Tài liệu tham khảo số phức

CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC Kiến thức 1.1 Các khái niệm 1.2 Các phép toán số phức * Phép cộng phép trừ, nhân hai số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:  z  z '  (a  a ')  (b  b ')i   z  z '  (a  a ')  (b  b ')i zz '  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i * Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số 1 z-1= z z a b z Thương z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z '.z  z.z 1  z z Các dạng tập 2.1 Dạng 1: Các phép toán số phức Ví dụ 1: Cho số phức z =  i Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 2 Giải: 3  i  z =  i 2 2 *Vì z =   3 i=  i *Ta có z =   i  =  i  4 2 2   2   3  ( z ) =   i    i  i  i 2 4 2   1   3 i    i    i i i ( z )3 =( z )2 z =    2  2  4 Ta có: + z + z2 =  1 3  1  i  i  i 2 2 2 Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z  (1  i )(3  2i )  3i Giải: Ta có z   i  3i 3i  5i  (3  i )(3  i ) 10 Suy số phức liên hợp z là: z  53  i 10 10 Ví dụ 3: Tìm phần ảo số phức z biết z   i  1  2i  Giải:    z   2i  2i   2i Suy ra, z   2i Phần ảo số phức z   (1  i )(2  i )  2i Ví dụ 4: Tìm mô đun số phức z  Giải: Ta có: z  5i  1 i 5 26 1 Vậy mô đun z bằng: z      5   3i Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z  1 i  Tìm môđun số phức z  iz Giải:  Ta có:  3i   8 Do z  8  4  4i  z  4  4i 1 i  z  iz  4  4i   4  4i  i  8  8i Vậy z  iz  Ví dụ 6: Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: a) 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i c) x   5i   y 1  2i   35  23i Giải: a) Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i  x    3 x  y  y     5 x  x  y y    x  x  y   x  y   x  y     11     x  y  x  y  5 x  y  3 y   11 b) Theo giả thiết ta có: c) Ta có 1  2i   1  2i  1  2i    3  4i 1  2i   2i  11 Suy x   5i   y 1  2i   35  23i  x   5i   y  2i  11  35  23i 3 x  11 y  35 x    x  11 y    x  y  i  35  23i    5 x  y  23 y   Bài tập tự luyện Bài Tìm số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; Bài Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) số thực Bài Cho hai số phức: z1   5i ; z   4i Xác định phần thực, phần ảo số phức z1.z2 Bài Tìm phần thực, phần ảo mô đun số phức: a) z  (2  3i )(1  i )  4i b) z  (2  2i )(3  2i )(5  4i )  (2  3i )3 Bài Tìm số phức: 2z  z 25i , biết z   4i z Bài Cho số phức z = + 3i.Tìm phần thực phần ảo số phức w z i iz  2.2 Dạng 2: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: z , z , z , ta sử dụng Dạng đại số z z  x  yi với x, y  R Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z    3i  z   9i Giải: Gọi z= a+ bi (a,b  R ) ta có: z    3i  z   9i  a  bi    3i  a  bi    9i  a  3b  a   a  3b   3a  3b  i   9i    3a  3b  b  1 Vậy z= 2-i   Ví dụ 2: Tính mô đun số phức z biết rằng:  z  11  i   z  1  i    2i Giải: Gọi z= a+ bi (a, b  R ) Ta có  z  11  i    z  1 1  i    2i   2a  1  2bi  1  i    a  1  bi  1  i    2i   2a  2b  1   2a  2b  1 i   a  b  1   a  b  1 i   2i  a  3a  3b     3a  3b    a  b   i   2i    a  b   2 b    Suy mô đun: z  a  b  2 Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z  z.z  z  z  z  Giải 2 Gọi z = x + iy (x, yR), ta có z  x  iy; z  z  z z  x  y 2 z  z.z  z   4( x  y )   ( x  y )  (1) z  z   x   x  (2) Từ (1) (2) tìm x = ; y = 1 Vậy số phức cần tìm + i - i Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z   2i  z   4i ảo Giải Đặt z= x+ yi (x,y  R ) Theo ta có z  2i số zi x    y  2 i  x     y  i 2 2   x  1   y     x  3   y    y  x  z  2i x   y   i x   y   y  1  x  y  3 i Số phức w    x  1  y  i z i x   y  1  x   y   y  1  12  x    w số ảo  x   y  1   y  x   y  23   12 23 Vậy z    i 7 Ví dụ 5: Tìm tất số phức z biết z  z  z Giải: Gọi z= a+ bi (a, b  R ) ta có: 2 z  z  z   a  bi   a  b  a  bi  a  b  2abi  a  b  a  bi  a  b   2 2 a  2b a  b  a  b  a 1    a   ; b   2 b  2a  1   2ab  b  1 a   ; b   2 1 1 Vậy z=0; z    i; z    i 2 2 Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn z  z2 số ảo Giải: Gọi z= a+ bi (a, b  R ) Ta có z  a  b z  a  b  2abi 2  a  b  a   a  1 Yêu cầu toán thỏa mãn     2 a  b  b  b  1   Vậy số phức cần tìm 1+i; 1-i; -1+i; -1-i Ví dụ 7: Tìm số phức z biết z  5i 1  z Giải: Gọi z= a+ bi (a, b  R ) a  b  ta có z 5i 5i    a  bi     a  b   i  a  bi  z a  bi a  b  a     a  b  a  5  b  i    b   2    a  1; b   a  a     b     a  2; b   Vậy z  1  i z   i   Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn z  i   z  1 z  i số thực Giải: Giả sử z= x+ yi (x, y  R ) Khi đó, z  i   x   y  1  1  z  1  z  i    x   yi   x   y  1 i   x  x  1  y  y  1   x  y  1 i  z  1  z  i   R  x  y     Từ (1) (2) ta có x=1; y=0 x=-1; y=2 Vậy z=1; z=-1+ 2i  Bài tập tự luyện Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z   i  Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Bài Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = – 2i Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z    i   10 z.z  25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn z  1  2i   26 z.z  25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: a) z  z số ảo b) z  phần thực z hai lần phần ảo Bài Tìm số phức z thoả mãn z  z2 số ảo Bài Giải phương trình: a) z  z  b) z  z  z Bài Tìm số phức z biết ( z  1)(1  i )  z 1  | z |2 1 i Bài Tìm số phức z biết: z   (1  i )( z  1) có phần ảo 2.3 Dạng 3: Biểu diễn hình học số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Trong dạng này, ta gặp toán biểu diễn hình học số phức hay gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến môđun số phức) Khi ta giải toán sau: Giả sử z = x+yi (x, y  R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: a) z   i =2 b)  z   i c) z  4i  z  4i  10 Giải: Đặt z = x +yi (x, y  R) biểu diễn điểm M(x;y) a) Xét hệ thức: z   i =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y  R)  z – + i = (x – 1) + (y + 1)i Khi (1)  ( x  1)  ( y  1)   (x-1)2 + (y + 1)2 = 4. Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường tròn có tâm I(1;-1) bán kính R = y b) Xét hệ thức  z  z  i  |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|  (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2  4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + = A -2 Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB c) Xét hệ thức: z  4i  z  4i  10 B x O -1 -1 -2 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: z  4i  z  4i  10  MF1 + MF2 = 10 Ta có F1F2 =  Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F1 F2 có độ dài trục lớn 10 Phương trình (E) là: x2 y  1 16 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  i  1  i  z Giải: Đặt z= x+ yi (x,y  R ) Ta có: z  i  1  i  z  x   y  1 i   x  y    x  y  i 2  x   y  1   x  y    x  y  2  x  y  xy    x   y  1  2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn có phương trình x   y  1  Ví dụ 3: Cho số phức z1 1  3i   (1  i )5 Tìm tập hợp điểm biểu diễn A  z  2iz , biết x  y   Giải t   t  4t    t  t   B  0;  1 , C  4;  1 t   B  4;  1 , C  0;  1 Giả sử z2  x  yi x, y  R biểu diễn điểm M(x;y) Khi ta có:  nP   a , b, c  , a  b  c  Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z2 đường tròn tâm O, bán kính Ví dụ 4: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có môđun nhỏ Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y  R) biểu diễn điểm M(x;y) Ta có x   ( y  4)i  x  ( y  2)i (1)  ( x  2)2  ( y  4)2  x  ( y  2)  y   x  Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường thẳng x + y = Mặt khác z  x  y  x  x  x  16  x  x  16 Hay z   x     2 Do z  x   y  Vậy z   2i   Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn u   z   i  z   3i số thực Tìm giá trị nhỏ z Giải Đặt z= x+ yi (x, y  R ) ta có u   x  3   y  1 i   x  1   y  3 i   x  y  x  y    x   y   i Ta có: u  R  x  y   Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) điểm biểu diễn z mô đun z nhỏ độ dài OM nhỏ  OM  d Tìm M(-2;2) suy z=-2+2i Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mô đun lớn thỏa mãn điều kiện Z 1  i    2i  Giải Gọi z  x  yi ( x, y  R)  z  x  yi z (1  i )   2i  13 39  x2  y  x  y  0 8 13 Gọi M (x;y) điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy  M  (C ) đường tròn có tâm 26 I ( ; ) bán kính R  2 Gọi d đường thẳng qua O I  d : y  x 15 Gọi M1, M2 hai giao điểm d (C)  M ( ; ) M ( ; ) 4 4 OM  OM Ta thấy  OM  OI  R  OM ( M  (C ))  số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay z  15  i 4 Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u  z   3i số ảo z i Giải Đặt z= x+ yi (x, y  R ), đó: u  x     y  3 i   x     y  3 i   x   y  1 i  x   y  1 i x   y  1 x   y  x  y  3   x  y  1 i x   y  1  x  1   y  1   x  y  x  y    u số ảo  2  x   y  1   x; y    0;1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1)  Bài tập tự luyện Bài Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z  (1  3i )  z   2i b) z  i  z  z  2i c) z    4i   Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều Bài Trong số phức thỏa mãn z   3i  kiện: z  i  z  3i  Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   5i  z   i Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn z   i  52 , tìm số phức z mà z   2i nhỏ 2.4 Dạng Phương trình bậc hai tập số phức 2.4.1 Vấn đề Tìm bậc hai số phức (Đọc thêm) Cho số phức w = a + bi Tìm bậc hai số phức Phương pháp: +) Nếu w =  w có bậc hai +) Nếu w = a > (a  R)  w có hai bậc hai a - a +) Nếu w = a < (a  R)  w có hai bậc hai ai - ai +) Nếu w = a + bi (b  0) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w  z2 = w  (x+yi)2 = a + bi  x2  y2  a  xy  b  Để tìm bậc hai w ta cần giải hệ để tìm x, y Mỗi cặp (x, y) nghiệm phương trình cho ta bậc hai w Nhận xét: Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối Ví dụ: Tìm bậc hai số phức sau: a) + i b) -1-2 i Giải: 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = + i  (1) y   x  y    2 x  Khi đó: z = w  (x+yi) = + i  2 xy   x  45  (2)  x2 2 (2)  x4 – 4x2 – 45 =  x2 =  x = ± x=3y= x = -3  y = - Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = + i z2 = -3 - i 2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = -1-2 i   2 y (1)   x  y     2 x  Khi đó: z = w  (x+yi) = -1-2 i    x   1 (2) 2 xy  2  x2 (2)  x4 + x2 – =  x2 =  x = ± 10 x= y=- x=- y= Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = - i z2 = - + i 2.4.2 Vấn đề 2: Giải phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = (1) (A, B, C  C, A  0) Phương pháp: Tính  = B2 – 4AC B   B   *) Nếu   phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = , z2 = 2A 2A (trong  bậc hai ) *) Nếu  = phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 =  B 2A Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức a) z  z   b) x  x   c) z  z   Giải: a) z  z        3  3i  bậc hai  i  Phương trình có nghiệm: z1  1 i 3   i, z2   i 2 2 b) x  x       20  16  16i  Căn bậc hai  4i  Phương trình có nghiệm: x1  1  2i, x2  1  2i c) z  z    Đặt t = z2  Phương trình trở thành: z2   z  1 t  t  2t       t  3  z  i  z  3  Vậy phương trình có nghiệm: -1, 1, i 3, i Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai sau: a) z2 + 2z + = b) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = (tham khảo) Giải: a) Xét phương trình: z2 + 2z + = Ta có:  = -4 = 4i2  phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i z2 = -1 – 2i 11 b) Ta có:  = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2 nên 1+i bậc hai số phức 2i  Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 3i    i 3i    i  2i ; z2 =  1  i 2 Ví dụ 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  10  Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 Giải: Ta có 2 z  z  10    z  1  9   z  1   3i   z  1  3i   z  1  3i z1  1  3i  z1   1  32  10 z2  1  3i  z2  10 2 Vậy A  z1  z2  20 Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z  z  13  Tính z  zi Giải:  z   2i 2 z  z  13    z  3  4   z  3   2i     z   2i Với z   2i ta có z  6   2i    i  17 z i  3i Với z   2i ta có z  6   2i   24  7i  z i 3i Ví dụ 5: Giải phương trình sau tập hợp số phức: z   7i  z  2i (tham khảo) z i Giải Điều kiện: z  1 Phương trình cho tương đương với z    3i  z   7i  Phương trình có biệt thức     3i   1  7i    4i    i  Phương trình có hai nghiệm là: z   2i z   i  Bài tập tự luyện 12 Bài Cho z1 , z2 nghiệm phức phương trình z  z  11  Tính giá trị 2 z  z2 biểu thức A = ( z1  z2 ) Bài Gọi z1 ; z2 nghiệm phức phương trình: z  z   Tính: ( z1  1)2011  ( z2  1) 2011 2.4.3 Vấn đề 3: Phương trình quy bậc hai ( Đọc thêm) - Đối với dạng ta thường gặp phương trình bậc phương trình bậc dạng đặc biệt quy bậc hai - Đối với phương trình bậc (hoặc cao hơn), nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa phương trình tích) từ dẫn đến việc giải phương trình bậc bậc hai - Đối với số phương trình khác, ta đặt ẩn phụ để quy phương trình bậc hai mà ta biết cách giải a Phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ 1: Giải phương trình: z3 – 27 = z  z  Giải: z – 27 =  (z – 1) (z + 3z + 9) =     z  3  3i  z  3z    2,3 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình tập hợp số phức: z  z  z  z  16  Giải: Nhận biết hai nghiệm z=-1 z=2 Phương trình cho tương đương với  z   z  1  z    Giải ta bốn nghiệm: z  1; z  2; z  2 2i Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (1)biết phương trình có nghiệm ảo (Tham khảo) Giải: Đặt z = yi với y  R Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i =  -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = = + 0i đồng hoá hai vế ta được:   2y  4y  giải hệ ta nghiệm y =   y  y  y  10  Suy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i 13 * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i  vế trái (1) phân tích dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b  R) đồng hoá hai vế ta giải a = b =  z  2i  z  2i    z  1  2i  (1)  (z – 2i)(z +2z + 5) =   z  2z    z  1  2i  Vậy phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình z    i  z    i  z  16  2i  biết phương trình có nghiệm thực (Tham khảo) Giải Gọi nghiệm thực z0 ta có: z0    i  z02    i  z0  16  2i   z0  3z0  z0  16    z0  2  zo  z0   Khi ta có phương trình  z    z    i  z   i   Tìm nghiệm phương trình z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i Ví dụ 5: Giải phương trình z    3i  z  1  2i  z  9i  biết phương trình có nghiệm ảo (tham khảo) Giải Giả sử phương trình có nghiệm ảo bi, b  R Thay vào phương trình ta được:  bi     3i  bi   1  2i  bi   9i  2b  6b   2b  6b   b  3b  3b   i     b  3 b  3b  3b    z  3i Phương trình phân tích thành  z  3i   z  z  3  Các nghiệm phương trình z= -3i; z   2i b Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, phương trình cho có dạng: 14  1  23i z    z  z 6    t  6 1  23i   z  t2 + 4t – 12 =   t  z  z    z    z  2 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình cho có dang: t  z t2 +2zt – 3z2 =  (t – z)(t+3z) =   t  3 z  z  1  5i + Với t = z  z2 + 3z +6 –z =  z2 + 2z + =    z  1  5i  z  3  + Với t = -3z  z2 + 3z +6 +3z =  z2 + 6z + =    z  3  Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: ( z  z )( z  3)( z  2)  10 , z  C Giải: PT  z ( z  2)( z  1)( z  3)  10  ( z  z )( z  z  3)  Đặt t  z  z Khi phương trình (8) trở thành: Đặt t  z  z Khi phương trình (8) trở thành t  3t  10  t  2  z  1  i   t   z  1  Vậy phương trình có nghiệm: z  1  ; z  1  i Ví dụ 4: Giải phương trình sau tập số phức z  z  z2  z 1  Giải: Nhận xét z=0 không nghiệm phương trình (1) z  1 Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được: ( z  )  ( z  )   (2) z z 15 (tham khảo) 1 Khi t  z    z   t  z z z Phương trình (2) có dạng: t2-t+  (3)     9  9i 2  3i  3i PT (3) có nghiệm t= ,t= 2  3i 1  3i Với t= ta có z    z  (1  3i) z   (4) z Có   (1  3i )  16   6i   6i  i  (3  i ) Đặt t=z- (1  3i )  (3  i ) (1  3i )  (3  i ) i    i ,z=  4  3i 1  3i Với t= ta có z    z  (1  3i ) z   (4) z 2 Có   (1  3i )  16   6i   6i  i  (3  i ) PT(4) có nghiệm: z= (1  3i )  (3  i ) (1  3i)  (3  i ) i    i ,z=  4 i 1 i  Vậy PT cho có nghiệm: z=1+i; z=1-i ; z= ; z= 2 PT(4) có nghiệm: z= 16 ... 25i , biết z   4i z Bài Cho số phức z = + 3i.Tìm phần thực phần ảo số phức w z i iz  2.2 Dạng 2: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng... điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều Bài Trong số phức thỏa mãn z   3i  kiện: z  i  z  3i  Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn... 4i  z  2i Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   5i  z   i Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn z   i  52 , tìm số phức z mà z  