Chuyên đề 2: LOGARIT – PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VỀ LOGARIT Bài 1: Cho và . Chứng minh rằng với mọi , ta có: Giải. Từ . Suyra: Do , nên ta có: hay Bài 2: Giả sử . Chứng minh rằng: Đặt Suyra: Từ đó ta có: Lập luận tương tự: Do đó ta có: Bài 3: Tính Biết Ta có: Bài 4: Tính: 4.1 4.2 4.1 Ta có: 4.2 Ta có: (Chú ý ) HÀM SỐ MŨ – LOGARIT Bài 1: Cho hàm số: . Tính tổng: Bổ đề: Cho a+b=1. Hãy chứng minh Ta xét: Vậy a+b=1 thì Khi đó ta có: Bài 2: Xét các hàm số: và . Chứng minh rằng với mọi x1, x2 ta có các hệ thức sau: 2.1 2.2 2.3 2.1 Ta xét: 2.2 Ta xét: 2.3 Ta xét: Bài 3: Xét các hàm số: và với . Chứng minh rằng với mọi x ta có các hệ thức sau: 3.1 3.2 3.1 Ta xét:
Chuyên đề 2: LOGARIT – PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VỀ LOGARIT Bài 1: Cho a > 0, b > a + b = 7ab Chứng minh với α > 0,α ≠ , a+b = ( logα a + logα b ) ta có: logα Giải 2 a+b a+b 2 Từ a + b = 7ab ⇔ ( a + b ) = 9ab ⇔ ÷ = ab Suyra: logα ÷ = logα ( ab ) a+b a+b a+b > , nên ta có: 2logα = logα ( ab ) hay logα = ( logα a + logα b ) Do 3 x( y + z − x) y ( z + x − y) z ( x + y − z ) = = Chứng minh rằng: lg x lg y lg z x y yx = z y yz = z xxz Bài 2: Giả sử x( y + z − x) y ( z + x − y) z ( x + y − z ) = = = lg x lg y lg z t Suyra: lg x = tx ( y + z − x ) ⇔ y lg x = txy ( y + z − x ) lg y = ty ( z + x − y ) ⇔ x lg y = txy ( z + x − y ) Từ ta có: x lg y + y lg x = 2txyz Lập luận tương tự: y lg z + z lg y = 2txyz z lg x + x lg z = 2txyz Do ta có: x lg y + y lg x = y lg z + z lg y = z lg x + x lg z ⇔ lg ( x y y x ) = lg ( z y y z ) = lg ( z x x z ) ⇔ x y y x = z y y z = z x x z Đặt Bài 3: Tính A = 1 + + + Biết x = 2009! log x log x log 2009 x Ta có: A= 1 + + + log x log x log 2009 x = log x + log x + log x + + log x 2009 = log x ( 2.3.4 2009 ) = log x ( 2009!) = log x x = 1 Bài 4: Tính: 4.1 A = ln tan10 + ln tan 20 + ln tan 30 + + ln tan890 4.2 B = ln tan10.ln tan 20.ln tan 30 ln tan890 4.1 Ta có: A = ln tan10 + ln tan 20 + ln tan 30 + + ln tan890 = ( ln tan10 + ln tan890 ) + ( ln tan 20 + ln tan880 ) + + tan 450 = ln ( tan10.tan890 ) + ln ( tan 20.tan880 ) + + tan 450 4.2 Ta có: = ln1 + ln1 + + ln1 = B = ln tan10.ln tan 20.ln tan 30 ln tan890 = ln tan10.ln tan 20.ln tan 30 ln tan 450 ln tan890 = ln tan1 ln tan ln tan ln1 ln tan89 0 0 (Chú ý tan 450 = ) = ln tan10.ln tan 20.ln tan 30 ln tan890 = HÀM SỐ MŨ – LOGARIT 4x Bài 1: Cho hàm số: f ( x ) = x Tính tổng: +2 2008 S= f ÷+ f ÷+ + f ÷ 2009 2009 2009 Bổ đề: Cho a+b=1 Hãy chứng minh f ( a ) + f ( b ) = Ta xét: a ( 4b + ) + 4b ( a + ) 4a 4b f ( a) + f ( b) = a + = + 4b + ( 4a + ) ( 4b + ) a b 4a +b + 2.4a + 4a +b + 2.4b + ( + ) = a +b = =1 + ( a + 4b ) + + ( a + 4b ) Vậy a+b=1 f ( a ) + f ( b ) = 2008 2008 f ( a ) + f ( b ) = = 1004 Khi ta có: S = 2 x + 2− x x − 2− x Bài 2: Xét hàm số: f ( x ) = g ( x ) = Chứng minh với 2 x1, x2 ta có hệ thức sau: 2.1 f ( x1 + x2 ) + f ( x1 − x2 ) = f ( x1 ) f ( x2 ) 2.2 g ( x1 ) = g ( x1 ) f ( x1 ) 2.3 f ( x1 ) = f ( x1 ) − 2.1 Ta xét: x1 + x2 + − x1 − x2 x1 − x2 + 2− x1 + x2 + 2 x1 ( x2 + 2− x2 ) + 2− x1 ( x2 + 2− x2 ) x1 + − x1 ) ( x2 + − x2 ) ( = =2 x1 − x1 x2 − x2 +2 +2 =2 = f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( x1 + x2 ) + f ( x1 − x2 ) = 2.2 Ta xét: x1 − x1 x1 − x1 22 x1 − 2−2 x1 ( − ) ( + ) g ( x1 ) = = 2 x1 − x1 x1 − x1 ( − ) ( + ) = 2g ( x ) f ( x ) = 1 2 2.3 Ta xét: 22 x1 + 2−2 x1 22 x1 + 2−2 x1 + f ( x1 ) = +1−1 = −1 2 (2 = x1 + 2− x1 ) 2 x1 + − x1 −1 = 2 ÷ − = f ( x1 ) − a x + a− x a x − a−x Bài 3: Xét hàm số: f ( x ) = g ( x ) = với a > 0, a ≠ 2 Chứng minh với x ta có hệ thức sau: 2 3.1 f ( x ) − h ( x ) = 2 3.2 f ( x ) + h ( x ) = f ( x ) 3.1 Ta xét: 2 2 a x + a− x a x − a− x f ( x) − h ( x) = ÷ − ÷ 2 a x + a− x + a x − a− x a x + a− x − a x + a−x = 2 x −x 2a 2a = = a x a − x = 2 3.2 Ta xét: 2 a x + a− x a x − a− x 2 f ( x) + h ( x) = ÷ + ÷ 2 2x −2 x a x + a − x + a x + a −2 x − 2 ( a + a ) = + = 4 2x −2 x ( a + a ) = f ( 2x) = PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT AB + (ab)x = Aax + Bbx với a, b > a, b khác Phương pháp giải x x Ta có: AB + (ab) = Aa + Bbx ⇔ AB − Aax = Bbx − (ab)x ⇔ A(B − ax) = bx(B− ax ) ⇔ (B − ax) (A − bx)=0 Dạng : Ví dụ minh họa: Giải phương trình sau: 1.1 12 + x = 4.3x + 3.2 x 1.4 e5 + e4 x = e3 x + + e x +3 1.2 40 + 10 x = 5.2 x + 8.5 x 1.5 8.3x + 3.2 x = 24 + x 1.3 15 + x = 3.4 x + 5.2 x Giải x 1.1 Ta có: 12 + = 4.3x + 3.2 x ⇔ ( − 3x ) = x ( − 3x ) ⇔ 12 − 4.3x = 3.2 x − x ⇔(4−2 x ) (3−3 ) = x 4 − x = 2 x = x =1 ⇔ ⇔ ⇔ x = x x 3 − = 3 = ) ( ( x A M + M −1 + B M − M −1 Dạng: ( Ta xét: M + M − ( )( ) x = C với M > Phương pháp giải )( x M − M −1 ) ) x = x x = M + M − M − M − = M − ( M − 1) = x x 2 t = M + M − ⇒ M − M − = Khi pt có dạng: Đặt t B At + = C ⇔ At − Ct + B = t ( ) ( ) Ví dụ minh họa: Giải phương trình sau: ( ) ( ) + ( 5− 6) 2.2 ( + ) x 2.1 + + 2− x =4 tan x 2.3 ( ( 6+3 2.4 + ) ) ( cot x ( x tan x + 6−3 ( ) + 2− 2.1 Ta xét: + )( x cot x 2− 2.5 ) ) x ( = 12 3+ ) ) +( 1− 2sin x ( + 3− ) ) =4 cos x −1 ( ) ( ) =4 2.8 ( + 2 ) + ( − 2 ) = 2.7 + x + 2− x ( 2− x Giải )( ) = 2+ 2− x = x x x x x ( ) t = ( + 3) ⇒ ( − 3) = 22 − 2+ 2.6 = 10 =4 x ( x = 1x = t t = + t + = ⇔ t − 4t + = ⇔ t t = − Với t = + ⇒ x = t = − ⇒ x = −1 Tập nghiệm phương trình S = { −1;1} x x = A+ B (Khi A nên ta chia hai vế phương trình cho 4x, ta được: x x x x x 3 5 ÷ + ÷ =2 4 4 x x 3 5 Xét hàm số: f ( x ) = ÷ + ÷ − với x ∈ ¡ 4 4 x x 3 5 Vậy phương trình ÷ + ÷ = (hay phương trình 3x + x = 2.4 x ) 4 4 phương trình hoành độ giao điểm ( C ) : y = f ( x ) trục hoành Ox ( y = ) x x 3 5 Đạo hàm: f ( x ) = ÷ ln + ÷ ln 4 4 x x 3 5 / // f ( x ) = ÷ ln + ÷ ln > ∀x ∈ ¡ Suyra: f ( x ) đồng biến 4 4 15 / f ( ) = ln + ln = ln 16 < ⇒ f / ( ) f / ( 1) < ∀x ∈ [ 0;1] Mặt khác, ta có: f / ( 1) = ln + ln > 4 4 Suyra phương trình f/(x)=0 có nghiệm thuộc ( 0;1) / / Mà f ( x ) đồng biến Nên f/(x)=0 có nghiệm x0 thuộc ( 0;1) Bảng biến thiên x f (x) −∞ / −∞ f(x) − x0 + +∞ +∞ f ( x0 ) Kết luận: Phương trình f(x)=0 có tối đa hai nghiệm Suyra: x=0 x=1 hai nghiệm phương trình Vậy tập nghiệm phương trình S = { 0;1} 3.4 Phương trình: 3x + x = x + Ta có: x = ⇒ VT = VP ⇒ x = nghiệm phương trình x = ⇒ VT = VP ⇒ x = nghiệm phương trình x x Xét hàm số: f ( x ) = + − x − với x ∈ ¡ Vậy phương trình 3x + x = x + phương trình hoành độ giao điểm ( C ) : y = f ( x ) trục hoành Ox ( y = ) / x x Đạo hàm: f ( x ) = ln + ln − f // ( x ) = 3x ln + x ln > ∀x ∈ ¡ Suyra: f / ( x ) đồng biến f / ( ) = ln + ln − < ⇒ f / ( ) f / ( 1) < Mặt khác, ta có: / f ( 1) = 3ln + 5ln − > Suyra phương trình f/(x)=0 có nghiệm thuộc ( 0;1) / Mà f ( x ) đồng biến Nên f/(x)=0 có nghiệm x0 thuộc ( 0;1) Bảng biến thiên x f (x) −∞ − / −∞ f(x) x0 + ∀x ∈ [ 0;1] +∞ +∞ f ( x0 ) Kết luận: Phương trình f(x)=0 có tối đa hai nghiệm Suyra: x=0 x=1 hai nghiệm phương trình Vậy tập nghiệm phương trình S = { 0;1} Dạng: A f ( x) + f ( x) = A g( x) + g ( x) Phương pháp giải u = f ( x ) + Đặt v = g ( x ) t + Xét hàm số: m ( t ) = A + t + Cần chứng minh: m ( t ) đơn điệu tập xác định D f ( x) g( x) + Phương trình: A + f ( x ) = A + g ( x ) tương đương m ( u ) = m ( v ) + Suyra: u=v hay f(x)=g(x) Rồi giải phương trình đại số Ví dụ minh họa: Giải phương trình sau: 4.1 x − x − x +8 = + x − x 4.2 x − x − x −1 = x − x − 2 4.3 x − x + 93−2 x + x + = 42 x −3 + 3x − x + x Giải 4.1 Đặt: u = x2 − x => v − u = + x − x v = x+8 u v u v Phương trình − = v − u + u = + v f ( u ) = f ( v ) t Xát hàm số: f ( t ) = + t f ' ( t ) = 2t ln > ∀t ∈ ¡ => f ' ( t ) đồng biến mà f ( u ) =f ( v ) nên u = v x − x = x + x − x − = x = x = −2 Vậy tập nghiệm phương trình: S = { −2;4} 2 4.3 Phương trình ⇔ x − x + 36−4 x + x + = 24 x−6 + 3x − x + x 2 ⇔ x − x + x − x − 3x − x = 24 x −6 + x − − 36−4 x Đặt : u = x2 − x ⇒ 2u + u − 3−u = 2v + v − 3− v v = x − 6 t 1 t Xét hàm số f ( t ) = + t − ÷ 3 t 1 ⇒ f ( t ) = ln + − ÷ ln > ∀t ∈ ¡ 3 ⇒ f / ( t ) đống biến Mà f ( u ) = f ( v ) ⇒ u = v / t x = 2 Ta có phương trình: x − x = x − ⇔ x − x + = ⇔ x = Vậy tập nghiệm phương trình: S = { 1;6} Phương trình chứa A2m, A2n Am+n Phương pháp giải m+n uv = A u = A2 m ⇔ u ( u, v > ) Đặt: m−n 2n = A v = A v Ta chuyển phương trình: pA2 m + qAm+n + kA2 n = phương trình: pu + quv + kv = Dạng: u u Vì v>0 nên ta chia hai vế phương trình cho v , ta có: p ÷ + q + k = v v u Đặt t = ta đưa phương trình bậc hai theo t Giải phương trình tìm t v Khi ta có: Am−n = t1 (giải phương trình tìm x) Ví dụ minh họa: Giải phương trình sau: 5.1 22 x+3 − x − 5.2 x+3 +1 + x+ = 2 5.2 22 x +1 − 9.2 x + x + 22 x + = 2 5.3 x + x − 4.2 x − x − 22 x + = Giải 5.1 Ta có: 22 x+3 − x − 5.2 x +3 +1 + x + = ⇔ 22 x +3 − x − 5.2 x+3 +1 + 4.2 x+ = uv = x+3 +1 u = 22 x+3 − x ⇔ u ( u, v > ) Khi ta có phương trình: Đặt : x+2 x +3 − x −1 =2 v = v u =1 u u v ⇔ u − uv + 4v = ⇔ − +4=0⇔ u v v =4 v u Với: = ⇔ x +3 − x −1 = v u = ⇔ x+3 − x−1 = (giải phương trình đại số tìm nghiệm) v Tập nghiệm phương trình: S = { 1; −2} 10 Alog a x + f ( x ) = với A, a >0 a ≠ Phương pháp giải Điều kiện: x>0 Hướng giải 1: đặt t=logax => x=at Chuyển f(x) phương trình mũ theo t Hướng giải 2: Đưa f(x) phương trình mũ hàm logarit số α Chú ý: xα = x log a a Dạng: Ví dụ minh họa: Giải phương trình sau: log 6.1 6.9log x + x = 13.x 6.2 x log3 = x 2log3 x − x log3 6.3 x 3log3 + x 2log3 x = 12log3 x + x Giải log 6.1 Phương trình: 6.9log2 x + x = 13.x điều kiện x>0 Hướng giải 1: Chú ý công thức: a logb c = c logb a với a, b, c >0 b ≠ log Áp dụng công thức trên, ta chuyển phương trình 6.9log2 x + x = 13.x phương trình: 6.9log x + x = 13.6log x Đặt t = log x ⇔ x = 2t ⇔ x = 4t Khi ta có phương trình: 6.9t + 6.4t = 13.6t (về dạng phương trình A2x, B2x (AB)x) Hướng giải 2: Ta có: 6.9log2 x + x = 13x log2 ⇔ 6.9log2 x + x log = 13 xlog ⇔ 6.9log2 x + 64log x = 136log x Đặt t = log x , ta có phương trình: 6.9t + 6.4t = 13.6t CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT ĐẶC SẮC: Bài tập 1: Giải phương trình: x+1 + 21−2 x = 3 Giải = 33 2 t 3 ⇔ 2t − 2t + = Ta có t = nghiệm phương trình Áp dụng lược đồ Horner, ta có: Cách 1: Đặt t=2x, t>0 Khi ta có phương trình: 2t + 11 2 ( −3 −3 )( −3 ) 3 3 Khi đó: 2t − 2t + = ⇔ t − 2t − 2t − = t = ⇔x= 3 2t − 2t − = Cách 2: Sử dụng BĐT Cauchy 1 Vì x+1 21−2 x số dương Nên áp dụng BĐT Cauchy cho số x+1 , x+1 2 1 21−2 x , ta có: x +1 + x+1 + 21−2 x ≥ 3 2 x +1 1− x x 1− x Dấu // = \\ xãy khi: = ⇔ = ⇔ x = 2 Bài tập 2: Giải phương trình: log ( x + x + ) − log x = + x − x Giải Phương trình: log ( x + x + ) − log x = + x − x Điều kiện: x>0 log ( x + x + ) − log x = + x − x 2 ⇔ log x + + ÷ = − ( − x ) x 2 2 Vì x>0, ta có: x + ≥ ⇔ x + + ≥ ⇔ log x + + ÷≥ x x x 2 log x + + x ÷≥ Vậy Ta có VT ≥ 2, VP ≤ mà VT=VP 3 − − x ≤ ( ) x = x ⇔ x = Tập nghiệm phương trình S = { 1} Nên ta có: 1 − x = Bài tập 3: Giải phương trình: 27 27 x x 3.1 + 9.2 + x + x = 64 3x x 3.2 − 6.2 − 3( x−1) + 12 =1 2x 12 Giải 27 27 + = 64 8x 2x 3 x 3 ⇔ + x ÷ = 64 ⇔ x + x = ⇔ x − 4.2 x + = x x Phương trình: + 9.2 + Bài tập 4: Giải phương trình: 3x + x +3 + 4x +2 x+2 + 5x + x +1 = 14 Giải Cách 1: Phương trình: 3x + x+3 + x + x+ + x + x+1 = 14 3x2 + x+3 = 3( x +1) + ≥ 32 = 2 2 x2 + x + x +1 +1 = 4( ) ≥ 41 = ⇒ 3x + x +3 + x + x+ + x + x +1 ≥ 14 Ta có: 4 x2 + x+1 ( x+1) =5 ≥ 50 = 5 Dấu // = \\ xãy khi: x=−1 2 Cách 2: Phương trình: 3x + x+3 + x + x+ + x + x+1 = 14 ⇔ 3( x +1) + 2 + 4( x +1) +1 + 5( x +1) 2 =1 ⇔ 3t + + 4t +1 + 5t = ⇔ 9.3t + 4.4t + 5t = Dùng đạo hàm ta chứng minh phương trình 9.3t + 4.4t + 5t = có t=0 nghiệm Với t=0 ta suyra x=−1 Vậy tập nghiệm phương trình: S = { −1} x Bài tập 5: Giải phương trình: = + x + 3log ( x + 1) Giải t t Đặt t = log ( x + 1) ⇔ x + = ⇔ = − x Khi ta có phương trình: x Phương trình: = + x + 3log ( x + 1) Điều kiện: x > − x = ( 6t − x ) + x + 3t ⇔ x + x = 6t + 3t Xét hàm số: f ( u ) = 6u + 3u Chứng minh f(u) đơn điệu ta có t=x Khi ta có phương trình: x + = x 13 ( ) Bài tập 6: Giải phương trình: 3log + x + x = 2log x Giải Điều kiện: x>0 Khi đặt 3log + x + x = 2log x = y ( ) ( ) 2y log + x + x = y 1 + x + x = ⇔ Khi ta có: 6y x = log x = y t t t 1 8 4 3y 2y y ⇔ + + = ⇔ ÷ + ÷ + ÷ = Ta có t=2 nghiệm 9 9 9 12 Với t=2, ta có: x=2 =4096 x +1 3− x = Bài tập 7: Giải phương trình: + log ( x − x + ) Giải 2 Ta có: x − x + = ( x − 1) + ≥ ⇔ log ( x − x + ) ≥ Hay log x − x + ≤ ⇒ VP ≤ ) 3( Theo BĐT Cauchy ta có: 22 x+1 + 23−2 x ≥ ⇒ VT ≥ Mà VT=VP (theo giả thuyết) VT = 2 x − = ⇔ x+1 ⇔ x= Suyra: 3− x =2 VP = 2 1 Vậy tập nghiệm phương trình: S = 2 Bài tập 8: Giải phương trình: x−1 − x −x = ( x − 1) Giải Ta có: ( x − 1) ≥ ⇔ x − x + = ⇔ x − x ≥ x − 2 2 t ≤ (do hàm số y=2 đồng biến) ( x − 1) = VT ≤ ⇔ x =1 Suyra: mà VT=VP (Giả thuyết) nên ta có: x −1 x2 − x VP ≥ 2 = ⇔ 2x −x ≥ x−1 ⇔ x−1 − x −x 14 Tập nghiệm phương trình: S = { 1} Bài tập 9: Giải phương trình: ) ( ( ) ( log x − x − log x + x − = log x − x − ) Giải x − x2 − ≥ 2 Điều kiện: x + x − ≥ Chú ý: x − x − x + x − = x2 − ≥ x − x − ≥ ⇔ ⇔ x ≥ Với x ≥ ta có: x − ≥ )( ( ( log x + x − ) −1 ) ( ( log x + x − = log x + x − Áp dụng công thức đổi số ta có: ) ( ) ( ) log x + x − log x + x − = log x + x − log log ) ( ( log x + x − = ⇔ log 6.log 6.log x + x − = ) ( ( *) ⇔ log 6.log 6.log ( x + ( ) −1 ) ( *) ) x2 − = ) ⇔ log x + x − = log ⇔ x + x − = 3log6 2 Vì x − x − = x + x2 − = log = 3− log6 , nên ta có hệ phương trình: x + x − = 3log6 ⇒ x = 3log6 + 3− log6 x − x − = 3− log6 ( ) Rõ ràng theo BĐT Cauchy, ta có: 3log6 + 3− log ≥ ⇔ Vậy phương trình có nghiệm x=1 x = log6 + 3− log6 ≥ ( log6 − log6 +3 ( ) ) 15 16 ... x=1 hai nghiệm phương trình Vậy tập nghiệm phương trình S = { 0;1} 3.4 Phương trình: 3x + x = x + Ta có: x = ⇒ VT = VP ⇒ x = nghiệm phương trình x = ⇒ VT = VP ⇒ x = nghiệm phương trình x x Xét... , ta có phương trình: 6.9t + 6.4t = 13.6t CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT ĐẶC SẮC: Bài tập 1: Giải phương trình: x+1 + 21−2 x = 3 Giải = 33 2 t 3 ⇔ 2t − 2t + = Ta có t = nghiệm phương trình Áp... nghiệm phương trình S = { −1;1} x x = A+ B (Khi A