Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1.Vectơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa: vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu và giá của song hoặc trùng với . Nhận xét: - Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì cũng là một vectơ chỉ phương của . Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. - Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. 2. Phương trình tham số của đường thẳng a) Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có . Khi đó cùng phương với Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng , trong đó là tham số. Cho một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng . Câu hỏi: Hãy tìm một điểm có tọa độ xác định và một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng. Cho đường thẳng có phương trình tham số Nếu thì từ phương trình tham số của ta có suy ra Đặt ta được Gọi là giao điểm của với trục hoành, là tia thuộc ở về nửa mặt phẳng toạ độ chứa Oy. Đặt , ta thấy chính là hệ số góc của đường thẳng mà ta biết ở lớp 9. Như vậy nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương với thì có hệ số góc Cậu hỏi: Tính hệ số góc của đường thẳng có vectơ chỉ phương là . Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và điểm . Tính hệ số góc của . Giải: Vì d đi qua nên có vectơ chỉ phương Phương trình tham số của là Hệ số góc của là 3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu và vuông góc với vectơ chỉ phương của . Nhận xét: - Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì cũng là một vectơ pháp tuyến của . Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến. - Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó. 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm bất kì thuộc mặt phẳng, ta có: . Khi đó : a) Định nghĩa: Phương trình với a và b không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét: Nếu đường thẳng có phương trình thì ta có vectơ pháp tuyến là và có vectơ chỉ phương là b) Ví dụ: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A (2;2) và b(4;3) Giải: Đường thẳng đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương là Từ đó ta suy ra có vectơ pháp tuyến là . Vậy đường thẳng có phương trình tổng quát là: hay c) Các trường hợp đặc biệt: Các đường thẳng có phương trình tổng quát (1) • Nếu a = 0 phương trình (1) trở thành hay . Khi đó đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm (0, ) (h.3.6) • Nếu b = 0 phương trình (1) trở thành hay . Khi đó đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm ( ;0) (h.3.7). • Nếu c = 0 phương trình (1) trở thành Khi đó đường thẳng đi qua gốc tọa độ O (h.3.8). • Nếu a, b, c đều khác 0 ta có thể đưa phương trình (1) về dạng (2) với Phương trình (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. Đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại và (h.3.9) 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét hai đường thẳng và có phương trình tổng quát lần lượt là và Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình (I) Ta có các trường hợp sau: a) Hệ (I) có nghiệm , khi đó cắt tại điểm b) Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó trùng với . c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó và không có điểm chung, hay và song song với nhau. Ví dụ: Cho đường thẳng d có phương trình , xét vị trí tương đối của d với mỗi đường thẳng sau: : : : Giải: a) Xét d và , hệ phương trình: có nghiệm (1 ; 2). Vậy d cắt tại (h.3.10) b) Xét d và , hệ phương trình: có vô số nghiệm. Vậy (h.3.11) c) Xét d và , hệ phương trình: vô nghiệm. Vậy (h.3.12) 6. Chùm đường thẳng Định nghĩa Tập hợp các đường thẳng của mặt phẳng cùng đi qua một điểm gọi là một chùm đường thẳng. Điểm gọi là tâm của chùm. Một chùm đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết tâm của chùm hoặc biết hai đường thẳng phân biệt của chùm. Định lí. Giả sử hai đường thẳng phân biệt của một chùm có phương trình tổng quát lần lượt là: (1) (2) Lúc đó mỗi đường thẳng thuộc chùm khi và chỉ khi phương trình của nó có dạng: (3) trong đó hai số và không đồng thời bằng 0 ( ) Phương trình (3) được gọi là phương trình của chùm đường thẳng đó. Chứng minh. Trước hết ta chứng tỏ rằng (3) là phương trình của đường thẳng, tức là các hệ số của và trong (3) không thể đồng thời bằng 0. Thật vậy, giả sử chúng đều bằng 0, ta có : Vì hai đường thẳng (1) và (2) cắt nhau nên , từ đó suy ra hệ phương trình nên có nghiệm duy nhất , trái với giả thiết và không đồng thời bằng 0. Vậy (3) là phương trình của đường thẳng. Bây giờ ta chứng tỏ rằng đường thẳng (3) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (1) và (2). Thật vậy, giao điểm của hai đường thẳng đó có toạ độ là nghiệm của hai phương trình (1) và (2) nên cũng là nghiệm của phương trình (3). Ngược lại, ta hãy tìm phương trình của một đường thẳng nào đó đi qua giao điểm . Lấy một điểm khác với và nằm trên . Ta đặt và thì và không đồng thời bằng 0 (vì không đồng thời nằm trên đường thẳng (1) và đường thẳng (2)). Bởi vậy đường thẳng có phương trình (4) sẽ đi qua điểm . Mặt khác rõ ràng điểm có toạ độ thoả mãn (4) nên đường thẳng đó cũng đi qua , nói cách khác, (4) chính là phương trình của đường thẳng . Áp dụng Ta có thể dùng phương trình chùm đường thẳng để giải các bài toán có dạng: Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng đã cho và thoả mãn một điều kiện nào đó, mà không cần tìm toạ độ giao điểm đó. Ví dụ. Các cạnh của tam giác có phương trình: . Viết phương trình đường cao của tam giác đó. Giải:. Đường cao thuộc chùm đường thẳng tâm là giao điểm của hai đường thẳng , nên có phương trình: . Ta cần xác định và để vuông góc với . Một vectơ pháp tuyến của là , còn một vectơ pháp tuyến của là ta phải có hay Ta có thể lấy . Như vậy đường thẳng có phương trình 7. Góc giữa hai đường thẳng Hai đường thẳng và cắt nhau tạo thành bốn góc. • Nếu và không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng và . • Nếu và vuông với nhau thì ta nói góc giữa và bằng . • Nếu và song song với nhau hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa và bằng 0. Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng . Góc giữa hai đường thẳng và được kí hiệu là hoặc Cho hai đường thẳng : , : . Đặt thì ta thấy bằng hoặc bù với góc giữa và trong đó , lần lượt là vectơ pháp tuyến của và . Vì nên ta suy ra . một vectơ pháp tuyến của nó. 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến mỗi điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có . Khi đó cùng phương với Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng , trong đó là tham