A, Biến đổi đồng nhất Bài 1: ( ) ( ) ( ) 5 5 3 3 2 2 1. :Cho ab CMR a b a b a b a b= + = + + + Bài 2: Cho a > b > 0 thoả mãn: 3a 2 + 3b 2 = 10ab. Tính giá trị biểu thức a b P a b = + Bài 3: Cho x > y > 0 thoả mãn: 2x 2 + 2y 2 = 5xy. Tính giá trị biểu thức x y P x y + = Bài 4: a, Cho x + y + z = 0. CMR: 3 3 3 3x y z xyz+ + = b, Cho 1 1 1 0 a b c + + = . Tính giá trị biểu thức: 2 2 2 ab ca bc P c b a = + + Bài 5: Cho 3 3 3 3a b c abc+ + = . Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 a b c P b c a = + + + ữ ữ ữ Bài 6: Cho 2 2 2 0; 14a b c a b c+ + = + + = . Tính giá trị của các biểu thức: a, A ab bc ca= + + b, 2 2 2 2 2 2 B a b b c c a= + + c, 4 4 4 C a b c= + + Bài 7: Cho a,b,c đôi một khác nhau thoả mãn: 1ab bc ca + + = . Tính giá trị các biểu thức: 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b b c c a A a b c + + + = + + + 2, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1a bc b ca c ab B a b b c c a + + + = Bài 8: Cho , 1, 0n n x > Ơ . CMR: 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n x x x x x x x x + + + = + + + ữ ữ ữ Bài 9: Cho x > 0 và 2 2 1 7x x + = . Tính giá trị các biểu thức sau a, 1 A x x = + b, 3 3 1 B x x = + c, 4 4 1 C x x = + d, 5 5 1 D x x = + Bài 10: Cho 1 0;x x a x + = (a: hằng số). Tính theo a các biểu thức sau: a, 3 3 1 A x x = + b, 6 6 1 B x x = + c, 7 7 1 C x x = + Bài 11: Cho x,y,z thoả mãn: 2 2 2 2 0;x y z x y z a+ + = + + = . Tính 4 4 4 P x y z= + + theo a Bài 12: Cho 1 1 1 1; 0a b c a b c + + = + + = . CMR: 2 2 2 1a b c+ + = Bài 13: Cho các số: ; ; ; 0x by cz y ax cz z ax by x y z= + = + = + + + = . Tính 1 1 1 1 1 1 P a b c = + + + + + Bài 14: Cho 4 4 2 2 1 ; 1 x y x y a b a b + = + = + . Chứng minh rằng: a, 2 2 bx ay= b, ( ) 2000 2000 1000 1000 1000 2x y a b a b + = + Bài 15: Cho ( ) 2 4 4 4 2 2 2 1 0. : 2 a b c CMR a b c a b c+ + = + + = + + Bài 16: Cho ( ) ( ) 5 5 5 2 2 2 0. : 2 5x y z CMR x y z xyz x y z+ + = + + = + + Bài 17: Cho a,b,c là 3 số khác nhau. CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2b c c a a b a b a c b a b c c a c b a b b c c a + + = + + 1 Bài 18: CMR nếu xyz = 1 thì: 1 1 1 1 1 1 1x xy y yz z zx + + = + + + + + + Bài 19: Cho a,b,c là 3 số thực khác nhau. CMR: . . . 1 a b b c a c b c a c b a a b b c c a b c c a a b + + + + + + + + = Bài 20: Cho a,b,c đôi một khác nhau. Tính giá trị biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ab bc ca P b c c a c a a b a b b c = + + Bài 21: Cho a,b,c là các số thoả mãn: a b c b c a c a b c a b + + + = = . Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 b c a P a b c = + + + ữ ữ ữ Bài 22: Cho 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2; . : 2a b c abc CMR a b c a b c + + = + + = + + = Bài 23: Cho 3 số x,y,z thoả mãn: 2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x y y z z x + + = + + = + + = Tính giá trị biểu thức: 2007 2007 2007 P x y z= + + Bài 24: Cho các số thực dơng x,y,z thoả mãn: 3 8 15 xy x y yz y z zx z x + + = + + = + + = Tính giá trị biểu thức: 3 2A x y z= + + Bài 25: Cho ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . : 0CMR a b b c c a a b c a b c + + = + + + = + + Bài 26: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thoả mãn: 3 3 3 3 0a b c abc+ + = . CMR: tam giác ABC là tam giác đều. Bài 27: Cho a,b,c là độ dai 3 cạnh của tam giác thoả mãn: ( ) ( ) ( ) 8a b b c c a abc+ + + = . CMR tam giác ABC là tam giác đều. B, Biến đổi căn thức Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau a, ( ) ( ) 2 2 2 3 3 5A = + h, 4 10 2 5 4 10 2 5H = + + + b, 8 2 15 8 2 15B = + i, 4 15 4 15 2 3 5I = + + c, 5 2 6 5 2 6C = + + j, 1 1 1 5 1 12 3 3 2 3 6 J = + + d, 2 3 2 3D = + k, ( ) 2 6 2 3K = + e, 4 7 4 7E = + l, 13 160 53 4 90L = + g, 1 1 7 3 7 3 F = + + m, 4 4 49 20 6 49 20 6M = + + 2 Bài 2: Chứng minh rằng, các số sau đây đều là các số nguyên: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 , 5 3 29 12 5 2 3 5 13 48 , 6 2 , 4 5 3 5 48 10 7 4 3 , 3 1 6 2 2 3 2 12 18 128 5 2 6 49 20 6 5 2 6 , 9 3 11 2 2 1 , 2 1 3 125 125 , 3 9 3 9 7 7 a A b B c C d D e E f F g G = + + = + = + + + = + + + + = = + = + + + + Bài 3: Cho 3 3 9 4 5 9 4 5x = + + a, Chứng minh rằng x là nghiệm của phơng trình: 3 3 18 0x x = b, Tính x Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau a, 3 3 2 5 2 5 1+ + = c, 3 3 20 14 2 20 14 2 4+ + = b, 3 3 5 2 7 5 2 7 2+ = d, 3 3 3 3 3 2 20 25 3 5 4+ = Bài 5: Đặt 3 3 1 8 1 1 8 1 3 3 3 3 a a a a x a a + + = + + . Chứng minh rằng, với mọi 1 8 a > thì x là số nguyên dơng Bài 6: Rút gọn biểu thức 1 1 1 1 . 2 1 1. 2 3 2 2 3 2007 2006 2006 2007 2008 2007 2007 2008 S = + + + + + + + + Bài 7: Cho a > 0; b > 0 và a 2 b 0. Chứng minh rằng 2 2 2 2 1, 2 2 2, 2 2 a a b a a b a b a a b a a b a b + + = + + = 3, Rút gọn: 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 P + = + + + Bài 8: Cho 1 1 2 1. : 2b c a CMR b c a+ + + = + + Bài 9: Tính giá trị biểu thức: 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 x x P x x + = + + + với 3 4 x = 3 Bài 10: Cho ( ) 2 2 1 2 1 1 1 1 4 1 x x x x P x x x + + = ữ a, Tìm điều kiện để P có nghĩa b, Rút gọn P Bài 11: Rút gọn các biểu thức sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 2 2 1 , 48 2 75 108 147 7 , 1 1 0, 1 1 1 , 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 , 0, 1 1 1 1 1 1 1 , 1 0 1 1 1 1 1 a A a a a a b B a a a a c C x x x x x x x a a a a a d D a a a a a a a e E a a a a a a a = + + = ữ ữ ữ ữ + = + + + + + = + > ữ ữ + + = + < < ữ ữ ữ ữ + + + Bài 12: Cho biểu thức: 2 2 2 2 2 1 2 1P x x x x= + a, Tìm điều kiện để P có nghĩa b, Tính giá trị của P khi 2x Bài 13: Cho biểu thức: 2 1 1 : x P x x x x x x + = + + a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b, Rút gọn P Bài 14: Cho 2; 4x x x a> + = . Tính giá trị biểu thức: 2 2 4 2 x x P x = theo a Bài 15: Cho biểu thức 3 1 1 1 1 1 x x P x x x x x = + a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b, Tìm x để P > 0 Bài 16: Cho biểu thức ( ) ( ) 1 2 1 2 1 . 1 1 2 1 x x x x x x x x x P x x x x + + = + ữ ữ + a, Tìm điều kiện để P có nghĩa b, Rút gọn P Bài 17: Cho , , 0; 1.x y z xy yz zx> + + = Tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . . 1 1 1 y z z x x y P x y z x y z + + + + + + = + + + + + Bài 18: Rút gọn: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 3 3 4 2006 2007 2007 2008 P = + + + + + + + + + + + + 4 c,ph ơng trình bậc hai và định lý viète Bài 1: Cho phơng trình ( ) 2 2 1 3 0x m x m = (1) a, CMR: phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với mọi m b, Tìm m sao cho 2 2 1 2 10x x+ = Bài 2: Cho phơng trình: 2 2 2 1 0x mx m + = (1) a, CMR: phơng trình (1) luôn có nghiệm x 1 , x 2 với mọi m b, Đặt ( ) 2 2 1 2 1 2 2 5A x x x x= + . Tìm m sao cho A = 27 c, Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc vào m d, Tìm m để phơng trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia Bài 3: Cho phơng trình: ( ) ( ) 2 2 2 3 3 0 1x m x m m + = a, CMR: phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m b, Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 1<x 1 <x 2 <6 c, Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc vào m Bài 4: Tìm m để 2 phơng trình sau có nghiệm chung: ( ) ( ) 2 2 0 1 1 0 2 x x m x mx + + = + + = Bài 5: Gọi a,b là 2 nghiệm của phơng trình 2 1 0x px+ + = và c,d là 2 nghiệm của phơng trình 2 1 0x qx+ + = . Chứng minh các hệ thức sau: a, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 a c a d b c b d p q = b, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a c b c a d b d q p + + = Bài 6: Tìm m để phơng trình: 2 4 1 0x x m + + = có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho 2 2 1 2 10x x+ > Bài 7: Tìm m để pt: 2 3 2 0x mx + = có 2 nghiệm thoả mãn: 1 2 2 3 2 2x x x= Bài 8: Cho phơng trình: ( ) ( ) 2 2 1 0 1x m x m = a, CMR: phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm x 1 , x 2 với mọi m b, Với m 0, lập phơng trình bậc 2 ẩn t nhận t 1 và t 2 làm nghiệm với: 1 1 2 2 2 1 1 1 ;t x t x x x = + = + Bài 9: Tìm m để phơng trình 2 3 5 0x x m + = có 2 nghiệm thoả mãn: 2 2 1 2 5 9 x x = Bài 10: Cho phơng trình: ( ) ( ) 2 2 2 4 8 0 1x m x m + + = a, Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 b Tìm m để 1 2 1 2 3A x x x x= + đạt GTLN c, Tìm m để 2 2 1 2 1 2 B x x x x= + đạt GTNN d, Tìm hệ thức giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc vào m Bài 11: Cho phơng trình: ( ) ( ) 2 2 4 3 0 1x x m m + = a, CMR: phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với mọi m b, Tìm m để: ( ) 2 2 1 2 1 2 4x x x x+ = + c, Lập phơng trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y 1 và y 2 sao cho 1 2 1 2 1 2 2 1 ; 3 1 1 y y y y x x y y + = + + = 5 d, Ph ơng trình bậc cao và ph ơng trình không mẫu mực Bài 1: Giải các phơng trình sau 1, 4 2 10 9 0x x + = 2, 4 2 3 4 0x x = 3, 4 2 3 5 2 0x x+ = 4, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 3x x x x+ + + + = 5, ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 6 7 1680x x x x = 6, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 7 5 297x x x x + + = 7, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 6 8 36x x x x + + = 8, ( ) 4 4 2 82x x+ + = 9, ( ) ( ) 2 2 3 4 6 24x x x x+ + = 10, ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 3 1 4 1 0x x x x x x + + + = 11, ( ) ( ) 2 2 2 2 7 2 4 2 3x x x x x x+ + = + + + + 12, ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 0x x + = 13, 4 3 2 10 26 10 1 0x x x x+ + + + = 14, 4 3 2 4 1 0x x x x+ + + = 15, 2 2 1 2 1 4 3 0 2 2 x x x x + = ữ ữ + + 16, 2 2 36 24 12 4 5x x x x + + = 17, 4 4 3 0x x+ + = 18, ( ) ( ) 2 4 2 4 21 3 0x x x+ + + = 19, 4 3 2 2 5 4 12 0x x x x+ + + = 20, ( ) ( ) 2 2 2 5 10 5 24 0x x x x + + = 21, 2 2 1 3 1 2 x x x x + = ữ ữ + 22, 4 3 1 0x x x + = 23, 5 4 3 2 5 4 4 5 1 0x x x x x + + + = 24, ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 3 2 1 2 3 0x x x x x + + + + + = 25, 5 4 3 2 1x x x x x= + + + + 26, 4 2 5 2 3 0x x x + = 27, 2 2 2 1 1 1 1 9 20 11 30 13 42 18x x x x x x + + = + + + + + + 28, 294 296 298 300 4 1700 1698 1696 1694 x x x x + + + = 29, 2 2 2 2 1 1 1 1 4 5 4 11 28 17 70 23 130 13x x x x x x x x + + + = + + + + + + + + 30, 2 3 5 6 349 0 327 326 325 324 5 x x x x x+ + + + + + + + + = 31, 1 1 1 1 3 2 2 1 1x x x x x x + + = + + + + + + + + 32, 2 2 2 2 2 4 16 3 5 7 6 1 3 5 x x x x x + = + + + + + 33, 2 2 1 1 1 4 3 8 15 6x x x x + = + + + + 34, 2 2 3 2 8 4 1 1 3 x x x x x x + = + + + 35, 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 5 6 7 12 9 20 3x x x x x x x x + + + = + + + + + + + + 36, 1 1 1 10 1 2 2 2 4 4 6x x x x x x + + = + + + + + + + + 37, 4 3 2 2 21 74 105 50 0x x x x + + = 38, 2 2 2 13 6 2 5 3 2 3 x x x x x x + = + + + 39, 2 2 1 7 1 3 2 1 6 x x x x x + + = 40, 4 3 2 2 3 6 3 1 0x x x x + + + = Bài 2: Cho phơng trình: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 1 3 2 2 2 0 1x m x m m x m m + + + = a, CMR phơng trình (1) luôn có nghiệm x=-2 với mọi m b, Tìm m để phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt c, Tìm m để pt (1) có 3 nghiệm pb x 1 , x 2 , x 3 sao cho 2 2 2 1 2 3 S x x x= + + đạt GTNN 6 . + + + + Bài 14: Cho 4 4 2 2 1 ; 1 x y x y a b a b + = + = + . Chứng minh rằng: a, 2 2 bx ay= b, ( ) 2000 2000 100 0 100 0 100 0 2x y a b a b + = + Bài 15:. + Bài 8: Cho 1 1 2 1. : 2b c a CMR b c a+ + + = + + Bài 9: Tính giá trị biểu thức: 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 x x P x x + = + + + với 3 4 x = 3 Bài 10: