Bài tập có lời giải chi tiết môn toán lớp 12 tỉ số thể tích

Gọi ' V là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD Tính tỉ số.. Cho tứ diện có thể tích bằng .V Gọi V ¢ là thể tích của khối đa diện có các đ

Bài tập có lời giải chi tiết môn Toán lớp 12: Tỉ số thể tích

Câu 1 Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB AC và AD đôi một vuông góc Các điểm, , ,

M N P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC CD BD Biết rằng, , AB= 4a, AC=6a, 7

AD= a Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP

A.V =7 a3 B.V= 28 a3 C.V =14 a3 D.V = 21 a3

Câu 2 Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi ' V là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là

trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD Tính tỉ số V'

V

27

V

27

V

27

V

27

V

V =

Câu 3 Cho hình chóp S ABC có chiều cao bằng 9 , diện tích đáy bằng 5 Gọi M là trung

điểm của cạnh SB và N thuộc cạnh SC sao cho NS= 2NC Tính thể tích V của khối chóp

A BMNC

Câu 4 Cho khối chóp S ABC có thể tích bằng 16 Gọi M N P lần lượt là trung điểm các, , cạnh SA SB SC Tính thể tích V của khối tứ diện, , AMNP

Câu 5 Cho tứ diện ABCD có thể tích V Xét các điểm P thuộc đoạn AB , điểm Q thuộc

PB= QC= RD= Tính thể tích của

khối tứ diện BPQR theo V

5

BPQR V

4

BPQR V

3

BPQR V

6

BPQR V

Câu 6 Cho tứ diện ABCD có AB AC AD đôi một vuông góc và, , AB= 6 ,a AC=9 ,a

3

AD= a Gọi M N P lần lượt là trọng tâm của các tam giác, , ABC ACD ADB Tính thể, ,

tích V của khối tứ diện AMNP

Câu 7 Cho hình chóp S ABC có SA=3, SB= 4, SC=5 và ·ASB BSC CSA= · = · = 60 0 Tính

thể tích V của khối chóp đã cho.

Câu 8 Cho tứ diện có thể tích bằng V Gọi V ¢ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các

trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ sốV

V

¢

2

V

V

¢

4

V V

¢

3

V V

¢

8

V V

¢

= Câu 9 Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a Gọi M là trung

điểm SB , N là điểm trên đoạn SC sao cho NS= 2NC Tính thể tích V của khối chóp

A BCNM

A.V = a33611 B.V = a31611 C.V = a32411 D.V = a31811

Câu 10 Cho hình chóp đều S ABC có tất cả các cạnh bằng a Mặt phẳng ( )P song song với

mặt đáy (ABC và cắt các cạnh bên) SA SB SC lần lượt tại, , M N P Tính diện tích tam, ,

giác MNP biết mặt phẳng( )P chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau.

A 2 3

8

MNP a

16

MNP a

4 2

MNP a

4 4

MNP a

SD =

Câu 11 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a = Trên đường thẳng qua C và vuông góc với

(ABC lấy điểm D sao cho CD a) = Mặt phẳng( )a qua C và vuông góc với BD , cắt BD tại F

và cắt AD tại E Tính thể tích V của khối tứ diện CDEF

6

a

24

a

36

a

54

a

V =

Câu 12 Cho tứ diện ABCD có thể tích V và các điểm M N P thỏa mãn điều kiện, , 2

AM = AB

uuuur uuur

, ANuuur =3ACuuur và APuuur= 4ADuuur Mệnh đều nào dưới đây đúng?

24

AMNP V

V = B.V AMNP =8 V C.V AMNP= 24 V D

8

AMNP V

Câu 13 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M N lần lượt là trung điểm của các, cạnh AB BC và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng, (MNE chia khối tứ diện)

ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V Tính V

216

a

216

a

216

a

18

a

V =

Câu 14 Mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, song song với một mặt phẳng của tứ diện và chia khối tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của hai phần đó

A 2

4

Câu 15 Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng 1 Mặt phẳng ( )P đi qua điểm S và trọng tâm

G của tam giác ABC cắt các cạnh AB AC lần lượt tại, M N Tính thể tích nhỏ nhất, Vmin của khối tứ diệnSAMN

18

9

27

36

Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 48 Gọi

,

M N lần lượt là điểm thuộc các cạnh AB CD sao cho, MA MB= , NC= 2ND Tính thể

tích V của khối chóp S MBCN

Câu 17 Cho hình chóp S ABCD Gọi ', ', ', ' A B C D lần lượt là trung điểm của SA, SB, ,

SC SD Tính tỷ số k của thể tích khối chóp ' ' ' ' S A B C D chia cho thể tích khối chóp

S ABCD

Câu 18 Cho khối chóp S ABCD có thể tích bằng V Lấy điểm ' A trên cạnh SA sao cho

1

'

3

SA = SA Mặt phẳng( )a qua ' A và song song với đáy(ABCD cắt các cạnh) SB SC SD, , lần lượt tại ', ', 'B C D Tính thể tích ' V của khối chóp ' ' ' ' S A B C D

A 'V = V3 B 'V = V9 C 'V = 27V D 'V = 81V

Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Mặt phẳng( )a đi qua , A B

và trung điểm M của SC Mặt phẳng ( )a chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích

lần lượt làV V với1, 2 V1<V2 Tính tỉ số 1

2

V V

A 1

2

1

4

V

2

3 8

V

2

5 8

V

2

3 5

V

V = Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ,

1

BA BC= = , AD = Cạnh bên SA vuông góc với đáy và2 SA = 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Tính thể tích V của khối đa diện SAHCD

3

9

3

9

Câu 21 Cho hình chóp đều S ABCD Gọi N là trung điểm SB M là điểm đối xứng với B, qua A Mặt phẳng (MNC chia khối chóp ) S ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là

1, 2

V V với V1<V2 Tính tỉ số 1

2

V V

A 1

2

5

7

V

11

V

9

V

13

V

V =

Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a= vuông góc với mặt phẳng đáy(ABCD Điểm M thuộc cạnh SA sao cho) SM k

SA = Xác định k sao cho mặt

phẳng(MBC chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau.)

2

2

2

4

k= +

Câu 23 Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD A B C D , ' ' ' ' V là thể tích tứ diện1 '

A ABD Hệ thức nào sau đây đúng?

Câu 24 Cho lăng trụ đứng ABC A B C Gọi D là trung điểm AC Tính tỉ số k của thể tích ' ' ' khối tứ diện 'B BAD và thể tích khối lăng trụ đã cho.

4

12

3

6

k = Câu 25 Cho khối lăng trụ ABC A B C Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và

song song với BC cắt các cạnh AB AC lần lượt tại, M N Mặt phẳng, (A MN¢ ) chia khối

lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng

A 2

27 Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AC = 2 2

Biết AC¢ tạo với mặt phẳng (ABC một góc) 60 và0 AC¢= Tính thể tích V của khối đa4

diện ABCC B

3

3

3

V =

Câu 27 Cho khối hộp ABCD A B C D có thể tích V Các điểm M N P thỏa mãn điều kiện, , 2

AM = AC

uuuur uuur

, ANuuur= 3AB¢uuur và APuuur= 4AD ¢uuuur Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo V

A.V AMNP= 8 V B.V AMNP = 4 V C.V AMNP= 6 V D.V AMNP=12 V

Câu 28 Cho hình lăng trụ ABC A B C có thể tích bằng V Các điểm M , N , P lần lượt ' ' ' thuộc các cạnh AA ,' BB ,' CC sao cho' AM' 12

BB = CC = Tính thể tích 'V của khối

đa diện ABC MNP

A ' 2

3

16

27

18

Câu 29 Người ta cần cắt một khối lập phương thành hai

khối đa diện bởi một mặt phẳng đi qua A (như hình vẽ)

sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa điểm B bằng

một nửa thể tích của khối đa diện còn lại Tính tỉ số

'

CN

k

CC

=

3

3

k =

4

2

k =

P

N M

D'

C' B'

A'

D

C B

A

Câu 30 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M là điểm thuộc đoạn CC thỏa mãn' ' 4

CC = CM Mặt phẳng (AB M chia khối hộp thành hai phần có thể tích là' ) V và1 V Gọi2 1

V là phần có chứa điểm B Tính tỉ số 1

2

V k V

32

16

25

32

k =

Giải chi tiết bài tập tỉ số thể tích

Câu 1 Tứ diện ABCD có các cạnh AB AC và AD đôi,

6

ABCD

V = AB AC AD= a

.

4

AMNP A BCD

B

A

D

Câu 2 Gọi M là trung điểm AC; E F làn lượt là trọng,

tâm của tam giác ABC ACD,

3

EF= BD

Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra

bằng 1

3 cạnh của tứ diện ban đầu.

Do đó

3

V

V =çç ÷ç ÷÷ = Chọn C.

F E

D

A

M

Câu 3 Từ giả thiết, ta có 2

3

SN

2

SM

SB =

Thể tích khối chóp . 1.9.5 15

3

S ABC

Ta có .

.

S AMN

ABMNC S ABC

S ABC

Chọn D

S

C

M N

Câu 4 Ta có d S MNP,( )=d A MNP,( ) nênV AMNP =V SMNP

8

SMNP

SABC

8

AMNP S ABC

Câu 5 Từ giả thiết, ta có

BA= BC= BD=

3 4 5 5

BPQR

BACD

BPQR BACD V

Chọn A

R Q

P

D C

B

A

6

ABCD

V = AB AC AD= a

Gọi , ,E F G lần lượt là trung điểm của BC CD DB , ,

AEFG ABCD

Do M N P là trọng tâm của các tam giác, , ABC,

,

3

AE = AF = AG=

Ta có .

.

8

27

A MNP

A EFG

3

27

A MNP A EFG

G

F E

D N M

C B

A

P

Câu7 Trên các đoạn SB SC lần lượt lấy các điểm,

,

E F sao cho SE SF= = 3

Khi đó S AEF là khối tứ diện đều có cạnh a = 3

S AEF a

Ta có .

.

4 5 20

S AEF

S ABC

9

S ABC S AEF

F

E

S

C

Câu 8 Kí hiệu tứ diện và các điểm như hình vẽ.

Ta có .

.

1

S A B C

S A B C

S ABC

8

A A MP B B MN C C NP V

Do đó V¢=V S ABC. - (V S A B C. +V A A MP. +V B B MN. +V C C NP. )

1

V

V

¢

÷ ç

P

C' B'

A'

C B

A

S

Câu 9 Gọi O là tâm của ABCD , suy ra SO^ (ABC)

3

a

SO= SA - AO =

Ta có .

.

1 2 1

2 3 3

S AMN

S ABC

.

ABCNM

ABCNM S ABC

S ABC

O

N M S

C B

A

Câu 10 Mặt phẳng( ) (P  ABC)và cắt các cạnhSA SB SC lần lượt tại, , M N P, ,

SA = SB = SC=

.

S MNP

S ABC

V = SA SB SC=

3

S MNP

S ABC

Suy ra tam giác MNP là tam giác đều cạnh 3

2

a

Vậy diện tích

4

SD =çç ÷ç ÷÷÷ = Chọn D

P A

B

C

S

M

N

AB CD

íï ^

Lại có BD^ ( )a Þ BD CE^ ( )2

Từ( )1 và( )2 , suy raCE^ (ABD)Þ CE AD^

Tam giác vuông ABC , có BC= AB2+AC2 =a 2

Tam giác vuông DCB , có BD= BC2+CD2 =a 3

3

CD DF DB

F D

A

B C

E

Tương tự, ta cũng có 22 1.

2

DA= DA =

.

D EFC

D EFC D ABC

D ABC

Câu 12 Từ giả thiết, suy ra

.

2 3 4 24

A BCD

A MNP

Suy raV A MNP. = 24.V A BCD. = 24 V Chọn C

D

N M

C B A

P

Câu 13 Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là 3 2

12

ABCD a

Gọi P EN CD= Ç và Q EM AD= Ç

Suy ra , P Q lần lượt là trọng tâm của BCED và ABED

Gọi S là diện tích tam giác BCD , suy ra SDCDE =SDBNE =S

SD = SD =

Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD , suy ra

d M BCD = d Q BCD =

V = SD d Q BCD =

PQD NMB M BNE Q PDE S h S h S h S h ABCD

Chọn B

Câu 14 Gọi , , E F I lần lượt là trung điểm của các cạnh

, ,

AC BD EF khi đó I là trọng tâm của tứ diện

ABCD Ta sẽ dựng mặt phẳng qua I song song với

(BCD)

Trong mặt phẳng (EBD) dựng đường thẳng qua I

song song với BD cắt FB FD lần lượt tại, M N,

Qua M N lần lượt kẻ các đường thẳng lần lượt song,

song với BC CD, cắt AB AC AD, , lần lượt tại

, ,

P Q J

J I

F

P

D

A

B

C

4

AQ EC AC

4

AB= AD= AC=

Ta có

.

Câu 15 Gọi E là trung điểm của BC Qua , B C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN

và cắt đường thẳng AE tại , P Q

P

Q

N

M

E D

C B

A

G E Q P

N M

C B

A

A

B

C S

M

N

íï

ïïïî Mặt khácDBPE= DCQE PE QE AP AQ= (AE PE- ) (+ AE QE+ )= 2AE

2

ïî

Vì SABC là tứ diện đềuÞ SG^ (ABC)và 2

3

SG =

SAMN AMN

V = SD SG= ççç AM AN ÷÷÷SG= AM AN = xy

Câu 16 Gọi d là khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh CD

Diện tích hình bình hành S ABCD= AB d

Ta có S MBCN =S ABCD- SDAMN- SDADN

12AB d 12S ABCD

S MBCN S ABCD

N

M D

B C

A S

Câu 17 Lưu ý: Tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác nên nếu đáy là tứ giác ta chia đáy thành hai tam giác

Ta cóV S A B C D ' ' ' ' =V S A B C ' ' '+V S A D C ' ' '

.

'. '. ' 1 1 1 1 . .

2 2 2 8

S A B C

S ABC

Suy ra ' ' ' 1 .

8

S A B C S ABC

Tương tự ta cũng có ' ' ' 1 .

8

S A D C S ADC

S A B C D S ABC S ADC S ABC S ADC S ABCD

B' A'

S

A

C

B D

Suy ra ' ' ' '

.

1

8

S A B C D

S ABCD

V

3

A B AB

3

SC = SD =

Ta cóV S A B C D ' ' ' ' =V S A B C ' ' '+V S A D C ' ' '

.

'. '. ' 1 1 1 . 1.

3 3 3 27

S A B C

S ABC

27

S A B C S ABC

Tương tự ta cũng có ' ' ' 1 . .

27

S A D C S ADC

B C A

C' D' S

S A B C D S ABC S ADC S ABC S ADC S ABCD V

Câu 19 Kẻ MN CDP (N CDÎ ), suy ra ABMN là thiết diện của khối chóp.

Ta cóV S ABMN. =V S ABM. +V S AMN.

.

S ABM

S ABM S ABC S ABCD

S ABC

.

S AMN

S AMN S ABCD

S ACD

S ABMN S ABCD S ABCD S ABCD

8

ABMNDC S ABCD

2

3

5

V

S

A

D

Câu 20 Tam giác vuông SAB , có SB= SA2+AB2= 3

Gọi M là trung điểm AD ABCM là hình vuông nên CM = AB a= = AD2

tam giác ACD vuông tại C

Ta cóV S AHCD. =V S ACD. +V S AHC.

S ACD ACD

V = SD SA= ççç AD AB SA÷÷÷ =

2

S AHC

S AHC S ABC

S ABC

S AHCD

C B

A

S

H

Câu 21 Gọi ,h S lần lượt là chiều cao và diện

tích đáy của khối chóp S ABCD Khi đó

3

S ABCD

cắt AD tại F Tam giác SBM có , A N lần

lượt là trung điểm của BM và SB suy ra E

là trọng tâm tam giác SBM Tứ giác ACDM

E M

N S

A C

B

D

Ta cóV BNC AEF. =V ABCEN+V E ACF.

.

S ENC

S ENC S ABC

S ABC

V = SA SB =

ABCEN S ABC S ABCD S ABCD

V V = ççç V ÷÷÷= V

BNC AEF ABCEN E ACF S ABCD S ABCD S ABCD

2

12 S ABCD V 7

V

SD = SA =

chóp thành hai phần là S MBCN và AMBDNC

Ta cóV S MBCN. =V S MBC. +V S MCN.

.

S MBC

S MBC S ABC

S ABC

.

S MCN

S MCN S ACD

S ACD

S MBCN S ABCD S ABC S ACD S ABCD

.

S ABCD S ABCD

S ABCD

Câu 23 Ta cóV=S ABCD.AA' và 1 1 '

3 ABD

V = SD AA

Mà

1

2

V

Suy raV = 6 V1 Chọn A

A

D

A' B'

C'

D'

Câu 24 Ta cóV ABC A B C ' ' '=SDABC.BB' và

3

B BAD BAD

' ' '

ABC A B C

V

V

C'

B' A'

C

B A

Câu 25 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

3

AG AE

Đường thẳng d đi qua G và song song BC , cắt các

cạnh AB AC lần lượt tại, M N,

2 3

N

M

C

C'

N M

B

D C

A S

4

3

íï

ïïïî

( )1

Ta cóV ABC A B C. =SDABC.AA' và '. 1 . '.

3

A AMN AMN

Từ( )1 và( )2 , suy ra ' .

4 27

A AMN ABC A B C

27

BMNC A B C ABC A B C

.

4 23

A AMN

BMNC A B C

V

Câu 26 Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng(A B C )

Suy ra HC¢ là hình chiếu của AC¢ trên mặt phẳng(A B C )

Do đó 600= AC A B C·,( )= AC HC·, = AC H·

Tam giác AHC¢, có AH = AC.sinAC H· = 2 3

2

ABC AC

Suy raV ABC A B C. =SDABC.AH = 8 3

A A B C A B C ABC A B C

3

ABCC B ABC A B C A A B C

H

C'

B' A'

C B A

Câu 27 Ta cóV V= AB D C' ' +(V AA B D' ' '+V CC B D' ' '+V D DAC' +V B BAC' )

6

AA B D CC B D D DAC B BAC V

Suy ra ' '

3

AB D C V

Ta có .

.

1

24

A B D C

A NPM

3

A NPM A B D C V

C D

C' D'

Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích của khối tứ diện (4 đỉnh nằm trên hai đường chéo của hai mặt đối diện) có thể tích bằng 1

3 của khối lăng trụ tam giác.

Câu 28 Công thức giải nhanh V ABC MNP. =ççm n p+ + ÷3 ÷÷V

18

ABC MNP

Chọn D

P M

N

A

B C

A'

B' C'

Câu 29 Công thức giải nhanh

' ' ' '

0

AMNPBCD ABCDA B C D

V

Theo giả thiết, ta có

' ' ' '

0

AMNPBCD ABCDA B C D

CN

+

Câu 30 Trong mặt phẳng(CDD C , kẻ' ') MN C DP ' với N CDÎ Suy raCN = 14CD vàV là1 khối đa điện ABB NCM'

A

C

A'

C' D'

D

M N A

B

C

A'

M N

M D

D'

C' B'

A'

C B

A

Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ) Khi đóV ABB NCM'. =V ABB CM' +V MACN

1

ABB CM ABC A B C

V = + + V = ççç V÷÷÷

2

V

4 4

MACN C ADC

V = V vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần