áp dụng BĐT AM-GM (Cô-si) ta có: S = a2 a 3V + 3ha = + a  a 2V 2V  a 3V 4V + = 3 + + ≥ 3.3 ÷ a a a   a 2V Dấu "=" xảy khi: = ⇔ a = 4V a Chọn A Câu 13:  12 12  h = ⇔ h = ⇔ h = xh x h = y x  ⇒ ( *) + Theo đề ta có:   xyh =   y = h = x + Người thợ sử dụng nguyên liệu tổng diện tích mặt bên đáy nhỏ nhất, hay S = xh + 2hy + xy đạt giá trị nhỏ + Từ (*), ta có: S = 12 x + 12 3 + x= + x x x x + Áp dụng BĐT AM-GM (Cô-si), ta được: 2 9  9 69  27 6 S= + x+ x ≥ 3  x = = ÷ ÷ ÷  ÷ x 4 x    Dấu “=” xảy khi: = x ⇔ x = (Gần với giá trị B 1,5) x Chọn B Câu 14: + Đặt BS = x (0 < x < 4) CS = + x + Khi đó:   SA = − x + Chi phí bỏ là: f ( x ) = 5000 + x + 3000 ( − x ) ( USD ) + Ta cần tìm x ∈ ( 0; ) cho f ( x ) nhỏ + Xét hàm số f ( x ) ( 0; ) , ta có: f '( x) = 5000 x 1| x f '( x) = ⇔ − 3000 ( 1000 x − + x + x2 ) = ⇔ 1+ x  x ≥ = 5x ⇔  ⇔x= 2 9 ( + x ) = 25 x + Từ bảng biến thiên ta có f ( x ) ( 0; ) : x −∞ f '( x) − f ( x) + f ( 0) f ( 4) 16000 + Từ bảng biến thiên ta có f ( x ) đạt giá trị nhỏ 16000 x = + Vậy điểm S bờ cần tìm cách A khoảng − 13 = ( km ) 4 Chọn B Câu 15: + Ở 600°C độ bền kéo kim loại 280 MPa = 140 MPa + Theo đề ra, sau n lần tăng 5°C độ bền kéo lại 140 ( 65% ) + Khi đó: 140 ( 65% ) ≥ 38 ⇔ ( 65% ) ≥ n n 19 19 ⇔ n ≤ log 65% ≈3 70 70 n +∞ + Vậy nhiệt độ tối đa bằng: 600°C+3.5°C = 615°C Chọn B Câu 16: + Đặt AM = x ⇒ x ∈ ( 0; 24 ) Suy ra: BM = 24 − x + Tổng độ dài sợi dây cần dùng bằng: L = 102 + x + 302 + ( 24 − x ) + Ta có BĐT a + b2 + c2 + d ≥ Dấu “=” xảy ⇔ + Khi đó: L ≥ ( a + c) +(b+d) với a, b, c, d ≥ a b = (quy ước mẫu tử 0) c d ( 10 + 30 ) Dấu "=" xảy ⇔ 2 + ( x + 24 − x ) = 34 10 x = ⇔ x = ⇒ AM = 6; BM = 18 30 24 − x Chọn A Câu 17: + x độ dài cạnh hình chữ nhật không trùng với đường kính hình tròn ⇒ độ dài cạnh lại hình chữ nhật d  ÷ − x 2 d  x +  ÷ − x2 d (Áp dụng BĐT Cauchy) + Diện tích hình chữ nhật d  2 S1 = x  ÷ − x ≤ = 2 2 d Dấu "=" xảy x =  ÷ − x ⇔ d = x 2 d  π ÷ π x + Diện tích nửa hình tròn S2 =   = 2 ( ) = π x2 Chọn B Câu 18:  AB = x + Đặt  R bán kính đường tròn ( H ) có tâm O ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD  BC = y + Khi đó, theo đề ta có: R = x2 + y xy = 961 + Tổng diện tích phần đất mở rộng là: S = S H − S ABCD = π R − xy = π BDT Cauchy x2 + y 2 xy − xy ≥ π − xy = 480,5π − 961( m ) 4 Vậy diện tích nhỏ (có thể đạt được) phần đất mở rộng 480,5π − 961( m ) Chọn D Câu 19: + Đặt AB chiều dài thang, HC = 4m cột đỡ, C giao điểm cột đỡ thang; x góc hợp mặt đất thang + Ta có: AB = AC + BC = + Xét hàm f ( x ) = f '( x) = + Từ suy ra: + sin x cos x  π + với x ∈  0; ÷ Ta có: sin x cos x  2 −4 cos x sin x + ; f ' ( x ) = ⇔ tan x = ⇔ x = arctan 2 sin x cos x f ( x ) ≥ f ( arctan ) ≈ 5,59 ⇒ f ( x ) = 5,59  π  0; ÷  2 + Vậy chiều dài bé thang thỏa mãn 5,59 cm Chọn C Câu 20: + Đặt SI − x, x > R Khi đó, ta có SO = x + R 2 + Ta có: SK = x − R ; ∆SIK ~ ∆SAO ⇒ SK IK IK SO R ( x + R ) = ⇔ AO = = SO AO SK x2 − R2 + Suy ra, thể tích V hình nón (N) bằng: π R ( x + R) π R2 ( x + R ) V ( x ) = π OA2 SO = x + R = ( ) 3 x − R2 x−R + Đặt f ( x ) ( x + R) = x−R 2 , x > R Ta có: f ' ( x ) = x − Rx − 3R ( x − R) 2  x = 3R ( t / m ) ; f '( x) = ⇔   x = − R ( lo¹i ) + Bảng biến thiên f ( x ) khoảng ( R; +∞ ) : x f '( x) f ( x) +∞ 3R R − + +∞ +∞ 8R + Từ suy ra, V ( x ) đạt GTNN  SO = x + R = R = h 8π R   AO = R = r Chọn A Câu 21: + Gọi độ nghiêng thay đổi (30 + 4x)0 vận tốc lúc là: 20 – 5x (⇒ ≤ x < 4) h sin ( 30 + x ) h + Thời gian để đạt đến độ cao h cho trước t= = 20 − x ( 20 − x ) sin ( 30 + x ) + Theo đề ta cần tìm x cho thòi gian nhỏ ⇔ tmin    ⇔ ( 20 − x ) sin ( 30 + x )  1 4 4 4  f ( x)   Max + Ta có: f ' ( x ) = ( 20 − x ) cos ( 30 + x ) − 5sin ( 30 + x ) ; f ' ( x ) = ⇔ x = 15 ∈ [ 0; )  15  f ( x) = f  ÷ Từ tìm được: max [ 0;4 ) 4 + Vậy độ nghiêng tốt để đạt đến độ cao sớm 45° Chọn B Câu 22: + Gọi O, O ' giao điểm đường thẳng AB, CD với Δ V thể tích khối tròn xoay tạo nên quay hình chữ nhật ABCD quanh Δ + Vn thể tích khối tròn xoay tạo nên quay hình chữ nhật OADO ' quanh Δ + Vt thể tích khối tròn xoay tạo nên quay hình chữ nhật OBCO ' quanh Δ + Khi đó: V = Vn − Vt = π OA2 AD − π OB BC = xπ a − ( a − x )    x x   + + 2a − x ÷ 64π x x = x π ( 2a − x ) = 8.π ( 2a − x ) ≤ 8π  a ÷ = 2 27  ÷   + Vậy MaxV = 64π a 27 Chọn A Câu 23: + Gọi x độ dài cạnh song song với bờ giậu y độ dài cạnh vuông góc với bờ giậu + Theo ta có x + 2y = diện tích miếng đất rào S = xy = y(8 – 2y) + Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy), ta có: 2S = y ( − y ) ≤ ( 2y + − 2y) = 82 = 16 ⇒ S ≤ Dấu "=" xảy ⇔ y = − y ⇔ y = ⇒ x = + Diện tích lớn mảnh đất rào Chọn C Câu 24: + Một mặt phẳng qua đỉnh vuông góc với đáy hình nón, điểm kích thước ký hiệu hình vẽ bên + Đặt BE = x, BD = h , ta có: ME BE r x Rx = ⇔ = ⇔r= AD BD R h h + Thể tích hình trụ chứa nước hoa là: R2 x2 V = π r ( h − x) = π ( h − x) h BDT Cauchy π R2 π R ( x + x + 2h − x ) 4R2h = x x h − x ≤ = ( ) 2h 2h 27 27 Dấu "=" xảy x = 2h − x ⇔ x = h Chọn A Câu 25: + Đặt kích thước hình vẽ + Theo đề ta có: 3x.40000 + 2y.50000 = 60000000 ⇔ 6x + 5y = 3000 ⇔ y = 600 − x  12  + Diện tích khu đất rào là: S = xy = x  600 − x ÷ = 1200 x − x   + Xét hàm số f ( x ) = 1200 x − 12 x với x ⊂ ( 0;500 ) , ta có: f ' ( x ) = 1200 − 24 x; f ' ( x ) = ⇔ x = 250 ∈ ( 0;500 ) f ( x ) = f ( 250 ) = 150000 ( m ) + Lập bảng biến thiên ta tìm (max 0;500 ) + Vậy diện tích lớn đất rào 150000 m2 Chọn B Câu 26: + Gọi chiều rộng x, < x < 12 + Thể tích hình hộp là: V = x ( 12 − x ) ( 24 − x ) = x − 36 x + 288 x + Xét hàm số f ( x ) = x − 36 x + 288 x ( 0;12 ) ta có:  x = 12 + ∉ ( 0;12 ) f ' ( x ) = x − 72 x + 288; f ' ( x ) = ⇔   x = 12 − ∈ ( 0;12 ) ( ) f ( x ) = f 12 − = 384 ⇒ Vmax = 384 + Lập bảng biến thiên ta tìm được: max ( 0;12 ) Chọn C Câu 27: + Thể tích thỏi son: V = π r h = 20, 25π ⇒ h = 20, 25 r2 2 + Chi phí sản xuất thỏi son: T = 60000r + 20000rh = 60000r + 405000 r + Áp dụng BĐT Cauchy ta có: T = 60000r + 202500 202500 202500 202500 + ≥ 3 60000r = 405000 r r r r Dấu "=" xảy 60000r = 202500 ⇔ r = 1,5 ⇒ h = ⇒ r + h = 10,5 r Chọn B Câu 28: + Chu vi hình tròn đáy nón C = 2π r = x ⇔ r = x 2π + Ta có bán kính R hình tròn đường sinh khối nón vòng tròn đáy khối nón có độ dài x đó: h = R − r = R − x2 4π 2  x2  V = π r h = π ÷ + Khi đó, thể tích nón là: 3  2π  + Suy ra: V = R2 − x2 4π π x  x  4π x x  x   R − ÷= R − ÷ 16π  4π  8π 8π  4π  + Áp dụng BĐT Cauchy ta có:  x2 x2 x2  + + R −  ÷ 8π 4π  4π x x  x  4π  8π 4π R 3π R V2 =  R − ÷≤ = ≤V ≤ 8π 8π  4π  27 243 27 Dấu "=" xảy x2 x2 6π R x = R − ⇔ x= ⇔ ≈ 5,13 2 8π 4π R Chọn C Câu 29: + NX: Chi phí vật liệu làm nắp nhỏ ⇔ diện tích xung quanh nắp nhỏ + Đường sinh hình nón là: l = h + r ⇒ h = 1252 − r h 2 + Diện tích xung quanh hình trụ: S1 = 2π r = π r 125 − r 3 + Diện tích xung quanh hình nón: S = π rl = 125π r 2 + Vậy diện tích toàn phần của nắp bằng: S = S1 + S = π r 125 − r + 125π r 2 + Xét hàm f ( r ) = π r 125 − r + 125π r , r ∈ ( 0;125 ) Ta có: f '( r ) = 31250π − 4π r + 375π 1252 − r 1252 − r ; f '( r ) BAM MAY ⇔ r ≈ 113,12cm + Từ tìm được: f ( r ) ≤ f ( 113,12 ) Dấu "=" xảy ⇔ r ≈ 113,12 ⇒ h ≈ 53,187 ⇒ r + h ≈ 166,307 Chọn C Câu 30: + Ta có: d = 2r + 22, 2 + Diện tích vải để may phần dạng hình trụ là: S1 = 2π rh + π r + Diện tích vải để may phần dạng hình vành khăn là: S = πd2 −π r2 + Khi đó, ta có: 3π ( 2r + 22, ) 3π d P = 3S − S1 = − 4π r − 2π rh = − 4π r − 2π r.31,3 4 π ( −4r + 16r + 1478,52 ) π  −4 ( r − ) + 1494,52  1494,52π ≤ = =  4 Dấu "=" xảy r = ⇒ d = 26, ⇒ r + h = 28, 2 Chọn D Câu 31: + Gọi m chiều rộng kim loại, x chiều rộng mặt bên, y chiều rộng đáy nhỏ z ký hiệu hình vẽ ⇒ m = x + y + Diện tích tiết diện bằng: S= ( y + 2z ) + y x2 − z = ( y + z ) (x − z2 ) = ( y + z) ( y + z) ( x − z) ( x + z) + Khi đó, ta có: 1 ( y + z + y + z + x + z + x − 3z )  ( x + y )  m4 S = ( y + z ) ( y + z ) ( x + z ) ( 3x − 3z ) ≤ = = 3 256 256 48 m  y + z = x + z x= y=    m Dấu “=” xảy  x + z = x − z ⇔  ⇒S≤ 12 2 x + y = m z = m   z + Gọi α góc tạo mặt bên mặt đáy nhỏ máng ⇒ α = 90° + arcsin  ÷ = 120°  x Chọn C Câu 32: + Gọi x, y >0 hình vẽ BDT Cauchy  xy = 40,5 81 81 ⇒a= +x ≥ x = 18 + Theo đề ta có:  x x a = y + x Dấu "=" xảy 81 = x ⇔ x = ⇒ y = 4,5 x Chọn A Câu 33: + Gọi r (m) bán kính hình bán nguyệt; d (m) chiều dài hình chữ nhật (m); S1 , S diện tích hình bán nguyệt hình chữ nhật + Theo đề ra, ta có: 1,9π + 8,8 = π r + 2d + 2r ⇔ d = 1,9π + 8,8 − ( π + ) r + Diện tích cánh cổng bằng: − ( π + ) r + ( 3,8π + 17, ) r π r2 S = S1 + S2 = + 2rd + r 1,9π + 8,8 − ( π + ) r  = 2 + Theo tính chất tam thức bậc ⇒ S đạt Max ⇔ r = − ( 3,8π + 17, ) 1,9π + 8,8 = ( m) −2 ( π + ) π +4 Chọn B Câu 34: + Theo đề ra, diện tích mảnh bìa bằng: S = 2a + 4ah = ⇒ h = − 2a  6  ⇒ < a < ÷ 4a  ÷  3a − 2a + Thể tích hình hộp chữ nhật: V = a h = + Xét hàm số f ( a ) =  6 3a − 2a 3  0; , ta có: f ' ( a ) = − a ; f ' ( a ) = ⇔ a = ÷ ÷ 4 2    2 f ( a ) = f  = ÷ + Từ tìm max V = max ÷ 6  0; ÷   ÷  Dấu "=" xảy a =  2 ⇒h= ⇒a+h= 2 Chọn D Câu 35: ( + Gọi cạnh hình vuông EFGH x < x < ) ⇒ BI = 2−x + Đường cao hình chóp tạo thành:  − x   x 2 25 − x h = BI − IO =  − = ÷  ÷ ÷   2 2 25 − x + Thể tích hlnh chóp là: V = x + Xét hàm số f ( x ) = x ( ) 25 − x 0;5 , ta có: f ' ( x ) = ⇔ x = 2 ( ) + Từ tìm Vmax = f 2 = ( 2 ) 25 − 5.2 2 10 = ( cm3 ) Chọn A Câu 36: + Vận tốc cá bơi ngược dòng v − km/h (v > 6) 3 + Năng lượng cá tiêu hao trình tìm nguồn là: E ( v ) = cv t = cv + Ta có: E ' ( v ) = c.400 2v − 18v ( v − 6) 400 v−6 = ⇔ v = ( km / h ) + Từ tìm MinE ( v ) = E ( ) = 97200c Chọn A Câu 37: + Gọi x bán kính hình quạt, y độ dài cung tròn + Ta có chu vi cánh diều = 2x + y x − 2x ) 1 ( 2x + − 2x ) + Diện tích cánh diều S = xy = ( = 2x ( − 2x ) ≤ =4 2 4 Dấu “=” xảy x = − x ⇔ x = Chọn B Câu 38: + Thế tích phễu là: V = π r h + Ta có chu vi đáy bằng: 2π r = Rx ⇔ r = + Lại có: h = R − x = R − Rx 2π R2 x2 R = 4π 2π R3 + Khi đó: V = π r h = x 4π − x 2 24π 4π − x + Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: V= 3R 2 3R  3R  16  2 2 x π π − x ≤ x π + π − x = x  π − x ÷  ÷ 3 48π 2.48π 3  2.48π   3R   16 3R3 162  ≤ x + π − x = π = π R3  ÷  48π  27    48π  2  π = 4π − x 2 ⇔ x− π Dấu "=" xảy   x = 16 π − x  Chọn B Câu 39: + Ký hiệu kích thước hình vẽ bên h 2 2 + Ta có: sin α = ; h = r − = r − ⇒ h = r − r + Suy ra, cường độ C = C ( r ) = k + Xét hàm f ( r ) = k r2 − ( 2; +∞ ) r Ta tìm được: max f ( x ) = f ( 2;+∞ ) r2 − , ( r > 2) r3 ( ) = k183 ⇒ C max = k Đạt r = ⇒ h = 18 Chọn D Câu 40: + Thể tích lăng trụ tạo thành bằng: V = A ' A.S ABC x x + 100 − x = 20 −  ÷ = x 100 − x ≤ = 250 2 2 Dấu "=" xảy x = 100 − x ⇔ x = Chọn D -HẾT- ... Chí có tổ chức cho học sinh lớp tham quan dã ngoại trời, số có lớp 12A Để có chỗ nghỉ ngơi trình tham quan dã ngoại, lớp 12A dựng mặt đất phẳng lều bạt từ bạt hình chữ nhật có chi u dài 12m chi u... sông thẳng, mục tiêu cách chi n sĩ km theo đường chim bay chi n sĩ cách bờ bên sông 100m A 200 B 100 C 100 101 D 200 500 m Đáy hồ hình chữ nhật có chi u dài gấp đôi chi u rộng Giá thuê nhân công... tích tiết diện ngang mương dạng hình chữ nhật 40, 5m Gọi a độ dài đường biên giới hạn tiết diện Hỏi người kiến trúc sư phải thiết kế mương dẫn nước có kích thước để a nhỏ nhất? A Chi u rộng 9m, chi u