Giải toán HHKG bằng PPtoạ độ

Phần I: Giới thiệu đề tài Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện cho học sinh dự thi tốt nghiệp, thi chọn học viên giỏi Bổ túc THPT các cấp cũng nh thi Đại học - Cao đẳng, bản thân tôi nhận thấy học sinh gặp không ít khó khăn khi giải bài tập hình học không gian. Đặc biệt là các bài toán chứng minh quan hệ song song, vuông góc, các bài toán tính khoảng cách, xác định góc, tính diện tích của các hình, thể tích các khối. Nhất là đối với học viên khối 12 - Bổ túc Trung học phổ thông lại càng khó khăn hơn, do khả năng t duy tởng tợng hình không gian của học viên còn hạn chế. Trong khi đó, rất nhiều bài toán của chơng trình GDTX cấp THPT, khi biết cách sử dụng phơng pháp tọa độ thì bài toán có thể đợc giải quyết một cách đơn giản hơn. Vì phơng pháp toạ độ có thể đợc xem nh một phơng pháp đại số hoá bài toán hình học. Bằng phơng pháp này, học viên chủ yếu làm việc với các con số, không cần t duy hình học nhiều và gây hứng thú cho học viên khi giải các bài toán này. Vì lý do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài Dùng phơng pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian, với hy vọng cung cấp thêm một phơng pháp giải toán cho học viên. Và qua thực tế kiểm nghiệm cũng đã chứng minh đợc đề tài này áp dụng có hiệu quả. Phần II: nội dung đề tài i- Cơ sở khoa học 1. Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian và các kién thức liên quan. * Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy là hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O, với , ,i j k r r r là các véc tơ đơn vị tơng ứng ở trên các trục Ox, Oy, Oz. * u . 0v u v = r r r r * [ ] , 0u kv u v= = r r r r * Công thức toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng . * Công thức toạ độ trọng tâm của tam giác * Công thức toạ độ trọng tâm của tứ giác. * Diện tích tam giác, : thể tích hình hộp ' ' ' ' 1 , 2 , . ' ABC ABCDA B C D S AB AC V AB AD AA = = uuur uuur uuur uuur uuur * Các công thức tính góc. - Góc giữa hai đờng phẳng: . ' cos( ; ') . ' u u u u = r ur r ur với u r , 'u ur lần lợt là các véctơ chỉ phơng của , ' - Góc giữa đờng thẳng và ( )mp 1 . sin . u n u n = r r r r với u r là véctơ chỉ phơng của ; n r là véctơ pháp tuyến của ( )mp - Góc giữa ( )mp và ( )mp . ' cos . ' n n n n = r ur r ur với , 'n n r ur lần lợt là véctơ pháp tuyến của ( )mp và ( )mp . * Các công thức tính khoảng cách: - Khoảng cách từ 1 điểm M(x 0 , y 0 , z 0 ) đến ( )mp : Ax + By + Cz + D = 0 0 0 0 2 2 2 ( ;( )) Ax By Cz D d M A B C + + + = + + - Khoảng cách từ 1 điểm M 1 đến đờng thẳng ( Qua điểm M 0 , có véctơ chỉ phơng u r ) là: 0 1 1 , ( , ) M M u d M u = uuuuuur r r - Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau: ' 0 0 , ' . ( , ') , ' u u M M d u u = uuuuuur r ur r ur với u r , 'u ur lần lợt là véc tơ chỉ phơng của , ' ; M 0 , M 0 lần lợt là các điểm nằm trên , ' * Phơng trình mặt phẳng (phơng trình tổng quát, phơng trình tham số, phơng trình đoạn chắn) * Phơng trình đờng thẳng. 2. Nhận dạng các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phơng pháp tọa độ: Đó là những bài toán liên quan đến: a. Hình hộp lập phơng, Hình hộp chữ nhật. b. Hình chóp tam giác SABC có SA (ABC); với đáy ABC là tam giác vuông tại A. c. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. d. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SO (ABCD). e. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và ( )SA ABCD . f. Tứ diện đều, hình chóp tam giác đều. g. Một số bài toán khác. Đối với những bài toán này, giáo viên cần hớng dẫn cho học viên cách chọn một hệ trục toạ độ thích hợp, thuận lợi cho việc xác định toạ độ các điểm để dùng phơng pháp toạ độ giải chúng. II- các bài tập điển hình: Sau đây là một số bài tập điển hình. Bài 1: ( Bài tập T.3 trang 88, sách BT Hình học12) Cho hình lập phơng ABCDABCD. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BB. a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với AC b) Chứng minh rằng DB vuông góc với mp(ACD), DB vuông góc với mp(ACB) c) Tính góc giữa hai đờng thẳng IJ và A / D 2 Lời giải: a) Giả sử hình lập phơng có độ dài các cạnh bằng a. Chọn hệ trục toạ độ Axyz nh hình vẽ, đơn vị trên trục bằng đơn vị độ dài. Khi đó: A(0;0;0) ; B(0;a;0); C(a;a;0); D(a;0;0) A(0;0;a) ; B(0;a;a); C(a;a;a); D(a;0;a) ( ;0; ); (0; ; ) 2 2 a a I a J a Suy ra ( ; ; ) 2 2 a a IJ a= uur , ' ( ; ; )AC a a a= uuuur . ' . . . 2 2 a a IJ AC a a a a= + uur uuuur = 0 Vậy 'IJ AC b) Để chứng minh ' ( ' ' )D B A C D : Cách 1: Ta chứng minh ' ' '; ' 'D B A C D B A D Ta có: ' ( ; ; )D B a a a= uuuur ; ' ' ( ; ;0)A C a a= uuuuur ; ' ( ;0; )A D a a= uuuur ' . ' ' 0D B A C = uuuur uuuuur ' ' 'D B A C ' . ' 0D B A D = uuuur uuuur ' 'D B A D Nên ' ( ' ' )D B A C D Cách 2: Ta có: 2 2 2 ' ' ( ; ;0); ' ( ;0; ) 0 0 ' ', ' ; ; ( ; ; ) 0 0 A C a a A D a a a a a a A C A D a a a a a a a = = = = ữ uuuuur uuuur uuuuur uuuur Mặt phẳng (ACD) có véctơ pháp tuyến 2 1 ' ', ' ( 1;1; 1)n A C A D a = = r uuuuuruuuur Đờng thẳng DB có véctơ chỉ phơng 1 . ' ( 1;1; 1)u D B a = = r uuuur Suy ra n u= r r nên đờng thẳng DB (ACD) Tơng tự ta chứng minh đợc ' ( ')D B ACB . c) Gọi là góc giữa hai đờng thẳng IJ và AD thì . .0 .( ) . ' 2 2 cos cos( , ' ) 0 2 6 ' . 2 2 a a a a a IJ A D IJ A D a IJ A D a + = = = = = uur uuuur uur uuuur uur uuuur Có thể nhận xét: . ' 0 ( , ' ) 2 IJ A D IJ A D = = uur uuuur Bài 2: Cho hình lập phơng ABCDABCD có cạnh bằng a. a) Chứng minh rằng giao điểm của đờng chéo AC và mp (ABD) là trọng tâm tam giác ABD. b) Tìm khoảng cách giữa hai mp (ABD) và mp (CBD). c)Tìm góc tạo bởi hai mp (DAC) và mp (ABBA). Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ (Đơn vị trên trục là đơn vị độ dài). 3 Khi đó: A(0;0;0); B(a;0;0) ; C(a;a;0) ; D(0;a;0); A(0;0;a); B(a;0;a); C(a;a;a) ; D(0;a;a) a) Ta có: ' ( ; ; )A C a a a= uuuur Đờng thẳng AC có véc tơ chỉ phơng: 1 . ' (1;1; 1)u A C a = = r uuuur Đờng thẳng AC có phơng trình tham số là: x = t; y = t; z = a - t (1) ' ( ; 0; ); ' (0; ; )AB a a AD a a= = uuuur uuuur 2 2 2 0 0 ', ' ; ; ( ; ; ) 0 0 a a a a AB AD a a a a a a a = = ữ uuuur uuuur Mặt phẳng (ABD) có véc tơ pháp tuyến 2 1 ', ' (1;1; 1)n AB AD a = = r uuuuruuuur Mặt phẳng (ABD) có phơng trình là x + y - z = 0. (2) Từ (1) và (2) giao điểm G của AC và (ABD) là 2 ( ; ; ) 3 3 3 a a a G . Mặt khác nếu G là trọng tâm tam giác ABD thì 2 '( ; ; ) 3 3 3 a a a G Tức là 'G G . Vậy G là trọng tâm tam giác ABD. b)Phơng trình mp(CBD) là x + y - z - a = 0 Suy ra mp(CBD)//mp(ABD) Do đó khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ G tới (CBD) và bằng : 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a a a a a a + = = + + c)Mặt phẳng(ABBA) có phơng trình là y = 0 Mặt phẳng(DAC) có phơng trình là y + z - a = 0 Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng trên. Khi đó: 1.1 0.1 1 cos 4 1. 1 1 2 + = = = + Bài 3: ( Đề thi Đại học Ngoại thơng TP. Hồ Chí Minh 2001-2002) Cho hình lập phơng ABCDABCD, cạnh bằng a. Giả sử M,N lần lợt là trung điểm của BC và DD. a) Chứng minh rằng MN// (ABD). b) Tính khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng BD và MN theo a. Lời giải: Ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình vẽ (Đơn vị trên trục là đơn vị độ dài) Khi đó: A O ; A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; D(0;a;0); A(0;0;a) ; D(0;a;a); M(a; 2 a ;0); N(0;a; 2 a ) 4 a) mp(ABD) có véctơ pháp tuyến (1;1;1)n r ; mặt khác ( ; ; ) 2 2 a a MN a uuuur . 0 2 2 a a n MN a= + + = r uuuur n MN r uuuur Hay MN//mp(ABD). b) Mặt phẳng (A / BD) có phơng trình: x + y + z - a = 0. Vì MN//(ABD) BD và MN, BD chéo nhau 2 2 2 0 3 2 ( ; ) ( ; ( ' )) 6 1 1 1 a a a a d BD MN d M A BD + + = = = + + Trong bài toán ta có thể chọn hệ trục toạ độ khác nhng khi lập phơng trình mp(ABD) ta phải tính toạ độ véctơ pháp tuyến mà không sử dụng đợc phơng trình theo đoạn chắn nh cách chọn trên. Bài 4: ( Đề thi Học viện Công nghệ Bu chính viễn thông 2001-2002) Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có AB=a ; AD=2a; AA=a. a) Gọi M là điểm nằm trong AD sao cho 3 AM MD = .Tính khoảng cách từ M đến (ABC) b) Tính thể tích tứ diện ABDC. Lời giải: a) Chọn hệ trục toạ độ Đềcác Axyz nh hình vẽ Khi đó ta có: A(0;0;0) ; B(0;a;0) ; C( 2a;a;0) ; D(2a;0;0); A(0;0;a); B(0;a;a) C(2a;a;a) ; D (2a;0;a). Vì M AD thoả mãn 3 AM MD = 3 ( ;0;0) 2 a M Mp(ABC) có phơng trình: x- 2y + 2z = 0. Do đó khoảng cách từ M đến mp(ABC) là: 3. 2.0 2.0 2 ( , ( ' )) 2 1 4 4 a a d M AB C + = = + + b) Theo công thức ' ' 1 1 ', ' . 6 6 AB D C hop V V AB AD AC = = uuuur uuuur uuur . Mà 3 ' ' ' (2 ;0; ); ' (0; ; ); (2 ; ; ) 0 0 1 2 .2 . .0 ( ) 0 2 2 0 6 3 AB D C CD a a AB a a AC a a a a a a a a V a a dvdt a a a a = = = = + + = uuuur uuuur uuur 5 Bài 5: Bài tập số 7. Ôn tập chơng 2- SGK HH12) Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh a. Điểm M thuộc AD và điểm N thuộc BD sao cho AM = DN = k (0 2)k a< < a) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất. b) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(ADBC) khi k biến thiên. c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đờng vuông góc chung của AD và DB và MN song song với AC. Lời giải: a) Chọn hệ trục toạ độ Đề các Axyz nh hình vẽ Khi đó ta có: A(0;0;0); B(a;0;0) ; C( a;a;0); D(0;a;0); A(0;0;a); D(0;a;a) ; Do AM = k / 0; ; 2 2 2 k k k AM AD M a = = uuuur uuuur DN = k ; ;0 2 2 2 k k k DN DB DN a = = uuur uuur uuur 2 ; ;0 2 2 k a k N = 2 2 2 3 2 2MN k a k a = + Xét hàm số 2 2 ( ) 3 2 2 (0<k<a 2) k f k a k a= + Đoạn thẳng MN nhỏ nhất ( )k f nhỏ nhất 2 3 a k = b) mp(ADBC) có véc tơ pháp tuyến 2 2 2 2 2 2 ' , ' ( ;0; ), ; ; 2 2 2 2 2 . . 0. . 0 2 2 2 k a k k n A B A C a a MN k a k k n MN a a = = = = + = r uuuur uuuur uuuur r uuuur Đờng thẳng MN song song với mặt phẳng(ADBC) c) Khi MN ngắn nhất thì theo câu a : 2 3 a k = . Khi đó ( ) ; ; ; ' 0; ; ; ( ; ;0) 3 3 3 . ' .0 . . 0 ' 3 3 3 . . .( ) ( ).0 0 3 3 3 a a a MN AD a a DB a a a a a MN AD a a MN AD a a a MN DB a a MN DB = = = ữ = + = = + + = uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur Vậy MN là đờng vuông góc chung của AD và BD. Ta có ' ( ; ; ) 3 // 'A C a a a MN MN A C= = uuuur uuuur 6 Bài 6: Tính khoảng cách giữa đờng chéo của một hình lập phơng và đờng chéo của một mặt bên nếu chúng không cắt nhau, biết rằng cạnh của hình lập phơng bằng a. Lời giải: Giả sử hình lập phơng ABCDABCD cạnh a. Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz nh hình vẽ. O A, đơn vị trên trục là đơn vị độ dài. Ta tìm khoảng cách giữa đờng chéo DB của hình lập phơng và đờng chéo AB của mặt bên (ABBA) Với hệ toạ độ đã chọn ta có: A(0;0;0) ; B(0;a;0) ; C(a;a;0); B(0;a;a); D(a;0;a) Đờng thẳng AB có véctơ chỉ phơng 1 ' (0;1;1)u AB a = = r uuuur và đi qua điểm A(0;0;0). Đờng thẳng DB có véctơ chỉ phơng 1 ' ' (1; 1;1)u BD a = = ur uuuur và đi qua điểm B(0;a;0). ( ) (0; ;0) 1 1 1 0 0 1 , ' ; ; 2;1; 1 1 1 1 1 1 1 AB a u u = = = ữ uuur r ur Vận dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng chéo nhau ta có: 2 2 2 , ' . 2.0 1. 1.0 ( '; ' ) 6 2 1 1 . ' u u AB a a d AB D B u u + = = = + + r ur uuur r ur Bài 7: Cho tam giác OAB vuông tại O, trên đờng thẳng vuông góc với (OAB) tại O lấy điểm C. a) Chứng minh rằng tứ diện OABC có 3 cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. b) Từ O vẽ OH (ABC) tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC. c) Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + Lời giải: Giả sử OA= a, OB= b, OC= c. Chọn hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz nh hình vẽ. Ta có: A(a;0;0); B(0;b;0) C(0;0;c). Bằng phơng pháp toạ độ, dễ dàng chứng minh đợc OA BC, OB BC, OC AB. Vậy tứ diện OABC có 3 cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. b)Vì A,B,C lần lợt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz nên mp(ABC) có phơng trình 1 x y z a b c + + = (1) 7 Vì ( )OH ABC nên OH có véctơ chỉ phơng là 1 1 1 ( ; ; )u a b c r Do đó phơng trình tham số của đờng thẳng OH: 1 1 1 ; ;x t y t z t a b c = = = (2) Vì ( ) H OH ABC= nên toạ độ H(x;y;z) là nghiệm của hệ gồm (1) , (2) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 t t a b c a b c + + = = + + Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ; ; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ; ; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 . 0 0 1 1 1 1 1 1 H a b c a b c a b c a b c AH a a b c a b c a b c a b c AH BC AH BC a b c a b c ữ ữ ữ + + + + + + ữ ữ ữ + + + + + + = + = + + + + uuur uuur uuur Tơng tự ta cũng chứng minh đợc BH AC. Vậy H là trực tâm ABC. c) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 OH a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c OH a b c OA OB OC = + + + + + + + + ữ ữ ữ = + + = ữ + + + + ữ = + + = + + Bài 8: ( Bài tập số 9 bài 9. Góc SGK Hình 12) Cho tứ diện OABC có các mặt OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi , , là góc lần lợt hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a) Tam giác ABC có 3 góc nhọn. b) 2 2 2 cos cos cos 1 + + = Lời giải Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ. Giả sử OA=a, OB=b, OC=c; 8 Khi đó A=(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c); a) Ta có: 2 2 2 2 2 ( ; ;0); ( ;0; ) . cos cos( , ) 0 . . AB a b AC a c AB AC a A AB AC AB AC a b a c = = = = = > + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur góc A nhọn Chứng minh tơng tự ta cũng có góc B và góc C nhọn. Suy ra ABC có 3 góc nhọn. b)Phơng trình mặt (ABC) là: 1 x y z a b c + + = Phơng trình các mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB); lần l- ợt là x=0; y=0; z=0 Véctơ pháp tuyến của các mặt phẳng (ABC); (OBC); (OCA); (OAB); lần lợt là: 1 2 3 1 1 1 ; ; ; (1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)n n n n a b c = = = = ữ r ur uur uur Do đó : 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 3 . . . cos cos cos . . . n n n n n n n n n n n n ữ ữ ữ + + = + + ữ ữ ữ r uur r ur r uur r ur r uur r uur = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c a b c + + + + + + + + = 1 (đpcm) Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a; đờng cao bằng b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đi qua AB và trung điểm M của cạnh SC. Lời giải: Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên đáy ABCD là hình vuông và chân đờng cao hạ từ S là tâm O của đáy; SO (ABCD) Chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình vẽ (với I, J lần lợt là trung điểm AB, BC). Khi đó ta có: A ( ; ;0) 2 2 a a ; B ( ; ;0) 2 2 a a ; C ( ; ;0) 2 2 a a ; D ( ; ;0) 2 2 a a ; S(0;0;b) M là trung điểm SC nên M ( ; ; ) 4 4 2 a a b ; (0; ; 0)AB a uuur ; 3 3 ( ; ; ) 4 4 2 a a b AM uuuur 9 ,AB AM uuur uuuur = 0 0 0 0 ; ; 3 3 3 3 4 2 2 4 4 4 a a a b b a a a ữ ữ ữ = 2 3 ( ;0; ) 2 4 ab a Mặt phẳng (ABM) đi qua A ( ; ;0) 2 2 a a nhận véctơ ,n AB AM = r uuur uuuur làm véctơ pháp tuyến. Phơng trình mặt phẳng (ABM): 2 3 0. ( 0) 0 2 2 2 4 ab a a a x y z + + + = ữ ữ 2 2 3 0 2 4 4 ab a a b x z+ = 2abx + 3a 2 z - a 2 b = 0 Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABM) là: d = 2 2 2 2 4 2 2 2 .0 3 2 4 9 9 4 ab a b a b ab a b a a b + = + + Đối với bài toán trên ta có thể chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho tia Ox là tia OA, tia Oy là tia OB cũng có thể giải quyết đợc. Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnh bằng a; đờng cao SO mp(ABCD) và SO = a. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau SC, AB. Giải: Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ, ( với I,J lần lợt là trung điểm AB, BC) đơn vị trên trục là đơn vị độ dài. Khi đó: A ( ; ;0) 2 2 a a ; B ( ; ;0) 2 2 a a ; C ( ; ;0) 2 2 a a ; D ( ; ;0) 2 2 a a ; S(0;0;a) Đờng thẳng SC có véctơ chỉ phơng là: ( ; ; ) 2 2 a a SC a uuur . Đờng thẳng AB có véctơ chỉ phơng: (0; ; 0)AB a uuur Ta có: ,SC AB uuur uuur = ; ; 2 2 2 2 0 0 0 0 a a a a a a a a ữ ữ ữ = 2 2 ( ; 0; ) 2 a a ( ;0;0)BC a uuur . Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau SC và AB là: d= , . , SC AB BC SC AB uuur uuur uuur uuur uuur = 2 2 4 4 .( ) 0.0 .0 2 0 4 a a a a a + + + = 3 2 5 2 a a = 2 5 a (đvđd) Bài 11: ( Đề thi Đại học- Cao đẳng khối B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA= a; AD = a 2 và SA mp(ABCD). Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh rằng mp(SAC) (SMB). b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB. Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Axyz nh hình vẽ. 10 [...]... pháp toạ độ không thể giải đợc tất cả các bài toán trong chơng trình phổ thông, nhng nếu biết vận dụng nó thì sẽ giải đợc một lớp các bài toán một cách trọn vẹn, rõ ràng, chặt chẽ, dễ hiểu mà các phơng pháp khác cha chắc đã có đợc Từ những suy nghĩ thực tế giảng dạy thu đợc kết quả khả quan tôi đã mạnh dạn viết nên đề tài này Theo tôi đề tài có tác dụng: - Cung cấp phơng pháp toạ độ để giải toán hình... có thể giải đợc một số bài toán chứng minh khác trong giả thiết cha có sẵn các yếu tố xuất hiện hệ trục toạ độ Hai ví dụ sau minh hoạ điều đó Bài 13: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm a) Chứng minh rằng đờng thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện cũng đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó b) Gọi A là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh rằng GA =3 GA ' Lời giải : a) Trong hệ trục toạ độ Oxyz... nên toạ độ K là nghiệm x, y, z của hệ: x = at u u y=0 a u r 2a a ur a 3 9 K a;0; IK ;0; ; IB 0; ;0 z = 2a 2at 5 5 2 10 5 2 x 4 z a = 0 Vì IBK vuông ở I (do BI mp(SAC) BI IK ) S BIK = 1 1 4a 2 a 2 3a 2 IB.IK = + 2 2 25 25 4 = 1 5a 2 3a 2 a 2 15 = 2 25 4 20 Không chỉ giải đợc những bài toán trong giả thiết có xuất hiện quan hệ vuông góc mà bằng cách chọn hệ toạ độ thích... cạnh bằng a a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và BD b) Gọi MNP lần lợt là các trung điểm của các cạnh BB, CD, AD Tính góc giữa hai đờng thẳng MP và CN (Đề thi Đại học- Cao đẳng khối B năm 2002 Bài 3: ( Đề thi đại học Vinh 2000-2001) Cho hình hộp lập phơng ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng 2 Gọi E, F tơng ứng là các trung điểm của các cạnh AB, DD1 a) Chứng minh rằng EF//(BDC1) và tính độ dài... M trong không gian sao cho: MA2 MB2 + MC2 Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Axyz nh hình vẽ Khi đó giả sử A(0;0;0); B(a;0;0); C(0;b;0) Gọi M(x;y;z) Ta có: MA2 MB2 + MC2 x2 + y2 + z2 (x-a)2 + y2 + z2 + x2 + (y-b)2 + z2 (x - a)2 + (y - b)2 + z2 0 x a = 0 x = a y b = 0 y = b z=0 z = 0 Tức trong không gian có duy nhất một điểm thoả mãn yêu cầu bài toán Đó là đỉnh thứ t ABMC là hình chữ nhật CABM... tôi đã mạnh dạn viết nên đề tài này Theo tôi đề tài có tác dụng: - Cung cấp phơng pháp toạ độ để giải toán hình học không gian - Giải quyết đợc tâm lí sợ khó đối với hình không gian - Gây đợc cho học sinh hứng thú và sự tự tin khi làm bài và đối với rất nhiều bài toán có thể giải quyết một cách dễ dàng hơn - Bản thân cũng nh đồng nghiệp, học sinh có thể dùng đề tài này làm tài liệu để ôn luyện cho học... vuông góc với SC Tìm diện tích thiết diện của tứ diện S.ABC tạo bởi mp ( ) Lời giải Vì ABC đều nên BI AC Mặt khác BI SA BI mp(SAC) BI SC (1) Trong (SAC) kẻ IK SC tại K (2) Từ (1) và (2) SC mp ( BKI ) Khi đó ta có BIK chính là thiết diện của tứ diện SABC bị cắt bởi mp ( ) qua B và vuông góc với SC Ta chọn hệ trục toạ độ Axyz nh hình vẽ 11 a a 3 ;0 ); C(a;0;0) ; S(0;0;2a) 2 2 a Gọi I là trung... đến (SBC) c) Gọi ( ) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Xác định thiết diện của ( ) với hình chóp và tính diện tích thiết diện này Bài 7: Cho hình tam giác đều SABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) (Đề thi Đại học- Cao đẳng khối A năm 2002) Bài... vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC=AD=4cm; AB=3cm; BC=5cm; 13 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc à =60o và có A đờng cao SO bằng a a) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC) b) Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AD và SB Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a; Đờng cao SO 3a Gọi E là trung điểm của . A / D 2 Lời giải: a) Giả sử hình lập phơng có độ dài các cạnh bằng a. Chọn hệ trục toạ độ Axyz nh hình vẽ, đơn vị trên trục bằng đơn vị độ dài. Khi đó:. chỉ giải đợc những bài toán trong giả thiết có xuất hiện quan hệ vuông góc mà bằng cách chọn hệ toạ độ thích hợp ta cũng có thể giải đợc một số bài toán