Tài liệu giảng dạy số phức

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn A Tóm tắt lí thuyết * Định nghĩa: Số phức số có dạng z = a + bi (a, b ∈ R ) , i đơn vị ảo, tức i = −1 a gọi phần thực z, kí hiệu a = Re z b gọi phần ảo z, kí hiệu b = imz Tập hợp số phức kí hiệu C * Các phép toán số phức: +) Cho z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i +) z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i +) z1 − z2 = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) i +) z1.z2 = ( a1 + b1i ) ( a2 + b2i ) = a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i = a1a2 − b1b2 + (a1b2 + a2b1 )i +) z1 ( a1 + b1i ) ( a + b i ) ( a2 − b2i ) = a1a2 − b1b2 + (a2b1 − a1b2 )i = = 1 z2 ( a2 + b2i ) ( a2 + b2i ) ( a2 − b2i ) a22 + b22 * Mô đun số phức, số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Khi : +) Đại lượng 2 a + b gọi môđun z Kí hiệu z = a + b +) Số phức z = a − bi gọi số phức liên hợp z B Hệ thống tập I Các phép toán số phức Ví dụ 1: Cho z1 = + i, z2 = − i Tính z1 + z1 z2 Lời giải z1 + z1 z2 = + i + ( + i ) ( − i ) = 10 = 10 + 0i ⇒ z1 + z1 z2 = 102 + 02 = 10 Ví dụ Tìm số phức z biết z + z = ( − i ) ( − i ) (1) Lời giải: Giả sử z = a + bi ⇒ z = a − bi TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn (1) ⇔ a + bi + 2(a − bi ) = (23 + 3.22 i + 3.2i + i )(1 − i) ⇔ a + bi + 2a − 2bi = (8 + 12i − − i )(1 − i ) = (11i + 2)(1 − i ) 13  a = 13 a =  13  ⇔ ⇒ z = − 9i ⇔ 3a − bi = 11i − 11i + − 2i = 13 + 9i ⇔  −b = b = −9 Ví dụ Cho z1 = + 3i, z2 = + i Tính z1 + 3z2 ; z1 + z2 ; z1 + 3z2 z2 Lời giải +) z1 + 3z2 = + 3i + + 3i = + 6i ⇒ z1 + 3z2 = 52 + 62 = 61 +) z1 + z2 + 4i ( + 4i ) ( − i ) + i z +z 49 = = = ⇒ = + = z2 1+ i 1− i z2 4 +) z13 + z2 = + 36i + 54i + 27i − − 3i = −49 + 6i ⇒ z1 + 3z2 = 2437 Ví dụ Tìm số phức z biết: z + 3z = ( − 2i ) ( + i ) (1) Lời giải Giả sử z=a+bi, ta có: (1) ⇔ a − bi + 3a + 3bi = ( − 12i + 4i ) ( + i ) = ( − 12i ) ( + i ) ⇔ 4a + 2bi = 10 − 24i + 5i − 12i = 22 − 19i ⇔ a = 11 −19 11 19 ;b = Vậy z = − i 12 2 Ví dụ Tìm phần ảo z biết: z + z = ( + i ) ( − i ) (1) Lời giải Giả sử z=a+bi (1) ⇔ a + bi + 3a − 3bi = ( + 12i + 6i + i ) ( − i ) = ( + 11i ) ( − i ) ⇔ 4a − 2bi = − 2i + 22i − 11i = 20i + 15 ⇔ a = 15 ; b = −10 Vậy phần ảo z -10 (1 − i 2) ( + i ) Ví dụ Tìm môđun z biết z + z = (1) 2−i Lời giải TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn (1) ⇔ a + bi + 2a − 2bi = ⇔ 3a − bi = ⇔a= (1 − i 2) ( + 2i + i ) 2−i = 2i − 2i 2−i (2i + 2) ( + i ) i (4 + 2) + − = − i2 −2 −4 − 2 ;b = 15 ⇒ z = 32 + − 16 + 144 + 72 + 144 225 + 128 = 225 15 Ví dụ (A+A 2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( z + i ) = − i (1) z +1 Tính môđun số phức ω = + z + z Lời giải Giả sử z=a+bi (1) ⇔ 5(a − bi + i ) = 2−i a + bi + ⇔ 5a − 5i (b − 1) = 2a + 2bi + − − bi − i ⇔ 3a − − b − i (5b − − 2b + a + 1) = 3a − − b = a = ⇔ ⇒ ⇒ z = 1+ i 3b + a − = b = ω = + + i + + 2i − = + 3i ⇒ ω = + = 13 Ví dụ (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i) z + 2(1 + 2i ) = + 8i (1) 1+ i Tìm môđun số phức ω = z + + i Lời giải Giả sử z = a + bi (1) ⇔ (2 + i)( a + bi ) + 2(1 + 2i ) = + 8i 1+ i ⇔ 2a + 2bi + + bi + 2(1 + 2i )(1 − i ) = + 8i + i2 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  2a − b + = a = ⇔ ⇔ 2a + 2bi + − bi + − i + 2i − 2i = + 8i ⇔  2b + a + = b = Do ω = + 2i + + i = + 3i ⇒ ω = 16 + = Ví dụ (A-2011) Tìm tất số phức z, biết z = z + z (1) Lời giải (1) ⇔ ( a + bi ) = a + b + a − bi ⇔ a + b 2i + 2abi = a + b + a − bi 1  a = − ; b = 2b + a =  ⇔ 2b + a − bi − 2abi = ⇔  ⇔ b = 0; a = b + 2ab =  −1 −1 a = ; b = 2  Vậy z = 0; z = −1 −1 + i; z = − i 2 2 Ví dụ 10 ( A-2011) Tính môđun số phức z biết: (2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i) = − 2i (1) Lời giải (1) ⇔ (2a + 2bi − 1))(1 + i ) + (a − bi + 1)(1 − i ) = − 2i ⇔ 2a + 2ai + 2bi + 2bi − − i + a − − bi + bi + − i = − 2i ⇔ 3a − 3ba + + bi − 2i = − 2i  a=  3a − 3b =  1 ⇔ ⇔ + = Suy z = 9 a + b − = −2 b = −1  Ví dụ 11 Tìm số nguyên x, y cho số phức z = x + iy thỏa mãn z = 18 + 26i Lời giải  x − xy = 18 ⇒ 18(3 x y − y ) = 26( x − 3xy ) Ta có ( x + iy ) = 18 + 26i ⇔  3 x y − y = 26 Giải phương trình cách đặt y=tx ta t = ⇒ x = 3, y = Vậy z=3+i 3 Bài luyện tập Bài Thức phép tính: a (3i + 4) [ (−3 + 2i) − (4 − 7i ) ] 2012 b ( − 5i ) ( + i ) − ( 3i + 2i ) c ( + i ) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn d ( + 4i ) ( − 7i ) e ( − i ) − ( + 2i ) g ( −3 + 4i ) + − 7i + 5i h f ( − i ) ( −3 + 2i ) + 5i 2i − − − 4i + 2i Bài Tìm phần thực ; phần ảo;mô đun số phức liên hợp số phức sau: a z1 = (2i − 1) − 3i (i + 1) + 2i b z2 = − 2i − 3i i+2 10 c z4 = 3i − ( 2i − ) Bài Tìm phần ảo số phức z, biết: z = ( + i) (1- i) Bài Cho số phức z thỏa mãn: (2 − 3i)z + (4 + i) z = −(1 + 3i) Xác định phần thực phần ảo z Bài Tính mô đun số phưc sau: z1 = (2 + 3i ) + (−3 + 4i); z2 = (3 − 2i )3 ; z3 = (2i − 1) − (3 + i ) (1 − 3i)3 Bài Cho số phức z thỏa mãn: z = Tìm môđun z + iz 1− i Bài Tính mô đun số phức z , biết (2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i) = − 2i Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z + z = 6; z.z = 25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn | z − (2 + i) | = 10 Bài 10 Tìm số phức z, biết: z − z z = 25 5+i −1 = z Bài 11 Tìm số thực x, y thỏa mãn: x(3 + 5i ) + y (1 − 2i )3 = + 14i Bài 12 Tìm số phức z biết: ( z − z )(−1 − 6i ) 37(1 − i ) z = 1+ i 10 II Căn bậc số phức phương trình bậc hai tập số phức Định nghĩa: Cho số phức z = a + bi Căn bậc hai số phức z số phức z1 = a1 + b1i thỏa mãn z12 = z Ví dụ 1: Tìm bậc hai số phức z = + 12i Lời giải Giả sử m+ni (m; n∈ R) bậc hai z Ta có: (m + ni ) = + 12i ⇔ m + 2mni + n 2i = + 12i ⇔ m + 2mni − n = + 12i TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn m − n = 5(1) m2 − n =  ⇔ ⇔ 2mn = 12 m = (2) n  6 Thay (2) vào (1) ta có:  ÷ − n = ⇔ 36 − n = 5n n ⇔ n + 5n − 36 = ⇔ n = 4; n = −9(loai ) n = ⇒ m =  n = −2 ⇒ m = −3  Vậy z có hai bậc hai 3+2i -3-2i Ví dụ 2: Tìm bậc hai số phức z = −164 + 48 5i Lời giải Giả sử m+ni (m; n∈ R) bậc hai z Ta có: (m + ni ) = −164 + 48 5i ⇔ m + 2mni − n = −164 + 48 5i m − n = −164(1) m − n = −164  ⇔ ⇔ 24 (2) n = 2mn = 48 m  2 Thay (2) vào (1) ta có: m − ( 24 ) = −164 ⇔ m + 164m − 2880 = m ⇔ m = 16; m = −180(loai ) m = ⇒ n =   n = −4 ⇒ m = −6 Vậy z có hai bậc hai + 5i, − − 5i Bài luyện tập Tìm bậc số phức sau: −5 + 12i, − − 24i, − 3i, − 23 − 6i III Giải phương trình bậc hai tập số phức Xét phương trình az + bz + c = 0( a, b, c ∈ C ; a ≠ 0) Cách giải TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Tính ∆ = b − 4ac Gọi ± k bậc hai ∆ , nghiệm phương trình là: z = −b − k −b + k ,z= 2a 2a Đặc biệt b=2b’, ta tính ∆ ' Gọi ± k ' bậc hai ∆ ' , nghiệm phương trình là: z = −b '− k ' −b '+ k ' ,z= a a Ví dụ 1: Giải phương trình: z − (3i + 8) z + 11i + 13 = Lời giải ∆ = (3i + 8)2 − 4(11i + 13) = 4i + Giả sử m+ni (m; n∈ R) bậc hai ∆ Ta có: (m + ni ) = + 12i ⇔ m + 2mni + n 2i = + 4i ⇔ m + 2mni − n = + 4i m − n = 3(1) m − n =  ⇔ ⇔ 2mn = n = (2) m  2 m2 = 2 m − = ⇔ m − m − = ⇔ Thay (2) vào (1) ta có:   ÷ m  m = −1(loai) m = ⇒ n =  m = −2 ⇒ n = −1  Vậy ∆ có hai bậc hai 2+i -2-i  3i + + i + = 2i + z = Do nghiệm phương trình   z = 3i + − i − = i +  Ví dụ Giải phương trình: z + z + = Lời giải ∆ ' = 22 − = −3 = 3i ⇒ bậc hai ∆ ' ±i Vậy nghiệm phương trình là: z = −2 + 3i, z = −2 − 3i Ví dụ giải phương trình: z + z + (4 + i) z + + 3i = (1) Lời giải Dễ thấy z=-i nghiệm (1) nên (1) ⇔ ( z + i)( z + (4 − i) z + − 3i) = TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn z + i = ⇔  z + (4 − i ) z + − 3i = 0(2) Giải (2) ∆ = (4 − i )2 − 12 + 12i = 16 − − 8i − 12 + 12i = + 4i = + 2.2.i + i = (2 + i) Vậy ∆ có hai bậc hai là: 2+i -2-i  −4 + i + + i = −1 + i z = Do nghiệm (2)   z = −4 + i − − i − = −3  Vậy (1) có nghiệm –i, -3, -1+i Ví dụ Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: ( + i ) z − ( − i ) z − − 3i = 2 Tính z1 + z2 Lời giải Ta có ∆ ' = ( − i ) + ( + i ) ( + 3i ) = 16 Vậy phương trình có hai nghiệm phức z1 = 1 2 − i, z2 = − − i Do z1 + z2 = 2 2 Ví dụ Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phương trình z − z − z + z − = tập số phức tính tổng: S = 1 1 + + + z12 z22 z32 z42 Lời giải PT: z − z − z + z − = ⇔ ( z − 1) ( z + ) ( z − z + ) = (1)  z1 =  z = −2 Không tính tổng quát ta gọi nghiệm của(1)là  z3 = + i   z4 = − i 1 1 1 Thay biểu thức ta có: S = z + z + z + z = + + − i + + i = ( ) ( ) Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức C: z − z + z2 + z + = (1) Lời giải Nhận xét z=0 không nghiệm phương trình (1) z ≠ Chia hai vế PT (1) cho z2 ta : ( z + 1 ) − ( z − ) + = (2) z z TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Đặt t= z − 1 Khi t = z + − ⇔ z + = t + z z z Phương trình (2) có dạng : t2-t+ = (3) ∆ = − = −9 = 9i 2 Vậy PT (3) có nghiệm t= Với t= + 3i − 3i , t= 2 + 3i 1 + 3i ⇔ z − (1 + 3i ) z − = (4) ta có z − = z Có ∆ = (1 + 3i ) + 16 = + 6i = + 6i + i = (3 + i) Vậy PT(4) có nghiệm : z= (1 + 3i ) + (3 + i ) (1 + 3i ) − (3 + i ) i − = + i , z= = 4 Do PT cho có nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= i −1 − i −1 ; z= 2 Bài luyện tập Giải phương trình sau: z − z + 11 + i = z + 2(1 − 2i ) z − (7 + 4i ) = z − 2(2 − i ) z + − 8i = z − (2 + i ) z + i + = z − (2 + i ) z + (2 + 2i) z − 2i = IV Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Cách giải: Giả sử z = a + b i ; thay vào giả thiết, tìm hệ thức a b Từ suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z Ví dụ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u = ảo Lời giải z + + 3i số z −i TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Giả sử z = a + ib ( a, b ∈ R ) , u = a + + bi + 3i (a + + (b + 3)i )(a − (b − 1)i ) = a + (b − 1)i a + (b − 1) Tử số a + b + 2a + 2b − + 2(2a − b + 1)i a + b + 2a + 2b − = (a + 1) + (b + 1) = ⇔ u số ảo    2a − b + ≠ ( a; b) ≠ (0;1), ( −2; −3) Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (−1; −1) , bán kính , khuyết điểm (0;1) (-2;-3) Ví dụ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: z + − 3i = 1(*) z −4+i Lời giải Giả sử z = a + bi (*) ⇔ a + + (b − 3)i = x − − (b − 1)i ⇔ (a + 2)2 + (b − 3) = (a − 4) + (b − 1) ⇔ 3a − b − = Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0 Ví dụ Tìm quĩ tích điểm M biểu diễn số phức ω = (1 + i 3) z + biết số phức z thỏa mãn: z − ≤ (1) Lời giải Giả sử ω = a + bi Ta có a + bi = (1 + i 3) z + ⇔ z = (1) ⇔ a − + bi a − + (b − 3i ) ⇔ z −1 = 1+ i 1+ i a − + (b − 3)i a − + (b − 3)i ≤2 ⇔ ≤2⇔ 1+ i 1+ i (a − 3) + (b − 3)2 ≤2 ⇔ (a − 3) + (b − 3) ≤ 16 Vậy quĩ tích điểm M biểu diễn số phức hình tròn ( x − 3) + ( y − 3) ≤ 16 (kể điểm nằm biên) Bài luyện tập Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 10 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn a + z = i − z b z = c z = z − + 4i z −i f | z − (3 − 4i) | = g z = ( z ) d z −i = e | z − i | = | (1 + i)z | z+i V Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn Bài toán: Cho số phức z=a+bi thỏa mãn điều kiện G Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất, lớn Trường hợp 1: giả thiết G có dạng ma + nb = k Ta rút a theo b (hoặc b theo a) sau ta sử dụng phương pháp nhóm tổng bình phương Ví dụ Biết số phức z thỏa mãn u = ( z + − i )( z + + 3i ) số thực Tìm giá trị nhỏ |z| Lời giải Giả sử z = a + ib , ta có u = (a + + (b − 1)i )(a + − (b − 3)i ) = a + b + 4a − 4b + + 2(a − b − 4)i u∈R ⇔ a −b−4 = ⇔ a = b+ | z |min ⇔ | z |2 | z |2 = a + b = (b + 4) + b = 2b + 8b + 16 = 2(b + 2) + ≥ Dấu = xảy b = −2 ⇒ a = Vậy | z |min ⇔ z = − 2i Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z + i + = z − 2i Tìm giá trị nhỏ z Lời giải a + bi + i + = a − bi − 2i ⇔ ( a + 1) + ( b + 1) = a + ( b + ) 2 ⇔ a + 2a + + b + 2b + = a + b + 4b + ⇔ 2a − 2b − = ⇒ a − b = ⇒ a = + b ⇒ a + b = ( b + 1) + b = 2b + 2b + ≥ ⇒ z ≥ 1 −1 ⇔a= ; b= Vậy Min z = 2 2 Trường hợp 2: Giả thiết G có dạng ( x + a) + ( y + b) = k 11 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Bài toán: Tìm GTNN, GTLN S = A sin mx + B cos nx + C 2 Ta có S = A + B (sin mx A A2 + B + cos mx B A2 + B )+C A  cos ϕ =   A2 + B Đặt  Khi S = A2 + B (sin mx.cos ϕ + cos mx.sin ϕ ) + C B sin ϕ =  A2 + B Do MinS = − A2 + B + C ⇔ x = MaxS = A2 + B + C ⇔ x = −π ϕ k 2π − + 2m m m π ϕ k 2π − + 2m m m  x + a = k sin ϕ  y + b = k cos ϕ Vì trường hợp để tìm GTNN, GTLN |z| ta đặt  Sau ta làm tương tự toán Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z − + 4i = Tìm giá trị nhỏ z Lời giải Giả sử z=a+bi, ta có: a + bi − + 4i = ⇒ ( a − 3) + ( b + ) = 16 2 a − = 4sin ϕ a = + 4sin ϕ ⇒ b + = 4cos ϕ b = 4cos ϕ − Đặt  ⇒ z = a + b = + 16sin ϕ + 24sin ϕ + 16cos ϕ + 16 − 32cos ϕ = 41 + 24sin ϕ − 32cos ϕ = 41 + 40( sin ϕ − cos ϕ ) 5 Đặt cos α = ,sin α = 5 ⇒ z = a + b = 41 + 40sin(ϕ − α ) ≥ Dấu = xảy ϕ − α = − π π + k 2π ⇒ ϕ = − + α + k 2π Do Min z = 2 Ngoài để tìm GTNN, GTLN z ta sử dụng phương pháp hình học Ví dụ Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + = 5, z2 + − 3i = z2 − − 6i Tìm giá trị 12 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn nhỏ z1 − z2 Lời giải Giả sử M (a; b) điểm biểu diễn số phức z1 = a + bi , N (c; d ) điểm biểu diễn số phức z2 = c + di 2 Ta có z1 + = ⇔ (a + 5) + b = 25 Vậy M thuộc đường tròn (C ) :( x + 5)2 + y = 25 z2 + − 3i = z2 − − 6i ⇔ 8c + 6d = 35 Vậy N thuộc đường thẳng ∆ : x + y = 35 Dễ thấy đường thẳng ∆ không cắt (C ) z1 − z2 = MN Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) :( x + 5)2 + y = 25 đường thẳng ∆ : x + y = 35 Tìm giá trị nhỏ MN, biết M chạy (C ) , N chạy đường thẳng ∆ L M d H Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với ∆ PT đường thẳng d 6x-8y=-30 Gọi H giao điểm d ∆ Tọa độ điểm H nghiệm hệ x = 8 x + y = 35  ⇔  ⇒ H (1; ) 6 x − y = −30  y = 13 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Gọi K, L giao điểm d với đường tròn (C ) Tọa độ K, L nghiệm hệ ( x + 5)2 + y = 25  x = −1; y = ⇔ Vậy K(-1;3), L(-9;-3)  x = − 9; y = − x − y = − 30   Tính trực tiếp HK, HL Suy MinMN = Min z1 − z2 = ⇔ M ≡ K , N ≡ H Khi Bài luyện tập Trong số phức z thỏa mãn: 2z + + i = , tìm số phức z có môđun nhỏ z − + 2i Trong số phức z thỏa mãn: 2z + + i = , tìm số phức z có môđun nhỏ z −1− i nhất, lớn cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + i = 5, z2 − = z2 − Tìm giá trị nhỏ z1 − z2 VI Dạng lượng giác số phức ứng dụng ( BÀI ĐỌC THÊM ) Xét số phức dạng đại số: z = a + bi  a Ta có z = a + b   a +b  a Nhận xét  2  a +b a Đặt cosϕ = a2 + b 2  i ÷ ÷ a2 + b  b + 2   b ÷ + ÷    a +b ;sin ϕ =  ÷ =1 ÷  b a2 + b ; Khi z = a + b (cosϕ +sinϕ )=r(cosϕ +isinϕ ) (*) (r = z = 14 a2 + b ) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn (*) Gọi dạng lượng giác số phức z, ϕ gọi acgumen z Nhận xét: Nếu ϕ acgumen z ϕ + k 2π acgumen z + Nhân chia số phức dạng lượng giác Cho z1 = r1 (cosϕ1 +isinϕ1 ); z = r2 (cosϕ +isinϕ2 ) Khi z1z = r1r2 [cos(ϕ1 +ϕ2 )+isin(ϕ1 +ϕ )] z1 r1 = [cos(ϕ1 − ϕ2 )+isin(ϕ1 − ϕ )] z r2 Đặc biệt với z = r (cosϕ +isinϕ ) ⇒ z = r (cos2ϕ +isin2ϕ ) z = r (cos3ϕ +isin3ϕ ) z n = r n (cosnϕ +isinnϕ ) (**) (**) gọi công thức moavơrơ Ví dụ Viết số phức sau dạng lương giác: z = − i Lời giải  i π π  −π −π    z = 2 − ÷ =  cos − sin i ÷ =  cos − i sin ÷ 6  6     2  Ví dụ Tìm acgumen số phức: z =  sin  π π − icos ÷ 5 Lời giải π π π π  3π 3π  −3π −3π     z =  cos( − ) − i sin( − ) ÷ =  cos − i sin ) + i sin( )÷ ÷ =  cos( 5  10 10  10 10     ⇒ acgumen z −3π + k 2π 10 Ví dụ Cho z = + 2i Tìm dạng đại số z 2012 Lời giải     z =2 2 + i ÷= 2  + i÷  2 2   π π  = 2  cos + i sin ÷ 4  15 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Áp dụng công thức moavơrơ ta có: 2012π 2012π + i sin ) 4 = (2 2) 2012 ( −1 + i.0) = −(2 2) 2012 z 2012 = (2 2) 2012 (cos Ví dụ Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i Lời giải  π π   z = 2 − i ÷ = 2  cos − i sin ÷ 4    −π −π   = 2  cos( ) + i sin( ) ÷ 4   Ví dụ 5.Tìm acgumen z = − 2i Lời giải   π π −π −π    z = − 2i =  − i ÷ =  cos − i sin ÷ =  cos( ) + i sin( ) ÷ 6 6     2  Vậy acgumen z −π + k 2π Ví dụ Biết z = − i Tìm dạng đại số z 2012 Lời giải 1 z = − i = 2 − i 2 3 π π  ÷ =  cos − i sin ÷  3  −π −π   =  cos( ) + i sin( ) ÷ 3   2012π 2012π + i sin ) 4 = (2 2) 2012 ( −1 + i.0) = −(2 2) 2012 z 2012 = (2 2) 2012 (cos Ví dụ Cho z1 = − i ; z2 = + 2i Tìm dạng đại số z 20 z15 Lời giải  π π −π −π     z1 = − i =  − i ÷ =  cos − i sin ÷ =  cos( ) + i sin( ) ÷ 4 4      16 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn −20π −20π   z120 = ( 2) 20  cos( ) + i sin( )÷ 4   = 210.(−1 + i.0) = −210   π π  − i ÷ =  cos + i sin ÷ 6   2  z2 = + 2i =  15π 15π  15  z15 + i sin =  cos ÷ 6   = 415.(0 + i1) = 415 i Suy z 20 z15 = −240 i   Ví dụ Tìm acgumen z =  sin π π − icos ÷ 7 Lời giải π  π z =  sin − icos ÷ 7  π π π π   =  cos( − ) − i sin( − ) ÷ 7   5π 5π  −5π −5π    =  cos − i sin ) + i sin( )÷ ÷ =  cos( 14 14  14 14    ⇒ acgumen z −5π + k 2π 14   Ví dụ Tìm acgumen z = −3  sin π π + icos ÷ 5 Lời giải π  π z = −3  sin + icos ÷ 5  π π π π   = −3  cos( − ) + i sin( − ) ÷ 5   3π 3π   = −3  cos + i sin ÷ 10 10   ⇒ acgumen z 3π + k 2π 10 17 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Ví dụ 10 (B-2012)Gọi z1 ; z2 nghiệm phức phương trình: z − 3iz − = , viết dạng lượng giác z1 ; z2 Lời giải z − 3i.z − = , ∆ = 3i + = − = z1 = 3i − 1; z2 = 3i +  −1  2π 2π   z1 =  + i ÷ =  cos + isin ÷  3    1  π π  z2 =  + i ÷ =  cos + isin ÷ 3  2  2010 2012 − C2012 + C2012 − C2012 + − C2012 + C2012 Ví dụ 11 Tính tổng S = C2012 Lời giải 2011 2011 2012 2012 + C2012 i + C2012 i + C2012 i + + C2012 i + C2012 i Ta có (1 + i ) 2012 = C2012 2011 2011 2012 2012 (1 − i ) 2012 = C2012 − C2012 i + C2012 i − C2012 i + − C2012 i + C2012 i 2010 2012 − C2012 + C2012 + − C2012 + C2012 = 2S Suy (1 + i ) 2012 + (1 − i ) 2012 = 2(C2012 Mặt khác (1 + i ) 2012 = [ 2(cos (1 − i ) 2012 = [ 2(cos π π + i sin )]2012 = 21006 (cos503π + i sin 503π ) = −21006 4 −π −π 2012 + i sin )] = 21006 (cos − 503π + i sin − 503π ) = −21006 4 Từ S = −21006 Bài luyện tập Bài Tìm acgumen số phức sau : a −1 − i ; π b cos − i sin π π π ; c − sin − i cos ; d − sin ϕ + i cosϕ Bài Viết dạng lượng giác số z = − i Suy 2 bậc hai số phức z: Bài Viết dạng lượng giác số phức sau: a sin ϕ + i sin ϕ b cos ϕ + i (1 + sin ϕ ) Bài Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 18 π   < ϕ < ; 2  TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn a ( (1 + i ) 10 +i ) b z 2000 + ; z 2000 z biết z + = VII Một số toán chứng minh Lời giải toán chứng minh thường dựa tính chất mô đun liên hợp số phức, ý số phức z1 , z2 có điểm biểu diễn tương ứng A, B OA = z1 ; OB = z2 ; AB = z1 − z2 Từ suy ra: +) z1 + z2 ≥ z1 − z2 +) z1 − z2 ≥ z1 − z2 +) z1 + z2 ≤ z1 + z2 Ví dụ Giả sử z1 , z2 số phức khác không thỏa mãn z12 − z1 z2 + z22 = gọi A, B điểm biểu diễn tương ứng z1 , z2 Chứng minh tam giác OAB Lời giải Ta có z13 + z23 = ( z1 + z2 )( z12 − z1 z2 + z22 ) = , suy ra: 3 z13 = − z23 ⇒ z1 = z2 ⇒ z1 = z2 ⇒ OA = OB Lại có ( z1 − z2 ) = ( z12 − z1 z2 + z22 ) − z1 z2 = − z1 z2 nên z1 − z2 = z1 z2 ⇒ AB = OA.OB = OA2 Suy AB=OA=OB ⇒ ∆OAB Ví dụ cho số phức z1 , z2 , z3 có mô đun Chứng minh rằng: z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 Lời giải Vì z1 z2 z3 =1 nên z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 1 = + + z1 z2 z3 z1 z2 z3 = z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 (Đpcm) Ví dụ Cho số phức z ≠ thỏa mãn z + ≤ Chứng minh z + ≤ 3 z z Lời giải Đặt a = z + 2 (a ≥ 0) Ta có: ( z + )3 = z + + 6( z + ) Suy ra: z z z z a = z+ ≤ z + + z + ≤ + 6a z z z Do a − 6a − ≤ ⇔ (a − 3)(a + 3a + 3) ≤ Vì a + 3a + > , nên a = z + ≤ (Đpcm) z 19 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Bài tập luyện tập Bài 1.Cho hai số phức z1 , z2 có mô đun Chứng minh z = z1 + z2 + z1 z2 số thực Bài Cho số phức z ≠ thỏa mãn z + 1 ≤ z + ≤2 Chứng minh z3 z Bài Chứng minh với số phức z, có hai bất đẳng thức sau xảy ra: z + ≥ z + ≥ 20 ... Bài 12 Tìm số phức z biết: ( z − z )(−1 − 6i ) 37(1 − i ) z = 1+ i 10 II Căn bậc số phức phương trình bậc hai tập số phức Định nghĩa: Cho số phức z = a + bi Căn bậc hai số phức z số phức z1 =... luyện tập Trong số phức z thỏa mãn: 2z + + i = , tìm số phức z có môđun nhỏ z − + 2i Trong số phức z thỏa mãn: 2z + + i = , tìm số phức z có môđun nhỏ z −1− i nhất, lớn cho hai số phức z1 , z2 thỏa... ảo;mô đun số phức liên hợp số phức sau: a z1 = (2i − 1) − 3i (i + 1) + 2i b z2 = − 2i − 3i i+2 10 c z4 = 3i − ( 2i − ) Bài Tìm phần ảo số phức z, biết: z = ( + i) (1- i) Bài Cho số phức z thỏa